专题3
数列求和三大压轴题型
（分组、错位相减、裂项相消法）
一、
分组求和法
常见题型：
1）形如
na 等差+等比、等差+等差*等比、等差+裂项等等可以拆分为两个数列的形式；
2）形如
( ),
2
1,
N
( ),
2 ,
N
n
f n n
k
k
a
g n n
k k
这种奇偶项分开的数列求和时，用分组求和法.
二、
错位相减法
数列
nc
的通项为
(
)
n
nc
kn
b
q
或
n
n
kn
b
c
q
（公比为：1
q ），即“等差*等比数列”，求其前n 项和
n
S .
若
na
是公差为
0
d d
的等差数列，
nb
是公比为
1
q q
的等比数列，求数列
n n
a b
的前n 项和
n
S ．
基本步骤
用错位相减法求数列前n 项和过程可概括为“一加、二乘、三减、四除”八字
一加：将数列的各项展开相加
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
S
a b
a
b
a
b
a
b
①
二乘：对所列等式的每一项都乘上等比数列的公比q
1
2
2
3
1
1
n
n
n
n
n
qS
a b
a
b
a
b
a
b
②
三减：将列出的两等式上减下，错位相减，①-②得
1
1
2
3
1
(1
)
(
)
n
n
n
n
q S
a b
d b
b
b
a
b
四除：右侧括号部分用等比求和公式，注意为(
1)
n
项，左右两边同时除以(1
)
q
，再整理结果
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
b
b
q
a b
d
a
b
q
S
q
三、
裂项相消法:
常见求和类型有：
分式型：
1
1 1
1
n n
k
k
n
n
k
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
1
1
1
1
2
1 2
1
2 2
1
2
1
n
n
n
n
，
2
4
1
1
1
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
n
n
n
，
2
2
2
2
8
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
，
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
n n
n
n n
n
n
等；
指数型：
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
，
1
2
1
1
1 2
2
1 2
n
n
n
n
n n
n
n
等；
摆动型：
2
1
1
1
( 1)
( 1)
1
1
n
n
n
n n
n
n
；
根式型：
1
1
n
k
n
k
n
n
k
等；
对数型：
1
1
log
log
log
n
m
m
n
m
n
n
a
a
a
a
，
0
m
且
1
m ；
题型一分组求和法
典例1．已知数列
na
满足
1
1
a ，
*
1
N
2
3
n
n
n
a
a
n
a
，则
1
na
的前n 项和为
.
典例2．数列
na
满足
1
3
a
，
2
1
2
n
n
n
a
a
a
.
(1)若2
1
n
b
na
，求证：
nb
是等比数列.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)若
1
n
n
n
c
b
，
nc
的前n 项和为
nT ，求满足
100
nT
的最大整数n .
典例3．设数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
2
2
2,
( 1)
2
n
n
n
a
a
a
，则
60
S
.
典例4．已知数列
na
中，
1
1
2
a
，
1
1
3 5n
n
n
a
a
.
(1)判断
1
5
2
n
na
是否为等比数列？并求
na
的通项公式；
(2)若
2,
2
1,
N
4
2,
2 ,
N
n
n
k
k
b
n
n
k k
，求数列
n n
a b
的前n 项和
n
S .
练习题：
1．已知数列{
}
na
满足首项
1
1
a ，
1
2
3
n
n
n
a
n
a
a
n
，为奇数
，为偶数
，则数列{
}
na
的前2n 项的和为
．
2．已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
3
a
，
2
1
n
n
S
n a
，若数列
nb
满足
1
1
b ，
1
1
1
n
n
n
n
b
b
a
，
则
1
2
3
102
b
b
b
b
.
3．已知数列
na
中，
0
na
，
1
3
a ，记数列
na
的前n 项的乘积为
n
S ，且
1
n
n
n
S
a
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
a
b
a
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：
1,
nT
n
n
.
