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专题02 不等式
【考点1 不等式的性质】
【考点2 大小比较】
【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】
【考点4 利用基本不等式求参数】
【考点5 一元二次不等式求解】
【考点6 根据一元二次不等式解求参数】
【考点7 不等式恒成立问题】
【考点8 基本不等式的其他应用】
【考点9 不等式与线性规划综合】
知识点1 不等式的性质
（1）对称性：a>b⇔b<a．
（2）传递性：a>b，b>c⇒a>c．
（3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc．
（5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
知识点2 两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
1
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知识点3 基本不等式
（1）基本不等式：≤．
（2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
（3）等号成立的条件：当且仅当a＝b 时，等号成立．
（4）其中叫做正数a，b 的算术平均数，叫做正数a，b 的几何平均数．
知识点4 几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）＋≥2(a，b 同号)．
（3）ab≤
(a，b∈R)．
（4）≥
(a，b∈R)．
知识点5 三个“二次”的关系
判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数的图象
方程的根
有两个不相等的实
数根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数
根x1＝x2＝－
没有实数根
不等式的解集
{x|x<x1，或x>x2}
{x|x≠－}
R
知识点6 分式不等式与绝对值不等式
（1）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
（2）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
（3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)
(
∪a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)．
【考点1 不等式的性质】
方法技巧：
2
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判断不等式的常用方法．
（1）利用不等式的性质逐个验证．
（2）利用特殊值法排除错误选项．
（3）作差法．
（4）构造函数，利用函数的单调性．
【典例1】（2024•淮北模拟）已知a，b∈R，下列命题正确的是（ ）
A．若ab＝1，则a+b≥2
B．若
，则a＞b
C．若a＞b，则ln（a﹣b）＞0
D．若a＞b＞0，则
【答案】D
【解答】解：当a＜0，b＜0 时，A 显然错误；
当a＝﹣1，b＝1 时，B 显然错误；
当a＝2，b＝1 时，C 显然错误；
若a＞b＞0，则
＞
，
所以a+
＞b+
，D 正确．
故选：D．
【典例2】（2024•郫都区校级模拟）已知非零实数a，b 满足a＞|b|+1，则下列不等关系不
一定成立的是（ ）
A．a2＞b2+1
B．2a＞2b+1
C．a2＞4b
D．
＞b+1
【答案】D
【解答】解：非零实数a，b 满足a＞|b|+1⇔a2＞b2+2|b|+1＞b2+1，A 一定成立；
a＞|b|+1≥b+1⇒2a＞2b+1，B 一定成立；
又b2+1≥2|b|，故a2＞4|b|≥4b，C 一定成立；
令a＝5，b＝3，即可推得D 不一定成立．
故选：D．
【典例3】（2024•固始县校级三模）若a，b∈R，且a＞b，则（ ）
3
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A．
B．a2b＞ab2
C．a2＞ab＞b2
D．
【答案】D
【解答】解：当a＝1，b＝﹣1 时，A，B 显然错误；
当a＜0，b＜0 时，C 显然错误；
由a＞b 可得2a＞a+b＞2b，
即a＞
＞b，D 正确．
故选：D．
【典例4】（2024•东城区一模）已知a，b∈R，ab≠0，且a＜b，则（ ）
A．
B．ab＜b2
C．a3＜b3
D．lg|a|＜lg|b|
【答案】C
【解答】解：A 项，当a＝﹣1，b＝1 时，不等式不成立，错误；
B 项，当b＝1，a＝1，则ab﹣b2＝1﹣1＝0，则ab＝b2，错误；
C 项，a＜b，则a3＜b3，正确；
D 项，当a＝﹣10，b＝10 时，lg|a|＝lg|b|＝lg10＝1，错误．
故选：C．
【典例5】（多选）（2024•合肥模拟）已知实数a，b 满足0＜a＜b＜1，则（ ）
A．
B．a+b＞ab
C．ab＜ba
D．
【答案】BCD
【解答】解：因为0＜a＜b＜1，
所以a﹣b＜0，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0，
对于
，故A 错误；
4
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对于B，a+b﹣ab＝a+b（1﹣a）＞0，则a+b＞ab，故B 正确；
对于C，令
，
当0＜x＜e 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
