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专题 01 集合与逻辑(讲义)
一、集合及其运算
1．集合的特性：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性；
2．列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法；
3．描述法：将集合中元素的通性描述出来写在大括号内表示集合的方法；通式：｛x｜x满足P｝；读法：
满足条件P的x的集合；
4．空集Ø是不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
5．“∈，∉”表示元素与集合间的从属关系；“ ，⊆”表示集合与集合间的包含关系．
6．给出下列条件：
①集合A中任何一个元素都是集合B中的元素；
②集合B至少存在一个元素不在集合A中；
③集合B中任何一个元素都是集合A中的元素，
如果集合A、B满足①，则A是B的子集（A B）；
如果集合A、B满足①②，则A是B的真子集（A B）；
⊆
如果集合A、B满足①③，则A与B是相等的集合（A＝B）.
注意：①A B，讨论时别忘A＝Ø的情况；考察集合的关系借助韦思图；
②几个特殊数集之间的包含关系为：N Z Q R C（N*表示正整数集）；
⊆
③正确区分Ø、{0}、{Ø}：Ø是不含任何元素的集合，即空集。{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，
因为它有一个元素，这个元素是 0．{Ø}是含有一个元素 Ø的集合，其关系为：Ø {0}，Ø {Ø}，
Ø∈{Ø}．
7．集合的含义：
（1）A＝｛x｜y＝f（x）｝表示函数的定义域；
（2）B＝（y｜y＝f（x）｝表示函数的值域；
（3）C＝｛（x，y）｜y＝f（x）｝表示方程y＝f（x）的解的集合，或表示曲线上的点的集合··
8．集合间的基本运算：
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，
即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补
集，简称为集合A的补集，记作∁ A，即∁ A＝{x|x∈U，且x A}．
U U
9．运算性质： ∉
A B，且B C A C；
Ø A∩B＝B∩A A（或B）⊆A∪B＝B∪A；
⊆ ⊆ ⇒ ⊆
⊆ ⊆A∩B=A∪B ;A∪B =A∩B ;Ø =U; U =Ø
10．几个结论：
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有
2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.容斥定理：记集合 M中的元素的个数为 Card（M），则Card（A∪B）=Card（A)+Card（B)-Card
（A∩B)(可推广到有限个集合)
11．正整数（整数）分类：被2整除与否可分为2k-1,2k（k∈N（或Z），k≥1）；
被3整除与否可分为3k-2,3k-1,3k（k∈N（或Z），k≥1）；
被4整除与否可分为4k-3,4k-2,4k-1,4k（k∈N（或Z），k≥1）；其余依此类推．
二、命题
1.命题的概念
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为
真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题
2.命题的形式
在数学中，“若p,则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.
3.真命题，假命题
命题：“若p,则q”,如果由题设p能够推出结论q,我们称这个命题是真命题，反之则称这个命题是假命
题.
温馨提示
一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句;二是能够判断真假.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句
等都不是命题，
(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，则是命题；若不能，
则不是命题。
(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学
上的一些猜想等，这类语句也叫做命题。
(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题。
(5)要判定一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各
种情况作出正确的判断。而判定一个命题是假命题，只需举出一个反例即可
三、充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件
一般地，“若p, 则q” 为真命题，是指由p 通过推理可以得出q, 记作“p q”, 这时称p是q的充分
条件，q是p的必要条件.如果“若p,则q”为假命题，那么由p推不出q,记作p q, 这时称p不是q的
⇒
充分条件，q不是p的必要条件 .
⇏
2 .充要条件
一般地，如果既有p q, 又有q p, 就记作 p q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p q, 那么p与q互为充要
⇒ ⇒ ⇔
条件.
