随机变量及其分布单元复习（基础卷1）
一．选择题（共8 小题，满分40 分，每小题5 分）
1.抛掷2 枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ = 4表示的随机试验结果是（ ）
A．2 枚都是4 点
B．1 枚是1 点，另1 枚是3 点
C．2 枚都是2 点
D．1 枚是1 点，另1 枚是3 点，或者2 枚都是2 点
【解题思路】由随机变量的意义可解.
【解答过程】A 表示的是随机试验中ξ =8的其中一个结果，
B，C 中表示的是随机试验中ξ = 4的部分结果，
而D 是代表随机试验中ξ = 4的所有试验结果.
故选：D.
2.下列式子成立的是（ ）
A．P( A |B)＝P(B| A)
B．0< P(B| A )<1
C．P( AB)＝P( A)· P(B| A )
D．P( A ∩B| A )＝P(B)
【解题思路】根据条件概率的定义及性质判断各选项的对错.
【解答过程】因为P( A |B)= P( AB)
P(B) , P(B| A)= P( AB)
P( A ) ，
所以当P( A)≠P(B)，P( A)≠0，P(B)≠0时，P( A |B)≠P(B| A)，A 错，
又由概率的性质可得0≤P(B| A )≤1，B 错，
由P(B| A)＝P( AB)
P( A ) 得P( AB)＝P(B| A )⋅P( A)，C 对，
P( A ∩B| A)= P( AB)
P( A) ，当A ,B不独立时，P( A ∩B| A )≠P(B)，D 错，
故选：C.
3.已知随机变量ξ ∼B(7,0.5)，则概率P(ξ =k )最大时，k的取值为（ ）
A．3
B．4
C．3或4
D．4或5
【解题思路】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的k．
【解答过程】依题意P(ξ =k )=C7
k(
1
2)
k
(
1
2)
7−k
=C7
k(
1
2)
7
,k =0,1,2,⋯,7，
由¿，
即¿，解得k =3或k = 4.
故选：C.
4.某校高三年级有500 人，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N (110,100)．估计该校高三年级本次考试学生数学成
绩在120 分以上的有（ ）
参考数据：若X ~ N (μ,σ
2)，则P( μ−σ < X ≤μ+σ )=0.6827 , P( μ−2σ < X ≤μ+2σ )=0.9545，
P( μ−3σ < X ≤μ+3σ )=0.9973．
A．75 人
B．77 人
C．79 人
D．81 人
【解题思路】X ∼N (110,100)，P( X >120)= 1−P(110−10≤X ≤110+10)
2
，由概率计算人数即可.
【解答过程】X ∼N (110,100)，μ=110，σ =10，
因为P(μ−σ < X ≤μ+σ )=0.6827，
所以P( X >120)= 1−P(110−10≤X ≤110+10)
2
= 1−0.6827
2
≈0.1586，
所以数学成绩在120分以上的人数约为500×0.1586≈79人.
故选：C．
5.某校有7 名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4 名，女生3 名．现随机选取2 名学生作“我爱数学”主题演讲．
假设事件A为“选取的两名学生性别相同”，事件B为“选取的两名学生为男生”，则P(B| A)=（ ）
A．1
4
B．3
4
C．1
3
D．2
3
【解题思路】根据条件概率公式计算即可.
【解答过程】由题意得，事件A包含的样本点数n( A)=C3
2+C4
2 =9，
事件A和B包含的样本点数n( AB)=C4
2 =6，
所以P(B| A)= n( AB)
n( A) = 6
9 = 2
3
.
故选：D.
6.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
a
2a−1
6
1
6
若η=2ξ −1，则D (η)=（ ）
A．8
9
B．17
9
C．16
9
D．25
9
【解题思路】由概率和为1 可确定a，即可确定D (ξ)，后由方差性质可得答案.
【解答过程】由a+2a−1
6 + 1
6 =1，得a= 1
3
，则E (ξ)=0× 1
3 +1× 1
2 +2× 1
6 = 5
6
，
D (ξ)= 1
3 ×(
5
6)
2
+ 1
2 ×(
1
6)
2
+ 1
6 ×(
7
6)
2
= 17
36
．因为η=2ξ −1，所以D (η)= 4 D (ξ)= 17
9
．
故选：B.