因为0＜a＜b＜1，则f（a）＜f（b），得
，即blna＜alnb，
所以lnab＜lnba，
因为y＝lnt 在t＞0 时单调递增，所以ab＜ba，故C 正确；
对于D，因为函数g（x）＝2x﹣
在R 上单调递增，
因为0＜a＜b＜1，
所以g（a）＜g（b），即
，
所以
，故D 正确．
故选：BCD．
【考点2 大小比较】
5
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【典例1】（2024•李沧区校级模拟）设a= sin 2
2
，b＝log2sin2，c＝2sin2，则下列关系正确
的是（ ）
A．a＞c＞b
B．c＞a＞b
C．b＞a＞c
D．a＞b＞c
【答案】B
【解答】解：∵0＜sin2＜1，
∴0＜sin2
2
＜1
2，∴0＜a＜1
2；
∵log2sin2＜log21＝0，∴b＜0；
∵2sin2＞20＝1，∴c＞1，
∴c＞a＞b．
故选：B．
【典例2】（2024•青羊区校级模拟）若lna＝﹣1，eb=√2，3c＝ln3，则a，b，c 的大小关
系为（ ）
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．a＞b＞c
【答案】A
【解答】解：a= 1
e = lne
e ，b= ln2
2 = ln 4
4 ，c = ln3
3 ，
设f ( x)= lnx
x ，f '( x)= 1−lnx
x
2
，则x≥e 时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[e，+∞）上单调递减，
∴f（e）＞f（3）＞f（4），即lne
e ＞ln3
3 ＞ln 4
4 ，
6
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∴a＞c＞b．
故选：A．
【典例
3 】（2024• 博爱县校级三模）函数f ( x)=
1
x
2+1
，记
a= f (−1
2 )，b= f (3
−0.5)，c = f (lo g5
1
2 )，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
【答案】B
【解答】解：因为f ( x)=
1
x
2+1，可得f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上为减函数，
则c＝f（log51
2）＝f（﹣log52）＝f（log52），a＝f（−1
2）＝f（1
2），
又由0＜log52＜log5√5= 1
2；
3﹣0.5= 1
√3 ＞1
2，
故有b＜a＜c．
故选：B．
【典例4】（2024•李沧区校级模拟）设a＝log73，b=lo g 1
3
7，c＝30.7，则a，b，c 的大小
关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
【答案】D
【解答】解：0＝log71＜a＝log73＜log77＝1，
b=lo g 1
3
7＜lo g 1
3
1=0，
c＝30.7＞30＝1，
∴b＜a＜c．
故选：D．
【典例5】（多选）（2024•柳州三模）若a＞b，则（ ）
A．a3﹣b3＞0
B．ln（a﹣b）＞0
C．ea﹣b＞1
D．|a|﹣|b|＞0
【答案】AC
【解答】解：由于函数y＝x3是R 上的增函数，所以当a＞b 时，a3＞b3，可得a3﹣b3＞0
7
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成立，故A 项正确；
当a＝b+1 时，ln（a﹣b）＝ln1＝0，所以ln（a﹣b）＞0 不成立，故B 项不正确；
因为a＞b 即a﹣b＞0，且函数y＝ex是R 上的增函数，所以ea﹣b＞e0＝1，故C 项正确；
当a＞b 时，取a＝﹣1，b＝﹣2，此时|a|﹣|b|＝﹣1＜0，故D 项不正确．
故选：AC．
【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】
技巧一:凑项
【典例1】（2024•林芝市一模）已知x＞1，则
的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．7
【答案】C
【解答】解：因为x＞1，所以
＝2（x﹣1）+
+2≥
+2＝
6，
当且仅当2（x﹣1）＝
，即x＝2 时等号成立，
所以
的最小值是6．
故选：C．
技巧二:凑系数
【典例1】（2024•成都三模）若正实数a，b 满足a2+b2＝m，则a+b 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2m
【答案】A
【解答】解：若正实数a，b 满足a2+b2＝m，
则a+b≤2×
＝
，当且仅当a＝b＝
时取等号．
故选：A．
技巧三: 分离
【典例1】（2024•安徽三模）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，则
的最小值为
8
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（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y＝1，
∴
＝
，当且仅当
，即
时取等号，
∴
的最小值为：
．
故选：D．
【典例2】（2024•新余二模）已知x，y 为正实数，且x+y＝2，则
的最小值为（
）
A．12
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：因为x，y 为正实数，且x+y＝2，
则
＝
＝
＝
（
）（x+y）