⇔
3.常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若 p, 则q”, 逆命题为“若q, 则p”, 那么 p与q的关系如下：原命题 逆命题 p与q的关系 结论
真 假 p q 且 q p p是q的充分不必要条件
假 真 p⇒ q且q ⇏p p是q的必要不充分条件
真 真 p ⇏ q且q⇒ p p是q的充要条件
假 假 p ⇒q 且 q ⇒ p p是q的既不充分也不必要条件
⇏ ⇏
四、证明命题成立的方法
1．综合法、分析法
内容 综合法 分析法
从命题的条件出发，利用定义、公 从求证的结论出发，一步一步地探
理、定理及运算法则，通过演绎推 索保证前一个结论成立的充分条
定义 理，一步一步地接近要证明的结 件，直到归结为这个命题的条件，
论，直到完成命题的证明．我们把 或者归结为定义、公理、定理等．
这样的思维方法称为综合法 我们把这样的思维方法称为分析法
实质 由因导果 执果索因
框图 →
→→…→
表示 →…→
文字 要证……只需证……
因为……所以……或由……得……
语言 即证……
2．反证法
(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、
定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此
断定命题结论成立的方法叫反证法．
(2)反证法的证题步骤：
①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．
3.常见词语的否定词语
等于 大于 小于 至多 至多 至少
原词 (=) (>) (<) 是 都是 有一个 有n个 有一个
不等于 不大于 不小于 至少有 至少有 一个也
否定 (≠) (≤) (≥) 不是 不都是 两个 (n+1)个 没有
一、单选题
1．下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）①与0非常接近的全体实数能构成集合；
② 表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为 即可得结果.
【解析】①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；
② ，正确；
③空集是任何非空集合的真子集，错误；
④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为 ，正确.
故选：C
2．下列命题中正确的是（ ）
① 与 表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为 或
③方程 的所有解的集合可表示为
④集合 可以用列举法表示
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对
【答案】C
【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
【解析】解：对于①，由于“0”是元素，而“ ”表示含0元素的集合，而 不含任何元素，所以①不
正确；
对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.
故选：C.3．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.
【解析】对于A，两个集合都为点集， 与 是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；
对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；
对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；
对于D， ， ，故M、N为同一集合，故D正确.
故选：D.
4．已知集合 ，则 与集合 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把集合A用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项.
【解析】
故选：B
5．设 ，集合 ，则 （ ）
A．1 B．－1
C．0 D．－2
【答案】C
【分析】根据集合相等即可得出答案.
【解析】因为 ， ，所以 .经检验满足题意
故选：C【点睛】本题主要考查了由集合相等求参数的值，属于基础题.
6．设全集 ，若集合 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【解析】全集 ，由 ，知 ，则 ，A错误，B正确；
不能判断 ，也不能判断 ，CD错误.
故选：B
7．已知六个关系式① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，它们中关系
表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.
【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：
是 的一个元素，故 ，①正确；
是任何非空集合的真子集，故 、 ，②③正确；
没有元素，故 ，④正确；且 、 ，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C
8．若集合 ，其中 且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.【解析】由题意可得 ，解得 .
故选：A.
9．设集合 ，则集合M的真子集个数为（ ）
A．8 B．7 C．32 D．31
【答案】B
【分析】根据不等式的解法，求得集合 ，结合集合真子集的求法，即可求解.
【解析】由不等式 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以集合M的真子集个数为 .
故选：B．
10．若集合 有15个真子集，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据真子集的定义可得集合A中有4个元素，得解.
【解析】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以 .
故选：A．
11．已知集合 ， ，则满足 的实数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【解析】依题意， ，若 ，解得 （ 时不满足集合的互异性，舍去），
若 ，解得 （ 时不满足集合的互异性，舍去），
综上所述， 或 .
故选：B12．设集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
先求出集合 ，再求交集即可.
【解析】
依题意可得 ，
则 ，则 中元素的个数为 .
故选：B.
13．设集合 ，若 ，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论 和 两种情况，求解 并检验集合的互异性，
可得到答案.
【解析】设集合 ，若 ，
， 或 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
所以 或 .
故选：C
14．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由交集的定义求解.
【解析】集合 ，则 .
故选：D
15．已知集合 的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
【答案】D
【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出 的取值集合.
