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进阶4 解析几何中的定点问题
在解析几何中，有些含有参数的动直线或动曲线，不论参数如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐
标，这类问题称为“定点问题”.定点问题是高考中考查解析几何的热点问题，此类问题往往定中有动，动
中有定.
直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出相应的关系式，代入直线方
程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解，即可得到定点.
定点问题常见类型：①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；
⑤圆过定点.
题型一 直线过定点
例1 已知点P(4，3)为双曲线E：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)上一点，E 的左焦点F1到一条渐近线的距离为√3.
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)不过点P 的直线y=kx+t 与双曲线E 交于A，B 两点，若直线PA，PB 的斜率和为1，证明：直线
y=kx+t 过定点，并求该定点的坐标.
思维升华 解析几何中定点问题的解题策略
(1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为
①设直线方程为y=kx+m(或x=ny+t)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系；
②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m 或n，t 的关系，或者解出m，t 的值；
③将②的结果代入y=kx+m(或x=ny+t)，得到定点坐标.
(2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为
①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B 的坐标(含参数)；
②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)；
③证明A，B，P 三点共线，从而直线AB 过定点P.(其中一个方法)
跟踪训练1 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F1(-√3，0)，且C 经过点P(√3，1
2).
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设C 与y 轴正半轴交于点D，直线l：y=kx+m 与C 交于A，B 两点(l 不经过点D)，且AD⊥BD.证明：
直线l 经过定点，并求出该定点的坐标.
题型二 圆过定点问题
例2 已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的上、下顶点分别为B2，B1，左、右焦点分别为F1，F2，四边形
B1F1B2F2是面积为2 的正方形.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知圆O：x2+y2=2
3的切线l 与椭圆C 相交于D，E 两点，判断以DE 为直径的圆是否经过定点？如果
是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
思维升华 圆过定点问题的解题策略
(1)利用特殊情况寻找特殊点.
(2)引入参变量建立关于曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
跟踪训练2 (2025·湖北新高考协作体联考)已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y 轴上截得弦长为4，
动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)若过点Q(4，0)的直线l 与曲线C 交于点M，N，问：以线段MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，
求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
答案精析
例1 解 (1)设F1(-c，0)(c>0)到渐近线y=b
ax，
即bx-ay=0 的距离为√3，
则√3=|-bc|
√b
2+a
2 ，结合a2+b2=c2得b=√3，
又P(4，3)在双曲线x
2
a
2- y
2
3 =1 上，
所以16
a
2 -9
3=1，得a2=4，
所以双曲线E 的标准方程为x
2
4 - y
2
3 =1.
(2)联立{
y =kx +t ,
x
2
4 - y
2
3 =1,
消去y 并整理得(3-4k2)x2-8ktx-4t2-12=0，
则3-4k2≠0，Δ=64k2t2+4(3-4k2)(4t2+12)>0，
即t2+3>4k2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠4，x2≠4，
则x1+x2= 8kt
3- 4 k
2 ，x1x2=-4t
2+12
3- 4 k
2 ，
则kPA+kPB=
y1-3
x1- 4 +
y2-3
x2- 4
=k x1+t -3
x1- 4
+k x2+t -3
x2- 4
=(k x1+t -3)( x2- 4)+(k x2+t -3)( x1- 4)
( x1- 4)( x2- 4)
=2k x1 x2+(t - 4 k -3)( x1+ x2)-8t +24
x1 x2- 4( x1+ x2)+16
=1，
所以2kx1x2+(t-4k-3)(x1+x2)-8t+24=x1x2-4(x1+x2)+16，
所以(2k-1)x1x2+(t-4k+1)(x1+x2)-8t+8=0，
所以-(2k -1)(4t
2+12)
3- 4 k
2
+(t - 4 k +1)·8kt
3- 4 k
2
-8t+8=0，
整理得t2-6k+2kt-6t-8k2+9=0，
所以(t-3)2+2k(t-3)-8k2=0，
所以(t-3-2k)(t-3+4k)=0，
因为直线y=kx+t 不过点P(4，3)，
即3≠4k+t，t-3+4k≠0，
所以t-3-2k=0，即t=2k+3，
所以直线y=kx+t=kx+2k+3，
即y-3=k(x+2)，
所以该直线过定点，且定点为(-2，3).