7.为了备战2023 斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1 分，负者得0 分，热身进行到
有一人比对方多2 分或打满6 局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为2
3
，赵心童在每局中获胜的概率为1
3
，且各
局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为ξ，则E (ξ)=（ ）
A．5
9
B．266
81
C．20
81
D．2
9
【解题思路】依题意得到ξ的可能取值，再求出对应的概率，从而求解期望即可.
【解答过程】由题意得，随机变量ξ的可能取值是2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为(
2
3)
2
+(
1
3)
2
= 5
9
，
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1 分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，
所以P(ξ =2)= 5
9
，P(ξ = 4)= 4
9 × 5
9 = 20
81
，P(ξ =6)=(
4
9)
2
= 16
81
，
所以期望为E(ξ)=2× 5
9 + 4× 20
81 +6× 16
81 = 266
81
．
故选：B．
8.在一个袋中装有质地大小一样的6 个黑球，4 个白球，现从中任取4 个小球，设取的4 个小球中白球的个数为X，则
下列结论正确的是（ ）
A．P( X =1)= 2
5
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．E (X )= 8
3
【解题思路】由题意知随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．
【解答过程】解：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B 错误，C 正确；
X的取值分别为0，1，2，3，4，则P( X =0)=C6
4
C10
4 = 1
14
，P( X =1)=C4
1 C6
3
C10
4
= 8
21
，
P( X =2)=C4
2 C6
2
C10
4
= 3
7
，P( X =3)=C4
3 C6
1
C10
4
= 4
35
，P( X = 4)=C4
4
C10
4 = 1
210
，
∴E( X )=0× 1
14 +1× 8
21 +2× 3
7 +3× 4
35 + 4× 1
210 = 8
5
，
故A，D 错误．
故选：C．
二：多项选择题：本题共4 小题，每小题满分5 分，共20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分．
9．已知
为随机事件，
，则下列结论正确的有（ ）
A．若
为互斥事件，则
B．若
为互斥事件，则
C．若
相互独立，则
D．若若
，则
【答案】ACD
【分析】
根据互斥事件性质可求得A 正确，B 错误，再由相互独立事件性质可得C 正确，利用对立事件及条件概率公式可得D
正确.
【详解】对于A，若
为互斥事件，则
，即可得A 正确；
对于B，由
可得
，
又
为互斥事件，则
，又
，即B 错误；
对于C，若
相互独立，则
,
所以
，即C 正确；
对于D，若
，所以
；
可得
，
所以
，即D 正确.
故选：ACD
10．在数字通信中，信号是由数字“ ”和“ ”组成的序列．现连续发射信号
次，每次发射信号“ ”的概率均为
．记发射信号“1”的次数为
，记
为奇数的概率为
，
为偶数的概率为
，则下列说法中正确的有（ ）
A．当
，
时，
B．
时，有
C．当
，
时，当且仅当
时概率最大
D．
时，
随着
的增大而增大
【答案】BCD
【分析】由题意知发射信号“ ”的次数为
和概率
符合二项分布
，然后对各项分别求解即可判断.
【详解】由题意得发射信号“ ”的次数为
和概率
符合二项分布
，
对于A：当
，
可取
，
所以
，
取
，此时
，故A 项错误；
对于B：当
时，即每次发射信号“ ”和发射信号“ ”的概率相等，所以
为奇数的概率和
为偶数的概率相
等，即
，故B 正确；
对于C：当
，
，此时
，
，
当
取得概率最大时，即
，即
，解得
，故C 项
正确；
对于D：由题知当
，发射信号“ ”的次数为
和概率
符合二项分布
，
由二项式的均值公式
，当概率
一定时，
越大则
的值越大，所以
能够出现奇数的概率
也增大，
故D 正确.
故选：BCD.
11．甲盒中装有3 个蓝球、2 个黄球，乙盒中装有2 个蓝球、3 个黄球，同时从甲、乙两盒中取出
个球交换，
分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】按
分别求出
的分布列及期望，即可逐项判断得解.
