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专题22.12 二次函数
的图象与性质
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．抛物线
的顶点一定不在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．如图，A，B 两点的坐标分别是
，
，抛物线的顶点在线段AB 上运动，与
x 轴交于C，D 两点（C 在D 的左侧），点C 的最小值为
，则D 点的横坐标的最大值是
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．6
3．下列对二次函数
的图像的描述中，不正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与y 轴的交点坐标是
D．抛物线的顶点坐标是
4．已知二次函数y＝a（x﹣1）
2﹣4，当﹣1≤x≤4 时，y 的最大值是5，则a 的值是（
）
A．﹣1
B．﹣2
C．1
D．2
5．对于抛物线
，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．当
时，y 随x 增大而减小
C．函数最小值为﹣2
D．顶点坐标为（1，﹣2）
6．小明在研究抛物线
（h 为常数）时，得到如下结论，其中正确的
是（ ）
A．无论x 取何实数，y 的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线
上
C．当
时，y 随x 的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点
，
，若
，
，则
7．关于二次函数y=-（x -2）
2＋3，以下说法正确的是（ ）
A．当x＞-2 时，y 随x 增大而减小
B．当x＞-2 时，y 随x 增大而增大
C．当x＞2 时，y 随x 增大而减小
D．当x＞2 时，y 随x 增大而增大
8．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）
2﹣m+1（m 为常数）．
①二次函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1 上
②当x＜2 时，y 随x 的增大而增大，则m=2
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
9．抛物线y＝3x2向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得到的抛物线是（
）
A．y＝3（x
1
﹣）
2
2
﹣
B．y＝3（x＋1）
2
2
﹣
C．y＝3（x＋1）
2＋2
D．y＝3（x
1
﹣）
2＋2
10．把抛物线
的图象向左平移1 个单位，再向上平移2 个单位，所得
的抛物线的函数关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．将抛物线C1：y＝（x－3）
2＋2 向左平移3 个单位长度，得到抛物线C2，抛物线
C2与抛物线C3关于x 轴对称，则抛物线C3的解析式为（ ）．
A．y＝x2－2
B．y＝－x2＋2
C．y＝x2＋2
D．y＝－x2－2
12．将抛物线
平移，得到抛物线
，下列平移方式中，正确的是
（ ）
A．先向左平移1 个单位，再向上平移2 个单位
B．先向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位
C．先向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位
D．先向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位
13．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（4，2），若抛物
线y＝
（x﹣h）
2+k（h、k 为常数）与线段AB 交于C、D 两点，且CD＝
AB，则k 的值
为（ ）
A．
B．2
C．
D．
14．已知二次函数
的图象经过点
，
，且
，则
的值不可能是（ ）
A．
B．
C．0
D．
15．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m 的图象关于y 轴对称，则m 的值为（ ）
A．0
B．3
C．1
D．0 或3
16．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．y=−1
2 ( x+1)2
C．
D．
17．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函
数”．如图，在正方形OABC 中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y=(x−m)2−m 与
正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1
B．
，﹣1
C．4，0
D．
，﹣1
18．如图，抛物线
与
交于点
，过点A 作x 轴的
平行线，分别交两条抛物线于B、C 两点，且D、E 分别为顶点．则下列结论：①
；
②
是等边三角形；③
；④当
时，
，其中正确结论的个数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
19．如图，已知点M 为二次函数
图象的顶点，直线
分别
交x 轴，y 轴于点A，B．点M 在
内，若点
，
都在二次函数图象上，
则
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x
2
﹣）
2
1
﹣，下列说法中错误的是（
）
A．图形顶点坐标为(
2
﹣，﹣1)，对称轴为直线x＝2
B．当x＜2 时，y 的值随x 的增大而减小
C．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度得
到
D．图象与x 轴的两个交点之间的距离为2
二、填空题
21．抛物线
的顶点坐标为______．
22．已知二次函数y＝
（x－m）