＝
（13+
+
）
（13+2
）＝
，
当且仅当2x＝3y，即y＝
，x＝
时取等号．
故选：C．
【典例3】（2024•山东模拟）设正实数a，b 满足a+2b＝1，则
的最小值为（
）
A．
B．17
C．
D．16
9
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【答案】C
【解答】解：正实数a，b 满足a+2b＝1，
则
＝
＝
＝
+
+8
+8 ＝8+4
，当且仅当
＝
且a+2b ＝1 ，即a ＝
，b＝
时取等号．
故选：C．
技巧四:换元
【典例1】（2024•苏州模拟）已知a，b∈R，a+b＝4，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：因为a+b＝4，
令a＝2+t，b＝2﹣t，
则
＝
+
＝
+
＝
，
令u＝5+t2，则u≥5，
上式可化为g（u）＝
＝
＝
，当且仅当u＝
，即u＝4
时取等号．
故选：D．
技巧五:函数的单调性
10
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【典例1】（2024•一模拟）已知函数f（x）＝log2（
﹣x），若对任意的正数a，
b，满足f（a）+f（3b﹣1）＝0，则
的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．12
D．24
【答案】C
【解答】解：f（x）＝log2（
﹣x），
因为
﹣x＞
﹣x≥x﹣x＝0，所以定义域为：R，
因为：f（x）＝log2（
﹣x），f（x）＝log2（
），所以：f（x）为减
函数
因为f（x）＝log2（
），：f（﹣x）＝log2（
+x），所以：f（x）＝﹣
f（﹣x），f（x）为奇函数，
因为：f（a）＝f（3b﹣1）＝0，所以：f（a）＝f（1﹣3b），a＝1﹣3b，即a+3b＝1，
所以
+
＝（
+
）（a+3b）＝
+
+6，
因为：
+
≥2
＝6，
所以
+
＝（
+
）（a+3b）＝
+
+6≥12，（当且仅当a＝
，b＝
时，等号成
立），
故选：C．
【典例2】（2024•新县校级模拟）已知m，n∈R，且m+2n＝2，则m•2m+n•22n+1的最小值
为
4
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵2n＝2﹣m
∴f（m）＝m•2m+n•22n+1＝m•2m+（2﹣m）•22﹣m
令g（m）＝m•2m，h（m）＝（2﹣m）•22﹣m
当m≤0 时，h（m）为增函数，且h（m）≥h（0）＝8
11
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g（m）＝﹣|m|•2﹣|m|由于从y＝x 与y＝2x的图象易知，|m|≤2|m|，所以|m|•2﹣|m|≤1，
g（m）＝﹣|m|•2﹣|m|≥﹣1
f（m）＝g（m）+h（m）≥﹣1+8＝7
当m≥2 时，由g（m）与h（m）关于x＝1 对称，同上可得f（m）≥7
当 0＜m＜2 时，g（0）＝h（2）＝0，g（2）＝h（0）＝8
g'（m）＝（mln2+1）2m＞0，h'（m）＝﹣[（2﹣m）ln2+1]22﹣m＜0 且g'（m），
h'（m）均为单调递增
当0 ＜m ＜1 时，g' （m ）＜g' （1 ）＝2 （ln2+1 ），h' （m ）＜h′ （1 ）＝﹣2
（2ln2+1），
f′（m）＝g'（m）+h'（m）＜0 单调递减
当1≤m＜2 时，同理，可得f′（m）＝g'（m）+h'（m）≥g'（1）+h'（1）＝0 单调递
增（当m＝1 时等号成立）
所以当m＝1 时，f（m）取最小值，
即当m＝1，n＝
时，m•2m+n•22n+1的最小值为4
故答案为：4
技巧六:整体代换
【典例1】（2024•安徽模拟）已知m，n∈（0，+∞），
，则
的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解答】解：∀m，n∈（0，+∞），
，
则
，
当且仅当
且
，即m＝1，n＝3 时等号成立．
故选：B．
【典例2】（2024•江苏模拟）设x＞0，y＞0，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
12
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【答案】C
【解答】解：因为x＞0，y＞0，
，
则
＝
（x+
）（
）＝
（3+
）
（3+2
），
当且仅当2xy＝
，即xy＝
，此时x＝
，y＝2﹣
时取等号．
故选：C．
【典例3】（2024•龙华区校级二模）已知x＞0，y＞0，且
，则
的最小值为
16
．
【答案】16．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且
，
∴
，当且仅当
时取等号，
∴
的最小值为16．
故答案为：16．
技巧七：利用sin ² a+cos ² a=l 转换式子
【典例1】（2024•昭通模拟）
的最小值为
9
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：令t＝sin2x，则
＝
，
＝（
）[t+（1﹣t）]＝5+
≥9，
当且仅当
时取等号，
故答案为：9．
技巧八:解决二元函数的最值问题
13
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【典例1】（2024•凉山州模拟）已知正数x，y 满足x+2y＝1，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：由x+2y＝1，可得
＝
＝
＝
，
