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2025 年高考一轮复习第一次月考卷02（测试范围：集合+不等式+函数）
（满分150 分，考试用时120 分钟）
一､选择题
1．已知全集
，集合
，
，那么集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解不等式求出集合
，根据交集的定义即可.
【解析】由题意可知，
，
，
所以
.
故选：B.
2．已知函数
为奇函数，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义可得
，计算可求
的值.
【解析】
，
得
，所以
.
故选：B.
3．已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1
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【答案】C
【分析】由函数
在
上是单调递增函数，则
，可得答案
【解析】由函数
在
上是单调递增函数，则
，
所以“
”是“
”的的充要条件，
故选：C
【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题，
4．若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】将
和
两边放，然后两边同时除以
，凑出
，再用基本不等式即可.
【解析】因为
，
，两边同时除以
，得到
，
当且仅当
即
取“=”.
则
，当且仅当
取“=”.
两边取自然对数，则
，当且仅当
取“=”.
故
的最小值为
.
故选：D.
5．5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式：
它表示：在受高斯白噪声干拢的信道中，
最大信息传递速率C 取决于信道带宽W﹒信道内所传信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N 的大
2
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小．其中
叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比卡
从1999 提升至
，使得C
大约增加了20%，则入的值约为（ ）(参考数据lg2≈0.3，103.96≈9120)
A．9121
B．9119
C．9919
D．10999
【答案】B
【分析】根据题意先建立数学模型，然后利用对数求值进行计算.
【解析】解：由题意得：
，
又
故
故选：B
6．已知
且
，函数
满足对任意实数
，都有
成
立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得函数
在
上为增函数，所以
，从而可求出
的取值范围
【解析】解：因为
对任意实数
，都有
成立，
所以
在
上为增函数，
所以
，解得
，
3
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所以
的取值范围为
，
故选：C
7．已知正实数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】由题设条件有
，令
则有
、
，应用基本不等式求
范围且
恒成立，进而求的范围，即可得结
果.
【解析】由
，则
，且
，
所以
，
令
，则
，且
，
所以
，即
，仅当
时等号成立，
对于
恒成立，仅当
，即
时等号成立，
综上，若
，则
，
而
，则
，只需
，
所以
，仅当
，即
时等号成立，
综上，
，仅当
，即
时等号成立.
4
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所以目标式最小值为
.
故选：C
8．已知定义在R 上的奇函数
，对于
都有
，当
时，
，则函数
在
内所有的零点之和为（ ）
A．16
B．12
C．10
D．8
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性以及对称性，推出函数的周期，再结合
时，
，即可作出
函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可求得答案.
【解析】由题意定义在R 上的奇函数
，对于
，都有
，
图象关于直线
对称；
且
，即
，
故
，
即函数
是以4 为周期的周期函数，
当
，则
，则
，
故
，
当
，则
，因为
，
则
；
当
时，则
，
由此可作出函数
在
内的图象，如图示：
5
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由
可得
，
由图象可知
的图象与
在
内仅有4 个交点，
不妨设这4 个交点的横坐标从左向右依次为
，
由于
为图象对称轴，且函数周期为4，故
也为函数图象的对称轴，
故由图象可知
关于
对称，
关于
对称，
故
，则
，
即函数
在
内所有的零点之和为12，
故选：B
【点睛】方法点睛：解决此类函数性质综合应用的题目，要能根据函数的性质，比如奇偶性、对称性，进
而推出函数的周期，进而结合给定区间上的解析式，作出函数大致图像，数形结合，解决问题.
二、多选题
9．已知
，
，
，则下列结论中正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】根据不等性质分别判断各选项.
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【解析】对于A：因为
，所以
，所以
，故A 正确；
对于B：因为
，所以
，两边同乘以
得
，即
，故B 正确；
对于C：因为
，所以
，所以
，
又
，两式相乘得
，故C 错误；
对于D：
，因为
，所以
，
，所以
，即
，故D 正确；
故选：ABD.
10．已知关于x 的一元二次不等式
的解集为
或
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
且
B．
C．不等式
的解集为
D．不等式
的解集为
【答案】AB
【分析】A 选项，转化为
为一元二次方程
的两个根，且
，由韦达定理得到答案；B
选项，根据
为一元二次方程
的根，得到B 正确；C 选项，在A 基础上不等式变形为
，解出解集；D 选项，不等式变形为
，求出解集.
【解析】A 选项，由题意得
为一元二次方程
的两个根，且
，
7
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故
，即
，A 正确；
B 选项，
为一元二次方程
的根，故
，B 正确；
C 选项，由A 选项可知，
，解得
，C 错误；
D 选项，
，
又
，故
，解得
或
，D 错误.