2＋m2＋1，且
．
（1）当m＝1 时，函数y 有最大值__________．
（2）当函数值y 恒不大于4 时，实数m 的范围为__________．
23．已知函数y＝
，若使y＝k 成立的x 的值恰好有三个，则k 的值
为_____．
24．若A（m-2，n），B（m+2，n）为抛物线
上两点，则
n=_______．
25．若点
、
、
都在二次函数
的图象上，则
、
、
的大小关系是______________．（用“>”连接）
26．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为函数y＝﹣2（x
1
﹣）
2+3 的图象上的两点，若
x1＜x2＜0，则y1_____y2（填“＞”、“＝”或“＜”），
27．已知函数y
的图象如图所示，若直线y＝kx
3
﹣与该图象有
公共点，则k 的最大值与最小值的和为 _____．
28．已知二次函数
，当
＜-3 时，y 随
的增大而增大，当
>-3 时，y
随
的增大而减小，则的值是___________________
29．定义运算“※”：
，如：
．若函数
的
图象过点
，将该函数图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得的图象函数表达式
为______．
30．将二次函数
（m，n 为常数）的图象，先向左平移1 个单位长度，
再向上平移2 个单位长度后，得到的图象顶点为
，则
的值为____________．
31．将抛物线
沿直线
方向移动
个单位长度，若移动后抛物线的顶点在
第一象限，则移动后抛物线的解析式是__________．
32．若二次函数y＝ax2－bx＋2 有最大值6，则y＝－a（x＋1）
2＋b（x＋1）＋2 的最
小值为____．
33．抛物线
关于y 轴对称的抛物线的表达式为______．
34．已知一个二次函数的图象形状与抛物线
相同，且顶点坐标为
，则这
个二次函数的解析式为_____________．
35．如图所示的抛物线是二次函数y＝（m
2
﹣）x2
3
﹣x+m2+m
6
﹣的图象，那么m 的值
是_____．
36．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，
如果抛物线
与抛物线
关于直线
的对称曲线，那么抛物线
的表达
式为_______________________．
37．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x
2
﹣）
2＋1（a＞0）
的顶点为A，过点A 作y 轴的平行线交抛物线
于点B，连接AO、BO，则
△AOB 的面积为________．
38．如图，点
、
、
、...、
在抛物线
图象上，点
、
、
、...、
在抛物线的对称轴上，若
、
、...、
都为等边三角形（点
是抛物线的顶点）且
，则
的坐标为______．
39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴只有一个交点
，与平行
于
轴的直线交于
，
两点．若
，则点
到直线的距离为 __．
40．如图，在平面直角坐标系中，点A 从点
出发向原点O 匀速运动，与此同
时点B 从点
出发，在x 轴正半轴上以相同的速度向右运动，当点A 到达终点O 时，
两点同时停止运动．连接
，以线段
为边在第一象限内作正方形
，则正方形
面积的最小值为____________．
三、解答题
41．已知抛物线
（1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是
，
（2）在直角坐标系中画出
的图象．
解：①列表：
…
…
…
…
②描点、连线：
42．已知抛物线
的图象经过点
，过点A 作直线l 交抛物
线于点
．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)将抛物线向下平移
个单位，使顶点落在直线l 上，求m，n 的值．
43．某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20 元，试销售时发现：遮阳伞每
天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28 元时，每
天的销售量为260 个；当销售单价为30 元时，每天的销售量为240 个．
(1)求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销
售利润最大？最大利润是多少元？
参考答案
1．B
【分析】
先根据二次函数顶点式的性质写出其顶点坐标，再分类讨论，当
或
时，对应
的纵坐标情况，即可判断．
解：抛物线
的顶点为
若
，则
或
均成立，
此时，顶点在第一象限或第四象限
若
，则
必然成立，且
必然不成立
此时，顶点在第三象限
综上，顶点一定不在第二象限
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质及其顶点所在的象限，熟练掌握知识点是解题的
关键．
2．C
【分析】
根据A，B 点的坐标分析出当对称轴
时，C 有最小值为
，可得D 点的横坐标为
3，
，当对称轴
时，得
，根据
，可得
．
解：由题意可知：
当对称轴
时，C 有最小值为
，
∵对称轴
，可得
，
，
当对称轴
时，得
，
∵
，可得
，
∴D 点的横坐标的最大值为5，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数顶点坐标以及与x 轴的交点，关键是理解C 有最小值时，
对称轴
，求出D 坐标，以及CD 长，当对称轴平移，C，D 点也平移，此时
，
利用CD 的距离可求出D 坐标．
3．C
【分析】
根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
解：∵a=-2<0，∴抛物线的开口向下，故选项A 正确，不符合题意；
∴对称轴为直线x=-1，故选项B 正确，不符合题意；
当x=0 时，
，即抛物线与y 轴的交点坐标是
，故
选项C 错误，符合题意；
顶点坐标为（-1，3），故选项D 正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点