因为x，y 是正数，所以
，当且仅当x＝
时，等号成立．
因此
＝
，当x＝
，y＝
时，则
的最大值
为
．
故选：C．
【典例2】（2024•松江区校级模拟）设实数x、y 满足|x+y|＝1，则xy 的最大值是
．
【答案】
【解答】解：因为|x+y|＝1，所以x+y＝±1，
所以（x+y）2＝x2+y2+2xy≥2xy+2xy＝4xy，
即1≥4xy，当且仅当x＝y＝
时，等号成立，
所以xy≤
，
所以xy 的最大值是
．
故答案为：
．
【考点4 利用基本不等式求参数】
【典例1】（2024•江西模拟）已知集合M＝{x|lnx＜0}，N＝{x|ex﹣a＞0}，若M⊆N，则实
数a 的取值范围为（ ）
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A．（﹣∞，1]
B．（﹣∞，1）
C．（﹣∞，e]
D．（﹣∞，e）
【答案】A
【解答】解：由lnx＜0 得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}，
因为M⊆N，所以a＜ex对∀x∈（0，1）恒成立，
所以a≤1．
故选：A．
【典例2】（2024•思明区校级模拟）已知
，若2∈A，则m 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【解答】解：因为
，
若2∈A，则
，
解得﹣
．
故选：A．
【典例3】（2024•天河区二模）若实数m 满足log2（﹣m）＜m+1，则m 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（﹣1，0）
【答案】D
【解答】解：当m＝﹣1 时，log2（﹣m）＝m+1，故A 错误；
当m＞0 时，对数函数无意义，故B 错误；
当m＝﹣2 时，log2（﹣m）＞m+1，故C 错误．
故选：D．
【典例4】（2024•昌乐县校级模拟）若正数a，b 满足ab＝a+b+3，则a+b 的取值范围是（
）
A．[6，+∞）
B．[9，+∞）
C．（0，6]
D．（0，9）
【答案】A
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【解答】解：由题意知a，b 为正数，且ab＝a+b+3，
所以
，化简得（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，解得a+b≥6，
当且仅当a＝b＝3 时取等号，所以a+b∈[6，+∞），故A 正确．
故选：A．
【考点5 一元二次不等式求解】
【典例1】（2024•河北模拟）已知集合A＝{x∈N|x≤5}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则
A∩B＝（ ）
A．{2}
B．{0，1，3，4，5}
C．{0，4，5}
D．{4，5}
【答案】C
【解答】解：集合A＝{x∈N|x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，
集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3 或x＜1}，
故A∩B＝{0，4，5}．
故选：C．
【典例2】（2024•原州区校级模拟）已知集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x∈N|x＜3}，
则A∩B＝（ ）
A．{1}
B．{0，1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
【答案】B
【解答】解：集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣3≤x≤1}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，
1}，
B＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}，
则A∩B＝{0，1}．
故选：B．
【典例3】（2024•东城区校级三模）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2+3x+2＞0}，则
（ ）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．B⊆∁UA
D．∁UA⊆B
【答案】D
【解答】解：B＝{x|x2+3x+2＞0}＝{x|x＞﹣1 或x＜﹣2}，
全集U＝R，A＝{x|x＜1}，
则∁UA＝{x|x≥1}，
故∁UA⊆B．
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故选：D．
【考点6 根据一元二次不等式解求参数】
【典例1】（2024•河池二模）已知A＝{x|x2﹣ax+1≤0}，若2∈A，且3∉A，则a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：因为A＝{x|x2﹣ax+1≤0}，若2∈A，且3∉A，
则
，解得
≤a＜
，
所以a 的取值范围是[
，
）．
故选：A．
【典例2】（2024•永寿县校级模拟）已知集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2＜0}，B＝{x∈N|0≤log2
（x+1）＜2}，则A∪B 的真子集的个数为（ ）
A．16
B．15
C．14
D．8
【答案】B
【解答】解：集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2＜0}＝{x∈Z|﹣2＜x＜1}＝{﹣1，0}，
