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专题04 点到平面的距离(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：等体积法求点到平面的距离.......................2
题型二：利用向量法求点到平面的距离.....................8
三、专项训练.............................................17
一、必备秘籍
1、等体积法求点到平面的距离
（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从
而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法
（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有
时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平
行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理
面面平行也可以变换顶点
2、利用向量法求点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平
面
的垂线，交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
的长度.
1
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二、典型题型
题型一：等体积法求点到平面的距离
1．（23-24 高三下·陕西西安·期中）如图，在圆台
中，
为轴截面，
，
，
为下底面圆周上一点，
为下底面圆
内一点，
垂
直下底面圆
于点
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
为等边三角形，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
．
【分析】（1）依题意可得
，即可得到
平面
，再由圆台的性质得到
，即可得到
平面
，从而得证；
（2）由
利用等体积法求出点
到平面
的距离．
2
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【详解】（1）因为
，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
因为
垂直下底面圆
于点
，
垂直下底面圆
于点
，所以
，
又
平面
，
平面
，
故
平面
．
又
，
，
平面
，
所以平面
平面
．
（2）在等腰梯形
中，易知
，所以
．
所以
．
易知
，
，所以
．
设点
到平面
的距离为，
因为
，所以
，
所以
，即点
到平面
的距离为
．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱台
中，底面四边形
为
菱形，
，
平面
．
(1)证明：
；
(2)若四棱台
的体积为
，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质得到
，由菱形的性质得到
，即可得到
平面
，即可得证；
（2）设
，由棱台的体积公式求出
，取
的中点
，连接
、
，即可得到
平面
，再由
利用等体积法计算可得.
3
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【详解】（1）在四棱台
中，
延长后必交于一点，故
共
面，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
连接
，因为底面四边形
为菱形，故
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）设
，又
，
所以
，
则
，
所以
，
即
，解得
，
所以
，则
，
取
的中点
，连接
、
，
则
且
，所以
为平行四边形，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
为菱形且
，所以
为等边三角形，
所以
，
，
，
所以
，
所以
，
又
，
设点
到平面
的距离为
，
所以
，则
，
4
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解得
，即点
到平面
的距离为
.
3．（2024·四川·模拟预测）如图，四棱锥
中，底面ABCD 为菱形，
，
侧面
是边长为4 的正三角形，
.
(1)证明：平面
平面ABCD；
(2)求点A 到平面SBC 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）取
中点
，通过证明
，即可由线线垂直证明线面垂
直；
（2）根据
，结合
的面积，即可由等体积法求得结果.
【详解】（1）证明：取CD 中点E，连接SE，AE，BE，
易得
，
，因为
，
，
所以
，
，
，故
，
又
，
，
所以
，故
，
因为
平面ABCD，
平面ABCD，
，
所以
平面ABCD，又因为
平面SCD，
5
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所以平面
平面ABCD.
（2）由（1）知
平面ABCD，且
，
在
中，
，
所以
，
故
.
在
中，
，
，
所以SB 边上的高
，
所以
.
设点A 到平面SBC 的距离为d，
则
，即
，解得
，
所以点A 到平面SBC 的距离为
.
4．（2024 高三·上海·专题练习）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
分别为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面平行的性质定理，转化为证明平面
平面
，即可证明线
面平行；
（2）方法一，利用等体积转化
，即可求点
到平面
的距离；方法二，
同样利用等体积转化
，即可求解.
【详解】（1）证明 连接
，
6
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∵
分别为
的中点，∴
，
∵直线
不在平面
内，
平面
，∴
平面
，
∵
，
，∴
，且
.
∴四边形
为平行四边形，即
，
∵直线
不在平面
内，
平面
，∴
平面
，
∵
平面
，
∴平面
平面
，
平面
，则
平面
.
（2）方法1：设
到平面
的距离为，
因为
平面
，所以
，
由于
，所以四边形
是平行四边形，
由于
，所以
，由于
平面
，
所以
平面
，而
平面
，则
，
由
得
，
即
；
方法2：∵
，
，
又
平面
，∴
，又
，
平面
，
∴
平面
，而
平面
，∴
.
设
，则
，
，
设点
到平面
的距离为，由
，
得
，则
.
∵点
为
的中点，∴点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离为
.