【详解】X 表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y 表示交换后乙盒子中的蓝球数，
当
时，
，
，
，
则
，
，AB 正确；
当
时，
，
，
，
，
，
因此
，
，C 正确，D
错误．
故选：ABC
12.冯老师教高二4 班和5 班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态
分布，其正态密度函数
的图象如图所示，其中
是正态分布的期望，
是正态分布的标准差，且
，
，
.关于这次数学考试成绩，下列结论错误
的是（ ）
A．4 班的平均分比5 班的平均分高
B．相对于5 班，4 班学生的数学成绩更分散
C．4 班108 分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．5 班112 分以上的人数与4 班108 分以上的人数大致相等
【答案】ABC
【分析】分别求得4 班的平均分和5 班的平均分判断选项A；观察两个班图象的胖瘦进而判断选项B；求得4 班108 分
以上的人数占比判断选项C；求得5 班112 分以上的人数并与4 班108 分以上的人数进行比较判断选项D.
【详解】选项A：4 班的平均分98 分，5 班的平均100 分，则4 班的平均分比5 班的平均分低，故A 错误；
选项B：5 班的图象比4 班的图象更“矮胖”，则相对于4 班，5 班学生的数学成绩更分散，故B 错误；
选项C：4 班
的最大值为
，则
，
则
，故C 错误；
选项D：5 班
的最大值为
，则
，
则
，
又4 班和5 班两个班的人数相等，则5 班112 分以上的人数与4 班108 分以上的人数大致相等，故D 正确.
故选：ABC.
三．填空题（共4 小题，满分20 分，每小题5 分）
13.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X =n)=
a
n(n+1)
(n=1,2,3,4)，其中a是常数，则P(
1
2 <n< 5
2)= 5
6
.
【解题思路】利用概率和为1可构造方程求得a的值，由P(
1
2 <n< 5
2)= P(X =1)+ P(X =2)可求得结果.
【解答过程】∵P(X =n)=
a
n(n+1)
(n=1,2,3,4)，∴a
2 + a
6 + a
12 + a
20 =1，解得：a= 5
4 ，
∴P(
1
2 <n< 5
2)= P(X =1)+ P(X =2)= 5
4 × 1
2 + 5
4 × 1
6 = 5
6
.
故答案为：5
6
.
14.某工厂生产一批零件（单位：cm），其尺寸X服从正态分布N (μ,σ
2)，且P(X ≤20)=0.2，P(X <26)=0.8，则
μ= 23 ．
【解题思路】求得P(X ≥26)= P(X ≤20)，再利用正态密度曲线的对称性可求得μ的值.
【解答过程】因为X服从正态分布N (μ,σ
2)，且P(X ≤20)=0.2，P(X <26)=0.8，
则P(X ≥26)=1−P(X <26)=1−0.8=0.2= P(X ≤20)，
所以，μ= 20+26
2
=23.
故答案为：23.
15.2021 年国庆长假期间，电影《长津湖》正式上映.某单位5 位同事小郭、小张、小陈、小李和小常相约一起去电影
院观看，他们各自手上持有的电影票的座位号恰好为8 排的5 个相邻的座位编号，若进入影院后，每人随机地选择这
5 个座位中的其中一个就座，设各人所坐的座位号与他持有的电影票座位号不同的人数为X，则E (X )=
4
.
【解题思路】由题知X的可能取值是0，2，3，4，5，计算其分布列，再利用期望公式即可得到答案.
【解答过程】由题意知X的可能取值是0，2，3，4，5，
P(X =0)= 1
A5
5 = 1
120
，P(X =2)=C5
2
A5
5 = 1
12
，P(X =3)= 2C5
3
A5
5
= 1
6
，P(X = 4)= 9C5
4
A5
5
= 3
8
，P(X =5)= 11C4
1
A5
5
= 11
30
，
所以E (X )=0× 1
120 +2× 1
12 +3× 1
6 + 4× 3
8 +5× 11
30 = 4.
故答案为：4.
16.口袋里装有2 红，2 白共4 个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事
件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出
的两球不同色”，则以下命题所有正确的序号是
②③
.
