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专题01 集合与常用逻辑用语
【考点1 集合的含义和表示】
【考点2 集合的基本关系】
【考点3 集合的交并补运算】
【考点4 子集的个数求解】
【考点5 集合中的求参问题】
【考点6 韦恩图的应用】
【考点7 集合的新定义问题】
【考点8 充分条件与必要条件的判定】
【考点9 充分条件与必要条件的应用】
【考点10 全称量词与特称量词命题】
知识点1 集合与元素
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集的记法．
集合
非负整数集
(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
知识点2 集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集
合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集，记作A⊆B(或B⊇A．
（2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B
的真子集，记作A
B(或B
A)．
1
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（3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是
任何非空集合的真子集．
知识点3 集合的基本运算
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
补集
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA
知识点4 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇏p
p 是q 的必要不充分条件
p⇏q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇏q 且q⇏p
知识点5 全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并
用符号“∀”表示．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“∃”表示．
知识点6 全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x，p(x)成立
存在M 中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，﹁p(x)
∀x∈M，﹁p(x)
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【考点1 集合的含义和表示】
方法技巧点拨：
解决集合含义问题的关键有三点．
（1）确定构成集合的元素．（2）确定元素的限制条件．
（3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【典例1】（2024•乐山三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，
a∈A，b∈B}，则集合C 的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，
则集合C＝{0，1，2，3}，即元素个数为4 个．
故选：C．
【典例2】（2024•雁峰区校级模拟）若a∈{1，2，a2}，则a 的取值集合为（ ）
A．{0}
B．{0，1}
C．{0，2}
D．{0，1，2}
【答案】C
【解答】解：当a＝1 时，a2＝1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当a＝2 时，则a∈{1，2，4}，符合题意，
当a＝a2时，有a＝1 或a＝0，已知当a＝1 时符合题意，
当a＝0 时，则a∈{1，2，0}，符合题意，
故a 的取值集合为{0，2}．
故选：C．
【典例3】（2024•湖北模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝
{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合A*B 的所有元素之和为（ ）
A．6
B．3
C．2
D．0
【答案】A
【解答】解：因为A*B＝{0，2，4}，所以集合A*B 的所有元素之和为6．
故选：A．
3
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【典例4】（2024•杨浦区校级三模）已知集合P＝{1，2}，Q＝{1，3}，M＝{x|x∈P 或
x∈Q}，则M＝（ ）
A．{1}
B．{2}
C．{3}
D．{1，2，3}
【答案】D
【解答】解：∵P＝{1、2}，Q＝{1、3}，
M＝{x|x∈P 或x∈Q}，故D 正确；
故选：D．
【典例5】（2024•宝鸡模拟）若集合A＝{x∈R|ax2﹣2x+1＝0}中只有一个元素，则实数a＝
（ ）
A．1
B．0
C．2
D．0 或1
【答案】D
【解答】解：当a＝0 时，由ax2﹣2x+1＝0 可得
，满足题意；
当a≠0 时，由ax2﹣2x+1＝0 只有一个根需满足Δ＝（﹣2）2﹣4a＝0，
解得a＝1．
综上，实数a 的取值为0 或1．
故选：D．
【考点2 集合的基本关系】
方法技巧点拨：
1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否
则易造成漏解．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的
关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问
题．
【典例1】（2024•利通区校级模拟）设集合A＝{0，1}，B＝{1，a﹣2，a﹣1}，若A⊆B，
则a＝（ ）
A．2
B．3
C．1
D．1 或2
【答案】C
【解答】解：因为集合A＝{0，1}，B＝{1，a﹣2，a﹣1}，A⊆B，所以a﹣2＝0 或a﹣1
＝0．
当a﹣2＝0 时，a＝2，此时B＝{1，0，1}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
