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微专题13 利用导数证明不等式讲义
微专题教学内容
1. 基本方法
在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与
、
有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
（3）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
（4）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2. 常见类型
与
有关的常用不等式：
（1）
（
）； （2）
（
）．
与
有关的常用不等式：
（1）
（
）； （2）
（
）；
（3）
（
），
（
）；
（4）
（
），
（
）．
用
取代的位置，相应的可得到与
有关的常用不等式．
典例精讲
【典例1】
证明：当
时，
．
会一题通一类
1．证明：
在
上恒成立.
2．求证：
，
．
3．求证：
．
4．已知
，证明：
【典例2】
已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)求证：
．
会一题通一类
已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，证明：当
时，
.
【典例3】
已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
会一题通一类
已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求函数
的最小值；
(3)当
时，证明：
．
【典例4】
已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：若
，则
存在唯一的极小值
，且
.
会一题通一类
已知函数
，
．
(1)若
在
上单调递增，
，求实数
的值；
(2)证明：
．
【典例5】
已知函数
.
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围；
(3)证明：
，
.
会一题通一类
函数
，
.
(1)方程
有两解
，
，求证：
；
(2)证明：
.
学后测评
1．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在
上单调递减，求
的取值范围；
(3)若
，证明：
.
2．已知函数
，
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
；
(3)当
时，证明：
.
3．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
对任意
恒成立，求a 的取值范围；
(3)证明：
．
4．已知函数
.
(1)求
的图象在点
处的切线方程；
(2)求
的零点个数；
(3)证明：
.
5．已知函数
．
(1)当
时，证明：
有且仅有一个零点；
(2)若曲线
与
相切．
（ⅰ）求a；
（ⅱ）当
时，证明：
．
6．已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)证明：
.
7．函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
8．已知
，当
时，
.
(1)求
的值；
(2)证明：实数a 的取值范围为
；
(3)证明：当
时，
.
9．已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)设
，求证：
.
10．已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)当
时，设
，证明：
在
上存在唯一的极小值点
且
.
参考数据：
.
