第 3 讲 分类讨论思想在解析几何中的应用
在解答某些数学问题时。有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理
解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法。是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策
略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。分类讨论思想在数学问题具有明显的。
逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。
解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。
也是高考常考查的知识点。
【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用
1、直线方程的几种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含垂直于x轴的直线
0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含垂直于坐标轴的直线
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
2、圆与圆的位置关系
设圆O ：(x－a )2＋(y－b )2＝r(r ＞0)，
1 1 1 1
圆O ：(x－a )2＋(y－b )2＝r(r ＞0).
2 2 2 2
方法 代数法：两圆方程联立组成方程
几何法：圆心距d与r ，r 的关系
位置关系 1 2 组的解的情况
外离 d>r ＋r 无解
1 2
外切 d＝r ＋r 一组实数解
1 2
相交 |r －r |<d<r ＋r 两组不同的实数解
1 2 1 2
内切 d＝|r －r |(r ≠r ) 一组实数解
1 2 1 2
内含 0≤d<|r －r |(r ≠r ) 无解
1 2 1 2
3、 直线与圆的位置关系
三种位置关系：相交、相切、相离．
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ0 Δ0 Δ0
量化
几何观点 dr dr dr【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过 作圆 的切线，则其切线方程为
____________.
【答案】 或
【分析】
当过点 的直线斜率不存在时，方程是 ，通过验证圆心到直线的距离，得到 符合题意；当过
点 的直线斜率存在时，设直线方程为 ，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于
的方程，解之得 ，进而得到直线的方程，最后综合可得答案．
【详解】
圆 的圆心为 ，半径为1，
（1）当过点 的直线垂直于 轴时，
此时直线斜率不存在，方程是 ，
圆心 到直线的距离为 ，
直线 符合题意；
（2）当过点 的直线不垂直于 轴时，
设直线方程为 ，即 ．
直线是 的切线，
点 到直线的距离为 ，解之得 ，
此时直线方程为 ．
切线方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
【思维提升】涉及到直线的方程问题。若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特
别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。
【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过 , , 三点的圆与直线 的位置
关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．无法确定
【答案】A【分析】先根据圆上三点坐标求出圆的方程及圆心半径,再根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系,
得出圆与直线的位置关系.
【详解】解:由题知,圆过 , , 三点,
因为 ,
所以 ,即 ,
所以该圆是以 为直径的圆,可得圆心为 ,即 ,半径 ,
故圆的方程为 ,
因为直线方程为: ,
所以圆心到直线的距离 ,
当 时,有 ,所以圆与直线相交,
当 时,有 ,所以圆与直线相交,
综上:圆与直线的位置关系是相交.
故选：A.
【 变 式 1.2 】 （ 2022 年 重 庆 市 第 八 中 学 高 三 模 拟 试 卷 ） 若 直 线 与 直 线
平行，则 的值为（ ）
A. B. 3 C. 3或 D. 或6
【答案】B
【解析】
【详解】直线 ： 与直线 ： 平行，所以 ，解得： 或 ，
①当 时， ： ， ： ， ，符合题意；
②当 时， ： ， ： ，均为 ，此时 ， 重合，舍去，
故 ，
故选：B
【变式1.3】 （202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆 ： ，圆 ：
，下列直线中，与圆 ， 都相切的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】解： 、 ，
，
∴ 两圆相切，
的中点坐标为 ， ，
所以内公切线方程为 ，
整理得 ．
设外公切线方程为 ，
到外公切线的距离为 ，
解得 或 ，
∴ 外公切线方程为 或 ．
故选：ACD．
【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点 引圆 的切线，则切线的方程为
（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】C
【详解】若切线与 轴垂直，则切线方程为 ，此时圆心 到直线 的距离为 ，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为 ，即 ，由题意可得 ，解得 ，
此时，所求切线的方程为 .
综上所述，所求切线方程为 或 .
故选：C.
