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2020-2021 学年人教版九年级上册第一次月考摸底卷01
时间90 分钟
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．若x=2 是关于x 的一元二次方程x2﹣mx+8=0 的一个解．则m 的值是（ ）
A．6
B．5
C．2
D．﹣6
【分析】先把x 的值代入方程即可得到一个关于m 的方程，解一元一方程即可．
【解析】把x=2 代入方程得：4﹣2m+8=0，
解得m=6．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．
2．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（ ）
A．（x+5）
2=16
B．（x+5）
2=1
C．（x+10）
2=91
D．（x+10）
2=109
【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．
【解析】方程x2+10x+9=0，
整理得：x2+10x=﹣9，
配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）
2=16，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．将一元二次方程3x2+1=6x 化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，﹣6
B．3，6
C．3，1
D．3x2，﹣6x
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，
bx 叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解析】一元二次方程3x2+1=6x 化为一般形式是3x2﹣6x+1=0，各项的系数分别是：3，﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号
的变化．
4．抛物线 y=﹣（x﹣1）
2﹣2 的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2）
D．（1，﹣2）
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解析】抛物线 y=﹣（x﹣1）
2﹣2 的顶点坐标是（1，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
5．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若
设主干长出x 个支干，则可列方程是（ ）
A．（1+x）
2=31
B．1+x+x2=31
C．（1+x）x=31
D．1+x+2x=31
【分析】由题意设主干长出x 个支干，每个支干又长出x 个小分支，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1
个分支，即可列方程．
【解析】设主干长出x 个支干，
根据题意列方程得：x2+x+1=31．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，
找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
6．某校去年对实验器材的投资为2 万元，预计今明两年的投资总额为8 万元，若设该校今明两年在实验器
材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（ ）
A．2（1+x）
2=8
B．2（1﹣x）
2=8
C．2+2（1+x）+2（1+x）
2=8
D．2（1+x）+2（1+x）
2=8
【分析】关键描述语是：“预计今明两年的投资总额为8 万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年
的投资总额=8，把相关数值代入即可．
【解析】设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率为x，由题意得：
2（1+x）+2（1+x）
2=8．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年
的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的．
7．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函数y=﹣x2﹣2x+b 的图象上，则y1、y2、y3的大
小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2
B．y3＜y1＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
【分析】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从
而可以解答本题．
【解析】∵y=﹣x2﹣2x+b，
∴函数y=﹣x2﹣2x+b 的对称轴为直线x=﹣1，开口向下，当x＜﹣1 时，y 随x 的增大而增大，当x＞﹣1
时，y 随x 的增大而减小，
∵﹣1﹣（﹣3）=2，﹣1﹣（﹣1）=0，2﹣（﹣1）=3，
∴y3＜y1＜y2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要
的条件．
8．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1．如
果要使彩条所占面积是图案面积的
，则竖彩条宽度为（ ）
A．1 cm
B．1.5 cm
C．2 cm
D．2.5 cm
【分析】可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的
，可列方程
求解．
【解析】设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则
（30﹣2x）（ 20﹣4x）=30×20×（1﹣
），
整理得：x2﹣20x+19=0，
解得：x1=1，x2=19（不合题意，舍去）．
答：竖彩条的宽度为1cm．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，设出横竖条的宽，以面积作为等量关系列方程求解．