跟踪训练1 解 (1)由题意，设椭圆C 的标准方程为x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)，焦距为2c，
则c=√3，椭圆的另一个焦点为F2(√3，0)，
由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=7
2+1
2=4，
则a=2，
所以b=√a
2-c
2=1，
所以椭圆C 的标准方程为x
2
4 +y2=1.
(2)由已知得D(0，1)，
由{
y =kx +m,
x
2
4 + y
2=1,
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0，即4k2>m2-1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-8km
1+ 4 k
2 ，x1x2=4 m
2- 4
1+ 4 k
2 ，
y1+y2=k(x1+x2)+2m= 2m
1+ 4 k
2 ，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=m
2- 4 k
2
1+ 4 k
2 ，
由AD⊥BD 得，⃗
DA·⃗DB=x1x2+(y1-1)(y2-1)=0，
即5m
2-2m-3
1+ 4 k
2
=0，
所以5m2-2m-3=0，
解得m=1 或m=-3
5 ，
①当m=1 时，直线l 经过点D，舍去；
②当m=-3
5时，显然有Δ>0，
直线l 经过定点(0，- 3
5).
综上，直线l 经过定点(0，- 3
5).
例2 解 (1)由题意可得
{
b=c ,
1
2 ×2b×2c =2,
a
2=b
2+c
2,
解得{
a=√2,
b=1,
c =1,
∴椭圆C 的标准方程为x
2
2 +y2=1.
(2)由题意可知，圆O：x2+y2=2
3的圆心坐标为(0，0)，半径为√6
3 ，
∵√6
3 <1，
可知圆O：x2+y2=2
3在椭圆C 内，切线l 与椭圆C 相交，
①当直线l 的斜率不存在时，
∵直线l 与圆相切，
故切线方程为x=±√6
3 ，
将切线方程x=√6
3 代入椭圆方程，
解得y=±√6
3 ，
设D(
√6
3 ，√6
3 )，E(
√6
3 ，- √6
3 )，
则以DE 为直径的圆的方程为(x - √6
3 )
2
+y2=2
3；
同理，当切线方程为x=-√6
3 时，
求得以DE 为直径的圆的方程为(x + √6
3 )
2
+y2=2
3 ，
联立方程{
(x - √6
3 )
2
+ y
2= 2
3 ,
(x + √6
3 )
2
+ y
2= 2
3 ,
解得{
x =0,
y =0,即两圆只有一个交点(0，0)，
若存在定点，则定点应为(0，0).
②当直线l 的斜率存在时，
设直线l 的方程为y=kx+m，
则圆心到直线的距离d= |m|
√1+ k
2=√6
3 ，
整理得m2=2
3(1+k2)，
联立方程{
y =kx +m,
x
2
2 + y
2=1,
消去y 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0，Δ>0，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则x1+x2=- 4 km
2k
2+1
，x1x2=2m
2-2
2k
2+1
，
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=m
2-2k
2
2k
2+1
，
∴⃗OD·⃗OE=x1x2+y1y2
=3m
2-2k
2-2
2k
2+1
=2(1+ k
2)-2k
2-2
2k
2+1
=0，
即⃗OD·⃗OE=0，
∴以DE 为直径的圆经过定点O(0，0)，
综上可知，以DE 为直径的圆过定点(0，0).
跟踪训练2 解 (1)设动圆圆心为(x，y)，
依题意，√|x |
2+2
2=√( x -2)
2+ y
2，
即y2=4x，
所以曲线C 的方程为y2=4x.
(2)依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为x=my+4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由{
x =my + 4 ,
y
2= 4 x ,
消去x 并整理得y2-4my-16=0，Δ>0 恒成立，
则{
y1+ y2= 4 m,
y1 y2=-16,
设以线段MN 为直径的圆的圆心为E(xE，yE)，
则yE=2m，xE=2m2+4，
即E(2m2+4，2m)，
|MN|=√m
2+1|y1-y2|
=√m
2+1·√( y1+ y2)
2- 4 y1 y2
=4√(m
2+1)(m
2+ 4)，
则圆E 的方程为
[x-(2m2+4)]2+(y-2m)2
=4(m2+1)(m2+4)，
化简得4xm2+4ym-(x2-8x+y2)=0，
由{
4 x =0,
4 y =0,
-( x
2-8 x + y
2)=0,
得{
x =0,
y =0,
因此对于∀m∈R，圆E 恒过原点，
所以以线段MN 为直径的圆过定点(0，0).