4．数列
na
满足
1
16n
n
n
a a
，
1
2
a
．
(1)求
na
的通项公式；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)若
2
sin 2
n
n
n
b
a
，求数列
nb
的前20 项和
20
S ．
题型二错位相减法
典例1．（多选）设数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
2
a
，且
1
*
1
2
2n
n
n
a
a
n
N
，则下列结论正确的
是（
）
A．
n
na
是等比数列
B．
na
n
是等比数列
C．
2n
na
n
D．
1 2
2
n
n
S
n
典例2．（多选）函数
f x 是定义在R 上不恒为零的可导函数，对任意的x，
R
y
均满足：
(
)
( ) ( )
(
)
x
y
f x f y
xy f x
y
，
(1)
2
f
，则（
）
A．
0
0
f
B．
2
8
f
C．
1
4
f
D．
1
1
( )
(
1) 2
2
n
n
k
f k
n
典例3．已知函数
1
0
1
f x
x
．
(1)当
0
x
时，证明：
1
f x
x
；
(2)数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
n
n
S
a
；
（ⅰ）求
na ；
（ⅱ）求证：
3
2
2
1
2
2
1
4
2
3
n
a
a
a
n
n
n
a
a
a
a
．
4．小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4 次，求在投中2 次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3 次，投中
1
X 次，第二组投篮2 次，投中
2
X 次，求
1
2
E X
X
；
(3)记
P i 表示小明投篮
2,3,
i i
次，恰有2 次投中的概率，记
2,3,
,
X
X
n
表示小明在投篮不超过n
次的情况下，当他投中2 次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n 次后，若投中的次数不足2 次也
不再继续投），证明：
2
2
2
n
i
E X
P i
.
练习题：
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
1．（多选）已知数列
na
满足
1
2
a
，
1
1
2
,
2
,
n
n
n
n
a
n
a
a n
为奇数
为偶数
，设
2
n
n
b
a
，记数列
na
的前2n 项和为
2n
S
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，则下列结论正确的是（
）
A．
5
24
a
B．
2n
nb
n
C．
1
2n
nT
n
D．
1
2
2
1 2
2
n
n
S
n
2．
（多选）已知定义在R 上且不恒为0 的函数
f x ，若对任意的,
R
x y
，都有
(
)
( )
( )
f xy
xf y
yf x
，则（
）
A．函数
f x 是奇函数
B．对
*
N
n
，有
( )
n
f
x
nf x
C．若
2
2
f
，则
2
3
(2)
2
2
2
(
1)2 -2
n
n
f
f
f
f
n
D．若
(2)
2
f
，则
2
3
10
1
1
1
1
2
2
2
1023
2
1
2
3
10
1024
f
f
f
f
3．某闯关游戏由两道关卡组成，现有n 名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为
1
2 ，
两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第
1,2,3,
,
1
i i
n
位选手在10 分钟内未闯过第
一关，则认为第i 轮闯关失败，由第
1
i + 位选手继续挑战.
③若第
1,2,3,
,
1
i i
n
位选手在10 分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10 分钟内
未闯过第二关，则也认为第i 轮闯关失败，由第
1
i + 位选手继续挑战.
④闯关进行到第n 轮，则不管第n 位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量
n
X 表示n 名
挑战者在第
1,2,3,
,
n
n
X
X
n
轮结束闯关.
(1)求随机变量
4
X 的分布列；
(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10 分钟内闯过第一关，以后闯
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量
nY 表示n 名挑战者在第
1,2,3,
,
n
n
Y
Y
n
轮结
束闯关.
（i）求随机变量
,
2
nY
i
N
n
的分布列
（ii）证明
2
3
4
5
3
n
E Y
E Y
E Y
E Y
E Y
.
4．各项均为正数的数列
na
的前n 项和记为
n
S ，已知
1
1
a ，且
1
1
1
1
n
n
n
n
S
a
S
a
对一切
N
n
都成
立．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)在
ka 和
1
ka 之间插入k 个数，使这
2
k
个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为
kc ，其中
1,2,
,
k
n
．求数列
nc
的前n 项和．
题型三裂项相消法
典例1．数列
na
中，
1
1
na
n
n
，
8
n
S ，则n （
）
A．77
B．78
C．79
D．80
典例2. 已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1
3
0
n
n
n
n
a
a
a
a
，
*
nN ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
1
n
n
a a
的前n 项和为
nT ，若
*
33
101
kT
k
N
，求k 的最小值．
典例3．设数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
6
n
n
S
n a
，
6
16
a
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
1
n
na
的前n 项和为
nT ，求证：1
3
6
8
nT
．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
典例4．已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S
，满足
2
2
1
N
2
n
na
S
n
.