9．如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于C 点，若∠OBC=45°，则下列各式成立的
是（ ）
A．b+c﹣1=0
B．b+c+1=0
C．b﹣c+1=0
D．b﹣c﹣1=0
【分析】根据∠OBC=45°，有OB=OC，可设点C，B 的坐标为（0，c），（c，0），把点B（c，0）代入
二次函数y=x2+bx+c，得c2+bc+c=0，从而求出关系式．
【解析】∵∠OBC=45°，
∴OB=OC，
∴点C，B 的坐标为（0，c），（c，0）；
把点B（c，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得c2+bc+c=0，
即c（c+b+1）=0，
∵c≠0，
∴b+c+1=0．
故选：B．
【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点．根据题意得到点C、B 的坐标是解题的关键．
10．二次函数y=﹣（x﹣1）
2+5，当m≤x≤n 且mn＜0 时，y 的最小值为2m，最大值为2n，则m+n 的值
为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【分析】条件m≤x≤n 和mn＜0 可得m＜0，n＞0
所以y 的最小值为2m 为负数，最大值为2n 为正数．
最大值为2n 分两种情况，
（1）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m 时求出．
（2）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n 求出，最小值只能由x=m 求出．
【解析】二次函数y=﹣（x﹣1）
2+5 的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n＜1 时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m﹣1）
2+5，
解得：m=﹣2．
当x=n 时y 取最大值，即2n=﹣（n﹣1）
2+5，
解得：n=2 或n=﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n 时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m﹣1）
2+5，
解得：m=﹣2．
当x=1 时y 取最大值，即2n=﹣（1﹣1）
2+5，
解得：n=
，
或x=n 时y 取最小值，x=1 时y 取最大值，
2m=﹣（n﹣1）
2+5，n=
，
∴m=
，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=﹣2+
=
．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题
的关键．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分）
11．一元二次方程x2﹣9=0 的解是
x 1=3
，
x 2= ﹣
3
．
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．
【解析】∵x2﹣9=0，
∴x2=9，
解得：x1=3，x2=﹣3．
故答案为：x1=3，x2=﹣3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
12．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36 场比赛，设一共有x 个球
队参赛，根据题意，所列方程为
x （
x ﹣
1 ）
=36
．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数为
，即可列方程．
【解析】设一共有x 个球队参赛，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得：
x（x﹣1）=36，
故答案为
x（x﹣1）=36．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关
系．
13．抛物线y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，则当y＞0 时，x 的取值范围是 ﹣
1 ＜
x ＜
3
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），然后写出抛物线在x 轴上
方所对应的自变量的范围即可．
【解析】抛物线的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），
所以当﹣1＜x＜3 时，y＞0．
故答案为﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交
点坐标问题转化解．关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
14．若二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是
k ≤
3 且
k ≠
2
．
【分析】根据二次函数图象与x 轴有交点可得出关于x 的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项
系数非零即可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解析】∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0 有解，
∴
，
解得：k≤3 且k≠2．
故答案为：k≤3 且k≠2．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0
结合二次项系数非零找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
15．抛物线y=
x2+mx+m+
经过定点的坐标是 （﹣
1 ，
1 ）
【分析】由y=
x2+（x+1）m+
，抛物线经过定点，可得x+1=0，由此即可解决问题；
【解析】∵y=
x2+（x+1）m+
，
∵抛物线经过定点，
∴x+1=0，
∴x=﹣1，y=1，
∴定点坐标为（﹣1，1），
故答案为（﹣1，1）
【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，定点问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思
