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第 09 讲 解三角形及其应用举例
考试要求 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几
何计算有关的实际问题.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂
平面内)所成的角中，目标视线在水平视
仰角与俯角
线上方的叫做仰角，目标视线在水平视
线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到
方位角 目标方向线之间的夹角叫做方位角．方
位角θ的范围是0°≤θ<360°正北或正南方向线与目标方向线所成的
例：(1)北偏东α：
方向角
锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西α：
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ
坡角与坡比 为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之
比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
1.下列结论正确的是( )
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．
(2)若△ABC为锐角三角形且A＝，则角B的取值范围是 .
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为
2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观
察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
3.如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的
仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
A．(30＋30)m B．(15＋30)m
C．(30＋15)m D．(15＋15)m
4．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，
乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西 45°方向，则甲驱逐舰
与乙护卫舰的距离为________海里．
考点一 解三角形的应用举例角度1距离问题
例 1 （2023·江西景德镇期末）江西浮梁地大物博，山清水秀．据悉某建筑公司在浮梁投
资建设玻璃栈道、摩天轮等项目开发旅游产业，考察后觉得当地两座山之间适合建造玻璃
栈道，现需要测量两山顶M，N之间的距离供日后施工需要，特请昌飞公司派直升机辅助
测量，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意
图)．飞机测量的数据有在A处观察山顶M，N的俯角为：α ＝60°，β ＝30°，在B处观察
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山顶M，N的俯角为：α ＝45°，β ＝75°，飞机飞行的距离AB为500 m，请问：用以上测
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得的数据能否计算出两山顶间的距离MN，若能，请帮助该建筑公司求出MN，结果精确到
1 m，若不能，请说明理由．
(参考数据：❑√2≈1.414，❑√3≈1.732，❑√67≈8.2，❑√2.68≈1.64)
【对点演练1】为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基
站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，
测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为(
)
A．10 km B．30(－1)km
C．30(－1)km D．10 km
【对点演练2】(2023·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，
然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D
地，则A地到D地的直线距离是( )
A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km
角度2 高度问题
例2 (2023·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接
结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图
乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在
赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在
赛道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°(其中B，
E，D三点共线)．该学习小组利用这些数据估算得AB约为60米，则CD的高h约为( )
(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)A．11米 B．20.8米 C．25.4米 D．31.8米
【对点演练1】[2023·湖北襄阳五中月考]如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示
意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的点 A测得P的仰角为
30°，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60(单位：m)，(点A，B，O在同一水平地面上)，
则大跳台最高高度OP＝( )
A．45 m B．45❑√2 m
C．60 m D．60❑√3 m
【对点演练2】如图，一座垂直建于地面的信号发射塔 的高度为 ，地面上一人在A
点观察该信号塔顶部，仰角为 ，沿直线步行 后在B点观察塔顶，仰角为 ，若
，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ）
A． B． C． D．
角度3 角度问题
例 3 （2023·山东东营期末）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部
C在北偏东15°方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东60°
方向上，测得塔顶P的仰角为60°，已知灯塔高为2❑√3 km.(1)求巡逻船的航行速度；
(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时灯塔底部C位于D处的南偏东什么方向？
【对点演练1】一艘船航行到点 处时，测得灯塔 与其相距30海里，如图所示.随后该船
以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点 ，测得灯塔 在其北偏东
方向，则 （ ）
A． B． C． D．
【对点演练2】(多选)某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°，距离为12 n mile，测得灯塔
C在北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，测得灯塔B在南偏东
60°，则下列说法正确的是( )
A．A处与D处之间的距离是24 n mile
B．灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C．灯塔C在D处的西偏南60°
D．D在灯塔B的北偏西30°
考点二 解三角形中的最值和范围问题
例4 (2023·九江模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a2＋c2－
b2)＝－2absin C.
(1)求角B；
(2)若D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC面积的最大值．
【对点演练1】在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，，则 面积的取值范围为______.
【对点演练2】在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，
且 ，则锐角 面积的取值范围是______.
例5 已知 的面积为 ，角 所对的边为 ．点 为 的内心，
且 ．
(1)求 的大小；
(2)求 的周长的取值范围．
【对点演练1】(2023·南京模拟)在①bcos＝ccos B；②2S ＝BA·BC，这两个条件中任选
△ABC
一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．
(1)求角B；
(2)在△ABC中，b＝2，求△ABC周长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例6．（2023春•道里区校级期中）在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ，
，设 的面积为 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【对点演练】(2022·洛阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B
＋sin C＝2sin A，则A的最大值为( )
A. B. C. D.
1．一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛
B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C，若游船从海岛A出发沿直线到达
海岛C，则航行的路程为( )
A．12海里 B．8海里
C．8海里 D．8海里2．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的
海拔高度为10 000m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山
顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)( )
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
3．(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、
环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的
视角为∠BPC，且tan∠BPC＝.已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC
＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是( )
A. km B．2 km
C. km D．4 km
4．（2023•泰州模拟）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也
为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点
是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 ， 两点与点 在同一条直线上，
且在点 的同侧．若在 ， 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 和 ，且
，则该球体建筑物的高度约为
A．49.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60
5．（2023•柳州模拟）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知
， ，则 面积的最大值为A． B． C． D．6
6．（2023春•泉州期中）为了测量河对岸两点 ， 间的距离，现在沿岸相距 的两点
， 处分别测得 ， ， ， ，则 ， 间
的距离为
A． B．2 C． D．4
7．(2023·德阳模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且b＝2asin B,
则cos B＋sin C的取值范围为( )
A．(0，] B．(1，]
C. D.
8．（2023春•工农区校级月考）花戏楼位于亳州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护
单位．花戏楼始于清顺治十三年（公元1656年），是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，
彩绘鲜丽，俗称花戏楼．它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直
插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝．我校数学兴趣小组为了测量旗杆 的高度，选取
与旗杆底部（点 在同一水平面内的两点 与 ， ， 不在同一直线上），如图，
兴趣小组可以测量的数据有： ， ， ， ， ， ， ，
则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆 的高度的是A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
9．（2023春•朝阳区校级月考）需要测量某塔的高度，选取与塔底 在同一个水平面内的
两个测量基点 与 ，现测得 ， ， 米，在点 处测得塔
顶 的仰角为 ，则塔高 为 米
10．(2022·六安模拟)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，ccos B＋(2a
＋b)cos C＝0，若△ABC的外接圆面积为π，则△ABC周长的最大值是________．
11．（2023•平罗县校级二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
满足 ，则 的取值范围为 ．
12．(2022·西安模拟)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若
sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)．
(1)求sin C；