集合B＝{x∈N|0≤log2（x+1）＜2}＝{x∈N|1≤x+1＜4}＝{x∈N|0≤x＜3}＝{0，1，2}，
所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}，它的真子集有24﹣1＝15（个）．
故选：B．
【典例3】（2024•济宁一模）设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|﹣a≤x≤a}，若A⊆B，
则实数a 的取值范围是
[3
，
+ ∞）
．
【答案】[3，+∞）．
【解答】解：由题意得A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，A⊆B，所以
，则
a≥3，即a∈[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
【考点7 不等式恒成立问题】
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【典例1】（2023 秋•滨州期末）已知不等式x2﹣ax+4≥0 对于任意的x∈[1，3]恒成立，则
实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4]
B．[4，+∞）
C．（﹣∞，5]
D．[5，+∞）
【答案】A
【解答】解：若不等式x2﹣ax+4≥0 对于任意的x∈[1，3]恒成立，
则x2+4≥ax 对于任意的x∈[1，3]恒成立，
即x+
≥a 对于任意的x∈[1，3]恒成立，
∵当x∈[1，3]时，x+
∈[4，5]
故a≤4
即实数a 的取值范围是（﹣∞，4]
故选：A．
【典例2】（多选）（2024•广东模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝8，则下列不等式恒成立的是
（ ）
A．
B．
C．a2+b2≥32
D．
【答案】ACD
【解答】解：a+b＝8，
对于A，
＝4，当且仅当a＝b＝4 时，等号成立，故A 正确；
对于B，
a+b+a+b＝16，当且仅当a＝b＝4 时，等号成立，
故
，故B 错误；
对于C，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣2ab≥64﹣
＝32，当且仅当a＝b＝4 时，
等号成立，故C 正确；
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对于D，a＞0，b＞0，a+b＝8，
则
＝
≥
，当且仅当
，即a＝
，b＝
时，等号成立，故D 正确．
故选：ACD．
【典例3】（多选）（2023 秋•湖北期末）设x∈R，不等式ax2﹣2ax﹣3＜0 恒成立的充分不
必要条件可以是（ ）
A．﹣4＜a≤0
B．﹣2＜a＜0
C．﹣3＜a＜0
D．﹣4＜a＜1
【答案】BC
【解答】解：当a＝0 时，不等式为﹣3＜0，满足题意；
a≠0 时，则必有a＜0 且Δ＝（﹣2a）2+4a×3＜0，
解得﹣3＜a＜0，
故a 的取值范围为﹣3＜a≤0，
由题意知所选不等式ax2﹣2ax﹣3＜0 恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为
（﹣3，0]的真子集，
故选项B，C 满足条件．
故选：BC．
【考点8 基本不等式的其他应用】
【典例1】（2024•梅县区校级一模）在△ABC 中，E 为AC 上一点，
，P 为BE 上
任一点，若
，则
的最小值是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】D
【解答】解：∵
，
∴
＝
＝
+
，
∵P 为BE 上任一点，∴m+3n＝1．
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∴
＝（m+3n）
＝3+3+
+
≥
＝12，当且仅当m＝3n＝
时取等号．
故选：D．
【典例2】（2024•古蔺县校级模拟）在△ABC 中，若C＝
，则sinAsinB 的最大值是
．
【答案】
．
【解答】解：在△ABC 中，C＝
，则sinA＞0，sinB＞0，
由基本不等式得sinAsinB≤
，
∵A+B＝
，sinB＝cosA，
∴sinAsinB≤
＝
＝
，等号当sinA＝sinB＝
成立，
则sinAsinB 的最大值是
．
故答案为：
．
【考点9 不等式与线性规划综合】
【典例1】（2024•汉中模拟）若实数x，y 满足约束条件
则z＝2x+3y 的最
小值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
【答案】C
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
20
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联立
，解得
，则A（1，﹣1）．
化目标函数z＝2x+3y 为y＝﹣
x
z．
由图可知，当直线y＝﹣
x
z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大小，z 有最小值为
2×1+3×（﹣1）＝﹣1．
故选：C．
【典例2】（2024•大通县二模）若实数x，y 满足约束条件
则z＝x+4y 的最
大值为（ ）
A．
B．6
C．13
D．15
【答案】C
【解答】解：实数x，y 满足约束条件
，
则表示的可行域如图阴影部分所示．
21
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当直线z＝x+4y 经过点A 时，z 取得最大值，
由
，解得x＝5，y＝2，
所以zmax＝5+4×2＝13．