【解析】因为集合 的元素之和为1，
所以一元二次方程 有等根时，可得 ，即 ，
当方程有两不相等实根时， ，即 ，
综上，实数a 所有取值的集合为 .
故选：D
16．已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.
【解析】集合 ， ，又 ，则 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：B
17．下列语句中，命题的个数是 （ ）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；
③ 的绝对值为1；④你是高一的学生吗?
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据命题的概念逐一判断.
【解析】
①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.
故选：C.
18．若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 ⫋ ，再根据集合的包含关系求参即可.
【解析】因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所有 ⫋ ，所以 ，
即实数 的取值范围为 ．
故选：A．
二、填空题
19．已知集合 ，用列举法表示 为 .
【答案】
【分析】根据集合的意义直接表示集合 .
【解析】 ，
故答案为： .
20．设全集 ，集合 ，则 ．
【答案】
【分析】根据补集的定义可求 .
【解析】由题设有 ，故答案为：
21．“ 或 ”的否定形式为 ．
【答案】“ 且 ”
【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解.
【解析】由题意“ 或 ”的否定形式为“ 且 ”.
故答案为：“ 且 ”.
22．已知全集 ，则 .
【答案】 或2
【分析】由补集运算法则可知需满足 ，解出 的取值代入检验即可得出结果.
【解析】根据题意可知，需满足 ，解得 或 ；
经检验，当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
故答案为： 或2
23．用反证法证明命题：“已知 ，则 且 ”时，应假设 .
【答案】 或 .
【分析】利用反证法的概念直接求解.
【解析】用反证法证明命题：“已知 ，则 且 ”时，
应假设: 或 .
故答案为： 或 .
24．已知 是 的充分非必要条件， 的充要条件是 ，则 是 的 条件.【答案】必要非充分
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解析】由题意， ，但 ，所以， 是 的必要非充分条件.
故答案为：必要非充分.
25． ， 或 ，且 ，则 的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】根据条件及集合的运算，借助数轴，即可求出结果.
【解析】因为 ， 或 ，且 ，
由图知 或 ，得到 或 ，
故答案为： 或 .
26．已知 且 的充分不必要条件是 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由充分不必要条件的定义,知 是 的真子集,分情况讨论 即可.
【解析】由题意知当 时,
当 时，
则 的取值范围是
故答案为：
27．已知全集 ， ， ，指出Venn图中阴影部分表示的集合是
..
【答案】
【分析】根据集合的运算求得 ，可得 ，结合Venn图中阴影部分表示的集合为
，即可得答案.
【解析】由于全集 ， ， ，
故 ，
则 ，
故Venn图中阴影部分表示的集合为 ，
故答案为：
28．设集合 ，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为
.
【答案】7
【分析】根据韦恩图判定阴影表示的集合，结合真子集的概念计算即可.
【解析】因为 ，所以 ，
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为 ，
故其真子集个数为 个.
故答案为：729．如图，已知 是全集， 、 、 是 的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为
【答案】
【分析】根据韦恩图及集合的运算表示即可.
【解析】由韦恩图可知阴影部分表示集合 中集合 的补集与集合 的公共部分，
所以可以表示为 .
故答案为；
30．已知 是全集， 是 的三个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来 ．
【答案】
【分析】根据 分析即可.
【解析】由题知，图中的阴影部分为 ，
故答案为： .
31．“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学
生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学
生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生
共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位.
【答案】70
【分析】由题意结合Venn图可知：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有10人，再计
算即可得解．
【解析】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图，
使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有 人，
又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，
则使用过“共享单车”的学生人数为 ，
故答案为：70．
32．某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第
三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果
这三天售出的水果至少有 种．
【答案】20
【分析】设出未知数，用韦恩图表达出其他量，得到不等式，求出答案.
【解析】设这三天售出相同种类的水果有 种，
第一天售出、第二天未售出、且第三天售出的水果相同种类有 种，
则这三天售出水果的种类关系如图所示．
由图可知，该水果店这三天售出水果有 种，
由 ，得 ，所以 ．
故该水果店这三天售出的水果至少有20种．
故答案为：20