7
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题型二：利用向量法求点到平面的距离
1．（23-24 高三上·山东日照·期中）如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，
为
底面直径，
为底面圆O 的内接正三角形，点E 在母线
上，且
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若点M 为线段
上的动点，当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】
（1）利用余弦定理与勾股定理推得
，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理与
性质定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量表示得到关于
的表达式，从而求得
的
值，进而利用点面距离公式即可得解.
【详解】（1）
如图，设
交
于点
，连接
，由圆锥的性质可知
底面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
是底面圆的内接正三角形，由
，可得
，
，
8
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解得
，又
，
，
所以
，即
，
，
所以在
中，
，
在
中，由余弦定理：
，
所以
，故
.
因为
底面
，
面
，所以平面
平面
，
又
面
，
面
面
，
，故
面
，
又
平面
，所以平面
平面
；
（2）
易知
，以点
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为x 轴，y 轴，z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，
设
，可得
，
9
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设直线
与平面
所成的角为
，则
，
即
，
令
，
，
则
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当
时，
有最大值4，
即当
时，
的最大值为1，此时点
，
所以
，
所以点M 到平面
的距离
，
故当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，点
到平面
的距离为
.
2．（23-24 高二上·山东济宁·期中）如图所示，正方体
的棱长为3，动点
在底面正方形
内，且
与两个定点
，
的距离之比为
．
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(1)求动点
的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)求动点
到平面
的距离的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
（1）建立平面直角坐标系根据平面上轨迹的求法求解；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点面距离，再由三角代换求取值范围即可.
【详解】（1）以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系，如
图，
设
，
由
，得
化简得
，
即
，
故曲线C 是以
为圆心，2 为半径的圆在正方形
内一段圆弧
．
（2）以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系，如图，
11
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则
，
所以
，
设平面
的法向量
，
则
，令
，则
，
，故
，
由（1）可设
，其中
,
则
，
设
到平面
的距离为
，
则
，
由（1）可令
，其中
，
则
，
因为
，所以
，
即
，所以
，
故
.
【点睛】关键点点睛：第二问中求圆弧上动点到平面距离范围时，首先利用向量法表示出
动点到面的距离是解题的第一个关键点，再根据圆的性质进行三角代换求距离的取值范围
是第二个关键点，本题难度较大，属于难题.
3．（2023·山东潍坊·三模）如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直
径，
为底面圆
的内接正三角形，且边长为
，点
在母线
上，且
，
．
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(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
(3)若点
为线段
上的动点．当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设
交
于点
，连接
，利用三角形相似证得
，从而证得
，进而证得直线
平面
；
（2）通过
平面
，证得
平面
，所以平面
平面
；
（3）建立空间直角坐标系，设
，通过向量
和平面
的法向量
建立直线
与平面
所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值.
【详解】（1）如图，设
交
于点
，连接
，由圆锥的性质可知
底面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
是底面圆的内接正三角形，由
，可得
，
，解得
，
又
，
，所以
，即
，
，
13
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又因为
，所以
，
所以
，即
，
又
平面
，直线
平面
，
平面
，
所以直线
平面
．
（2）因为
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
；
（3）易知
，以点
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
设
，可得
，
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
即
，
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令
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，所以当
时，
有最大值
，
即当
时，
的最大值为1，此时点
，
所以
，
所以点
到平面
的距离
，
故当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，点
到平面
的距离为
.
4．（23-24 高三下·江苏连云港·阶段练习）如图，直四棱柱
的底面为平行
四边形，
分别为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若底面
为矩形，
，异面直线
与
所成角的余弦值为
，求
D 到平面
的距离.
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【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量的夹角得异面直线所成的角求得
的长，
然后由空间向量法求点面距．
【详解】（1）连接
，交
于点
，连接
，
则
为
的中点，
因为
为
的中点，所以
，且
，
因为
为
的中点，所以
，
所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
又因为
平面
平面
，
所以
平面
；
（2）由题意（1）及几何知识得，
在直四棱柱
中，
，
两两垂直，以A 为坐标原点，分别以
所在直线为
轴､
轴､轴建立
如图所示的空间直角坐标系.