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当a﹣1＝0 时，a＝1，此时B＝{1，﹣1，0}，满足题意．故a＝1．
故选：C．
【典例2】（2024•浏阳市校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，集合B＝{a+1，a﹣1，
3}，若A⊆B，则a＝（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，集合B＝{a+1，a﹣1，3}，
若A⊆B，则a＝0．
故选：B．
【典例3】（2024•汕头模拟）已知集合M＝{x∈N|log2x≤1}，N＝{﹣1，0，1，2}，若
M⊆A⊆N，则满足集合A 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解答】解：因为集合M＝{x∈N|log2x≤1}＝{2，1}，N＝{﹣1，0，1，2}，
若M⊆A⊆N，则A 中一定有元素1，2，
则A 的个数为22＝4．
故选：D．
【典例4】（2024•岳麓区校级模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2024}，B＝{x|x＜a}，若
A⊆B，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（2024，+∞）
B．[2024，+∞）
C．（﹣∞，2024]
D．（﹣∞，2024）
【答案】B
【解答】解：集合A＝{x|1＜x＜2024}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a 的取值范围是
[2024，+∞）．
故选：B．
【考点3 集合的交并补运算】
【典例1】（2024•兴庆区校级模拟）已知集合A＝{x|lg（x﹣1）≤0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3]
B．（1，2]
C．（1，3]
D．[﹣1，2]
【答案】B
【解答】解∵0＜x﹣1≤1⇒1＜x≤2，
∴A＝（1，2]，
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∵B＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]
∴A∩B＝（1，2]，
故选：B．
【典例2】（2024•榆阳区校级一模）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，
，
则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，4）
B．（0，1）
C．（1，4）
D．（0，4）
【答案】D
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞0}，
∴A∩B＝（0，4）．
故选：D．
【典例3】（2024•蜀山区校级模拟）设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|
≤0}，则（∁RA）∩B
＝（ ）
A．（1，3）
B．[1，3]
C．（3，4）
D．[3，4）
【答案】B
【解答】解：∵集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|
≤0}＝{x|1≤x＜4}，
∴∁UA＝{x|x≤3}，
∴（∁RA）∩B＝{x|1≤x3}＝[1，3]．
故选：B．
【典例4】（2024•眉山模拟）设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，
﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{3}
B．{﹣3，﹣1，1，2，3}
C．{﹣3，﹣2，0，2，3}
D．{﹣3，2}
【答案】D
【解答】解：∵全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，
B＝{﹣1，1，3}，
∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，3}，
∴∁U（A∪B）＝{﹣3，2}．
故选：D．
【典例5】（2024•袁州区校级模拟）已知集合A＝{3，5，7，9}，B＝{x|x＝2a﹣3，
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a∈A}，C＝{5，6，8}，则（A∩B）∪C＝（ ）
A．{3}
B．{3，5，6，8}
C．{5，6，7，8}
D．{3，5，6，7，
8}
【答案】D
【解答】解：由题得B＝{3，7，11，15}，
所以A∩B＝{3，7}，
又C＝{5，6，8}，
所以（A∩B）∪C＝{3，5，6，7，8}．
故选：D．
【考点4 子集的个数求解】
方法技巧：
如果集合A 中含有n 个元素，则有
（1）A 的子集的个数有2n个． （2）A 的非空子集的个数有2n－1 个．
（3）A 的真子集的个数有2n－1 个 （4）A 的非空真子集的个数有2n－2 个．
【典例1】（2024•全国一模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合
B 的真子集个数是（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】C
【解答】解；由题意得B＝{﹣1，0，1}，所以集合B 的真子集个数为23﹣1＝7．
故选：C．
【典例2】（2024•西秀区校级一模）已知集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x|x＝n2﹣1，n∈A}，P
＝A∩B，则集合P 的子集共有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．8 个
【答案】C
【解答】解：因为A＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}，又B＝{x|x＝n2﹣1，n∈A}，
所以B＝{﹣1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}，
则集合P 的子集共有22＝4 个．
故选：C．
