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专题02 数列通项与数列求和
题型1 由Sn 与an 关系求通项
1、关系：
，要注意验证
与
两种情况能否统一．
2、已知
与
的关系式，记为
，求它的通项公式
，一般有两种思路：
（1）消
：容易直接求
的情况，可利用阶差公式：
，消去
，转化等差或等
比数列直接求出
；
（2）消
：难以直接求
的情况，可利用阶差公式：
，消去
，得出
与
的递推关系式，先求出
，后，即可转化力“第1 种情形”，从而间接求出
．
在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求
，要
比直接求
麻烦；但也有时先直接求
，会比先求
麻烦得多．
1．（24-25 高三上·福建漳州·月考）已知数列
的前
项和为
，则
.
2．（25-26 高三上·云南昆明·月考）记
为数列
的前
项和，若
，
，则
1
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3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设数列
的前
项和为
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 累加法求通项公式
累加法适用于邻项差结构
．
利用
，将问题转化为基本数列求和，从而得
到所求数列的通项．
5．（25-26 高三上·四川广安·开学考试）数列
满足：
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·河北张家口·一模）已知数列
满足
，
且
，则
.
8．（24-25 高三上·福建三明·月考）若数列
满足
，数列
的前
项和为
，则
.
2
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题型3 累乘法求通项公式
累乘法适用于邻项商结构
利用
，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
9．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知
为数列
的前
项和，若
，
，则
的值
为（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
10．（24-25 高三上·广东梅县·期中）若数列
满足
，则
（ ）
A．2
B．6
C．12
D．20
11．（24-25 高三上·天津·月考）在数列
中，若
，则
（ ）
A．1012
B．1013
C．2023
D．2024
12．（24-25 高三上·河南驻马店·月考）若数列
满足
，
，则
．
题型4 构造法求通项公式
（1）形如
，引入参数
，构造新的等比数列
；
（2）形如
，引入参数
，构造新的等比数列
；
（3）形如
，两边同除以
，构造新的数列
．
3
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13．（2025·天津河北·二模）设
数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．3059
B．2056
C．1033
D．520
14．（2025·河南·模拟预测）设
为数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．520
B．521
C．1033
D．1034
15．（2025 高三·全国·专题练习）已知在数列
中，
，
，则通项
．
16．已知数列
的首项
，且
，则
的通项公式为 ．
题型5 分组（并项）法求和
1、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求
和法，分别求和后再相加减．
2、并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如
类
型，可采用两项合并求解．
17．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）已知
是等差数列
的前
项和，
，数列
是公
比大于1 的等比数列，且
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，求
的前
项和
.
18．（25-26 高三上·福建·开学考试）已知等差数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
4
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(2)设
，数列
的前
项和为
，若
，求
的值.
19．（25-26 高三上·浙江·开学考试）记
为正项数列
的前
项和，已知
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
，求数列
的前
项和
.
20．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0 的等差数列
中，已知
，
，
成等比数列，
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前2n 项和
．
题型6 逆序相加法求和
如果一个数列
的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．求和时可以将正着写
与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和．
5
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21．（24-25 高三下·四川容县·月考）已知函数
，数列
满足
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（24-25 高三下·湖南长沙·月考）已知
，
，则
数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（24-25 高三上·广东·开学考试）若
，数列
的前
项和为
，
且
，
，则
（ ）
A．76
B．38
C．19
D．0
24．（24-25 高三上·山东济宁·月考）已知函数
是
上奇函数，若数列
的项满足：
（
）.则数列
的通项公式为：
.
题型7 裂项相消法求和
裂项相消的原则及规律
（1）裂项原则：一般时前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
25．（25-26 高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1 的正项数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
6
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(2)令
，求数列
的前n 项和
．
26．（24-25 高三下·云南·月考）设正项数列
的前
项和为
，满足
.
(1)求
；
(2)求证：数列
为等差数列；
(3)求数列
的前100 项的和
.