(1)证明：数列
na
为等差数列；
(2)设数列
1
2
2
1
n
n
n
n
n
a
a
b
a a
，求数列
nb
前n 项和
nT 的值．
典例5．【含指数+裂项相消法】已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a ，
1
1
n
n
a
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
2
2
n
n
n
n
a
b
S
S
，数列
nb
前n 项和为
nT ，求证：
1
6
nT
．
典例6．已知数列
na
满足
1
4
a ，
1
1
2
1
n
n
na
n
a
n n
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
2
n
n
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
典例7．【含( 1)n
裂为两项之和】已知数列
na
的前n 项和为
1
,
1
n
S
a ，且2
2
n
与4
n
S 的等差中项为
*
1,
N
n
S
n
+
Î
.
(1)求数列
na
的通项公式.
(2)设
( )
1
3
1
1
n
n
n
n
n
a
b
a a +
+
= -
×
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
典例8．【放缩法+裂项相消法】在数列
na
中，
*
1
1
3
1,
1
N
n
n
n
a
a
a
n
n
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)证明：
1
2
1
1
1
2
n
a
a
a
.
典例9．【三角函数+裂项相消法】已知数列
na
中，
2
1
a ，设
n
S 为
na
前n 项和，2
n
n
S
na
．
(1)求
na
的通项公式；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)若
1
sin1
cos
1 cos
1
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT
典例10．【函数+裂项相消法】已知函数
ln
1,
R
f x
x
ax
a
.
(1)若
0
x
，使得
0
f x 成立，求实数a 的取值范围；
(2)证明：对任意的
2
2
2
2
*
2
2
2
2
1
2
2
3
3
4
1
N ,
e,e
1
1
2
2
3
3
k
k
k
k
k
为自然对数的底数.
练习题：
1．已知等差数列
na
中，
1
1
a ，且
2
3
4
2,
,
2
a
a a
成等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)
1
2
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
2．已知正项数列
na
的前n 项和
n
S ，满足：
2
1
2
n
n
a
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记
2
1
n
n
n
n
b
S S
，设数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证
5
16
nT
．
3．已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
4
a
，数列
nb
的前n 项之积为
nT ，
1
1
3
b
，且
3
log
n
n
S
T
．
(1)求
nT ；
(2)令
n
n
n
a
c
b
，求正整数n，使得“
1
1
n
n
n
c
c
c
”与“
nc 是
1
nc ，
1
nc 的等差中项”同时成立；
(3)设
2
7
n
n
d
a
，
1
1
2
n
n
n
n
n
d
e
d d
，求数列
ne
的前2n 项和
2n
Y ．
4．设数列
na
的前n 项和为
1
*
1 2
2,
N
n
n
S
n
n
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
2
1
1
n
i
i
i
i
a
a a
；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
5．已知数列
na
满足
1
1
1,
2
n
n
a
a
a
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若_________，求数列
nb
的前项和
nT ．
请从①
2
2
1
2
3
n
n
n
n
b
a
a
②
2n
n
n
b
a
③
( 1)
(
1)
n
n
n
b
n
a
这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并
完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分）
6．已知
nT 为正项数列
na
的前n 项的乘积，且
1
2
a
，
2
1
n
n
n
T
a
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
2
3
1
1
n
n
n
n
n
a
b
a
a
，求证：
1
1
2
3
2
n
n
b
b
b
.
7．已知首项为1 的数列
na
，其前n 项利为
n
S ，且数列
n
S
n
是公差为1 的等差数列
*
nN
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
*
1
4
n
n
n
n
S
c
n
a
a
N
，求数列
nc
的前n 项和
nT ．
8．已知数列
na
是公比
1
q
的等比数列，前三项和为13，且
1
2
3
,
2,
a a
a 恰好分别是等差数列
nb
的第一项，
第三项，第五项.
(1)求数列
na
和
nb
通项公式；
(2)设数列
nc
的通项公式
,
,
N
,
,
n
n
n
a n
c
n
b n
为奇数
为偶数
，求数列
nc
的前2
1
n + 项和
2
1
n
S
；
(3)求
1
2
1
1
1
1
2
4
1
i
i
n
i
i
i
a
a
b
a
b
b
*
N
n
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
9．数列
na
中，
1
1
a ，且对任意正整数m，数列
2
1
m
a
，
2m
a
，
2
1
m
a
是公差为2m 的等差数列.
(1)依次求
2a ，
3a ，
4a ，
5a 的值；
(2)求数列
na
的通项公式；
(3)记
2
1
1
1
n
n
n
b
a
（n 为正整数），求数列
nb
的前n 项和
n
S .