【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用
1、 椭圆的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，
1 2
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2、 双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点
1 2
叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
3、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，
直线l叫做抛物线的准线．
【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点 ， ，动点 满足条件
（ 为常数，且 ），则点 的轨迹是______.
【答案】线段 或椭圆
【分析】
利用基本不等式求得 ，然后分 和 两种情况讨论，结合椭圆的定义可得
出点 的轨迹.
【详解】，由基本不等式得 ，当且仅当 时，等号成立.
①若 ，则点 的轨迹为线段 ；
②若 ，则点 的轨迹为椭圆.
综上所述，点 的轨迹为线段 或椭圆.
故答案为：线段 或椭圆.
【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，
如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。在求圆锥曲线的方程式特别是椭圆、双曲线要判断
焦点在x轴，还是y轴。否则就要讨论。
【变式2.1】（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学期中联考）（多选题）在平面直角
坐标系中，有两个圆 ： 和 ： ，其中常数 满足 ，一个动圆
与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
【答案】BC
【分析】
根据圆与圆的位置关系确定 和 的关系，确定它的轨迹．
【详解】
由题意得，圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，所以 ，设动
圆 的半径为 ，已知两圆相离，动圆 可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切，①若均内切，
则 ， ，此时 ，
当 时，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支，
当 ，点 在线段 的垂直平分线上.
②若均外切，则 ， ，此时 ，
当 时，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的左支，
当 ，点 在线段 的垂直平分线上.
③若一个外切，一个内切，不妨设与圆 内切，与圆 外切，则， ， .
同理，当与圆 内切，与圆 外切时， .
此时点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.
故选：BC．
【变式2.2】（2022宁夏隆德高三期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为 ，焦距为 ，则椭圆的方
程（ ）
A． B．
C． 或 D．以上都不对
【答案】C
【分析】
求得 、 、 的值，由此可得出所求椭圆的方程.
【详解】
由题意可得 ，解得 ， ，
由于椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程为 或 .
故选：C
【变式2.3】（2022湖北师大附中期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为 ，焦距为 ，则椭圆的方
程（ ）
A． B．
C． 或 D．以上都不对
【答案】C
【解析】由题意可得 ，解得 ， ，
由于椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程为 或 .
故选：C.【应用三】分类讨论思想在圆锥曲线性质中的应用
1、 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
－a≤x≤a， －b≤x≤b，
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
A (0，－a)，A (0，
A (－a,0)，A (a,0)， 1 2
顶点
1 2 a)，
性质 B (0，－b)，B (0，b)
1 2 B (－b,0)，B (b,0)
1 2
轴 长轴A A 的长为2a，短轴B B 的长为2b
1 2 1 2
焦距 ＝2c
离心率 e＝， e∈(0,1)
a，b，c
c2＝a2－b2
的关系
2 、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
y＝±x
性 渐近线
质 y＝±x
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
线段AA叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段BB叫做双曲线的虚轴，它的长
实虚轴 1 2 1 2
＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
3 、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py(p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中 ＝ ＝ ＝ ＝
P(x 0 ，y 0 )) x 0 ＋ －x 0 ＋ y 0 ＋ －y 0 ＋
【例3.1】【2020年山东卷09】已知曲线C:mx2+n y2=1.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为❑√n
√ m
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±❑− x
n
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】
x2 y2
+ =1
对于A，若m>n>0，则mx2+n y2=1可化为 1 1 ，
m n
1 1
因为m>n>0，所以 < ，
m n
即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
1
对于B，若m=n>0，则mx2+n y2=1可化为x2+ y2= ，
n
❑√n
此时曲线C表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
n
x2 y2
+ =1
对于C，若mn<0，则mx2+n y2=1可化为 1 1 ，
m n此时曲线C表示双曲线，
√ m
由mx2+n y2=0可得y=±❑− x，故C正确；
n
1
对于D，若m=0,n>0，则mx2+n y2=1可化为y2= ，
n
❑√n
y=± ，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；
n
故选：ACD.