坐标．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
4．C
【分析】
根据题意，可知二次函数的顶点坐标为
，分类讨论即可，
时，开口朝下，
最大值为
，不符合题意，则
，进而根据当﹣1≤x≤4 时，y 的最大值是5，将
代入解析式即可求得
的值．
解：依题意，可知二次函数的顶点坐标为
，
当
时，开口朝下，最大值为
，不符合题意，
当
时，对称轴为
，
当﹣1≤x≤4 时，y 的最大值是5，
当
时，
随
的增大而减小,
由二次函数的对称性可知当
时，
的值和
时的值相等，
当
时，
随
的增大而增大,
时，
，解得
,
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式
的图象与性质是解
题的关键．
5．B
【分析】
根据二次函数图象的性质对各项进行分析判断即可．
解：抛物线解析式
可知，
A、由于
，故抛物线开口方向向下，选项不符合题意；
B、抛物线对称轴为
，结合其开口方向向下，可知当
时，y 随x 增大而
减小，选项说法正确，符合题意；
C、由于抛物线开口方向向下，故函数有最大值，且最大值为-2，选项不符合题意；
D、抛物线顶点坐标为（-1，-2），选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用抛物线的开口方向、
对称轴、顶点坐标以及二次函数图象的增减性解题．
6．C
【分析】
根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．
解：A．
，
当
时，
，当
时，
，故错误；
B．
抛物线
的顶点坐标为
，当
时，
，故错误；
C．
抛物线开口向下，当
时，y 随x 的增大而增大，
，故正确；
D．
抛物线上有两点
，
，若
，
，
，
点A 到对称轴的距离大于点B 到对称轴的距离，
，故错误．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次
函数的性质是解题的关键．
7．C
【分析】
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
解：∵
，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），
∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2 时，y 随x 的增大而减小，x＜2 时，y
随x 增大而增大
C
∴
正确，
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在
y=a（x-h）
2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
8．B
【分析】
①由顶点坐标（m，-m+1），可得x=m，y=-m+1，即可证明顶点在直线y=-x+1 上；
②根据二次函数的性质，当
时，y 随x 的增大而增大，可知
；
③由
，根据已知可以判断
，即可判断
．
解：①证明：
图象的顶点为（m，-m+1），设顶点坐标为（x，
y），则x=m，y=-m+1，
∴y=-x+1，即顶点始终在直线y=-x+1 上，
①正确；
②
，对称轴
，
当
时，y 随x 的增大而增大，
时，y 随x 的增大而增大，
，
②不正确；
③
与点
在函数图象上，
，
，
，
x
∵
1＜x2，x1+x2＞2m，
，
，
∴
，
③不正确．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数图像和性质，函数值大小比较等，解题的关键是掌握一元
二次方程根与系数的关系及做差法比较大小．
9．A
【分析】
抛物线y＝3x2向右平移1 个单位，得到y=3(x_1)２，再向下平移2 个单位，所得到的抛
物线是y＝3（x
1
﹣）
2
2
﹣．
解：抛物线y＝3x2向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得到的抛物线是y＝3
（x
1
﹣）
2
2
﹣，
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线的平移，解决问题的关键是熟练掌握“左加右减，上加下
减”．
10．A
【分析】
求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后
的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
解：∵抛物线
的顶点坐标为（2，1），
∴向左平移1 个单位，再向上平移2 个单位后的顶点坐标是（1，3）
∴所得抛物线解析式是
．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化
更简便．
11．D
【分析】
根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，利用二次函数平移的规律：左加右减，上加下
减，并根据平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的顶点坐标，再根据关于x 轴对称的
两条抛物线的顶点横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线
C3所对应的解析式．
解：∵抛物线 C 1：y＝（x－3）
2＋2，其顶点坐标为（3，2）
∵向左平移3 个单位长度，得到抛物线C2
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2）
∵抛物线C2与抛物线C3关于 x 轴对称
∴抛物线C3的横坐标不变，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数
∴抛物线C3的顶点坐标为（0，－2），二次项系数为－1
∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移、对称问题，熟练掌握平移的规律以及
关于x 轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相
反数是解题的关键．
12．D
【分析】
