文档文本内容
专题 02 不等式
【考点1 不等式的性质】
【考点2 大小比较】
【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】
【考点4利用基本不等式求参数】
【考点5 一元二次不等式求解】
【考点6 根据一元二次不等式解求参数】
【考点7 不等式恒成立问题】
【考点8 基本不等式的其他应用】
【考点9 不等式与线性规划综合】
知识点1不等式的性质
（1）对称性：a>b⇔b<a．
（2）传递性：a>b，b>c⇒a>c．
（3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc．
（5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
知识点2两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．知识点3 基本不等式
（1）基本不等式：≤．
（2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
（3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
（4）其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
知识点4 几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）＋≥2(a，b同号)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）≥ (a，b∈R)．
知识点5 三个“二次”的关系
判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
有两个不相等的实 有两个相等的实数
方程的根 没有实数根
数根x ，x (x <x ) 根x ＝x ＝－
1 2 1 2 1 2
不等式的解集 {x|x<x ，或x>x } {x|x≠－} R
1 2
知识点6 分式不等式与绝对值不等式
（1）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
（2）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
（3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)．
【考点1 不等式的性质】
方法技巧：判断不等式的常用方法．
（1）利用不等式的性质逐个验证．
（2）利用特殊值法排除错误选项．
（3）作差法．
（4）构造函数，利用函数的单调性．
【典例1】（2024•淮北模拟）已知a，b R，下列命题正确的是（ ）
A．若ab＝1，则a+b≥2 ∈
B．若 ，则a＞b
C．若a＞b，则ln（a﹣b）＞0
D．若a＞b＞0，则
【答案】D
【解答】解：当a＜0，b＜0时，A显然错误；
当a＝﹣1，b＝1时，B显然错误；
当a＝2，b＝1时，C显然错误；
若a＞b＞0，则 ＞ ，
所以a+ ＞b+ ，D正确．
故选：D．
【典例2】（2024•郫都区校级模拟）已知非零实数a，b满足a＞|b|+1，则下列不等关系不
一定成立的是（ ）
A．a2＞b2+1 B．2a＞2b+1 C．a2＞4b D． ＞b+1
【答案】D
【解答】解：非零实数a，b满足a＞|b|+1 a2＞b2+2|b|+1＞b2+1，A一定成立；
a＞|b|+1≥b+1 2a＞2b+1，B一定成立； ⇔
又b2+1≥2|b|，⇒故a2＞4|b|≥4b，C一定成立；
令a＝5，b＝3，即可推得D不一定成立．
故选：D．
【典例3】（2024•固始县校级三模）若a，b R，且a＞b，则（ ）
∈A． B．a2b＞ab2
C．a2＞ab＞b2 D．
【答案】D
【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A，B显然错误；
当a＜0，b＜0时，C显然错误；
由a＞b可得2a＞a+b＞2b，
即a＞ ＞b，D正确．
故选：D．
【典例4】（2024•东城区一模）已知a，b R，ab≠0，且a＜b，则（ ）
∈
A． B．ab＜b2 C．a3＜b3 D．lg|a|＜lg|b|
【答案】C
【解答】解：A项，当a＝﹣1，b＝1时，不等式不成立，错误；
B项，当b＝1，a＝1，则ab﹣b2＝1﹣1＝0，则ab＝b2，错误；
C项，a＜b，则a3＜b3，正确；
D项，当a＝﹣10，b＝10时，lg|a|＝lg|b|＝lg10＝1，错误．
故选：C．
【典例5】（多选）（2024•合肥模拟）已知实数a，b满足0＜a＜b＜1，则（ ）
A．
B．a+b＞ab
C．ab＜ba
D．
【答案】BCD
【解答】解：因为0＜a＜b＜1，
所以a﹣b＜0，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0，
对于 ，故A错误；对于B，a+b﹣ab＝a+b（1﹣a）＞0，则a+b＞ab，故B正确；