故选：C．
一．选择题
1．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{x|1＜x2＜9}，
，则A∩B
＝（ ）
A．（﹣3，2）
B．（﹣2，3）
C．（﹣3，﹣2）∪（2，3）
D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
【答案】D
【解答】解：A＝{x|1＜x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜﹣1 或1＜x＜3}，
，
所以A∩B＝（﹣2，﹣1）∪（1，2）．
故选：D．
2．（2024•大兴区校级模拟）若集合A＝{x∈N|2x＜4}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B
＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2}
B．{﹣2，﹣1，0，1}
22
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C．{0，1}
D．{1}
【答案】C
【解答】解：集合A＝{x∈N|2x＜4}＝{0，1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{0，1}．
故选：C．
3．（2024•香坊区校级模拟）已知集合
，B＝{x|log2x≥1}，则（∁UA）
∩B＝（ ）
A．[2，3]
B．（2，3）
C．（﹣∞．﹣1]∪（2，+∞）
D．（2，+∞）
【答案】A
【解答】解：集合
＝{x|x＞3 或x＜﹣1}，
则∁UA＝{x|﹣1≤x≤3}，
B＝{x|log2x≥1}＝{x|x≥2}，
故（∁UA）∩B＝[2，3]．
故选：A．
4．（2024•袁州区校级三模）已知集合M＝{x|lgx＞0}，
，则
M∩N＝（ ）
A．（1，2]
B．（4，+∞）
C．（1，2）∪[4，+∞）
D．（1，2]∪[4，+∞）
【答案】D
【解答】解：M＝{x|lgx＞0}＝{x|x＞1}，
或x≤2}，
所以M∩N＝{x|x＞1}∩{x|x≥4 或x≤2}＝（1，2]∪[4，+∞）．
故选：D．
5．（2024•郊区校级三模）已知
，（a＞0，b＞0），则下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．a2+b2≤6
D．ab≥3
23
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【答案】C
【解答】解：对于选项A，
＝
，当且仅当
且
即
时，等号成立，
所以
，
，故A 正确；
对于选项B，因为
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
，解得
，故B 正确；
对于选项C，因为
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
，故C 错误；
对于选项D，因为
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
，故D 正确．
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故选：C．
6．（2024•思明区校级模拟）已知集合
，则（
）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．A∩B＝∅
D．A∪B＝R
【答案】A
【解答】解：由
，得
，则
，
所以A⊆B，A 正确，B 错误；
A∩B＝{x|0＜x＜3}，A∪B＝{x|0＜x＜
}，C，D 错误．
故选：A．
7．（2024•江苏模拟）若集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．（1，3]
B．（2，3]
C．（1，6]
D．（2，6]
【答案】D
【解答】解：集合A＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，
B＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}，
故A∩B＝{x|2≤x≤6}．
故选：D．
8．（2024•临汾模拟）若0＜x＜1，则
的最小值是（ ）
A．1
B．4
C．
D．
【答案】D
【解答】解：因为0＜x＜1，所以1﹣x＞0，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，取得最小值
．
故选：D．
9．（2024•雨城区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且
，则
的最小值为（
）
A．9
B．10
C．12
D．13
25
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【答案】D
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且
，两边同时乘以x，可得
＝x﹣3，
所以
＝2x+y+x﹣3＝3x+y﹣3＝（3x+y）（
+
）﹣3＝9+1+
+
﹣3≥7+2
＝13，
当且仅当
＝
，即x＝y＝4 时取等号，
所以
的最小值为13．
故选：D．
10．（2024•安徽模拟）已知全集U＝R，集合
，
，
则M∩N 等于（ ）
A．[﹣1，1）
B．[0，1）
C．（﹣3，0）
D．（﹣3，﹣1）
【答案】B
【解答】解：由
，即（x﹣1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜1，