10．设
n
S 为数列
na
的前n 项和，
1
3
3.
2
n
n
S
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
2
15
n
n
S
a
的最小项为第m 项，求m ；
(3)设
2
2
,
2
n
n
n
a
b
a
数
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
13
2
nT
11．设数列
na
满足
1
2
a
，
2
1
n
n
a
a
，
*
nN .
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
n
n
n
a
b
a
，其前n 项和为
n
S ，数列
nc
满足
1
n
n
n
a
c
a
，其前n 项积为
nT ，求证：
2
2
n
n
S
T
.
题型四能力提升创新题
1．求
3
3
3
3
3
1
1
2
3
n
k
k
n
．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
2 . （多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n 行从左至右的数字之
和记为
n
a ，如
1
1 1
2
a
，
2
1
2
1
4
a
，，
na
的前n 项和记为
n
S ，依次去掉每一行中所有的1构成
的新数列2 、3、3、4 、6、4 、5、10、10、5、，记为
nb
，
nb
的前n 项和记为
nT ，则下列说法正
确的有（
）
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
第行
第2行
第3行
第4行
第5行
A．
10 1022
S
B．
1
2
n
n
n
a
S
S
的前n 项和为
2
1
1
2
2
na
C．
57
66
b
D．57
4150
T
3. 著名的斐波那契数列
na
满足
1
2
1
a
a
，
2
1
n
n
n
a
a
a
，其通项公式为
1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
na
，
则
2
2
2
1
2
2023
2023
a
a
a
a
是该数列的第
项；
12
12
1
5
1
5
2
2
．
4．（多选）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列.在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定
义：数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足：
*
1
2
3
3
1
1,
n
n
n
a
a
a
a
a
a
n
N
.则下列结论正确的是（
）
A．
8
7
a
B．
8
19
S
C．
2023
a
是偶数
D．
3
2
2
2
4
n
n
n
S
S
a
n
5．数列
na
满足
1a
a
，
2
1
3
1
n
n
n
a
a
a
，则下列说法错误的是（
）
A．若
1
a 且
2
a
，数列
na
单调递减
B．若存在无数个自然数n ，使得
1
n
n
a
a
，则
1
a
C．当
2
a
或
1
a
时，
na
的最小值不存在
D．当
3
a
时，
1
2
1
1
1
1 ,1
2
2
2
2
n
a
a
a
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
1．已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
2
a
，
2
( 1)
2
n
n
n
a
a
，则数列
na
的前30 项和为
.
2．（多选）在平面直角坐标系xOy 中，A 为坐标原点，
2,0
B
，点列P 在圆
2
2
2
16
3
9
x
y
上，若对于
*
n
N ，存在数列
na
，
1
6
a
，使得
1
4
2
2
2
1
n
n
PB a
n
PA a
n
，则下列说法正确的是（
）
A．
na
为公差为2 的等差数列
B．
na
为公比为2 的等比数列
C．
2023
2023
4047 2
a
D．
na
前n 项和
1
2
2
1 2n
n
S
n
3．已知函数
2
1
2
cos x
a
f
x
x
，a
R
．
(1)若
0
x
是函数
f x 唯一的极小值点，求实数a 的取值范围；
(2)证明：
3
3
3
3
2023
1
2
3
2023
sin
sin
sin
sin
2
2
4
8
2
．
4．某蓝莓基地种植蓝莓，按1 个蓝莓果重量Z 克）分为4 级：
20
Z
的为A 级，18
20
Z
的为B 级，
16
18
Z
的为C 级，14
16
Z
的为D 级，
14
Z
的为废果．将A 级与B 级果称为优等果．已知蓝莓
果重量Z 可近似服从正态分布
(15,9)
N
．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1 个蓝莓果、记
每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，
但抽查次数最多不超过n 次，若抽查次数X 的期望值不超过3，n 的最大值为（
）附：
(
)
0.6827, (
2
2 )
0.9545, (
3
3 )
0.977
P
Z
P
Z
P
Z
A．4
B．5
C．6
D．7
5．已知正项数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且
3
2
n
n
S
.
