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5.4 数列的求和方法
1
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2
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考点一 公式法
【例1】（2023·惠州）已知正项等比数列
的前
项和为
，
，且
，
，
成等差数列.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设数列
满足
，求数列
的前
项和
【一隅三反】
1.（2024 嘉兴）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）令
，求数列
的前
项和
．
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2．（辽宁省2023-2024 学年高二下学期7 月期末考试数学试题）已知数列
满足
．
(1)证明
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)证明：
考点二 裂项相消法
【例2-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列
的前n 项和为
，且
也是等差数列．
(1)求数列
的公差；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
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【例2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知
为等比数列
的前
项和，若
成等差数列，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，且数列
的前
项和为
，求
的取值范围．
【例2-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列
（
）中，
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，数列的
前
项和为
，证明
.
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【例2-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列
满足
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设
，求
的前n 项和
.
【一隅三反】
1.（2023·河南）已知正项数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的值和数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
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2．（2022·重庆）数列
满足：
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，
为数列
的前n 项和，若
恒成立，求实数m 的取值范围．
3（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
且
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若
，求数列
的前
项和
.
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考法三 错位相减法
【例3-1】（2024·吉林·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求实数
的值和数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【例3-2】（2024·江西宜春·模拟预测）数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
．
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【一隅三反】
1．（2024 高三下·四川成都·专题练习）已知数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)已知
，求数列
的前
项和．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列
的前
项和为
,
且
.
(1)求
的通项公式；
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(2)若
,求数列
的前
项和
.
3．（2024·河南·三模）已知数列
的各项都为正数，且其前
项和
.
(1)证明：
是等差数列，并求
；
(2)如果
，求数列
的前
项和
.
考法四 分组转化法
【例4-1】（2024·浙江·模拟预测）已知数列
为公差不为零的等差数列，其前n 项和为
，
，且
，
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，
成等比数列．
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
是公比为3 的等比数列，且
，求
的前n 项和
．
【例4-2】（2024·山西·三模）已知等差数列
的公差
，前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【例4-3】（2024·全国·模拟预测）数列
满足
，
，且
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．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【一隅三反】
1．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列
的各项均为正数，前n 项和为
，且满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前2n 项和
.
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2．（2024·全国·二模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和为
.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列
中，
，且
成等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前
项和
.
考法五 倒序相加法
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【例5-1】（2024·上海·模拟预测）已知
，数列
的前
项和为
，点
均在函
数
的图象上.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前2024 项和
.
【一隅三反】
1．（23-24 高二下·四川成都·阶段练习）已知数列
满足：
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
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2．（23-24 湖南益阳·阶段练习）已知数列
满足
，数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
(3)求数列
的前99 项的和
的值．
3．（23-24 福建龙岩·期末）已知函数
满足
，数列
满足：
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
满足
，其前
项和为
，若
对任意
恒成立，求实数
的取值范
围.
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考法六 插项数列
【例6】（2024·河南·一模）在等差数列
中，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若记
为
中落在区间
内项的个数，求
的前k 项和
.
【一隅三反】
1.（2024·广西·模拟预测）记数列
的前n 项和为
，对任意正整数n，有
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)对所有正整数m，若
，则在
和
两项中插入
，由此得到一个新数列
，求
的前91
项和．
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2．（23-24 ·江苏南京·期末）已知数列
，其中数列
是等差数列，且满足
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
；
(3)设数列
的前
项和为
，记集合
且
，求集合
中所有元素的和．
一．单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，数列
的首项为1，且满足
．若
，则数列
的前2023 项和为（ ）
A．0
B．1
C．675
D．2023
2．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1 堆只有1 层，且
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只有1 个球；第2 堆有2 层4 个球，其中第1 层有1 个球，第2 层有3 个球；…；第n 堆有n 层共
个球，第1
层有1 个球，第2 层有3 个球，第3 层有6 个球，…．已知
，则
（ ）
A．2290
B．2540
C．2650
D．2870
3．（23-2 4 西晋城·阶段练习）已知数列
满足，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列
满足
，则数列
的前5
项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
5．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数
的虚部是（ ）
A．1012
B．1011
C．
D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列
满足
，数列
的前
项和为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7（2024·全国·模拟预测）已知
是数列
的前
项和，
，
，不等式
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对任意的
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列
满足
，若数列
的前
项
和为
，不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二． 多选题
9．（2024·安徽淮北·二模）已知数列
的前
项和分别为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
的前10 项和为
D．
的前10 项和为
10．（2024·江西·三模）已知数列
满足
，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．数列
是等差数列
C．数列
的前
项和为
D．
能被3 整除
11（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．数列
的前n 项和为
D．数列
的前n 项和为
三．填空题
12．（2024·浙江·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，数列
的前
项和为
，
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且
，则满足
的正整数
的最小值为 .
13．（2024·辽宁大连·二模）在
中，三边
，
，所对应的角分别是
，
，
，已知
，
，成等比
数列.若
，数列
满足
前
项和为
，
.
14．（2024·山西临汾·三模）已知首项为1 的正项数列
，其前
项和
．用
表示不超过
的最大整数，则
．
四． 解答题
15．（2024·陕西咸阳·三模）数列
满足
，
.
(1)求数列
通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知公比大于1 的等比数列
满足：
，且
是
和
的
等差中项．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
．
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17．（2024·云南昆明·三模）正项数列
的前
项和为
，等比数列
的前
项和为
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
满足
，求数列
的前
项和
．
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18．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列
的前
项和为
，已知
是
与
的等
差中项.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
19．（2023 高三·全国·专题练习）已知
、
是函数
的图象上的任意两点，
点
在直线
上，且
．
(1)求
的值及
的值；
(2)已知
，当
时，
，设
，
数列
的前
项和，
若存在正整数，
，使得不等式
成立，求和
的值；
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