所以M＝{x|﹣3＜x＜1}，
又
，
所以M∩N＝{x|0≤x＜1}．
故选：B．
11．（2024•济南校级模拟）已知x，y 为正实数，且x+y＝1，则
的最小值为（
）
A．24
B．25
C．
D．
【答案】B
【解答】解：因为x，y 为正实数，且x+y＝1，
所以
26
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＝
，
当且仅当
即
时，等号成立，所以
的最小值为25．
故选：B．
12．（2024•玄武区校级二模）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈N|2﹣x＞0}，则
A∩B＝（ ）
A．{3，4}
B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{2，3，4}
【答案】B
【解答】解：由题意可得A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x＜2}＝{0，1}，
则A∩B＝{0，1}．
故选：B．
13．（2024•揭阳二模）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+1 在（2，6）上不单调，则a 的取值范
围为（ ）
A．（2，6）
B．（﹣∞，2]∪[6，+∞）
C．（4，12）
D．（﹣∞，4]∪[12，+∞）
【答案】C
【解答】解：
，则
，
得4＜a＜12，即a 的范围（4，12）．
故选：C．
14．（2024•商洛模拟）在不等式组
表示的平面区域内任取一点P（x，y），
则满足y≥x﹣2 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【解答】解：画出不等式组
表示的平面区域，如图为△OAB 及其内部，
其中O（0，0），A（6，0），B（3，3），
所以S△AOB＝
×6×3＝9．
设直线y＝x﹣2 与直线y＝0，x+y﹣6＝0 分别交于点C（2，0），D（4，2），
所以满足y≥x﹣2 的平面区域为四边形OCDB 及其内部，
所以S 四边形OCDB＝S△AOB﹣S△CAD＝9﹣
×4×2＝5，
所以满足y≥x﹣2 的概率为P＝
．
故选：C．
15．（2024•4 月份模拟）若函数f（x）＝|x2﹣（m﹣2）x+1|在
上单调，则实数
m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：设g（x）＝x2﹣（m﹣2）x+1，则方程g（x）＝0 的根的判别式Δ＝（m﹣
2）2﹣4＝m2﹣4m．
①当Δ≤0 时，即0≤m≤4 时，g（x）≥0 恒成立，故f（x）＝g（x）＝x2﹣（m﹣2）
x+1，
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若f（x）在
上单调，则g（x）函数图象的对称轴
，
即
或
，解得0≤m≤1 或3≤m≤4；
②当Δ＞0 时，m＜0 或m＞4，
（i）当m＜0 时，g（x）＝0 有两个不相等的实数根x1、x2，且它们都是负数，设x1＜
x2，
若f（x）在
上单调，则
，即g（
）＝
，解
得
；
（ii）当m＞4 时，g（x）＝0 有两个不相等的实数根x1、x2，且它们都是正数，设x1＜
x2，
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若f（x）在
上单调，则
，即g（
）＝
，解得
．
综上所述，
或
，即实数m 的取值范围是
．
故选：C．
16．（2024•高碑店市校级模拟）若关于x 的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0 的解集中恰有3
个正整数，则实数m 的取值范围为（ ）
A．5＜m≤6
B．5≤m≤6
C．6＜m≤7
D．6≤m≤7
【答案】C
【解答】解：关于x 的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0，
可化为（x﹣m）（x﹣3）＜0，
该不等式的解集中恰有3 个正整数，
故不等式的解集为{x|3＜x＜m}，且6＜m≤7；
故选：C．
17．（2024•西安模拟）已知x，y 满足约束条件
，则z＝﹣3x+6y 的最大值
为（ ）
A．18
B．14
C．10
D．﹣30
【答案】B
30
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【解答】解：画出约束条件
表示的平面区域，如图所示：
平移目标函数z＝﹣3x+6y，知直线y＝
x+
z 过点A 时，z 取得最大值，
由
，解得（
，
），
所以z 的最大值为zmax＝﹣3×
+6×
＝14．
故选：B．
18．（2024•榆阳区校级模拟）已知实数x，y 满足约束条件
，则z＝2x+y﹣1 的
最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
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联立
，解得A（1，3）
由z＝2x+y﹣1，得y＝﹣2x+z+1，由图可知，当直线y＝﹣2x+z﹣1 过A 时，z 有最大值
为2×1+3﹣1＝4．
故选：D．
二．填空题（共1 小题）
19．（2024•河东区一模）若a＞0，b＞0，ab＝2，则
的最小值为
4
．
【答案】4．
【解答】解：若a＞0，b＞0，ab＝2，
则
＝
＝
＝2（b+
）
＝4，
当且仅当b＝
，即b＝1 时取等号．
故答案为：4．
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