(1)求数列
nb
的通项公式；
(2)在
1b 和
2b 之间插入1 个数
11
c ，使
1
1
b ，
11
c ，
2b 成等差数列；在
2b 和
3b 之间插入2 个数
21
c ，
22
c ，使
2b ，
21
c ，
22
c ，
3b 成等差数列；；在
nb 和
1
nb 之间插入n 个数
1
nc ，
2
nc ，，
nn
c ，使
nb ，
1
nc ，
2
nc ，，
nn
c ，
1
nb 成等差数列.求
11
21
22
1
2
n
n
nn
c
c
c
c
c
c
的值.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
6．数列
na
的通项公式为
2
log
na
n
（n 为正整数），其中
x 表示不超过x 的最大整数，则
1
2
3
2023
a
a
a
a
.
7．乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为3
4 ，乙获胜
的概率为1
4 ，每局比赛都是相互独立的.
①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为
.
②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为
.
附：当0
1
q
时，lim
0
n
n
q
，lim
0
n
n
n q
.
8．已知数列
na
的首项为1，
1
2
cos π,
cos π,
n
n
n
n
a
n
n
a
n
a
n
n
为奇数
为偶数
，则数列
2 n
a
na
的前2023 项和为（
）
A．
2024
2022 2
2
B．
2023
2022 2
2
C．
2024
2022 2
1
D．
2024
2022 2
2
9．已知数列
na
满足
2
2
*
1
2
2
π
π
2,
1,
1 sin
2cos
,
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
n
N .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nc
满足
2
2
1
n
n
n
a
c
a
，求证：
1
2
3
n
c
c
c
.
10．
设数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
2n
n
n
S
a
，数列
nb
满足
2
log
1
n
n
a
b
n
，其中
*
N
n
.
(1)证明2
n
n
a
为等差数列，求数列
na
的通项公式；
(2)求数列
2
1
na
n
的前n 项和为
nT ；
(3)求使不等式
2
1
1
3
2
1
1
1
1
1
1
1
n
n
m
b
b
b
b
，对任意正整数n 都成立的最大实数m 的值.
11．已知数列
na
是公比大于0 的等比数列，
1
4
a
，
3
64
a
.数列
nb
满足：
2
1
n
n
n
b
a
a
（
N
n
）.
(1)求数列
nb
的通项公式；
(2)证明：
2
2
n
n
b
b
是等比数列；
(3)证明：
1
2
2
(2
1)(2
1)
2 2
N*
k
n
k
k
k
k
k
b
b
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
12．
已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
1
a ，
1
1
1
n
n
nS
n
S
n n
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
1
1
n
n
n
n
a
b
S
n
，求数列
nb
的前20 项和
20
T .
13．
已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
*
2
3
,
N
n
n
n
S
a
a n
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)记
2
1
2
3
1
1
1
n
n
n
n
n
a
b
n
n
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
14．数列
na
满足
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
n
n
a
a
a
a
a
n
，
*
nN ，且
1
1
a .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
2
1
3
2
1
n
n
n
n
n
S
a a
a
a
a
a
a
a
，
1
3
n
n
b
S
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求
2024
n
m
T
对任意
*
nN 都成立的最小正整数m .
（参考公式：
2
2
2
2
1 2
1
1
2
3
6
n n
n
n
，
*
nN ）
15．已知数列
na
为等差数列，且
2
4
10
a
a
，
4
16
S
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)数列
nb
满足
1
1
1
3
n
n
n
n
n
b
n
a
a
N
，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，求证：
1
12
n
S
．
16．（多选）已知曲线
2
2
:
2
0(
1,2, )
n
C
x
nx
y
n
．从点
( 1,0)
P
向曲线
n
C 引斜率为
0
n
n
k
k
的切线nl ，
切点为
,
n
n
n
P
x
y
．则下列结论正确的是（
）
A．数列
nx
的通项公式为
1
n
n
x
n
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
B．若数列
4
2
ny
n
的前n 项和为
nT ，则
2
2
2
(
1)
n
n
n
T
n
C．当
*
nN 时，
2
4
6
2
n
n
x
x
x
x
x
n
D．当
*
nN 时，
2
ln
ln
n
n
n
n
n
n
x
y
x
y
x
y
17．若数列
na
满足
1
2
1
a
a
，
1
2
3
n
n
n
a
a
a
n
，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺
旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在
每个正方形中作圆心角为90的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以
na 为边长的正方形中的
扇形面积为
nb ，数列
nb
的前n 项和为
n
S ．给出下列结论：
①
8
21
a
；
②
2023
a
是奇数；
③
2
4
6
2022
2023
a
a
a
a
a
；
④
2023
2023
2024
π
4
S
a
a
．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
