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第 5 题 依“法”解决数列新定义 （解透一题）
【山东青岛2024-2025学年高三年级调研检测T11】
（多选题）设数列 和 的项数均为 ，称 为数列 和 的距离．记满
足 的所有数列 构成的集合为 ．已知数列 和 为 中的两个元素，
项数均为 ，则下列正确的有（ ）
A．数列 和数列 的距离为4
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，数列 和 的距离小于2017，则 的最大值为3456
本题数列题将“新”溶于命题之中.通过定义一个两数列的距离这一新概念来创设问题情境
考察数列知识.数列是高中数学的一个重要知识，也是高等数学如常微分方程组合数学的基
础，既是特殊的函数，也能构成各种各样的递推关系.属于高考数学中必考查的内容之一，
对于新定义问题，要求我们在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，
依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列题迁移到等差、等
比或递推数列的知识上来，从而解决问题.
本题给定一个新信息，数列 和 的距离，要求我们通过认真阅读理解、
观察分析，并与已有认知结构中的知识进行同化，探索获取有用的信息，从而创造性地解
决问题.对于选项A，直接套用定义约定验证即可;对于B选项，题目给出 一分式递推关系，
根据初始条件和递推公式，计算出前几项， 再通过这几个特殊项归纳出通项公式，.在选择题中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算.值得注意，需要关注选项对知识考察的暗
示. 从选项提示来看，需判 B 选项，要关注 的前 n 项的积，证明或反驳
时， 的取值与初始项无关.对于选项C，由于递推关系没有给出初
始项， 说明初始项可以任意，故可以思考反例排出；对于选项D 结合选项B归纳的结论
套用约定解决.
对于A，数列1，3，5，7和数列 的距离为 ，（提醒：
套用定义约定）A正确；
对于B，由 得， ， ，
， ，
因此数列 中的项周期性重复，且间隔4项重复一次，即 满足 ， ，
， ， ，
，可以判断B正确；
对于C，举反例，取 ，则 ，当 时，， ， 不
成立，故C错误；
对于D，由B分析知，若 ， ，则 ， ， ， ，， ， ， ， ，
，
，
故满足数列 和 的距离小于2017的 的最大值为3456，D正确．
所以，答案为ABD.
本题是一道数列相关的新定义试题，解题关键是掌握新定义的本质，借助新定义的数列的
特征，向已掌握的数列知识转化.解题的突破点是正确理解与运用新的概念、新的运算或新
的关系的意义，理解新符号，转化为熟悉的内容，利用相关知识进行.值得注意的是，对于
，我们可以深入研究”对于连续函数 ，若 ，则称 为
的不动点. 分式函数型 的通项公式的求解，构造函数
，并令 ， 求出 的不动点.若 有 2 个不动点，则用
两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除构造等比数列来求通项公式;
若 只有 1 个不动点，则用 两端减去该不动点，再取倒数，构造等
差数列求通项; 若 没有不动点，则在考题中， 往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和递推公式 求出前几项找规律即可. 本题就对这一性质进行
编制考察.
新定义型试题主要目的是考查考生在短时间内以最快速度理解、接受并运用新知识解决数
学问题能力，给出等和数列的概念，类题如下：
【典型例题】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一
个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．若数列 是等和数
列，且 ，公和为3，则这个数列的前n项和 的计算公式为 ．
【思路导引】根据等和数列定义可写出通项公式，分 为奇数偶数求和即可.
【详细解析】
由 ，公和为3知 ，
当n为偶数时， ，
当 ，n为奇数时， 为偶数， ，
代入检验知 时也成立，∴ .
【举一反三】
1．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那
么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列 是等积数列且
，前61项的和为113，则这个数列的公积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8形如 的分式型递推数列求解通项公式问题， 是高考数列试题中的难点. 故
而高考在考查此类问题时，通常先给出辅助数列 ，通过求辅助数列的通项，进而再
求 的通项. 显然这里的辅助数列是求解最终目标的通项的一座“桥”.
【典型例题】设 ，则数列 的通项公式
_____.
【思路导引】此题给出的递推公式 属于“ ”型，试题中给出了
“桥” ， 通过这座“桥”，可以进一步求出 的通项.
【详细解析】
由条件得 ，且 ，所以数列 是首项为4，
公比为2的等比数列，则 ．
【举一反三】
2．已知数列 中
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 中 ，证明：3．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那
么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列 是公积不为0的等积
数列，且 ，前7项的和为14.则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．公积为1 D．
4．设正整数 ，其中 ，记
．则（ ）
A． B．
C． D．
5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那
么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列 是等和数列，且
，公和为5，那么 的值为 ，且这个数列的前21项和 的值为
．
6．已知数列 的首项 ， ， .
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)是否存在互不相等的正整数 ， ， ，使 ， ， 成等差数列，且 ， ，
成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.7．若数列 和 的项数均为 ，则将数列 和 的距离定义为 .
(1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
(2)记A为满足递推关系 的所有数列 的集合，数列 和 为A中的两个
元素，且项数均为 .若 ， ，数列 和 的距离 ，求m的最
大值；
(3)记S是所有7项数列 （其中 ， 或1）的集合， ，且T中的任何
两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.