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到的．
解：
抛物线
的顶点坐标为（0，0），抛物线
的顶点坐标为
（1，-2）
将抛物线
先向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位即可得到
故选：D．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象平移规律，掌握“左加右减，上加下减”的规
律是解题的关键．
13．A
【分析】
根据题意，可以得到点
的坐标和的值，然后将点
的坐标代入抛物线的解析式，
即可得到
的值，本题得以解决．
解：
点
的坐标为
，点
的坐标为
，
，
抛物线
、
为常数）与线段
交于
、
两点，且
，
设点
的坐标为
，则点
的坐标为
，
，
抛物线
，
解得，
．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键
是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．D
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3﹣m 或m≤﹣1，解得即可．
解：∵二次函数y＝a（x﹣m）
2（a＞0），
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴m+1＜3﹣m 或m≤﹣1
解得m＜1，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
15．B
【分析】
由于函数图象关于y 轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax2+c 型，由此求得问题
的答案．
解：∵二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m 的图象关于y 轴对称，
∴函数的解析式形式应该是y=ax2+c 型，
-
∴（m2-3m）=0，
解得：m=0 或m=3，
∵二次函数的二次项系数m 不能为0，
m=3
∴
．
故选：B．
【点拨】本题考查关于y 轴对称的抛物线的表达式是y=ax2+c，（a≠0，a、c 为常数）．
熟练掌握此类型二次函数的性质是解答此题的关键．
16．D
【分析】
根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可．
解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限，而
的顶点坐标为(-1,-1),
只有选项D 的顶点符合要求，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键．
17．B
【分析】
根据函数解析式可得抛物线顶点在直线y=-x 上，结合图象求解．
解：∵y=（x-m）
2-m，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣m），
∴抛物线顶点在直线y=﹣x 上，
如图，当抛物线经过点B 时，m 取最大值，
∵四边形OABC 为正方形，
∴AB=BC=2，
∴点B 坐标为（2，2），
将（2，2）代入y=（x-m）
2-m 得2=（2-m）
2-m，
解得m=
或m=
（不符合题意，舍去）．
如图，当抛物线经过点A 时，m 取最小值，
将（0，2）代入y=（x-m）
2-m 得2=m2-m，
解得m=
1
﹣或m=2（不符合题意，舍去）．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，
掌握二次函数与方程的关系．
18．A
【分析】
将点A 代入
中即可得到a 的值；根据E 为抛物线顶点，AC 平行于x
轴求出点C，即可得到AE 和AC，判断即可；分别求出直线AD，CE 的解析式，即可判断
两直线的位置关系；根据图像即可判断出当
时函数值的关系；
解：将点
代入
可得：
，
解得：
，故①正确；
∵D、E 分别为顶点，
∴
，
，
又∵过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C 两点，
设
，代入
中可得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，故②错误；
设直线AD 的解析式为
，
∵
，
，
∴
，解得：
，
∴
；
设设直线CE 的解析式为
，
∵
，
，
∴
，解得：
，
∴
；
∵
，
∴AD 与CE 不平行，故③错误；
令
，
解得：
，
，
∴当
或
时，
，故④错误；
故正确的是①；
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象性质，一次函数解析式求解，二元一次方程
组求解，准确计算是解题的关键．
19．A
【分析】
根据题意确定出
的取值范围，然后根据二次函数的性质即可得出
，
的大小关系．
解：∵点M 为二次函数
图象的顶点，
∴点
，
∵直线
分别交x 轴，y 轴于点A，B，
令
，解得：
，
令
，解得：
，
∴
，
∵点M 在
内，
∴
，
解得：
，
∵抛物线开口向下，
∴与对称轴距离越近，其值越大；与对称轴距离越远，其值越小；
∵对称轴
在
之间，
∴
比距离对称轴更近，
∴
，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，一次函数的图像与坐标轴的交点问题，熟知一
次函数的与二次函数的性质是解本题的关键．
20．A
【分析】
根据抛物线图象的性质和特点即可求解．
解：A．图形顶点坐标为(2，﹣1)，对称轴为直线x＝2，故A 错误，符合题意；
B．抛物线开口向上，故当x＜2 时，y 的值随x 的增大而减小，正确，不符合题
意；
C．y＝x2的图象向右平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到y＝（x﹣
2）
2
1
﹣，故C 正确，不符合题意；
D．令y＝（x
2
﹣）
2
1
﹣＝0，解得：x＝1 或3，故图象与x 轴的两个交点之间的距
离为2 正确，不符合题意；
故选：A．
【点拨】考核知识点：顶点式二次函数性质.掌握顶点式二次函数性质和图象特点是关
键.