【典例3】（2024•海陵区校级模拟）若集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}有15 个真子集，则实数m
的取值范围为（ ）
A．[﹣1，0）
B．（﹣1，0]
C．（﹣1，0）
D．[﹣1，0]
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【答案】A
【解答】解：根据题意，设集合A 中有n 个元素，
因为集合A 有15 个真子集，则2n﹣1＝15，解可得n＝4，
即集合A 中有4 个元素，
而集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}，必有﹣1≤m＜0，即m 的取值范围为[﹣1，0）．
故选：A．
【典例4】（2024•秦淮区校级二模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，则A 的子集个数为（
）
A．4
B．7
C．8
D．16
【答案】C
【解答】解：题意可得：A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，
可知A 有3 个元素，所以A 的子集个数为23＝8．
故选：C．
【考点5 集合中的求参问题】
【典例1】（2024•青羊区校级模拟）已知集合A＝{x|3x2﹣2x﹣1＜0}，B＝{x|x≥a}，若
A∩B＝∅，则实数a 的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）
B．
C．[1，+∞）
D．
【答案】C
【解答】解：由3x2﹣2x﹣1＜0，解得
，
则
，
又B＝{x|x≥a}，且A∩B＝∅，
则a≥1，
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故实数a 的取值范围为[1，+∞）．
故选：C．
【典例2】（2024•河南模拟）已知集合A＝{﹣5，﹣4，0，2}，B＝{x|﹣5＜x＜a﹣2}，若
A∩B 中有2 个元素，则实数a 的取值范围为（ ）
A．（2，4]
B．[2，4]
C．（﹣2，2]
D．（2，4）
【答案】A
【解答】解：由A∩B 中有2 个元素可知：﹣4∈B，0∈B，2∉B，
可得0＜a﹣2≤2，解得2＜a≤4，
所以实数a 的取值范围为（2，4]．
故选：A．
【典例3】（2024•开封模拟）设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且（∁UA）
∪B＝R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，1]
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）
【答案】A
【解答】解：∵U＝R，集合A＝{x|x≥1}＝[1，+∞），
B＝{x|x＞a}＝（a，+∞），
∴∁UA＝（﹣∞，1），
又（∁UA）∪B＝R，
∴实数a 的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
【典例4】（2024•广东模拟）若集合A＝{x|3x2﹣8x﹣3≤0}，B＝{x|x＞1}，定义集合A﹣B
＝{x|x∈A 且x∉B}，则A﹣B＝（ ）
A．
B．
C．
D．（1，3]
【答案】C
【解答】解：由3x2﹣8x﹣3≤0 得
，则
，
又A﹣B＝{x|x∈A 且x∉B}，则A﹣B＝
．
故选：C．
【典例5】（2024•铜川三模）已知集合A＝{x|x＜m}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，若A⊇B，则实
数m 的取值范围为（ ）
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A．（﹣∞，﹣2）
B．（﹣∞，﹣2]
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）
【答案】D
【解答】解：∵集合A＝{x|x＜m}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，
若A⊇B，则m⩾3，
即m 的取值范围为[3，+∞）．
故选：D．
【考点6 韦恩图的应用】
【典例1】（2024•延边州模拟）已知集合U＝{1，2，3，4，6}，A＝{1，2}，B＝{2，4，
6}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{1，2，4，6}
B．{1，2，3}
C．{1}
D．{1，2，3，6}
【答案】C
【解答】解：由韦恩图可知，阴影部分表示（∁UB）∩A，
∁UB＝{1，3}，所以（∁UB）∩A＝{1}．
故选：C．
【典例2】（2024•邵阳模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，
如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{x|﹣1≤x≤6}
B．{x|x＜﹣1}
C．{x|x＞6}
D．{x|x＜﹣1 或x＞6}
【答案】D
【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，
则A∪B＝{x|﹣1≤x≤6}，
∴∁U（A∪B）＝{x|x＜﹣1 或x＞6}．
故选：D．
【典例3】（2024•沙坪坝区校级模拟）如图所示，U 是全集，A，B 是U 的子集，则阴影
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部分所表示的集合是（ ）
A．∁U（A∪B）
B．A∪∁UB
C．∁UA∩（∁UB）
D．（∁UA）∪（∁UB）
【答案】D
【解答】解：U 是全集，A，B 是U 的子集，
故图中阴影部分表示的集合为∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
故选：D．
【典例4】（2024•浙江模拟）若全集U，集合A，B 及其关系用韦恩图表示如图，则图中
阴影表示为（ ）
A．∁U（A∩B）
B．∁U（A∪B）
C．（∁UA）∩B
D．A∩（∁UB）
【答案】C
【解答】解：图中阴影表示的集合的元素属于集合B，但是不属于集合A，即为（∁UA）
∩B．
故选：C．
【典例5】（2024•芝罘区校级模拟）若集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|x2≥1}，则图中阴影