对于C，令 ，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
因为0＜a＜b＜1，则f（a）＜f（b），得 ，即blna＜alnb，
所以lnab＜lnba，
因为y＝lnt在t＞0时单调递增，所以ab＜ba，故C正确；
对于D，因为函数g（x）＝2x﹣ 在R上单调递增，
因为0＜a＜b＜1，
所以g（a）＜g（b），即 ，
所以 ，故D正确．
故选：BCD．
【考点2 大小比较】sin2
【典例1】（2024•李沧区校级模拟）设a= ，b＝log sin2，c＝2sin2，则下列关系正确的
2 2
是（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【答案】B
【解答】解：∵0＜sin2＜1，
sin2 1 1
∴0＜ ＜ ，∴0＜a＜ ；
2 2 2
∵log sin2＜log 1＝0，∴b＜0；
2 2
∵2sin2＞20＝1，∴c＞1，
∴c＞a＞b．
故选：B．
【典例2】（2024•青羊区校级模拟）若lna＝﹣1，eb=❑√2，3c＝ln3，则a，b，c的大小关
系为（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c
【答案】A
1 lne ln2 ln4 ln3
【解答】解：a= = ，b= = ，c= ，
e e 2 4 3
lnx 1−lnx
设f(x)= ，f '(x)= ，则x≥e时，f′（x）≤0，
x x2
∴f（x）在[e，+∞）上单调递减，
lne ln3 ln4
∴f（e）＞f（3）＞f（4），即 ＞ ＞ ，
e 3 4∴a＞c＞b．
故选：A．
1
【 典 例 3 】 （ 2024• 博 爱 县 校 级 三 模 ） 函 数 f(x)= ， 记
x2 +1
1 1
a=f(− )，b=f(3−0.5 )，c=f(log )，则（ ）
2 52
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】B
1
【解答】解：因为f(x)= ，可得f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上为减函数，
x2 +1
1 1 1
则c＝f（log ）＝f（﹣log 2）＝f（log 2），a＝f（− ）＝f（ ），
52 5 5 2 2
1
又由0＜log 2＜log ❑√5= ；
5 5 2
1 1
3﹣0.5= ＞ ，
❑√3 2
故有b＜a＜c．
故选：B．
b=log 7
【典例4】（2024•李沧区校级模拟）设a＝log 3， 1 ，c＝30.7，则a，b，c的大小
7
3
关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】D
【解答】解：0＝log 1＜a＝log 3＜log 7＝1，
7 7 7
b=log 7＜log 1=
1 1 0，
3 3
c＝30.7＞30＝1，
∴b＜a＜c．
故选：D．
【典例5】（多选）（2024•柳州三模）若a＞b，则（ ）
A．a3﹣b3＞0 B．ln（a﹣b）＞0 C．ea﹣b＞1 D．|a|﹣|b|＞0
【答案】AC
【解答】解：由于函数y＝x3是R上的增函数，所以当a＞b时，a3＞b3，可得a3﹣b3＞0成立，故A项正确；
当a＝b+1时，ln（a﹣b）＝ln1＝0，所以ln（a﹣b）＞0不成立，故B项不正确；
因为a＞b即a﹣b＞0，且函数y＝ex是R上的增函数，所以ea﹣b＞e0＝1，故C项正确；
当a＞b时，取a＝﹣1，b＝﹣2，此时|a|﹣|b|＝﹣1＜0，故D项不正确．
故选：AC．
【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】
技巧一:凑项
【典例1】（2024•林芝市一模）已知x＞1，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：因为x＞1，所以 ＝2（x﹣1）+ +2≥ +2＝
6，
当且仅当2（x﹣1）＝ ，即x＝2时等号成立，
所以 的最小值是6．
故选：C．
技巧二:凑系数
【典例1】（2024•成都三模）若正实数a，b满足a2+b2＝m，则a+b的最大值为（ ）
A． B． C． D．2m
【答案】A
【解答】解：若正实数a，b满足a2+b2＝m，
则a+b≤2× ＝ ，当且仅当a＝b＝ 时取等号．
故选：A．
技巧三: 分离
【典例 1】（2024•安徽三模）已知 x＞0，y＞0，且 2x+y＝1，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y＝1，
∴ ＝ ， 当 且 仅 当 ， 即
时取等号，
∴ 的最小值为： ．
故选：D．
【典例2】（2024•新余二模）已知x，y为正实数，且x+y＝2，则 的最小值为（
）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为x，y为正实数，且x+y＝2，
则 ＝ ＝ ＝ （ ）（x+y）
＝ （13+ + ） （13+2 ）＝ ，
当且仅当2x＝3y，即y＝ ，x＝ 时取等号．