21．(1，-5)
【分析】
根据抛物线的解析式
，可以直接写出该抛物线的顶点坐标（1，-
5），本题得以解决．
解：∵抛物线的解析式为
，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，-5），
故答案为：（1，-5）．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，由顶点
式可以直接写出顶点坐标．
22． 2
【分析】
（1）根据顶点式将
代入解析式即可求得最大值；
（2）根据顶点式求得最大值，根据顶点的位置以及自变量的取值范围，分情况讨论求
得最值，进而求得
的范围．
解：（1）当m＝1 时，二次函数y＝
（x－1）
2＋12＋1
，则顶点为
则函数有最大值
，
故答案为：
（2）
二次函数y＝
（x－m）
2＋m2＋1，且
．
对称轴为
，顶点坐标为
①当
时，
时，函数取得最大值
即
解得
，不符合题意，舍去
②当
，
时，函数取得最大值
解得
③当
时，
时，函数取得最大值
解得
综上所述，
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握
的性质是解题的关键．
23．1 或2
【分析】
首先在坐标系中画出已知函数y＝
的图象，利用数形结合的方法即
可找到使y=k 成立的x 值恰好有三个的k 值．
解：函数y＝
的图象如图：
根据图象知道当y＝1 或2 时，对应成立的x 值恰好有三个，
∴k＝1 或2．
故答案为1 或2．
【点拨】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程
的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
24．2016
【分析】
根据二次函数的图象与性质可得抛物线
的对称轴为
，再利用
m-2+m+2=2h，解得m=h，则可得A（h−2，n），B（h＋2，n），将B（h＋2，n）代入函
数关系式即可求出结果．
解：∵A（m-2，n），B（m+2，n）是抛物线
上两点，
∴抛物线
的对称轴为
，
m-2+m+2=2h
∴
，解得m=h，
A
∴（h−2，n），B（h＋2，n），
当x＝h＋2 时，n＝（
−
h＋2−h）
2＋2020＝2016，
故答案为：2016．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数图象上的点
的坐标特征并灵活运用所学知识解决问题．
25．
【分析】
根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=1，根据
时，y 随x
的增大而减小，即可得出答案．
解：∵y=−(x−1)2+3，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x=1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小
关于直线x=1 的对称点是(3，y3)，
1<2<3
∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的
理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
26．＜
【分析】
找到二次函数对称轴，根据二次函数的增减性即可得出结论．
解：∵y＝﹣2（x
1
﹣）
2+3，
∴抛物线y＝﹣2（x
1
﹣）
2+3 的开口向下，对称轴为x＝1，
∴在x＜1 时，y 随x 的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点拨】本题考查二次函数的增减性，掌握其增减规律，找到对称轴是解本题关键．
27．17
【分析】
根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3 与该图象有公共点；当直线
与抛物线只有一个交点时，（x-5）
2+8=kx-3，可得出k 的最大值是15，最小值是2，即可
得它们的和为17．
解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）
2+8=kx-3，
整理得x2-（10+k）x+36=0，
10+
∴
k=±12，解得k=2 或k=-22（舍去），
∴k 的最大值是15，最小值是2，
∴k 的最大值与最小值的和为15+2=17．
故答案为：17．
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象
求出k 的最大值和最小值是解题的关键．
28．3
【分析】
根据题意可得二次函数的图象的对称轴是直线x=-3，进而可得h 的值.
解：抛物线
的对称轴为直线x=-3，
故h=3，
故答案是:3.