部分表示的集合为（ ）
A．{x|x＞0}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜3}
D．{x|0＜x＜1 或x≥3}
【答案】C
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≤﹣1 或
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x≥1}，
∴A∩B＝{x|1≤x＜3}，
故选：C．
【考点7 集合的新定义问题】
方法技巧：
（1）看清集合中的元素．
（2）对集合进行化简使问题变得简单明了．
（3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn 图．
【典例1】（2024•南通模拟）定义集合运算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A
＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B 所有元素之和为
18
．
【答案】18．
【解答】解：∵A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，
∴z＝0×2×（0+2）＝0，z＝0×3×（0+3）＝0，z＝1×2×（1+2）＝6，z＝1×3×（1+3）＝
12，
∴A⊙B＝{0，6，12}，
∴集合A⊙B 所有元素之和为18．
故答案为：18．
【典例2】（2024•河北模拟）已知函数y＝ln（x2﹣3x+2）的定义域为集合A，值域为集合
B，则∁BA＝（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，l]∪[2，+∞）
C．（1，2）
D．[1，2]
【答案】D
【解答】解：由题可得：x2﹣3x+2＞0，解得x＜1 或x＞2，
故A＝（﹣∞，1）∪（2，+∞），B＝R，
所以∁BA＝[1，2]．
故选：D．
【典例3】（2024•深圳校级模拟）定义两集合M，N 的差集：M﹣N＝{x|x∈M 且x∉N}，已
知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A﹣（A﹣B）的子集个数是（ ）个．
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【解答】解：因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，
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所以A﹣B＝{2}，
所以A﹣（A﹣B）＝{3，5}，
则 A﹣（A﹣B）的子集个数是4 个．
故选：B．
【典例4 】（2024• 山东一模）用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义
，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）•（x2+ax+2）
＝0}，且A*B＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【解答】解：由题意知，C（A）＝2，
∵A*B＝1，
A*B＝
，
∴C（B）＝1 或C（B）＝3，
即方程（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0 有1 个根或3 个根，
若（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0，
则x2+ax＝0 或x2+ax+2＝0，
若x2+ax＝0，则x＝0 或x+a＝0，
当a＝0 时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意；
当a≠0 时，x2+ax＝0 对应的根为0 和﹣a，
若C（B）＝3，则有以下两种情况，
①当x2+ax+2＝0 有两个相等的实数根时，
Δ＝a2﹣8＝0，
解得a＝±2
，
当a＝2
时，B＝{0，﹣
，﹣2
}，
C（B）＝3，符合题意；
当a＝﹣2
时，B＝{0，
，2
}，
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C（B）＝3，符合题意；
②当x2+ax+2＝0 有两个不相等的实数根时，
则﹣a 是x2+ax+2＝0 的一个根，
即（﹣a）2+a•（﹣a）+2＝0，
无解；
综上所述，S＝{0，2
，﹣2
}；
故C（S）＝3，
故选：B．
【典例5】（2024•雨花区校级一模）对于任意两个正实数a，b，定义
，其中
常数
．若u≥v＞0，且u⊗v 与v⊗u 都是集合
的元
素，则u⊗v＝
．
【答案】
．
【解答】解：由u⊗v 与v⊗u 都是集合
的元素，
不妨设
＝
，
，n1，n2∈Z，
因为u≥v＞0，所以
，
因为
，
所以
＝λ•
∈（0，1），
因为n2∈Z，
所以n2＝1，
即
，
所以
∈（
），
14
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所以
∈（
），
∈（2，4），
则
＝
×
＝
∈（1，2），
因为n1∈Z，
所以n1＝3，
＝
．
故答案为：
．
【考点8 充分条件与必要条件的判定】
方法技巧
（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
（2）集合法：根据p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件
中涉及参数范围的推断问题
【典例1】（2024•通州区校级三模）已知a＞0，b＞0，则“a2+b2＞2”是“a+b＞2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：设圆a2+b2＝2 与直线a+b＝2 的距离为d，
d＝
＝
，
则圆a2+b2＝2 与直线a+b＝2 相切，则“a+b＞2”能推出“a2+b2＞2”，故必要性成立．
当a＝1.5，b＝0.3 时，满足“a2+b2＞2”，但不能推出“a+b＞2”，充分性不成立．
故选：B．
【典例2】（2024•船营区校级一模）已知向量
，
，则“x＝3”是
“
”的（ ）