【思维提升】圆锥曲线的性质的考查关键要注意焦点在什么轴上，进而确定 a,b.c的值。不易明确的就要
进行分类讨论。
【变式3.1】（2022福建·莆田锦江中学高二期末）若椭圆 的焦距为2，则 （ ）
A．3 B．5 C．2 D．1
【答案】AB
【分析】
根据椭圆的性质计算，注意分类讨论．
【详解】
由题意 或 ，解得 或 ．
故选：AB．
【变式3.2】（2023·广东广州·高三月考）已知曲线C： ，则下列命题中为真命题的是
（ ）
A．若 ，则C是圆
B．若 ，且 ，则C是椭圆
C．若 ，则C是双曲线，且渐近线方程为
D．若 ，则C是椭圆，其离心率为
【答案】BC
【分析】
对于A：取特值 ，则 ，代入原方程可判断；对于B：由已知得 ，由椭圆的标准方程可判断；
对于C：由双曲线的标准方程和渐近线方程可判断；
对于D：由已知得 ，可判断曲线C是焦点在y轴上的椭圆，再由椭圆的离心率公式可判断.
【详解】
解：对于A：若 ，则 ，原方程为 ，此时曲线C不存在，故A不正确；
对于B：由已知得 ，又 ，且 ，所以 表示椭圆，故B正确；
对于C：若 ，则C是双曲线，但渐近线方程为 ，故C正确；
对于D：由已知得 ，又 ，所以 ，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，所以
， ，其离心率为 ，故D不正确，
故选：BC.
【变式3.3】 【江苏省苏州市八校联盟2023届高三下学期5月适应性检测（三模）】已知双曲线
x2 y2
C: − =1(a>0)，过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，已知|AB|=16，若这样的直线l有4
a2 12
条，则实数a的取值范围是 .
(3 )
【答案】 ,8
2
【详解】记c=❑√a2+12，若直线l与x轴重合，此时，|AB|=2a；
12 24
若直线l⊥x轴时，将x=c代入双曲线方程可得y=± ，此时|AB|= ，
a a
24 24 3
当2a=16时，则a=8，此时， =3；当 =16，可得a= ，则2a=3，
a a 2
所以，双曲线C的实轴长和通径长不可能同时为16；当直线l与x轴不重合时，记c=❑√a2+12，则点F (c,0)，
2
设直线l的方程为x=my+c，其中m≠0，设点A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
{
x=my+c
联立 x2 y2 可得(12m2−a2)y2+24mcy+144=0，
− =1
a2 12
a2
由题意可得12m2−a2≠0，可得m2≠
，
12
Δ=242m2c2−4×144(12m2−a2)=242(m2c2−12m2+a2)=242a2(m2+1)>0，
24mc 144
由韦达定理可得y + y =− ，y y = ，
1 2 12m2−a2 1 2 12m2−a2
所以，|AB|=❑√1+m2 ⋅❑√(y + y ) 2−4 y y =❑√1+m2 ⋅❑ √ ( − 24mc ) 2 − 4×144
1 2 1 2 12m2−a2 12m2−a2
24a(m2+1)
= =16，即3a(m2+1)=2|12m2−a2|，
|12m2−a2|
所以，关于m的方程3a(m2+1)=2|12m2−a2|由四个不等的实数解.
a2
当12m2−a2>0时，即当m2> 时，可得3a(m2+1)=2(12m2−a2)，
12
2a2+3a a2 a2+12
可得m2= > ，整理可得 <0，因为a>0，解得0<a<8；
24−3a 12 4(a−8)
a2
当12m2−a2<0时，即当m2< ，可得3a(m2+1)=2(a2−12m2)，
12
a2+3
{ >0
4(a+8)
2a2−3a a2 3
可得m2= < ，整理可得 2a2−3a ，可得a> .
24+3a 12 >0 2
24+3a
a>0
3
综上所述， <a<8.
2
(3 )
故答案为： ,8 .