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点式y=a（x-h）
2+k，对称轴为x=h．
29．
【分析】
先根据新运算规则得出函数关系式
，把P 点代入函数式求出c 值，设图象向
右平移k 个单位，得出
，再把P（1，-2）代入函数式求k 值，即可解决问题．
解：由题意得：
，
则
，
设图象向右平移k 个单位，
则
，
∵图象再次经过点P，
∴
，
解得k=2 或0（舍去），
∴
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了新定义的运算法则计算，二次函数的平移和求函数值，解题的关
键是根据图象平移的性质设
．
30．3
【分析】
根据平移规律“左加右减，上加下减”得到原抛物线顶点坐标，将其代入二次函数y=-
x2+mx+n，即可求得m、n 的值．
解：根据题意知，原抛物线的顶点坐标是（0+1，4-2），即（1，2），则原抛物线解
析式为y=-（x-1）
2+2=-x2+2x+1．
故m=2，n=1．
所以m+n=2+1=3．
故答案是：3．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移前后的形状不变，故
a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两
点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出
解析式．
31．
【分析】
设抛物线
沿直线
方向移动
个单位长度后顶点坐标为（t，3t），再求出
平移后的顶点坐标，最后求出平移后的函数关系式．
解：设抛物线
沿直线
方向移动
个单位长度后顶点坐标为（t，3t），
∴
，
解得：t=1 或t=-1（舍去），
∴平移后的顶点坐标为（1，3），
∴移动后抛物线的解析式是
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查二次函数的图象变换及一次函数的图像，解题的关键是正确理解图
象变换的条件，本题属于基础题型．
32．
【分析】
根据题意设二次函数y＝ax2－bx＋2 的顶点坐标为
，且开口向下，根据平移可知
y＝a（x＋1）
2－b（x＋1）＋2 的顶点坐标为
，根据关于
轴对称可知y＝-a（x＋
1）
2+b（x＋1）-2 的顶点坐标为
，且开口向上，有最小值，根据向上平移4 个单
位即可得到答案．
解：∵二次函数y＝ax2－bx＋2 有最大值6，
∴设二次函数y＝ax2－bx＋2 的顶点坐标为
，
平移可知y＝a（x＋1）
2－b（x＋1）＋2 的顶点坐标为
，
根据关于
轴对称可知y＝-a（x＋1）
2+b（x＋1）-2 的顶点坐标为
，且
开口向上，
再向上平移4 个单位得到：y＝－a（x＋1）
2＋b（x＋1）＋2
此时顶点坐标为
，则最小值为
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用顶
点坐标变换是解题的关键．
33．
解：写出顶点关于y 轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可确定对称后
抛物线的解析式．
解：抛物线y＝（
−
x＋2）
2顶点坐标为（−2，0），其关于y 轴对称的点的坐标为
（2，0），
∵两抛物线关于y 轴对称时形状不变，
∴抛物线y＝（
−
x＋2）
2关于y 轴对称的抛物线的表达式为y＝（
−
x−2）
2．
故答案为：y＝（
−
x−2）
2．
【点拨】本题考查了抛物线关于坐标轴对称的抛物线解析式求法．类似于点关于坐标
轴对称的坐标求法，关于x 轴对称，点横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y 轴对称，
点横坐标变为相反数，纵坐标不变．
34．y＝−4x2＋16x−13 或y＝4x2−16x＋19．
【分析】
根据二次函数的顶点坐标可设二次函数的解析式为y＝a（x−2）
2＋3，由形状与抛物线
y＝4x2相同可得出|a|＝4，代入后展开即可得出结论．
解：∵二次函数的图象顶点坐标为（2，3），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x−2）
2＋3．
∵形状与抛物线y＝4x2相同，
|
∴a|＝4，
∴该二次函数解析式为y＝−4（x−2）
2＋3 或y＝4（x−2）
2＋3，
即y＝−4x2＋16x−13 或y＝4x2−16x＋19．
故答案为：y＝−4x2＋16x−13 或y＝4x2−16x＋19．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的
绝对值相等是解题的关键．
35．﹣3
【分析】
由图像可知，抛物线经过原点（0，0），将（0，0）代入二次函数关系式计算即可．
解：∵二次函数y＝（m
2
﹣）x2
3
﹣x+m2+m
6
﹣经过（0，0），
∴m2+m
6
﹣＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣3，
∵抛物线开口向下，
∴m
2
﹣＜0，
解得m＜2，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点拨】本题考查了二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关
键．
36．
【分析】
先把抛物线
的解析式写成顶点式得到顶点坐标，根据对称的关系得到
的顶点坐标，
从而得到
的解析式．
解：
，
∴顶点坐标是
，
点
关于直线
对称的点是
，
∴
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质．
