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专题05 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究单调性（含参）问题）
目录
①导函数有效部分为一次型............................................1
②导函数有效部分为类一次型..........................................3
③导函数有效部分为可因式分解的二次型................................4
角度1：最高项系数含参............................................4
角度2：最高项系数不含参..........................................8
④导函数有效部分为可因式分解的类二次型.............................12
⑤导函数有效部分为不可因式分解的二次型.............................14
①导函数有效部分为一次型
1．（2023 春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）解：函数
的定义域为
，则
.
当
时，对任意的
，
，此时函数
的减区间为
，无增区间；
当
时，由
，可得
，由
，可得
.
此时，函数
的增区间为
，减区间为
.
综上所述，当
时，函数
的减区间为
，无增区间；
当
时，函数
的增区间为
，减区间为
.
1
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2．（2023 春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间：
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）
，
，又
，
所以所求切线方程为
；
（2）
时，
时，
，
是增函数，
时，
，
是减函数，
时，
时，
，
是减函数，
时，
，
是增函数，
所以当
时，增区间是
，减区间是
；
当
时，减区间是
，增区间是
；
3．（2023 春·吉林四平·高一四平市实验中学校考期中）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）
，
，
，
时，
，函数
在
上单调递增；
时，
，
时，
，函数
单调递增；
,
时，
，函数
单调递减．
综上可得：
时，函数
在
上单调递增；
时，
时，函数
单调递增；
,
时，函数
单调递减．
4．（2023 春·山东烟台·高二统考期末）已知函数
．
2
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(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）因为
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
当
时，
单调递减，
时，
单调递增；
综上，当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
②导函数有效部分为类一次型
1．（2023 秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知函数
R
.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）函数
的定义域为R,
，
当
时，由
，
在R 上单调递增，
当
时，令
，可得
，令
，可得
，
∴
单调递减区间为
，
单调递增区间为
，
∴当
时，
在R 上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
2．（2023 春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期末）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由
，得
，
①当
时，
，
在
上单调递减；
3
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②当
时，令
，得
，
当
时，
，
单调递增；
，
，
单调递减；
3．（2023 春·广西·高二校联考期中）已知
（e 为自然对数的底数）
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）
，
当
时，
，
在
上是减函数；
当
时，令
，得
，
在
上是减函数，在
上是增函数；
综上所述，当
时，
，
在
上是减函数；当
时，
递减区间为
，单调
递增区间为
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
.讨论函数
的单调性.
【答案】答案见解析
【详解】
，
.
当
时，
恒成立，则
在
单调递增.
当
时，令
，得
，
令
，得
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述：当
时，
单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上
单调递增.
5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
的最小值为
．求
的值；
【答案】
【详解】由题可知
,
令
，解得
；令
，解得
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
4
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所以
，解得
.
③导函数有效部分为可因式分解的二次型
角度1：最高项系数含参
1．（2023 春·青海西宁·高二统考期末）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
的极大值为
，无极小值．
(2)见解析
【详解】（1）当
时，
，
，
令
得
，
所以当
上
，
在
单调递增，
在
上
，
在
单调递减，
所以当
时，
，无极小值．
（2）
，
令
，
，
当
时，
，
在
上
，
，
单调递增，
在
上
，
，
单调递减，
当
时，令
得
或2，
若
，即
时，在
上
，
，
单调递增，
若
，即
时，在
上
，
，
单调递增，
5
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在
上
，
，
单调递减，
在
，
上
，
，
单调递增，
若
，即
时，在
上
，
，
单调递增，
在
，
上
，
，
单调递减，
在
上
，
，
单调递增，
当
时，令
得
或2，
在
上
，
，
单调递增，
在
上
，
，
单调递减，
综上所述：当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
,
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，在
,
上单调递减，在
上单调递增．
2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）
时，
，定义域为
，
，
，
所以切线方程为：
，
即
.
（2）∵
，定义域为
，
则
，
①当
时，
，
在
上单调递增；
6
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②当
时，当
时，
，
在
上单调递增
当
时，
，
在
上单调递减，
综上，
①当
时，
在
上单调递增，
②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
3．（2023 春·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考期末）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）定义域：
，
1°
时
，
令
，解得
；令
，解得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
2°
时
①当
时，即
时，
令
，解得
或
；令
，解得
；
所以
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增；
②当
时，即
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
③当
时，即
时，
令
，解得
或
；令
，解得
；
所以
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增．
7
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综上所述：
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增．
4．（2023 春·湖南·高二统考期末）已知函数
，其中
为小于0 的常数.
(1)试讨论
的单调性；
【答案】(1)
在
上单调递减.，
在
上单调递增；
【详解】（1）
.
因为
，所以
.于是
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递减.
5．（2023 春·陕西西安·高二长安一中校考阶段练习）已知函数
．
(1)试讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由题意知：
定义域为
，
；
①当
时，
恒成立，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时，
恒成立，
在
上单调递增；
③当
时，
，
8
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当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
④当
时，
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
角度2：最高项系数不含参
1．（2023 春·高二课时练习）已知函数
．若
，讨论函数
的
单调性.