2巩固练习
1、（2022·河北唐山·高二期末）若椭圆 的离心率为 ，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8
【答案】D
【分析】
分焦点在 轴或 轴两种情况，讨论椭圆的长轴长.
【详解】
当椭圆的焦点在 轴时， ， ，则 ，
离心率 ，则
，椭圆的长轴长 .
当椭圆的焦点在 轴时， ， ，则 ，
离心率 ，则 ，
此时椭圆的长轴长 .
综上可知，椭圆的长轴长为4或8.
故选：D
2、（2023·广东江门·统考一模）（多选题）已知曲线 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．若曲线 表示两条平行线，则
B．若曲线 表示双曲线，则
C．若 ，则曲线 表示椭圆
D．若 ，则曲线 表示焦点在 轴的椭圆
【答案】BD
【解析】对于A选项，若曲线 表示两条平行线，则有 或 ，且 .若 ，则 ，此时曲线 的方程为 ，可得 或 ，合乎题意，
若 ，则 ，此时曲线 的方程为 ，可得 或 ，合乎题意，
故A错；
对于B选项，若曲线 表示双曲线，则 ，
由于 且 ，则 ，可得 ，则 ，B对；
对于C选项，若曲线 表示椭圆，则 ，解得 且 ，C错；
对于D选项，若 ，则 ，则 ，
曲线 的方程可化为 ，
此时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，D对.
故选：BD.
3、（2021·广东茂名·高三月考）（多选题）已知曲线 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 与曲线 没有公共点
B．直线 与曲线 最多有三个公共点
C．当直线 与曲线 有且只有两个不同公共点 ， 时， 的取值范围为
D．当直线 与曲线 有公共点时，记公共点为 ．则 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】
由题设讨论 的符号得到曲线 的不同方程，结合所得方程对应曲线的性质，结合直线 、
并应用数形结合的方法，判断它们与曲线 的交点情况，并根据交点个数的不同求交点横坐标之
积或和的范围.【详解】
由题设得：曲线 为 ，
A：由 是 和 的渐近线，且 与 没有公共点，故正
确；
B：由A中的分析知： 与曲线 最多有两个公共点，故错误；
C：由图可知，若 与曲线 有两个公共点或一个公共点，
当 时， 与曲线 有两个公共点 ， ，
由对称性知， ， 关于直线 对称，则 ，
∴ ，
（1）当 时， ．
（2）当 时，由 ，则 ．
（3）当 时，直线 与曲线 只有一个公共点，不合题意．
（4）当 或 时，直线 与曲线 无公共点，
综上可知，C正确；D：由C的分析， 时 与曲线 有且只有两个不同公共点，则 ，
即 ．
当 时， 与曲线 只有一个公共点，此点为 ．此时 ．故正
确．
故选：ACD．
4、【2021年新高考2卷11】（多选题）已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:x2+ y2=r2，点A(a,b)，则下列
说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
r2
圆心C(0,0)到直线l的距离d=
，
❑√a2+b2
r2
若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2，所以d= =|r|
，
❑√a2+b2
则直线l与圆C相切，故A正确；
r2
若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2，所以d= >|r|
，
❑√a2+b2
则直线l与圆C相离，故B正确；
r2
若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2，所以d= <|r|
，
❑√a2+b2
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a,b)在直线l上，则a2+b2−r2=0即a2+b2=r2，
r2
所以d= =|r|
，直线l与圆C相切，故D正确.
❑√a2+b2
故选：ABD.5、（2022·山东日照·高三期末）（多选题）焦点为 的抛物线 与圆 交
于 两点，其中 点横坐标为 ，方程 的曲线记为 是圆 与 轴的交点，
是坐标原点，则下列正确的是（ ）
A．给定 ，对于任意 ，圆弧 所对的圆心角
B．对于给定的角 ，存在 ，使得圆弧 所对的圆心角
C．对于任意 ，该曲线有且仅有一个内接正
D．当 时，存在面积大于2022的内接正
【答案】BC
【分析】
由题设抛物线与圆的方程可得交点横坐标与圆半径的关系为 ，结合各项条件，应用特殊值法判
断AB的正误，由于随着圆半径的增大，直线 与 的交点从圆 上会变化，直到 时交点刚好
为抛物线 与圆 的交点上，此后 再增大 位置不变，即可判断CD的正误.