37．
【分析】
先求得顶点A 的坐标，然后根据题意得出B 的横坐标，把横坐标代入抛物线
，得出B 点坐标，从而求得A、B 间的距离，最后计算面积即可．
解：设AB 交x 轴于C
∵抛物线线y＝a（x
2
﹣）
2＋1（a＞0）的顶点为A，
∴A（2，1），
∵过点A 作y 轴的平行线交抛物线
于点B，
∴B 的横坐标为2，OC=2
把x=2 代入
得y=-3，
∴B（2，-3），
∴AB=1+3=4，
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B 的坐标是解题的关键．
38．
##
【分析】
根据二次函数的性质求得
的坐标，进而根据
，以及等边三角形的性质求得
，找到规律，进而求得
的坐标．
解：如图，过点
作
点
、
、
、...、
在抛物线
的对称轴上，对称轴为
则点
、
、
、...、
的横坐标为，
，
，
在抛物线
上，
解得
抛物线解析式为：
设
，
，
则
的纵坐标为
，
的横坐标为
解得
（舍去）或
的纵坐标为
，
的横坐标为
，即
点
、
、
、...、
在抛物线
上，且在第一象限，
纵坐标为
同理可得
的纵坐标为，横坐标为
……
的纵坐标为
，横坐标为
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标系中点的
规律问题，找到规律是解题的关键．
39．
【分析】
由题意知
，对称轴为直线
，
，
两点的纵坐标相同，设为
，有
，点A 的横坐标是
，点
的横坐标是
，由
，可知
，计算求解即可．
解：
与
轴只有一个交点
，
，对称轴为直线
，
抛物线与平行于
轴的直线交于
，
两点，
，
两点的纵坐标相同，设为
，
则
时，
，
解得：
，
点A 的横坐标是
，点
的横坐标是
，
，
，
解得：
；
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性．解题的关键在于对二次函数知识的熟练掌握．
40．32
【分析】
根据题意，可以得到OA+OB 的关系，再根据勾股定理和二次函数的性质，即可得到
正方形ABCD 面积的最小值．
解：由题意可得，NB=MA，则AO+OB=8，
设AO=x，则OB=8-x，
S
∵
正方形ABCD=AB2=AO2+OB2=x2+（8-x）
2=2（x-4）
2+32，
∴当x=4 时，正方形ABCD 的面积取得最小值32，
故答案为：32．
【点拨】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、二次函数的性质，解答本题
的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
41．（1）向下， x=2， (2,3)； （2） 见分析．
【分析】
（1）由二次函数的顶点式，根据二次函数的性质解决问题；
（2）利用列表，描点，连线作出图形即可．
解：（1）因为抛物线为
，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，
顶点坐标是(2,3)；
（2） ①列表：
…
0
1
2
3
4
…
…
-1
2
3
2
-1
…
② 描点、连线：
【点拨】本题考查了二次函数的顶点式及二次函数图象的画法，解题的关键是掌握二
次函数的性质．
42．(1)
；
(2)3；2
【分析】
（1）把点
代入
，求出a 的值即可；再运用顶点坐标公
式求出顶点坐标即可；
（2）把C
代入
可求出m 的值；再运用待定系数法求出直线AB 的
解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．
解：(1)将
代入
得：
，
解得
，
∴抛物线的函数表达式为
，
∵
，
，
∴顶点坐标为
；
(2)把C
代入
得，
，
设直线AB 的解析式为
，
将
，
代入
得
，
解得
，
∴直线AB 的解析式为
，
∵顶点的横坐标为2，
∴把
代入
得：
，
∴
．
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正
确理解题意是解答本题的关键．
43．(1)y＝﹣10x+540；
(2)当销售单价定为37 元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890 元
【分析】
（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28 元时，每天的销售量为260 个；销售
单价为30 元时，每天的销量为240 个；列方程组求解即可；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，再由二次函数
的性质求解即可；
(1)解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：
，
解得：
，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
(2)解：由题意可得：
w＝（x
20
﹣
）y＝（x
20
﹣
）（﹣10x+540）＝﹣10（x
37
﹣
）
2+2890，
10
∵﹣
＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝37 时，w 有最大值为2890，
答：当销售单价定为37 元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890 元．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，掌握二
次函数的性质是解题的关键．