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设
，
则
，
，
，
故
，
设异面直线
与
所成角为
，
则
，
解得：
，
故
则
设平面
的一个法向量为
，
到平面
的距离为
，
所以
即
取
，得
.
所以
，
即
到平面
的距离为
.
三、专项训练
1．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
平面
，
、
分别为
、
的中点，且
，
，
．
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(1)证明：
平面
．
(2)求
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用勾股定理得出
，再利用
平面
，证
，最后
根据线面垂直的判定定理即可证明
平面
；’
（2）根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求距离即可.
【详解】（1）因为
、
分别为
、
的中点，所以
为
的中位线，
所以
，
，因为
，所以
；
在
中，
，
，
，所以
，
所以
，即
；
因为
平面
，
平面
，所以
；
又
平面
，
平面
，
，所以
平面
.
（2）
由（1）可知
、
、
两两垂直，
建立如图所示分别以
、
、
为
、
、轴的空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
，
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设平面
的法向量为
，则有
，
即
，令
，则
，
，所以
，
设
到平面
的距离为
，则
.
2．（23-24 高二下·上海金山·期中）如图，在三棱柱
中，底面
是以
为
斜边的等腰直角三角形，侧面
为菱形，点
在底面上的投影为
的中点
，且
.
(1)求证：
；
(2)求点
到侧面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）由点
在底面
上的投影为
的中点
，知
平面
，
又
平面
，
，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
平面
，
平面
，
平面
，
.
（2）
，
是
中点，侧面
是菱形，
，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，
由（1）知直线
，
，
两两垂直，
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以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，轴，建立空间直角坐
标系，如图，
则
则
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
点
到平面
的距离为：
.
3．（2024 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧面
为正三角形，
，
，平面
平面
，E 为棱
上一点（不与
P，B 重合），平面
交棱
于点F.
(1)求证：
；
(2)若二面角
的余弦值为
，求点B 到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的性质定理证明线线平行；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角确定
点位置，再由空间向
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量法求点面距．
【详解】（1）证明：因为四边形
为矩形，所以
.
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
又平面
平面
，
平面
，
所以
.
（2）如图，取
的中点O，连接
，取
的中点G，连接
，则
.
因为侧面
为正三角形，所以
.
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
.
又
平面
，所以
，
以O 为坐标原点，
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如
图，
因为
，且侧面
为正三角形，所以
.
又
，所以
，
设
，显然
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
取
得
，则
，
取平面
一个法向量为
，
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则
，化简得
，解得
，
所以
，所以
，
，
所以点B 到平面
的距离为
．
4．（23-24 高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱
所有棱长均为
，
，侧面
与底面
垂直，
、
分别是线段
、
的中点．
(1)求证：
；
(2)若点
为棱
上靠近
的三等分点，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明
平面
，再根据线面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标系，利用空间距离的向量求法，即可求得答
案;
【详解】（1）连接
，因为三棱柱
所有棱长均为2，则
为等边三角
形，
因为
为
中点，则
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，可得
，
由题设知四边形
为菱形，则
，
因为
，
分别为
，
中点，则
，可得
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
22
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又
平面
，所以
；
（2）连接
，因为
，
，所以
为正三角形，所以
，
又侧面
与底面
垂直，
平面
，侧面
底面
，
所以
平面
，所以
，
，
两两垂直．
以
为坐标原点，
，
，
所在直线为
，
，轴，建立如图所示空间直角坐标
系，
则
，
，
，
，
，
，
，
点
为棱
上靠近
的三等分点，故
，
可得
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，则
，
，可得
，
所以点
到平面
的距离为
；
5．（2024·陕西铜川·二模）如图，在四棱锥
中.侧面
⊥底面
，
为等边三角形，四边形
为正方形，且
.
23
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(1)若
为
的中点，证明：
；
(2)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，证明出线面垂直，得到
；
（2）证明出
⊥平面
，求出
，根据等体积法求解点到平面的距离.
【详解】（1）取
中点
，连接
，
为等边三角形，
，
四边形
为正方形，
，
，
又
平面
，
∴
⊥平面
，
∴
（2）连接
，
因为平面
⊥底面
，平面
底面
，
⊥
，
所以
⊥平面
，
因为四边形
为正方形，所以
⊥
，且
，
故
，
因为
，
，所以
，
24
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由勾股定理得
，
设
到平面
的距离为，
，
即
，
解得
.