故选：C．
【典例3】（2024•山东模拟）设正实数a，b满足a+2b＝1，则 的最小值为（
）
A． B．17 C． D．16【答案】C
【解答】解：正实数a，b满足a+2b＝1，
则 ＝ ＝
＝ + +8 +8＝8+4 ，当且仅当 ＝ 且 a+2b＝1，即 a＝
，b＝ 时取等号．
故选：C．
技巧四:换元
【典例 1】（2024•苏州模拟）已知 a，b R，a+b＝4，则 的最大值为
∈
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为a+b＝4，
令a＝2+t，b＝2﹣t，
则 ＝ + ＝ + ＝
，
令u＝5+t2，则u≥5，
上式可化为g（u）＝ ＝ ＝ ，当且仅当u＝
，即u＝4 时取等号．
故选：D．
技巧五:函数的单调性【典例1】（2024•一模拟）已知函数f（x）＝log （ ﹣x），若对任意的正数a，
2
b，满足f（a）+f（3b﹣1）＝0，则 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】C
【解答】解：f（x）＝log （ ﹣x），
2
因为 ﹣x＞ ﹣x≥x﹣x＝0，所以定义域为：R，
因为：f（x）＝log （ ﹣x），f（x）＝log （ ），所以：f（x）为减
2 2
函数
因为f（x）＝log （ ），：f（﹣x）＝log （ +x），所以：f（x）＝﹣
2 2
f（﹣x），f（x）为奇函数，
因为：f（a）＝f（3b﹣1）＝0，所以：f（a）＝f（1﹣3b），a＝1﹣3b，即a+3b＝1，
所以 + ＝（ + ）（a+3b）＝ + +6，
因为： + ≥2 ＝6，
所以 + ＝（ + ）（a+3b）＝ + +6≥12，（当且仅当a＝ ，b＝ 时，等号成
立），
故选：C．
【典例2】（2024•新县校级模拟）已知m，n R，且m+2n＝2，则m•2m+n•22n+1的最小值
为 4 ． ∈
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵2n＝2﹣m
∴f（m）＝m•2m+n•22n+1＝m•2m+（2﹣m）•22﹣m
令g（m）＝m•2m，h（m）＝（2﹣m）•22﹣m
当m≤0时，h（m）为增函数，且h（m）≥h（0）＝8g（m）＝﹣|m|•2﹣|m|由于从y＝x与y＝2x的图象易知，|m|≤2|m|，所以|m|•2﹣|m|≤1，
g（m）＝﹣|m|•2﹣|m|≥﹣1
f（m）＝g（m）+h（m）≥﹣1+8＝7
当m≥2时，由g（m）与h（m）关于x＝1对称，同上可得f（m）≥7
当 0＜m＜2时，g（0）＝h（2）＝0，g（2）＝h（0）＝8
g'（m）＝（mln2+1）2m＞0，h'（m）＝﹣[（2﹣m）ln2+1]22﹣m＜0 且 g'（m），
h'（m）均为单调递增
当 0＜m＜1 时，g'（m）＜g'（1）＝2（ln2+1），h'（m）＜h′（1）＝﹣2
（2ln2+1），
f′（m）＝g'（m）+h'（m）＜0单调递减
当1≤m＜2时，同理，可得f′（m）＝g'（m）+h'（m）≥g'（1）+h'（1）＝0单调递
增（当m＝1时等号成立）
所以当m＝1时，f（m）取最小值，
即当m＝1，n＝ 时，m•2m+n•22n+1的最小值为4
故答案为：4
技巧六:整体代换
【典例1】（2024•安徽模拟）已知m，n （0，+∞）， ，则 的最小值为（
） ∈
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解： m，n （0，+∞）， ，
∀ ∈
则 ，
当且仅当 且 ，即m＝1，n＝3时等号成立．
故选：B．
【典例2】（2024•江苏模拟）设x＞0，y＞0， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3【答案】C
【解答】解：因为x＞0，y＞0， ，
则 ＝ （x+ ）（ ）＝ （3+ ） （3+2 ），
当且仅当2xy＝ ，即xy＝ ，此时x＝ ，y＝2﹣ 时取等号．
故选：C．
【典例3】（2024•龙华区校级二模）已知x＞0，y＞0，且 ，则 的最小值为
16 ．
【答案】16．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且 ，
∴ ， 当 且 仅 当
时取等号，
∴ 的最小值为16．
故答案为：16．
技巧七：利用sin²a+cos²a=l转换式子
【典例1】（2024•昭通模拟） 的最小值为 9 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：令t＝sin2x，则 ＝ ，
＝（ ）[t+（1﹣t）]＝5+ ≥9，
当且仅当 时取等号，
故答案为：9．
技巧八:解决二元函数的最值问题【典例 1】（2024•凉山州模拟）已知正数 x，y 满足 x+2y＝1，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由x+2y＝1，可得 ＝ ＝ ＝ ，
因为x，y是正数，所以 ，当且仅当x＝ 时，等号成立．
因此 ＝ ，当x＝ ，y＝ 时，则 的最大值
