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5-3 空间点、直线、
面
间的位置关系
平
之
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、
平面的位置关系的定义．
2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
5-3 空间点、直线、平面之间的位置关系......................................................................................................1
一、主干知识..................................................................................................................................................... 1
考点1：平面..............................................................................................................................................2
考点2：“三个”推论............................................................................................................................ 2
考点3：空间中直线与直线的位置关系............................................................................................2
考点4：空间中直线与平面的位置关系............................................................................................2
考点5：空间中平面与平面的位置关系............................................................................................2
考点6：等角定理.....................................................................................................................................2
考点7：异面直线所成的角...................................................................................................................2
二、分类题型..................................................................................................................................................... 4
题型一 基本事实应用.............................................................................................................................4
题型二 空间线面位置关系....................................................................................................................5
命题点1 空间位置关系的判断.................................................................................................5
命题点2 异面直线所成角...........................................................................................................5
题型三 空间几何体的切割(截面)问题............................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................7
1
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、
一
主干知识
考点1：
面
平
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
考点2：“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
考点3：空间中直线
直线的位置关系
与
考点4：空间中直线
面的位置关系
与平
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
考点5：空间中
面
面的位置关系
平
与平
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
考点6：
角定
等
理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
考点7：异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成
的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
(2)范围：
．
2
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、分
题
二
类
型
3
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题
型一基本事实应用
【例题精析1】
（2023·全国·高一专题练习）如图，在空间四边形ABCD 中，E，F 分别是AB，AD 的中点，
G，H 分别在BC，CD 上，且
．设EG 与FH 交于点P，求证：P，A，C 三点共线．
【例题精析2】
（2023 春·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台
中，E，F，G，H 分
别为棱
，
，AB，BC 的中点．
(1)证明E，F，G，H 四点共面；
(2)证明GE，FH，
相交于一点．
共面、共线、共点问题的证明
4
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(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【对点精练1】
如图所示，在空间四边形ABCD 中，E，F 分别为AB，AD 的中点，G，H 分别在BC，CD 上，
且
.求证：
(1)E､F､G､H 四点共面；
(2)EG 与HF 的交点在直线AC 上.
【对点精练2】
在四面体
中，
，
分别是
，
的中点，
，
分别是边
，
上的点，且
．求证：
(1)
，
，
，
四点共面；
(2)直线
，
，
相交于一点．
5
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题
型二空间线面位置关系
题点
命
1 空间位置关系的判断
【例题精析3】
下列推断中，错误的是( )
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C 不共线⇒α，β 重合
【对点精练3】
已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N 分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，
则下列说法正确的是( )
A．直线MN 与直线A1B 是异面直线 B．直线MN 与直线DD1相交
C．直线MN 与直线AC1是异面直线 D．直线MN 与直线A1C 平行
6
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题点
命
2 异面直线所成角
【例题精析4】
（2021·全国·统考高考真题）在正方体
中，P 为
的中点，则直线
与
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析5】
如图，正方体
中，E，F 分别是
，DB 的中点，则异面直线EF 与
所
成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析6】
（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱
中，
，
，则直线
与
所成角的余弦值等于（ ）
7
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A．
B．
C．
D．0
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助
正方体为模型．
(2)求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【对点精练4】
如图，在正方体
中，
是
的中点，则异面直线
和
所成角的大小
为 ．
【对点精练5】
（2023·高一单元测试）在正三棱柱
中，D 为棱AB 的中点，
与
交于点
E，若
，则CD 与
所成角的余弦值为 ．
8
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题
三
型
空间几何体的切割(截面)问题
【例题精析7】
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N 分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那
么正方体中过M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【解答】先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．
如图，设直线C1M，CD 相交于点P，直线C1N，CB 相交于点Q，连接PQ 交直线AD 于点E，交直线AB
于点F，则五边形C1MEFN 为所求截面图形．
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出
它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3 作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
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【对点精练6】
如图，正方体A1C 的棱长为1，点M 在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M 的平面α 与平面A1BC1
平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•河南模拟）如图，在正方体
中，
，
分别是棱
，
的中点，则过线
段
且垂直于平面
的截面图形为
A．等腰梯形
B．三角形
C．正方形
D．矩形
2．（2023•河南模拟）在正方体
中，
，
分别为
，
的中点，过
，
，
三点的平面截正方体
所得的截面形状为
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A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
3．（2023•洛阳模拟）已知正四棱锥
的底面边长为2，侧棱长为
，
的中点为
，过点
做与
垂直的平面
，则平面
截正四棱锥
所得的截面面积为
A．
B．
C．
D．
4．（2023•新乡三模）如图，在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，过
，
，
三点的截面把正方体
分成两部分，则该截面的周长为
A．
B．
C．
D．
5．（2023•新疆模拟）已知在直三棱柱
中，
，
分别为
，
的中点，
，
，
，
，如图所示，若过
、
、
三点的平面作该直三棱柱
的截面，
则所得截面面积为
11
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A．
B．
C．
D．
6．（2023•金凤区校级三模）如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
为长方形，
，
，
为
上一点，且
，则异面直线
与
所成的角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
7．（2023•柯桥区模拟）“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形
的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，
面
，
，底面
扇环所对的圆心角为
，
的长度是
长度的2 倍，
，则异面直线
与
所成角的正弦值
为
A．
B．
C．
D．
8．（2023•河南三模）已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
12
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为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
9．（2023•甘肃模拟）在直三棱柱
中，
，点
，
分别是
，
的中点，则直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
10．（2023•定远县校级一模）如图，在长方体
中，已知
，
，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
11．（2023•安康一模）在正方体
中，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的
余弦值为
A．
B．
C．
D．
12．（2023•台州二模）已知菱形
的边长为3，对角线
长为5，将
沿着对角线
翻折至△
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，使得线段
长为3，则异面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
13．（2023•新余二模）在长方体
中，
，
，点
、
分别是棱
、
的中点，
、
、
平面
，直线
平面
，则直线
与直线
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
14．（2023•陕西模拟）在正方体
中，
，
，
分别为
，
，
的中点，则异
面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
15．（2023•梅河口市校级一模）直三棱柱
如图所示，
，
，
，
为棱
的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为
，则异面直线
和
所成的角的余
弦值为
A．
B．
C．
D．
14
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16．（2023•贵州模拟）如图，圆柱的底面直径
与母线
相等，
是弧
的中点，则
与
所成
的角为
A．
B．
C．
D．
17．（2023•河南模拟）在正三棱柱
中，
，
为
的中点，
为
的中点，则
异面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
18．（多选）（2023•合肥三模）下列命题正确的有
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面
，
，则存在直线
，
，使得
，
为异面直线
C．过平面
外一定点
，有且只有一个平面
与
平行
D．已知空间中有两个角
，
，若直线
直线
，直线
直线
，则
或
19．（2023•咸宁模拟）已知正方体的棱长为2，点为的中点，平面，平面过点，则平面截正方体所得截面
图形的面积为 ．
15
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16