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：根据题意，向量
，
，
当x＝3 时，＝（3，3），＝（6，6），必有∥，
反之，若∥，则有2x2＝18，解可得x＝±3，
故“x＝3”是“
”的充分不必要条件；
故选：A．
【典例3】（2024•古蔺县校级模拟）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的
（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为|x﹣2|＜1，则1＜x＜3，
又x2+x﹣2＞0，则x＜﹣2 或x＞1，
根据充分条件、必要条件相关知识可得，1＜x＜3 是x＜﹣2 或x＞1 的充分不必要条件，
故选：A．
【典例4 】（2024• 碑林区校级模拟）在△ABC 中，“ ∠ACB 是钝角” 是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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【答案】C
【解答】解：
等价于
，
平方得
，即
，
显然A，B，C 不共线，原条件等价于∠ACB 是钝角，
在△ABC 中，“∠ACB 是钝角”是“
”的充要条件．
故选：C．
【典例5】（2024•蓟州区校级一模）“0＜a＜b”是“lg|a|﹣b2＜lg|b|﹣a2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：∵lg|a|﹣b2＜lg|b|﹣a2，
∴lg|a|+a2＜lg|b|+b2，
令f（x）＝lg|x|+x2，
显然函数f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（a）＜f（b），∴0＜|a|＜|b|，
故“0＜a＜b”是“lg|a|﹣b2＜lg|b|﹣a2”的充分不必要条件．
故选：A．
【考点9 充分条件与必要条件的应用】
方法技巧
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合
之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
（2）要注意区间端点值的检验．
【典例1】（2024•和平区二模）若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分
条件为（ ）
A．﹣2＜x＜1
B．﹣1＜x＜1
C．0＜x＜2
D．﹣1＜x＜0
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【答案】A
【解答】解：不等式x2＜1 等价于﹣1＜x＜1，
使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则（﹣1，1）是A 的真子集，
由此对照各项，可知只有A 项符合题意．
故选：A．
【典例2】（2024•辽宁三模）已知正实数a，b，则“a+2b≤2”是“a2+4b2≤2”的
（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】B
【解答】解：根据题意，对于正实数a、b，
当a+2b≤2 时，取a＝
，
，此时a+2b＝
≤2，但a2+4b2＝
＝
＞2，
a2+4b2≤2 不成立；
当a2+4b2≤2 时，由于（a+2b）2≤2（a2+4b2）≤4，所以a+2b≤2 成立．
综上所述，“a+2b≤2”是“a2+4b2≤2”的必要不充分条件．
故选：B．
【典例3】（2024•河东区校级三模）设x∈R，不等式|x﹣3|＜2 的一个充分不必要条件是（
）
A．1＜x＜5
B．x＞0
C．x＜4
D．2≤x≤3
【答案】D
【解答】解：因为|x﹣3|＜2，
所以﹣2＜x﹣3＜2，解得1＜x＜5，
由充分不必要条件的定义可知，只有D 选项符合．
故选：D．
【典例4】（2024•新县校级模拟）已知曲线C：
＝1（m≠0），则“m∈（0，
4）”是“曲线C 的焦点在x 轴上”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
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D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：对于曲线C：
＝1（m≠0），
当m∈（0，4）时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，充分性成立；
若曲线C 的焦点在x 轴上，则m＜4 且m≠0，不能推出m∈（0，4），必要性不成立．
因此，“m∈（0，4）”是“曲线C 的焦点在x 轴上”的充分不必要条件．
故选：A．
【典例5】（2024•顺义区模拟）若函数f（x）＝
则“x1+x2＞0”是“f
（x1）+f（x2）＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：根据题意，f（x）＝
，
对任意x∈R，满足f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x）在R 上为单调增函数．
若x1+x2＞0，则x1＞﹣x2，可得f（x1）＞f（﹣x2），即f（x1）＞﹣f（x2），可得f
（x1）+f（x2）＞0，
因此，“x1+x2＞0”是“f（x1）+f（x2）＞0”的充分条件；
反之，若f（x1）+f（x2）＞0，则f（x1）＞﹣f（x2），可得f（x1）＞f（﹣x2），所以x1
＞﹣x2，即x1+x2＞0．
因此，“x1+x2＞0”是“f（x1）+f（x2）＞0”的必要条件．
综上所述，“f（x1）+f（x2）＞0”充要条件．
故选：C．
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【考点10 全称量词与特称量词命题】
方法技巧：
（1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命
题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否
定的真假．
（2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可
利用等价命题求参数的范围．
【典例1】（2024•凉山州模拟）已知命题“
+m≤0”是