为 ．
故选：C．
【典例2】（2024•松江区校级模拟）设实数x、y满足|x+y|＝1，则xy的最大值是 ．
【答案】
【解答】解：因为|x+y|＝1，所以x+y＝±1，
所以（x+y）2＝x2+y2+2xy≥2xy+2xy＝4xy，
即1≥4xy，当且仅当x＝y＝ 时，等号成立，
所以xy≤ ，
所以xy的最大值是 ．
故答案为： ．
【考点4利用基本不等式求参数】
【典例1】（2024•江西模拟）已知集合M＝{x|lnx＜0}，N＝{x|ex﹣a＞0}，若M N，则实
数a的取值范围为（ ） ⊆A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，e] D．（﹣∞，e）
【答案】A
【解答】解：由lnx＜0得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}，
因为M N，所以a＜ex对 x （0，1）恒成立，
所以a≤⊆1． ∀ ∈
故选：A．
【典例2】（2024•思明区校级模拟）已知 ，若2 A，则m的取值范围
是（ ） ∈
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【解答】解：因为 ，
若2 A，则 ，
∈
解得﹣ ．
故选：A．
【典例3】（2024•天河区二模）若实数m满足log （﹣m）＜m+1，则m的取值范围为（
2
）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，0）
【答案】D
【解答】解：当m＝﹣1时，log （﹣m）＝m+1，故A错误；
2
当m＞0时，对数函数无意义，故B错误；
当m＝﹣2时，log （﹣m）＞m+1，故C错误．
2
故选：D．
【典例4】（2024•昌乐县校级模拟）若正数a，b满足ab＝a+b+3，则a+b的取值范围是（
）
A．[6，+∞） B．[9，+∞） C．（0，6] D．（0，9）
【答案】A【解答】解：由题意知a，b为正数，且ab＝a+b+3，
所以 ，化简得（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，解得a+b≥6，
当且仅当a＝b＝3时取等号，所以a+b [6，+∞），故A正确．
故选：A． ∈
【考点5 一元二次不等式求解】
【典例1】（2024•河北模拟）已知集合 A＝{x N|x≤5}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则
A∩B＝（ ） ∈
A．{2} B．{0，1，3，4，5} C．{0，4，5} D．{4，5}
【答案】C
【解答】解：集合A＝{x N|x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，
集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝∈ {x|x＞3或x＜1}，
故A∩B＝{0，4，5}．
故选：C．
【典例2】（2024•原州区校级模拟）已知集合A＝{x Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x N|x＜3}，
则A∩B＝（ ） ∈ ∈
A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【答案】B
【解答】解：集合A＝{x Z|x2+2x﹣3≤0}＝{x Z|﹣3≤x≤1}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，
1}， ∈ ∈
B＝{x N|x＜3}＝{0，1，2}，
则A∩∈B＝{0，1}．
故选：B．
【典例3】（2024•东城区校级三模）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2+3x+2＞0}，则
（ ）
A．A B B．B A C．B A D． A B
U U
【答案⊆】D ⊆ ⊆∁ ∁ ⊆
【解答】解：B＝{x|x2+3x+2＞0}＝{x|x＞﹣1或x＜﹣2}，
全集U＝R，A＝{x|x＜1}，
则 A＝{x|x≥1}，
U
故∁U A B．
∁ ⊆故选：D．
【考点6 根据一元二次不等式解求参数】
【典例1】（2024•河池二模）已知A＝{x|x2﹣ax+1≤0}，若2 A，且3 A，则a的取值范
围是（ ） ∈ ∉
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为A＝{x|x2﹣ax+1≤0}，若2 A，且3 A，
∈ ∉
则 ，解得 ≤a＜ ，
所以a的取值范围是[ ， ）．
故选：A．
【典例2】（2024•永寿县校级模拟）已知集合 A＝{x Z|x2+x﹣2＜0}，B＝{x N|0≤log
2
（x+1）＜2}，则A∪B的真子集的个数为（ ） ∈ ∈
A．16 B．15 C．14 D．8
【答案】B
【解答】解：集合A＝{x Z|x2+x﹣2＜0}＝{x Z|﹣2＜x＜1}＝{﹣1，0}，
集合B＝{x N|0≤log
2