【答案】答案见解析
【详解】由题意得：
定义域为
，
；
当
时，
恒成立，
在
上单调递增；
当
时，若
，则
；若
，则
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，则
；若
，则
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
9
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2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若
，讨论
的单
调性.
【答案】答案见解析
【详解】
，
，
，
且
，
①当
时，
，
或
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减；
②当
时，
，
或
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减；
③当
时，
，
时，
，
单调递减，
，
，
单调递增；
综上，当
时，
在
单调递减，在
单调递增；
当
时，
在
，
单调递增，在
单调递减；
当
时，
在
，
单调递增，在
单调递减.
3．（2023 春·重庆·高二校联考期中）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)讨论
的单调性．
【答案】(1)当
时，取得极大值3，当
时，取得极小值
(2)答案见解析
【详解】（1）当
时，
，
则
，
令
，得
或
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
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当
时，
，
单调递增，
所以当
时，取得极大值
，
当
时，取得极小值
，
（2）
，
令
，则
或
，
当
时，
，
，
，
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，
，
，
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，
，则
在
上单调递增；
综上所述，
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增．
4．（2023 春·湖北武汉·高二校联考期末）已知函数
，
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，讨论
的单调性.
【答案】(1)极小值为1，无极大值
(2)答案见解析
【详解】（1）当
，
，定义域为
，
则
.
由
可得，
.
当
时，有
，所以
在
上单调递减；
当
时，有
，所以
在
上单调递增.
所以，
的极小值为
，无极大值.
（2）由已知可得
定义域为
，
且
.
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由
可得，
或
.
①当
，即
时，
由
可得，
或
，所以
在
上单调递增，在
上单调递增；
由
可得，
，所以
在
上单调递减；
②当
，即
时，
，所以
在
上单调递增；
③当
，即
时，
由
可得，
或
，所以
在
上单调递增，在
上单调递增；
由
可得，
，所以
在
上单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数
，其中常数
，讨论
的单调
性.
【答案】答案见解析
【详解】
，由
知
，
当
时，
，故
在区间
是增函数；
当
时，
，故
在区间
是减函数；
当
时，
，故
在区间
是增函数．
综上，当
时，
在区间
和
是增函数，在区间
是减函数．
④导函数有效部分为可因式分解的类二次型
1．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）
的定义域为
，
12
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令
，得
或
，
当
时，
在
上恒成立，
单调递增，
当
时，在
上，
单调递增，
在
上，
单调递减， 在
上，
单调递增，
当
时，在
上，
单调递增，
在
上，
单调递减，在
上，
单调递增，
综上所述， 当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
2．（2023 春·安徽芜湖·高二统考期末）已知函数
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）
的定义域为
，
（i）若
，则
，由
得
.
当
时，
；当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增.
（ii）若
，则由
得
.
①当
时，则
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
所以
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减.
②当
时，则
，此时
，所以
在
单调递减.
③当
时，则
，
当
时，
；
当
时，
；
13
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当
时，
；
所以
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性并求极值；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由
，
则
，易知导函数中
恒成立，
①当
时，
恒成立，所以在
上有
，
所以
在
上单调递减；
在
上无极值，
②当
时，令
，令
，解得
，
所以在
上，
单调递减，在
上，
单调递增.
即
在
上的极小值为
，无极大值；
综上可知，当
时，
在
上单调递减，无极值；
当
时，
在
上递减，在
上递增，极小值为
，无极大值；
4．（2023 春·广东广州·高二统考期末）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由题意可知
的定义域为
，
，
当
时，
，
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增；
14
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当
时，令
解得
，
，
①当
，即
时，
恒成立，所以
在
上单调递增，
②当
，即
时，
当
时，
，
单调递减，当
或
时，
，
单调递增，
③当
，即
时，
当
时，
，
单调递减，当
或
时，
，
单调递增，
综上所述，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
⑤导函数有效部分为不可因式分解的二次型
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知
，函数
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）
的定义域是
，
，
当
时，
恒成立，
在
单调递增；
当
时，令
，则
，
显然成立，
解得：
，
，
当
时，
；当
时，
，
的增区间是
和
，减区间是
．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
，
．
15
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(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
，即
．
（2）因为
，定义域为
，
所以
当
，即
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增；
当
，即
或
时，
令
，则
，
，
若
，则
，
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增；
若
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
综上所述，
①当
时，
在
上单调递增；
②当
时，
的单调递增区间为（0，
）和（
，+∞），
单调递减区间为（
，
）．
3．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数
的单调性．
【答案】答案见解析
16
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【详解】函数
的定义域为
，
求导得
，
令
，得
，其中
.
当
时，
，故
在
上单调递增；
当
时，
，则
，故
在
上单调递增；
当
时，
，由
得
，
，
所以
或
时，
；
时，
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递
减．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
．讨论当
时，
单调性．
【答案】答案见解析
【详解】由题意可知
对于二次函数
．
当
时，
恒成立，
在
上单调递减；
当
时，二次函数
有2 个大于零的零点，分别是
，
当
时
，
在
单调递增；
当
时
，
在
和
单调递
减
综上：当
时
在（0，＋∞）单调递减
当
时
在
单调递增；在
和
上单
调递减．
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