故选：AB
11．定义区间
的长度为
，记函数
（其中
）的定义域
的长度为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
在
上单调递增
D．给定常数
，当
时，
的最小值为
【答案】ABD
【分析】求函数
的定义域，得
判断选项A；利用单调性定义证明单调性判断选项C，由单调性求
判断函数的最值判断BD 选项．
【解析】由
，得
，
，
，A 选项正确；
设
，则
，
，
，
，
，
在
上是增函数，
同理可证，
在
上是减函数，
8
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所以
在
上是增函数，在
上是减函数，C 选项错误；
为最大值，B 选项正确；
，
，
，
在
上是增函数，在
上是减函数，
的最小值为
和
中较小者，
．
的最小值为
，D 选项正确．
故选：
．
三、填空题
12．已知正实数
满足
，则
的最小值是 .
【答案】
【分析】由题意可得
，根据基本不等式中“1”的用法计算即可求解.
【解析】由题意知，
，
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
13．已知函数
的值域为
，则函数
的定义域为
【答案】
【分析】首先求出函数
的定义域，再利用抽象函数的定义域的求法求解
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【解析】由
值域为
，
得
，所以
，
解得
即
的定义域为
，
由
得
，
故
的定义域为
.
故答案为：
14．已知函数
在
上单调递减，且对任意的
，总有
，
则实数t 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据单调性求出的范围，结合二次函数区间最值可得答案.
【解析】由于函数
图象的对称轴为直线
，
函数
在
上单调递减，所以
.
在区间
上，0 距对称轴
最远，故要使对任意的
，都有
，
只要
即可，即
，
解得
.
又
，所以
.
故答案为：
四、解答题
15．计算：
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(1)
(2)
.
(3)已知
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)0；
(3)
【分析】（1）利用指数幂的运算化简求值；
（2） 利用对数式的运算规则化简求值；
（3）由
，两边同时平方，求出
，由
，求出
，再由
求值即可.
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
，即
，
，
，
.
.
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16．已知指数函数
的图象过点
．
(1)求
的值；
(2)求关于
的不等式
的解集．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由指数函数的概念列式求解，
（2）由对数函数的单调性转化后求解．
【解析】（1）由题知指数函数
，则
，得
或
，又
，
图象经过
，则
，解得
；
（2）
，以2 为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，
∴满足条件
，
∴不等式的解集为
．
17．已知函数
.
(1)若
，求
在区间
上的最大值和最小值；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
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【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；
（2）参变分离可得
在
上恒成立，利用基本不等式求出
的最小值，即可
求出参数的取值范围.
【解析】（1）若
，
，
，
令
，因为
，所以
，
令
，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，
所以
，
，
所以
，
；
（2）因为
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即
的取值范围是
.
18．设函数
(1)若不等式
对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围；
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(2)解关于
的不等式：
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对
是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.
（2）不等式化简为
，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.
【解析】（1）
对一切实数x 恒成立，等价于
恒成立.
当
时，不等式可化为
，不满足题意.
当
，有
，即
，解得
所以
的取值范围是
．
（2）依题意，
等价于
，
当
时，不等式可化为
，所以不等式的解集为
.
当
时，不等式化为
，此时
，所以不等式的解集为
.
当
时，不等式化为
，
①当
时，
，不等式的解集为
；
②当
时，
，不等式的解集为
；
③当
时，
，不等式的解集为
；
综上，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
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当
时，原不等式的解集为
.
19．设有两个集合
，如果对任意
，存在唯一的
，满足
，那么称
是一个
的
函数.设
是
的函数，
是
的函数，那么
是
的函数，称为
和
的复合，
记为
.如果两个
的函数
对任意
，都有
，则称
.
(1)对
，分别求一个
，使得
对全体
恒成立；
(2)设集合
和
的函数
以及
的函数
.
（i）对
，构造
的函数
以及
的函数
，满足
；
（ii）对
，构造
的函数
以及
的函数
，满足
，
并且说明如果存在其它的集合
满足存在
的函数
以及
的函数
，满足
，则
存在唯一的
的函数
满足
.
【答案】(1)
，
(2)（i）
，
；（ii）
，
，说明见解析
【分析】（1）利用对数函数性质结合题干条件求解；
（2）（i）利用常函数求解；（ii）结合（i）再证明唯一性即可.
【解析】（1）因为
，而
，
对全体
恒成立；
故
对所有
成立.
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（2）（i）考虑
以及
两个函数，
对任意
，因为
，
所以
.
（ii）我们可以继续使用（i）的构造，
任意取
，因为
，所以
，
所以
，则
，
因此存在
满足条件；
如果
符合题意，即
，
则
，
由
定义得到
；
所以存在唯一的
的函数
满足题意.
【点睛】关键点点睛：充分利用题目定义的新函数证明唯一性是关键.
16