考问题，属于中考常考题型．
16．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t﹣
5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4 秒共运动的路径长是
50
米．
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h 的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4 秒共运动的路
径长，本题得以解决．
【解析】∵h=30t﹣5t2=﹣5（t﹣3）
2+45（0≤t≤6），
∴当t=3 时，h 取得最大值，此时h=45，
∴小球从抛出后运动4 秒共运动的路径长是：45+[45﹣（30×4﹣5×42）]=50（米），
故答案为：50．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的总的路径的长．
三、解答题（共8 题，共72 分）
17．解方程：
（1）x2﹣6x+5=0
（2）x（x﹣4）+5（x﹣4）
=0
【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解析】（1）x2﹣6x+5=0，
（x﹣5）（x﹣1）=0，
x﹣5=0，x﹣1=0，
x1=5，x2=1；
（2）x（x﹣4）+5（x﹣4）=0，
（x﹣4）（x+5）=0，
x﹣4=0，x+5=0，
x1=4，x2=﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元
二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18．已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求a 的值；
（2）若点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P 的坐标．
【分析】（1）把点A（﹣2，﹣8）代入y=ax2求得a 即可；
（2）再把点P（m，﹣6）代入抛物线解析式中即可得出m 的值，从而得出点P 坐标．
【解析】（1）把点A（﹣2，﹣8）代入y=ax2，
得4a=﹣8，
∴a=﹣2；
（2）把点P（m，﹣6）代入y=﹣2x2中，
得﹣2m2=﹣6，
∴m=±
，
∴P（
，﹣6）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
19．已知函数y=﹣
（x+1）
2﹣2
（1）指出函数图象的开口方向是 向下 ，对称轴是 直线
x=
﹣
1
，顶点坐标为 （﹣
1 ，﹣
2 ）
（2）当x ＜﹣
1
时，y 随x 的增大而增大
（3）怎样移动抛物线y=﹣
x2就可以得到抛物线y=﹣
（x+1）
2﹣2
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以解答本题；
（2）根据二次函数的性质可以解答本题；
（3）根据平移的性质可以解答本题．
【解析】（1）∵函数y=﹣
（x+1）
2﹣2，
∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣2），
故答案为：向下，直线x=﹣1，（﹣1，﹣2）；
（2）∵函数y=﹣
（x+1）
2﹣2，
∴当x＜﹣1 时，y 随x 的增大而增大，
故答案为：x＜﹣1；
（3）将抛物线y=﹣
x2向左平移一个单位长度就可以得到抛物线y=﹣
（x+1）
2﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．已知关于x 的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0；
（1）求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足
，求m 的值．
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0 即可．
（2）因为
=
=﹣
，所以由根与系数的关系可得
=﹣
，解方程可得m 的值．
【解析】（1）证明：△=（4m+1）
2﹣4（2m﹣1）
=16m2+8m+1﹣8m+4=16m2+5＞0，
∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵
，即
=﹣
，
∴由根与系数的关系可得
=﹣
，
解得 m=﹣
，
经检验得出m=﹣
是原方程的根，
即m 的值为﹣
．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式△的符号的
关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．
21．（9 分）（1）抛物线y=ax2+c 经过点A （4，0）、点B （1，﹣3），求该抛物线的解析式．
（2）如图1，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出
的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管
应多长？
（3）如图2，点P（0，m2）（m＞0），在y 轴正半轴上，过点P 作平行于x 轴的直线，分别交抛物线
C1：y=
x2于点A、B，交抛物线C2：y=
x2于点C、D，求
的值．
【分析】（1）把点A （4，0）、点B （1，﹣3）代入y=ax2+c，解方程组即可得到结论；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）
2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x=0 时得的y 值即
为水管的长；
（3）把P 点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD 的值，就可以求出结论．
【解析】（1）把点A （4，0）、点B （1，﹣3）代入y=ax2+c 得，
，
解得：
，
∴该抛物线的解析式为：y=
x2﹣
；
（2）由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y=a（x﹣1）
2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a=﹣
．
将a 值代入得到抛物线的解析式为：
y=﹣
（x﹣1）