假命题，则m 的取值范围为（ ）
A．[﹣2，+∞）
B．（﹣2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（﹣∞，﹣2]
【答案】B
【解答】解：因为命题“
+m≤0”是假命题，
所以∃x∈R，sin2x+2sin（
+x）+m＞0 是真命题，
即∃x∈R，1﹣cos2x+2cosx+m＞0 是真命题，
整理得m+2＞（cosx﹣1）2有解，
所以m+2＞（cosx﹣1）2
min＝0，
所以m+2＞0，即m＞﹣2．
故选：B．
【典例2】（2024•昌乐县校级模拟）“a＜﹣1”是“∃x0∈R，asinx0+1＜0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：必要性：设f（x）＝asinx+1，当a＞0 时，f（x）∈[1﹣a，1+a]，∴1﹣a＜
0，即a＞1；
当a＜0 时，f（x）∈[1+a，1﹣a]，∴1+a＜0，即a＜﹣1．
故a＞1 或a＜﹣1；
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充分性：取
，当a＜﹣1 时，asinx0+1＜0 成立．
∴“a＜﹣1”是“∃x0∈R，asinx0+1＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【典例3】（2024•莲湖区校级二模）设函数f（x）＝ax2﹣2ax，命题“∃x∈[2，6]，f（x）
≤﹣2a+3”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．（3，+∞）
C．（2，+∞）
D．
【答案】A
【解答】解：因为命题“∃x∈[2，6]，f（x）≤﹣2a+3”是假命题，所以∀x∈[2，6]，f
（x）＞﹣2a+3 恒成立，
则ax2﹣2ax+2a﹣3＞0，对∀x∈[2，6]恒成立，
令h（x）＝ax2﹣2ax+2a﹣3，则二次函数的对称轴为直线x＝1，
要使得∀x∈[2，6]，h（x）＞0 恒成立，则
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
．
故选：A．
【典例4】（2024•重庆模拟）若命题∃x∈R，﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0”为真命题，则m 的取
值范围为
{ m | m ≤﹣
3 或
m ≥
1}
．
【答案】{m|m≤﹣3 或m≥1}．
【解答】解：由题意，不等式﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0 有解，即不等式x2+2mx﹣2m+3≤0
有解，
设f（x）＝x2+2mx﹣2m+3，则函数图象开口向上，要使不等式f（x）≤0 有解，
则函数f（x）图象与x 轴有交点，则Δ＝4m2﹣4（﹣2m+3）≥0，
化简得m2+2m﹣3≥0，解得m≤﹣3 或m≥1．
故答案为：{m|m≤﹣3 或m≥1}．
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一．选择题（共11 小题）
1．（2024•平罗县校级三模）已知集合A＝{x|x2＝x}，则﹣1 与集合A 的关系为（ ）
A．﹣1∈A
B．﹣1∉A
C．﹣1⊆A
D．﹣1⊂A
【答案】B
【解答】解：因为集合A＝{x|x＝0 或1}＝{0，1}，
故A 错误，B 正确，
又因为元素与集合是属于关系，故C，D 错误，
故选：B．
2．（2024•莲湖区校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜7}，B＝{x|0＜x＜9}，则A∪B＝（
）
A．（﹣1，0）
B．（﹣1，9）
C．（0，7）
D．（0，9）
【答案】B
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜7}，B＝{x|0＜x＜9}，
则A∪B＝{x|﹣1＜x＜9}＝（﹣1，9）．
故选：B．
3．（2024•眉山模拟）设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，﹣1，
0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则{﹣3，2}＝（ ）
A．（∁UA）∩B
B．（∁UA）∪B
C．∁U（A∩B）
D．∁U（A∪B）
【答案】D
【解答】解：对于A，由（∁UA）∩B＝{﹣3，2，3}∩{﹣1，1，3}＝{3}，故A 错误；
对于B，（∁UA）∪B＝{﹣3，2，3}∪{﹣1，1，3}＝{﹣3，﹣1，1，2，3}，故B 错误；
对于C，∁U（A∩B）＝∁U{﹣1，1}＝{﹣3，﹣2，0，2，3}，故C 错误；
对于D，因为A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，3}，所以∁U（A∪B）＝{﹣3，2}，故D 正确．
故选：D．
4．（2024•河南模拟）已知集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2a}，若A⊆B，则a 的取值
范围为（ ）
A．[0，+∞）
B．[1，+∞）
C．（0，1]
D．（0，
]
【答案】A
【解答】解：因为集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2a}，
若A⊆B，则2a≥1，即a≥0．
22
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故选：A．
5．（2024•晋城三模）已知集合A＝{x∈Z|x+1＞0}，B＝{x|x≤a}，若A∩B 中有2 个元素，
则a 的取值范围是（ ）
A．[2，4）
B．[1，2）
C．[2，4]
D．[1，2]
【答案】B
【解答】解：A＝{x∈Z|x+1＞0}＝{x∈Z|x＞﹣1}，
因为A∩B 中只有2 个元素，则A∩B＝{0，1}，所以1≤a＜2．
故选：B．
6．（2024•长沙三模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合∁A∪B
（A∩B）＝（ ）
A．（﹣1，1）
B．（﹣2，2）
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
D．（﹣2，﹣1]∪[1，2）
【答案】D