6．（2024·陕西·二模）在四棱锥
中，
，平面
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）由已知求解三角形可得
，结合面面垂直的性质可得
平面
，再由线面垂直的判定得
，再由面面垂直的判定得平面
平面
（2）利用等体积法
，求点
到平面
的距离
【详解】（1）证明：取
中点为
，
则
且
，所以四边形BCDM 是矩形，所以
，
在
中，
，所以
，所以
又平面
平面
，平面
平面
，
故
平面
，又
平面
，所以
，
，
平面
，所以
平面
而
平面
，故平面
平面
（2）取
的中点
，连
，
由
为
的中点，可得
，
又由平面
平面
，平面
平面
，
25
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可得
平面
，
在直角梯形
中，
，可得
，
在
中，可得
，
在
中，由
，可得
，
设点
到平面
的距离为
，
有
，可得
，
故点
到平面
的距离为
.
7．（2024·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱
中，底面
是直角梯
形，
∥
，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由线面垂直的判断定定理可得
平面
，从而得
，由题
意可知四边形
是正方形，所以有
，由线面垂直的判定定理证明即可；
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（2）利用
求解即可.
【详解】（1）证明：
在直四棱柱
中，
底面
底面
，
．
又
平面
平面
．
平面
．
易知四边形
是正方形，
，
又
平面
,
平面
．
（2）解：
．
，
．
设点
到平面
的距离为，
，解得
，
点
到平面
的距离为
．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）在长方体
中，
在线段
上，且满足
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若异面直线
与
所成角的余弦值为
，求
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明
平面
，再由线面垂直的性质定得
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证；
（2）利用等体积法求
到平面
的距离高即可.
【详解】（1）由题意，
，所以
，
所以
，即
，
又长方体中，
平面
，
平面
，
所以
，又
，
平面
，
所以
平面
平面
平面
平面
.
（2）延长
到
使
，如图，
所以
，又
，所以
，
因为
，所以
为异面直线
与
所成的角，设
，
根据余弦定理
，解得
，
所以
.
因为
到平面
的距离等于
到平面
的距离，
所以
，
设
到平面
的距离为，
则
，解得
，
即
到平面
的距离为2.
9．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在多面体ABCDE 中，A，B，E，D 四点共
面，
，
，
，
，
，F 为BC 的中点．
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(1)求证：平面ADF
平面BCE；
(2)求点E 到平面ABC 的距离．
【答案】(1)证明见解析.
(2)
.
【分析】（1）利用线面垂直与面面垂直的判定与性质定理即可得证；
（2）在四边形
内，由
、
，可得
互补，则由余弦定
理解得
，进而求出点E 到平面ABC 的距离．
【详解】（1）
，
，
，
又
，F 为BC 的中点，
，
又
，
，
，
又
，
.
（2）
，
，
，
连接
，则
，解得
，
如图，在平面
内，过
作
，连接
，
则
，
，
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在四边形
中，易知
互补，
则
，
即
，
解得
，
，
，
即点E 到平面ABC 的距离为
.
10．（21-22 高二上·北京·期中）在如图所示的几何体中，四边形
为正方形，
，
平面
，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的大小；
(3)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连结
，设
，设
为
的中点，连结
，推导出四边
形
为平行四边形，从而
，由此能证明
平面
．
（2）以
为原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求
出直线
与平面
所成角的大小．
（3）利用向量法可求点
到平面
的距离
【详解】（1）连结
，设
，
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因为四边形
为正方形，所以
为
中点．设
为
的中点，连结
，
则
，且
．
由已知
，且
，
所以
，
．所以四边形
为平行四边形．
所以
，即
．
因为
平面DEF，
平面
，
所以
平面
．
（2）由已知
平面
，所以
，
，
因为四边形
为正方形，所以
，所以
两两垂直，
以
为原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系（如图），
因为
，
所以
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
由
，得
，取
，得
．
设直线
与平面
所成角为
，则
，
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因为
，所以
．
即直线
与平面
所成角为
．
（3）
，平面
的一个法向量为
，
则点
到平面
的距离
．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角大小的求法，考查点到面的距离的求法，
属中档题．
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