2+3（0≤x≤3），
令x=0，则y=
=2.25．
故水管长为2.25m；
（3）将点P 的纵坐标y=m2（m＞0）代入y=
x2得x=±2m，
∴A（﹣2m，m2），B（2m，m2），
∴AB=4m．
将y=m2（m＞0）代入：y=
x2得x=±3m，
∴C（﹣3m，m2），D（3m，m2），
∴CD=6m．
∴
=
=
．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析
式是解题关键．
22．（9 分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的
建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为
多少时，猪舍面积为80m2？
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm 可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩
形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【解析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm 可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意
得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5 时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8 时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的
运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
23．（10 分）某商品的进价为每件40 元，现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件．市场调查反映：
如果调查价格，每涨价1 元，每星期要少卖出10 件；每降价1 元，每星期可多卖出20 件．
（1）直接写出每周售出商品的利润y（单位：元）与每件降价x（单位：元）之间的函数关系式，直接写
出自变量x 的取值范围；
（2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250 元；
（3）直接写出使每周售出商品利润最大的商品的售价．
【分析】（1）根据涨价时，每涨价1 元，每星期要少卖出10 件，可列出销售量的代数式，根据总利润=单
件利润×销售量列出函数表达式即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售量列方程解答即可；
（3）根据降价和涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答．
【解析】（1）∵每降价1 元，每星期要多卖出20 件，
∴每星期实际可卖出（300+20x）件，
y=（60﹣40﹣x）（300+20x）
=﹣20x2+100x+6000；（0≤x≤20）；
（2）设涨价m 元时，每周售出商品的利润为2250 元，
由题意得，（60+m﹣40）（300﹣10m）=2250，
解得：m=25 或m=﹣15（不合题意，舍去）；
答：涨价25 元时，每周售出商品的利润为2250 元；
（3）∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣10（x﹣
）
2+6125．
∴在降价的情况下，售价为57.5 元每星期售出商品的最大利润是6125 元．
设涨价m 元时，每周售出商品的利润为W 元，
∴W=（60+m﹣40）（300﹣10m）=﹣10m2+100m+6000=﹣10（m﹣5）
2+6250，
∴在涨价的情况下，售价为65 元每星期售出商品的最大利润是62505 元．
综上所述：每周售出商品利润最大的商品的售价是65 元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式y=a（x
﹣h）
2+k，然后利用当a＜0，x=h 时，y 有最大值k；当a＞0，x=h 时，y 有最小值k 等性质解决实际问
题
24．（12 分）已知，点A（﹣3，
），点B（4，3）和抛物线y=
x2，将抛物线y=
x2沿着y 轴方向平移
经过点A（﹣3，
）画出平移后的抛物线如图所示
（1）平移后的抛物线是否经过点B（4，3）？说明你的理由
（2）在平移后的抛物线上且位于直线AB 下方的图象上是否存在点P，使S△PAB=7？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由
（3）在平移后的抛物线上有点M，过点M 作直线y=﹣2 的垂线，垂足为N，连OM、ON．当∠OMN=60°
时，求点M 坐标．
【分析】（1）直接利用二次函数平移的性质假设出解析式，进而将A 点代入求出m 的值进而得出答案；
（2）首先求出直线AB 的解析式，进而表示出△PAB 的面积，进而求出t 的值，即可得出答案；
（3）首先表示出ON，NM 的长，进而得出△OMN 为等边三角形，再利用M 点坐标得出t 的值，进而得
出答案．
【解析】（1）设平移后的抛物线的解析式为y=
x2﹣m，
将A（﹣3，
）代入y=
x2﹣m，得m=1
则y=
x2﹣1，
当x=4 时，y=3，
故平移后的抛物线经过点（4，3）；
（2）设直线AB 的解析式为：y=kx+b，
把点A（﹣3，
），点B（4，3）代入得：
，
解得：
，
故直线AB 的解析式为：y=
x+2，
设P（t，
t2﹣1）
如图1，过点P 作PQ∥y 轴交AB 于Q，
∴Q（t，
t+2）
∴S△PAB=
×[
t+2﹣（
t2﹣1）]×（4+3）=7，
解得：t=
，
故
（
）
2﹣1=
，
（
）
2﹣1=
，
则P（
，
）或（
，
）；
（3）如图2，设M（a，
a2﹣1）
则OM2=a2+（
a2﹣1）
2=（
a2﹣1）
2，MN2=（
a2﹣1+2）
2=（
a2+1）
2
∴OM=MN
∵∠OMN=60°
∴△OMN 为等边三角形，
则∠MOF=30°，当OF=a，则MF=
a，
可得M（a，
a），
故
a=
a2﹣1，
解得：a1=2
，a2=﹣
，
则
a=2 或﹣
∴M（2
，2）或（﹣
，﹣
）．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等边三角形的判定以及待定系数法解析式等知识，正确表示出
M