①A 与B 互斥 ②C 与D 互为对立事件
③A 与C 相互独立 ④P( D|B)= 1
3
【解题思路】列举出试验的基本事件，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件及条件概率依次判断即得.
【解答过程】依题意，按取球先后次序排列取球编号，得试验的样本空间
Ω={12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}，
事件A ={12,13,14,21,23,24}，事件B ={12,21,31,32,41,42}，
事件C ={12,21,34,43}，事件D ={13,14,23,24,31,41,32,42}，
显然事件A ,B有公共的基本事件12,21，即A ,B不互斥，①错误；
事件C , D不能同时发生，但必有一个发生，则C 与D 互为对立事件，②正确；
P( A)= 6
12 = 1
2 , P(C )= 4
12 = 1
3
，事件AC ={12,21}，P( AC )= 2
12 = 1
6 = P( A)P(C )，A 与C 相互独立，③正确；
P(B)= 6
12 = 1
2，事件BD ={31,41,32,42}，P(BD)= 4
12 = 1
3，P( D|B)= P(BD)
P(B) = 2
3，④错误，
所以命题中所有正确的序号是②③.
故答案为：②③.
四．解答题（共6 小题，满分70 分）
17.指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10 张已编好号码的卡片(1 号到10 号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5 个白球和5 个黑球，从中任取3 个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
【解题思路】根据离散型随机变量的定义，逐个判定，即可求解.
【解答过程】（1）解：只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量
的定义，所以随机变量是离散型随机变量．
（2）解：从10 个球中取3 个球，所得的结果有以下几种：3 个白球；2 个白球和1 个黑球；1 个白球和2 个黑球；3
个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，所以随机变量是离散型随机变量．
（3）解：林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量，所
以随机变量不是离散型随机变量．
（4）解：实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，所以随机变量不是离散型随机变量．
18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N (500,5
2)（单位：g）．
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485 g的概率约为多少？（保留四位有效数字）
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线
出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由（概率小于0.0001 为不可能事件）．
参考数据：若X ∼N (μ,σ
2)，则(|x−μ|<σ )≈0.6827，P(|X −μ|<2σ )≈0.9545，P(|X −μ|<3σ )≈0.9974．
【解题思路】（1）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N (500,5
2)(单位: g)，要求得正常情况下任意抽
取一包白糖质量小于485g 的概率，化为(μ−3σ , μ+3σ )的形式，然后求解即可；
（2）由（1）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质
量都小于485g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的.
【解答过程】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg，
由题意可知X ∼N (500,5
2).
由于485=500−3×5，
所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知：
P( X <485)= 1
2 [1−P(500−3×5≤X ≤500+3×5)]
≈1
2 ×0.0026=0.0013；
（2）检测员的判断是合理的.
原因：如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，
质量都小于485g 的概率约为：0.0013×0.0013=1.69×10
−6，
概率小于0.0001，为不可能事件，但这样的事件竟然发生了，
所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.
19.已知随机变量X 的分布列如表所示，且E( X )= 2
3
．
X
0
1
x
P
1
2
1
3
p
(1)求D( X )的值；
(2)若Y = X + 4，求D(Y )的值；
(3)若Z =2−3 X，求D(Z )的值．
【解题思路】（1）利用离散型随机变量的分布列的性质以及期望和方差的计算公式即可求解；
（2）利用方差的性质求解即可；
（3）利用方差的性质求解即可.
【解答过程】（1）由题意可知1
2 + 1
3 + p=1，解得p= 1
6
，
又∵E( X )=0× 1
2 +1× 1
3 + x× 1
6 = 2
3
，解得x =2．
∴D( X )=(0−2
3)
2
× 1
2 +(1−2
3)
2
× 1
3 +(2−2
3)
2
× 1
6 = 5
9
．
（2）∵Y = X + 4，
∴D(Y )= D( X )= 5
9
．
（3）∵Z =2−3 X，
∴D(Z )= D (2−3 X )=9 D( X )=9× 5
9 =5．
20.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有
8 % ,6 % ,4 %的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.
(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；
(2)若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.