（x∈+1）＜2}＝{x N|1≤∈x+1＜4}＝{x N|0≤x＜3}＝{0，1，2}，
所以A∪B＝∈{﹣1，0，1，2}，它的真子∈集有24﹣1＝15（个∈）．
故选：B．
【典例3】（2024•济宁一模）设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|﹣a≤x≤a}，若A B，
则实数a的取值范围是 [ 3 ， + ∞） ． ⊆
【答案】[3，+∞）．
【解答】解：由题意得A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，A B，所以 ，则
a≥3，即a [3，+∞）． ⊆
故答案为：∈[3，+∞）．
【考点7 不等式恒成立问题】【典例1】（2023秋•滨州期末）已知不等式x2﹣ax+4≥0对于任意的x [1，3]恒成立，则
实数a的取值范围是（ ） ∈
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，5] D．[5，+∞）
【答案】A
【解答】解：若不等式x2﹣ax+4≥0对于任意的x [1，3]恒成立，
则x2+4≥ax对于任意的x [1，3]恒成立， ∈
∈
即x+ ≥a对于任意的x [1，3]恒成立，
∈
∵当x [1，3]时，x+ [4，5]
故a≤∈4 ∈
即实数a的取值范围是（﹣∞，4]
故选：A．
【典例2】（多选）（2024•广东模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝8，则下列不等式恒成立的是
（ ）
A． B． C．a2+b2≥32 D．
【答案】ACD
【解答】解：a+b＝8，
对于A， ＝4，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，故A正确；
对于B， a+b+a+b＝16，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，
故 ，故B错误；
对于C，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣2ab≥64﹣ ＝32，当且仅当a＝b＝4时，
等号成立，故C正确；对于D，a＞0，b＞0，a+b＝8，
则 ＝ ≥ ，当且仅当
，即a＝ ，b＝ 时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
【典例3】（多选）（2023秋•湖北期末）设x R，不等式ax2﹣2ax﹣3＜0恒成立的充分不
必要条件可以是（ ） ∈
A．﹣4＜a≤0 B．﹣2＜a＜0 C．﹣3＜a＜0 D．﹣4＜a＜1
【答案】BC
【解答】解：当a＝0时，不等式为﹣3＜0，满足题意；
a≠0时，则必有a＜0且Δ＝（﹣2a）2+4a×3＜0，
解得﹣3＜a＜0，
故a的取值范围为﹣3＜a≤0，
由题意知所选不等式ax2﹣2ax﹣3＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为
（﹣3，0]的真子集，
故选项B，C满足条件．
故选：BC．
【考点8 基本不等式的其他应用】
【典例1】（2024•梅县区校级一模）在△ABC中，E为AC上一点， ，P为BE上
任一点，若 ，则 的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ＝ + ，
∵P为BE上任一点，∴m+3n＝1．∴ ＝（m+3n） ＝3+3+ + ≥ ＝12，当且仅当m＝3n＝
时取等号．
故选：D．
【典例2】（2024•古蔺县校级模拟）在△ABC中，若C＝ ，则sinAsinB的最大值是
．
【答案】 ．
【解答】解：在△ABC中，C＝ ，则sinA＞0，sinB＞0，
由基本不等式得sinAsinB≤ ，
∵A+B＝ ，sinB＝cosA，
∴sinAsinB≤ ＝ ＝ ，等号当sinA＝sinB＝ 成立，
则sinAsinB的最大值是 ．
故答案为： ．
【考点9 不等式与线性规划综合】
【典例1】（2024•汉中模拟）若实数x，y满足约束条件 则z＝2x+3y的最
小值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】C
【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 ，则A（1，﹣1）．
化目标函数z＝2x+3y为y＝﹣ x z．
由图可知，当直线y＝﹣ x z过A时，直线在y轴上的截距最大小，z有最小值为
2×1+3×（﹣1）＝﹣1．
故选：C．
【典例2】（2024•大通县二模）若实数x，y满足约束条件 则z＝x+4y的最
大值为（ ）
A． B．6 C．13 D．15
【答案】C
【解答】解：实数x，y满足约束条件 ，
则表示的可行域如图阴影部分所示．当直线z＝x+4y经过点A时，z取得最大值，
由 ，解得x＝5，y＝2，
所以z ＝5+4×2＝13．
max
故选：C．
一．选择题
1．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{x|1＜x2＜9}， ，则A∩B