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，
∴A∩B＝（﹣1，1），A∪B＝（﹣2，2），
∴集合∁A∪B（A∩B）＝（﹣2，﹣1]∪[1，2）．
故选：D．
7．（2024•洪山区校级模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|log2x≤1}，则
A∩B＝（ ）
A．（0，3）
B．（0，3]
C．（0，2]
D．（1，2]
【答案】D
【解答】解：解对数不等式log2x≤1 得：0＜x≤2，即B＝（0，2]，
又A＝（1，3），
所以A∩B＝（1，2]，
故选：D．
8．（2024•碑林区校级模拟）满足M⊆{a，b，c，d}且M∩{a，b，c}＝{a}的集合M 的个
数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解答】解：由题意可得{a}⊆M，b，c∉M．
又因为M⊆{a，b，c，d}，
23
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所以M＝{a}或M＝{a，d}．
故选：B．
9．（2024•南通模拟）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）≤2}，则集合A∩B
的子集个数为（ ）
A．32
B．16
C．8
D．4
【答案】C
【解答】解：A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）≤2}＝{x|1＜x≤5}，
则集合A∩B＝{2，3，4}，元素个数为3 个，
故集合A∩B 的子集个数为23＝8．
故选：C．
10．（2024•重庆模拟）已知集合
，则如图中
阴影部分表示的集合为（ ）
A．{1}
B．{0，1，4}
C．{﹣1，1，4}
D．{﹣1，0，1，4}
【答案】B
【解答】解：A＝{x|0≤x≤4}，
图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{0，1，4}．
故选：B．
11．（2024•凉山州模拟）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，则∁AB
＝（ ）
A．{x|x＝4k+3}
B．{x|x＝4k+3，k∈Z}
C．{x|x＝2k+3，k∈Z}
D．∅
【答案】B
【解答】解：因为集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}＝{x|x＝4k+1 或x＝4k+3，k∈Z}，B＝{x|x
＝4k+1，k∈Z}，
所以∁AB＝{x|x＝4k+3，k∈Z}，
故选：B．
二．填空题（共4 小题）
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12．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{m+2，1，4}，B＝{m2，1}，若B⊆A，则实数
m＝ ﹣
2
．
【答案】﹣2．
【解答】解：因为B⊆A，所以m2＝m+2 或m2＝4，⇒m＝﹣1 或m＝±2，
又由集合中元素的互异性可知m+2≠1 且m+2≠4 且m2≠1，⇒m≠±1 且m≠2，
综上m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．（2024•泰安模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，C＝{y|y＝x+a，
x∈A}，若B∩C＝∅，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣
1]
∪
[3
，
+ ∞）
．
【答案】（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
【解答】解：集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，C＝{y|y＝x+a，x∈A}，
∴B＝（1，4），C＝（1+a，2+a），
∵B∩C＝∅，
∴2+a≤1 或1+a≥4，
∴a≤﹣1 或a≥3，
故a 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
14．（2024•松江区校级模拟）已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝5}，B＝{（x，y）|3x+2y＝
8}，则A∩B＝
{ （
2 ，
1 ）
}
．
【答案】{（2，1）}．
【解答】解：解
得
，
∴A∩B＝{（2，1）}．
故答案为：{（2，1）}．
15．（2024•南通模拟）已知X 为包含v 个元素的集合（v∈N*，v≥3）．设A 为由X 的一些
三元子集（含有三个，元素的子集）组成的集合，使得X 中的任意两个不同的元素，都
恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称（X，A）组成一个v 阶的Steiner 三元系．
若（X，A）为一个7 阶的Steiner 三元系，则集合A 中元素的个数为
7
．
【答案】7．
【解答】解：由题设，令集合X＝{a，b，c，d，e，f，g}，共7 个元素，
所以X 的三元子集，如下共35 个：
25
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{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，f}，{a．b．g}，{a，c，d}，{a，c，e}，
{a，c，f}，{a，c，g}，{a，d，e}，{a，d，f}{a，d，g}，{a，e，f}，{a，e，g}，{a，
f，g}，{b，c，d}，{b，c，e}，{b，c，f}，{b，c，g}，{b，d，e}，{b，d，f}，{b，
d，g}，{b，e，f}，{b，e，g}，{b，f，g}，{c，d，e}，{c，d，f}，{c，d，g}，{c，
e，f}，{c，e，g}，{c，f，g}，{d，e，f}，{d，e，g}，{d，f，g}，{e，f，g}，
因为A 中集合满足X 中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，
所以A 中元素满足：