【解题思路】（1）记事件D:选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E:此人来自甲市,记事件F :此人来自乙市,记
事件G:此人来自丙市，求出P(E),P(F),P(G),P(D| E),P(D| F),P(D|G),根据全概率公式可得答案；
（2）由条件概率公式可得答案.
【解答过程】（1）记事件D:选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E:此人来自甲市,记事件F :此人来自乙市,记
事件G:此人来自丙市，
Ω= E∪F ∪G,且E , F ,G彼此互斥,
由题意可得P(E)= 4
20 =0.2,P(F)= 6
20 =0.3,P(G)= 10
20 =0.5,
P(D| E)=0.08,P(D| F)=0.06,P(D|G)=0.04,
由全概率公式可得P(D)= P(E)⋅P(D| E)+ P(F)⋅P(D| F)+ P(G)⋅P(D|G)
=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04 =0.054，
所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054；
（2）由条件概率公式可得P(E| D)= P(DE)
P(D) = P(E) P(D| E)
P(D)
= 0.2×0.08
0.054
= 8
27
，
所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为8
27
.
21.某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有水产海鲜，水果，蔬菜，食品，日常用品等．
某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机访问了100 人，访问结果如下表所示．
使用人数
未使用人数
女性顾
客
40
20
男性顾
客
20
20
(1)从被访问的100 人中随机抽取2 名，求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率；
(2)用随机抽样的方法从该地区抽取10 名市民，这10 名市民中使用该软件的人数记为X，问k (k =0,1,2,⋯,10)为何
值时，P(X =k )的值最大？
【解题思路】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由二项分布的概率计算公式列出式子，然后即可得到其最大值.
【解答过程】（1）设事件A为“从被访问的100 人中随机抽取2 名，所抽取的都是女性顾客且使用该软件”，从被访
问的100 人中随机抽取2 名，共有C100
2 个基本事件，事件A共有C40
2 个基本事件，
则P( A)=C40
2
C100
2
= 26
165
．
（2）由题意，X服从二项分布，且使用该软件的概率为60
100 = 3
5
，
则X ∼B(10, 3
5)
．
所以P(X =k )=C10
k ×(
3
5)
k
×(
2
5)
10−k
(k =0,1,2,⋯,10)．
设t =
P(X =k )
P(X =k −1) =
C10
k ×(
3
5)
k
×(
2
5)
10−k
C10
k −1×(
3
5)
k −1
×(
2
5)
11−k = 3(11−k )
2k
(k =0,1,2,⋯,10)．
若t >1，则k <6.6, P(X =k )> P(X =k −1)；
若t <1，则k >6.6, P(X =k )< P(X =k −1)．
所以k =6时，P(X )最大．
22.在课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3 次，每投进一次得2 分，否则得0 分．已知甲每次投
进的概率为3
5
，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为4
5
，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次
投进的概率为3
4
，若前一次没有投进，则该次投进的概率为1
2
．
(1)求甲3 次投篮得4 分的概率；
(2)若乙3 次投篮得分为X，求X的分布列和数学期望．
【解题思路】（1）甲3 次投篮得4 分即2 次中1 次不中，根据每次中的概率即可求解；
（2）由题意得，X的所有可能取值为0,2,4,6,依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望.
【解答过程】（1）由题意得，甲3 次投篮得4 分即2 次中1 次不中，
其概率P =C3
2×(
3
5)
2
×(1−3
5)= 54
125
．
（2）由题意得，X的所有可能取值为0,2,4,6,
则P(X =0)= 1
5 × 1
2 × 1
2 = 1
20
，
P(X =2)= 4
5 × 1
4 × 1
2 + 1
5 × 1
2 × 1
4 + 1
5 × 1
2 × 1
2 = 7
40
，
P(X = 4)= 4
5 × 3
4 × 1
4 + 4
5 × 1
4 × 1
2 + 1
5 × 1
2 × 3
4 = 13
40
，
P(X =6)= 4
5 × 3
4 × 3
4 = 9
20 ,
∴X的分布列为
X
0
2
4
6
P
1
20
7
40
13
40
9
20
∴E (X )=0× 1
20 +2× 7
40 + 4× 13
40 +6× 9
20 = 87
20
.