＝（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3）
C．（﹣3，﹣2）∪（2，3） D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
【答案】D
【解答】解：A＝{x|1＜x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3}，
，
所以A∩B＝（﹣2，﹣1）∪（1，2）．
故选：D．
2．（2024•大兴区校级模拟）若集合A＝{x N|2x＜4}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B
＝（ ） ∈
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1} D．{1}
【答案】C
【解答】解：集合A＝{x N|2x＜4}＝{0，1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{0，1}． ∈
故选：C．
3．（2024•香坊区校级模拟）已知集合 ，B＝{x|log x≥1}，则（ A）
2 U
∩B＝（ ） ∁
A．[2，3] B．（2，3）
C．（﹣∞．﹣1]∪（2，+∞） D．（2，+∞）
【答案】A
【解答】解：集合 ＝{x|x＞3或x＜﹣1}，
则 A＝{x|﹣1≤x≤3}，
U
B＝∁{x|log
2
x≥1}＝{x|x≥2}，
故（ A）∩B＝[2，3]．
U
故选∁：A．
4．（2024•袁州区校级三模）已知集合 M＝{x|lgx＞0}， ，则
M∩N＝（ ）
A．（1，2] B．（4，+∞）
C．（1，2）∪[4，+∞） D．（1，2]∪[4，+∞）
【答案】D
【解答】解：M＝{x|lgx＞0}＝{x|x＞1}， 或x≤2}，
所以M∩N＝{x|x＞1}∩{x|x≥4或x≤2}＝（1，2]∪[4，+∞）．
故选：D．
5．（2024•郊区校级三模）已知 ，（a＞0，b＞0），则下列结论不正确的是（
）
A． B． C．a2+b2≤6 D．ab≥3【答案】C
【解答】解：对于选项A，
＝ ， 当 且 仅 当 且 即
时，等号成立，
所以 ， ，故A正确；
对于选项B，因为 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 ，解得 ，故B正确；
对于选项C，因为 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 ，故C错误；
对于选项D，因为 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 ，故D正确．故选：C．
6．（2024•思明区校级模拟）已知集合 ，则（
）
A．A B B．B A C．A∩B＝ D．A∪B＝R
【答案⊆】A ⊆ ∅
【解答】解：由 ，得 ，则 ，
所以A B，A正确，B错误；
⊆
A∩B＝{x|0＜x＜3}，A∪B＝{x|0＜x＜ }，C，D错误．
故选：A．
7．（2024•江苏模拟）若集合A＝{x|log x＞1}，B＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
2
A．（1，3] B．（2，3] C．（1，6] D．（2，6]
【答案】D
【解答】解：集合A＝{x|log x＞1}＝{x|x＞2}，
2
B＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}，
故A∩B＝{x|2≤x≤6}．
故选：D．
8．（2024•临汾模拟）若0＜x＜1，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】D
【解答】解：因为0＜x＜1，所以1﹣x＞0，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，取得最小值 ．
故选：D．
9．（2024•雨城区校级模拟）已知 x＞0，y＞0，且 ，则 的最小值为（
）
A．9 B．10 C．12 D．13【答案】D
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且 ，两边同时乘以x，可得 ＝x﹣3，
所以 ＝2x+y+x﹣3＝3x+y﹣3＝（3x+y）（ + ）﹣3＝9+1+ + ﹣3≥7+2
＝13，
当且仅当 ＝ ，即x＝y＝4时取等号，
所以 的最小值为13．
故选：D．
10．（2024•安徽模拟）已知全集U＝R，集合 ， ，
则M∩N等于（ ）
A．[﹣1，1） B．[0，1） C．（﹣3，0） D．（﹣3，﹣1）
【答案】B
【解答】解：由 ，即（x﹣1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜1，
所以M＝{x|﹣3＜x＜1}，
又 ，
所以M∩N＝{x|0≤x＜1}．
故选：B．
11．（2024•济南校级模拟）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则 的最小值为（
