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第 06 讲 利用导数研究双变量问题
目录
第一部分：方法篇....................................................1
方法一：分离双参数，构造函数.....................................1
方法二：比值法换元...............................................5
方法三：变更主元法..............................................11
方法四：借助根与系数关系化双变量为单变量........................13
方法五：借助对数平均不等式解决双变量问题........................19
方法六：值域法解决双变量函数相等问题............................25
方法七：最值法解决双变量不等式问题..............................30
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第一部分：方法篇
方法一：分离双参数，构造函数
典型例题
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当 时，若 ，求证：
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 为常数，且 ．(1)当 时，若 在 ， 上的最大值为1，求实数 的值；
(2)若 ，且函数 有两个不相等的零点 ， ，证明： ．
精练核心考点
1．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知函数 有两个零
点．
(1)求a的取值范围；
(2)设 是 的两个零点，证明： ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）设方程 的两个根分别为 ， ，求证： .方法二：比值法换元
典型例题
例题1．（2023·四川遂宁·统考二模）已知函数 有两个极值点 、 .
(1)求 的取值范围；
(2)若 时，不等式 恒成立，求 的最小值.
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，当 时，证明： ．
精练核心考点
1．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知函数 ．(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有两个零点 ， ，证明： ．
2．（2023春·四川成都·高二校考期中）已知函数 ．
(1)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
(2)设 ，点 为曲线 上的两个不同点，若 ，且存在 ，使得
曲线 在点 处的切线与直线 平行，试证明 .
方法三：变更主元法
典型例题
例题1．（2023·上海浦东新·高一华师大二附中阶段练习）使不等式 恒成立的的取值范围是________.
例题2．（2023高一单元测试）对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范
围.
精练核心考点
1．（2023·上海·高一专题练习）对于 ，不等式 恒成立的 的取值范围是
_____________
2．（2023·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）设 ．
(1)求 在 上的最小值 ；
(2)当 时，若不等式 在 上有解，求x的取值范围．
方法四：借助根与系数关系化双变量为单变量
典型例题
例题1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取值范围．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ，
（1）求函数 的单调增区间；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．例题3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 （ 为自然对数的底数），其中 .
（1）在区间 上， 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
（2）若函数 的两个极值点为 ，证明： .
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 存在两个极值点 ， ，（ ），则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 在 和 时取极值，且
.
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的取值范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 和 ，记过点 的直线的斜率为 ，问：是否存在，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
方法五：借助对数平均不等式解决双变量问题
典型例题
例题1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数 ，且 在 内有两
个极值点 （ ）．
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： ．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时， ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，使得 ，求证： ．
精练核心考点
1．（多选）（河北省衡水市第二中学2023届高三上学期一模数学试题）直线 ： 与 的图象交
于 、 两点 ， 在A､B两点的切线交于 ， 的中点为 ，则（ ）
A． B．点 的横坐标大于1C． D． 的斜率大于0
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 为 的导函数.
(1)求 的单调区间；
(2)讨论 零点的个数；
(3)若 有两个极值点 且 ，证明： .
方法六：值域法解决双变量函数相等问题
典型例题
例题1．（2023春·四川宜宾·高二四川省高县中学校校考期中）已知函数 ，
，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知函数 ，
.若 ，则实数 ________；若对 ，总 使
成立，则实数 的取值范围为________.
例题3．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数 ， .
(1)若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围；
(2)若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.精练核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数 ，若存在 且 ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·广东揭阳·高一统考期末）已知 是定义在 上的奇函数，其中 、 ，且
.
(1)求 、 的值；
(2)判断 在 上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)设 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求 的取
值范围.
3．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数 ， ，若对任意
，总存在 ，使 成立，则实数m的取值范围为 _________
方法七：最值法解决双变量不等式问题
典型例题
例题1．（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知函数，若对于任意 ，存在 ，使得 ，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）（1）已知函数 ，
若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围；
（2）已知函数 ，集合 ，若任意的 ，总存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围．
例题3．（2023秋·海南海口·高一海口一中校考期末）已知函数 为定义在 上的偶函数，且当
时， .
(1)①作出函数 在 上的图象；
②若方程 恰有6个不相等的实根，求实数 的取值范围；
(2) 设 ，若 ， ，使得 成立，求实数 的最小
值.
精练核心考点
1．（2023秋·浙江·高一期末）已知函数 是偶函数，且 有且仅有两
个零点．(1)求实数a，b的值；
(2)设 ，若对任意 和 ，都有 成立，求实数t的取值范围．
2．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数
，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的范围为__________.
3．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）已知 ， ，若对 ，
，使得 ，则实数m的取值范围是______．