{a，b，c}，{a，d，e}，{a，f，g}，{b，d，f}，{b，e，g}，{c，d，g}，{c，e，f}，共
7 个；
{a，b，c}，{a，d，f}，{a，e，g}，{b，d，e}，{b，f，g}，{c，d，g}，{c，e，f}，共
7 个；
{a，b，c}，{a，d，g}，{a，e，f}，{b，d，e}，{b，f，g}，{c，d，f}，{c，e，g}，共
7 个；
{a，b，d}，{a，c，e}，{a，f，g}，{b，c，f}，{b，e，g}，{c，d，g}，{d，e，f}，共
7 个；
{a，b，d}，{a，c，g}，{a，e，f}，{b，c，e}，{b，f，g}，{c，d，f}，{d，e，g}，共
7 个；
{a，b，d}，{a，c，f}，{a，e，g}，{b，c，e}，{b，f，g}，{c，d，g}，{d，e，f}，共
7 个；
{a，b，e}，{a，c，d}，{a，f，g}，{b，c，f}，{b，d，g}，{c，e，g}，{d，e，f}，共
7 个；
{a，b，e}，{a，c，f}，{a，d，g}，{b，c，d}，{b，f，g}，{c，e，g}，{d，e，f}，共
7 个；
{a，b，e}，{a，c，g}，{a，d，f}，{b，c，d}，{b，f，g}，{c，e，f}，{d，e，g}，共
7 个；
{a，b，f}，{a，c，d}，{a，e，g}，{b，c，e}，{b，d，g}，{c，f，g}，{d，e，f}，共
7 个；
{a，b，f}，{a，c，g}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，e，g}，{c，e，f}，{d，f，g}，共
7 个；
{a，b，g}，{a，c，d}，{a，e，f}，{b，c，e}，{b，d，f}，{c，f，g}，{d，e，g}，共
26
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7 个；
{a，b，g}，{a，c，e}，{a，d，f}，{b，c，d}，{b，e，f}，{c，f，g}，{d，e，g}，共
7 个；
{a，b，g}，{a，c，f}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，e，f}，{c，e，g}，{d，f，g}共7
个；
共有15 种满足要求的集合A，都只有7 个元素．
故答案为：7．
三．解答题（共1 小题）
16．（2024•海淀区校级模拟）设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且A⊆N*．如果对
于A 中的任意两个不同的元素x，y，都有|x﹣y|≠k，则称A 具有性质P（k）．
（1）试判断集合B＝{1，2，3，4}和C＝{1，4，7，10}是否具有性质P（2）？并说明
理由；
（2）若集合A＝{a1，a2，
，
⋯
a12}⊆{1，2，
，
⋯
20}，求证：A 不可能具有性质P
（3）；
（3）若集合A⊆{1，2，
，
⋯
2023}，且同时具有性质P（4）和P（7），求集合A 中元
素个数的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为B＝{1，2，3，4}，
又1∈N*，2∈N*，3∈N*，4∈N*，但|4﹣2|＝2，
所以集合B 不具有性质P（2），
因为C＝{1，4，7，10}，
又1∈N*，4∈N*，7∈N*，10∈N*，
但|4﹣1|＝3，|7﹣1|＝6，|10﹣1|＝9，|7﹣4|＝3，|10﹣4|＝6，|10﹣7|＝3，
所以集合C 具有性质P（2），
（2）证明：将集合{1，2，
，
⋯
20}中的元素分为如下11 个集合，
{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}．{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，
18}，{19}，{20}，
所以从集合{1，2，
，
⋯
20}中取12 个元素，则前9 个集合至少要选10 个元素，
所以必有2 个元素取自前9 个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，
所以A 不可能具有性质P（3）；
（3）先说明连续11 项中集合A 中最多选取5 项，
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以1，2，3……，11 为例．
构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}．
①5，6，7 同时选，因为具有性质P（4）和P（7），
所以选5 则不选1，9；选6 则不选2，10；选7 则不选3，11；
则只剩4，8．故1，2，3……，11 中属于集合A 的元素个数不超过5 个．
②5，6，7 选2 个，
若只选5，6，则1，2，9，10，7 不可选，又{4，11}只能选一个元素，
3，8 可以选，故1，2，3……，11 中属于集合A 的元素个数不超过5 个．
若选5，7，则只能从2，4，8，10 中选，但4，8 不能同时选，
故1，2，3……，11 中属于集合A 的元素个数不超过5 个．
若选6，7，则2，3，10，11，5 不可选，又{1，8}只能选一个元素，
4，9 可以选，故1，2，3……，11 中属于集合A 的元素个数不超过5 个．
③5，6，7 中只选1 个，
又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1 个元素，
故1，2，3……，11 中属于集合A 的元素个数不超过5 个．
由上述①②③可知，连续11 项自然数中属于集合A 的元素至多只有5 个，
如取1，4，6，7，9．
因为2023＝183×11+10，则把每11 个连续自然数分组，前183 组每组至多选取5 项；
从2014 开始，最后10 个数至多选取5 项，故集合A 的元素最多有184×5＝920 个．
给出如下选取方法：从1，2，3……，11 中选取1，4，6，7，9；
然后在这5 个数的基础上每次累加11，构造183 次．
此时集合A 的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，
31；…………；
2014，2017，2019，2020，2022，共920 个元素．
经检验可得该集合符合要求，故集合A 的元素最多有920 个．
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