）
A．24 B．25 C． D．
【答案】B
【解答】解：因为x，y为正实数，且x+y＝1，
所以＝ ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为25．
故选：B．
12．（2024•玄武区校级二模）已知集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x N|2﹣x＞0}，则
A∩B＝（ ） ∈
A．{3，4} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}
【答案】B
【解答】解：由题意可得A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x N|x＜2}＝{0，1}，
则A∩B＝{0，1}． ∈
故选：B．
13．（2024•揭阳二模）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+1在（2，6）上不单调，则a的取值范
围为（ ）
A．（2，6） B．（﹣∞，2]∪[6，+∞）
C．（4，12） D．（﹣∞，4]∪[12，+∞）
【答案】C
【解答】解： ，则 ，
得4＜a＜12，即a的范围（4，12）．
故选：C．
14．（2024•商洛模拟）在不等式组 表示的平面区域内任取一点P（x，y），
则满足y≥x﹣2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域，如图为△OAB及其内部，
其中O（0，0），A（6，0），B（3，3），
所以S△AOB ＝ ×6×3＝9．
设直线y＝x﹣2与直线y＝0，x+y﹣6＝0分别交于点C（2，0），D（4，2），
所以满足y≥x﹣2的平面区域为四边形OCDB及其内部，
所以S四边形OCDB ＝S△AOB ﹣S△CAD ＝9﹣ ×4×2＝5，
所以满足y≥x﹣2的概率为P＝ ．
故选：C．
15．（2024•4月份模拟）若函数f（x）＝|x2﹣（m﹣2）x+1|在 上单调，则实数
m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设g（x）＝x2﹣（m﹣2）x+1，则方程g（x）＝0的根的判别式Δ＝（m﹣
2）2﹣4＝m2﹣4m．
①当Δ≤0时，即0≤m≤4时，g（x）≥0恒成立，故f（x）＝g（x）＝x2﹣（m﹣2）
x+1，若f（x）在 上单调，则g（x）函数图象的对称轴 ，
即 或 ，解得0≤m≤1或3≤m≤4；
②当Δ＞0时，m＜0或m＞4，
（i）当m＜0时，g（x）＝0有两个不相等的实数根x 、x ，且它们都是负数，设x ＜
1 2 1
x ，
2
若f（x）在 上单调，则 ，即g（ ）＝ ，解
得 ；
（ii）当m＞4时，g（x）＝0有两个不相等的实数根x 、x ，且它们都是正数，设x ＜
1 2 1
x ，
2若f（x）在 上单调，则 ，即g（ ）＝ ，解得
．
综上所述， 或 ，即实数m的取值范围是 ．
故选：C．
16．（2024•高碑店市校级模拟）若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3
个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．5＜m≤6 B．5≤m≤6 C．6＜m≤7 D．6≤m≤7
【答案】C
【解答】解：关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0，
可化为（x﹣m）（x﹣3）＜0，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
故不等式的解集为{x|3＜x＜m}，且6＜m≤7；
故选：C．
17．（2024•西安模拟）已知x，y满足约束条件 ，则z＝﹣3x+6y的最大值
为（ ）
A．18 B．14 C．10 D．﹣30
【答案】B【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示：
平移目标函数z＝﹣3x+6y，知直线y＝ x+ z过点A时，z取得最大值，
由 ，解得（ ， ），
所以z的最大值为z ＝﹣3× +6× ＝14．
max
故选：B．
18．（2024•榆阳区校级模拟）已知实数x，y满足约束条件 ，则z＝2x+y﹣1的
最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得A（1，3）
由z＝2x+y﹣1，得y＝﹣2x+z+1，由图可知，当直线y＝﹣2x+z﹣1过A时，z有最大值
为2×1+3﹣1＝4．
故选：D．
二．填空题（共1小题）
19．（2024•河东区一模）若a＞0，b＞0，ab＝2，则 的最小值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：若a＞0，b＞0，ab＝2，
则 ＝ ＝ ＝2（b+ ） ＝4，
当且仅当b＝ ，即b＝1时取等号．
故答案为：4．