【详解】
解：对于A选项，联立抛物线与圆的方程，消去y得 ，即 ，而 且 ，∴ ，即 横坐标与半径 的关系，
∵抛物线与圆有两个交点，即 ，
∴当 时， ，故A选项错误；
对于B选项，∵由题意知： 关于x轴对称，则对于给定的角 ，存在 使得圆弧 所对的
圆心角 ，即只需存在 使 即可.
∴令 ，则 ，解得 或 ，
当 时， 在如下图阴影部分变化，有 ，
当 时，若 趋近于 时, 趋近于 ，故 在如下图阴影部分变化，有
∴ 或 时，有 ，即 ，
所以对于给定的角 ，存在 ，使得圆弧 所对的圆心角 ，故B正确；
对于C选项，由 ，于是 轴，直线： ，同理 ，∴ 与 分别都只有一个交点，即对于任意 ，该曲线有且仅有一个内接正△ ，故C正确；
对于D选项，当 时，如下图示，抛物线 与圆 只有一个交点且交点为原点，不符合题意，但此时
，
∴当 时， 与 的交点在圆 上， 会一直增大，如下图示，直到 ，即 与 、
重合分别为 、 ，此时 ，
∴ .
当 时， 与 的交点在抛物线 上， 的变化对 没有影响，如下图示， ，
∴D选项错误.
故选：BC6、（2022·福建泉州·高二期中）已知两直线 .若直线 与
不能构成三角形，则满足条件的实数 __________（写出一个即可）.
【答案】 或 或 (写出其中一个即可)
【详解】由题意可得，①当 时，不能构成三角形，此时： ，解得： ；
②当 时，不能构成三角形，此时： ，解得： ；
③当 过 与 的交点时，不能构成三角形，此时：
联立 与 ，得 ，解得 ，
所以 与 过点 ，将 代入 得： ，解得 ；
综上：当 或 或 时，不能构成三角形.
故答案为： 或 或 .(写出其中一个即可)
7、（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高二期中）过点 作圆 圆
的切线 ，则 的方程是___________.
【答案】
【详解】当直线 无斜率时，方程为 ： ，显然与圆不相切，
故直线 有斜率，设斜率为 ，则直线方程为： ，
由 是圆的切线，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，解得 ，
故直线方程为：
故答案为：
8、（2022·江苏·扬州大学附属中学东部分校高二期中）已知点 ，圆 ： ，则过
点 且与圆 相切的直线方程为___________.
【答案】 或
【详解】圆 的圆心坐标 ，半径 ,
当切线 的斜率不存在时， ，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；
当切线 的斜率存在时，设斜率为 ， ，即： ,
由圆心到切线的距离等于半径，得 ， ，解得 ，故切线的方程为，化简得 ，
故答案为： 或 .
9、（2023·云南玉溪·统考一模）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， ， 是
椭圆 与抛物线 的公共点， ， 关于 轴对称且 位于 轴右侧， ，则椭圆
的离心率的最大值为______．
【答案】
【分析】联立抛物线与椭圆方程，消元、解得 或 ，再分 和 两种情况讨论，当
时求出 、 的坐标，由 ，即可得到关于 的不等式，解得即可.
【详解】解：联立抛物线 与椭圆 的方程消去 整理得到 ，
解得 或 ．
① 时，代入 解得 ，已知点 位于 轴右侧，取交点 ，则 ，
此时 ，与 矛盾，不合题意．
② 时，代入 解得 ．已知点 ， 关于 轴对称且 位于 轴右侧，取交点
、 ，
已知 ，则 轴， ．
此时 ，即 ，两端同除以 可得： ，解得
．因为 ，所以 ，所以 ．
故答案为： .