27．（24-25 高三上·福建漳州·月考）已知数列
中，
为
的前
项和，
是首项为1，公差为1
的等差数列．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
28．（24-25 高三下·山西晋中·月考）已知数列
的前n 项和为
，
，
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
7
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题型8 错位相减法求和
1、如果数列
是等差数列，
是等比数列，求数列
的前
项和时，常采用错位相减法．
2、写错位相减法求和时，应注意：在写出“
”与“
”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便
于下一步准确地写出“
”的表达式．
3、万能公式：形如
的数列的前
项和为
，其中
，
，
．
29．（25-26 高三上·山东淄博·开学考试）数列
的前n 项和为
，已知
，数列
满足递推关系：
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求
的前n 项和．
30．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）设
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
8
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31．（24-25 高三上·四川德阳·月考）已知数列
．令
，
(1)证明数列
是等差数列，并求出通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
32．（24-25 高三下·河南信阳·月考）已知数列
的前n 项和为
，
，
.
(1)求证：数列
是等差数列.
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求
.
题型9 斐波那契数列
1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契
数列，又称黄金分割数列；表达式
，
，
．
①逐项罗列：，1，2，3、5，8，13，21，34，55，……；
②递推公式：
，
；
9
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③通项公式：
（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范
例）．
2、求和问题
①前
项和：
；
②奇数项和：
；
③偶数项和：
．
3、平方和问题：
4、余数列周期性
①被2 除的余数列周期为3：1，1，0，……
②被3 的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，……
③被4 的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，……
5、裂项问题：
33．（24-25 高三上·山东聊城·月考）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，
2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024 项中有（
）个奇数
A．1012
B．1348
C．1350
D．1352
34．（2024·海南·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁
殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这
一数列以如下递推的方法定义：
，
，记此数列为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（24-25 高三上·黑龙江绥化·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列
为“斐波那契数列”，则
（ ）
10
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A．2023
B．2024
C．1
D．2
36．（24-25 高三上·安徽·月考）数列
：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该
数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为
“兔子数列”，
满足
，
（
，
），则
是斐波
那契数列的第 项.
题型10 数列与不等式综合问题
数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容，考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的
单调性比较大小；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题；
（3）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题大多要借助函数取证明，或者直接利用放缩法证
明．
37．（24-25 高三下·湖北襄阳·月考）已知数列
满足
，且
，则使不等式
成立的
的最大值为（ ）
A．98
B．99
C．100
D．101
38．（24-25 高三下·上海·月考）已知数列
的前n 项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，问是否存在正整数m，使得
成立，并说明理由.
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39．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）在数列
中，
，
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)设数列
的前
项和为
，若
恒成立，求
的取值范围.
40．（25-26 高三上·江苏南京·月考）已知数列
满足
，且对任意正整数
有
，数列
满足
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)设
，数列
的前
项和
；
①求
；
②若不等式
对任意的正整数
恒成立，求实数
的取值范围．
题型11 公共项与增减项问题
1、对于公共项问题，要注意两个等差数列的公共项是等差数列，且公差时两等差数列公差的最小公倍
数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比时两个等比数列公比的最小公倍数．
2、对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了
多少项（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项．
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41．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）已知数列
的前
项和为
，且满足
，数列
为
公比大于0 的等比数列，且
．
(1)求
；
(2)若在
与
之间插入
个1，由此构成一个新的数列
，记
的前
项和
，求
的值．
42．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，
是的方向向量．数列
满足：点
均在上，
．
(1)求
的通项公式；
(2)已知
是以4 为首项，2 为公差的等差数列，若
与
的公共项为
，
的值由小到大构成数列
，求
的前
项和
．
43．（24-25 高三上·山东枣庄·月考）已知数列
满足
，公差不为0
的等差数列
满足
成等比数列，
(1)证明：数列
是等比数列．
(2)求
和
的通项公式．
(3)在
与
之间从
的第一项起依次插入
中的
项，构成新数列
，
求
中前60 项的和
．
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44．（2025·湖南·三模）已知数列
满足
，数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
的通项公式；
(3)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
之间插入
项，从而构成一个新
数列
，设
的前
项和为
，求
.
题型12 数列的新定义问题
1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模
型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和
方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的．
2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性
质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
45．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知
是
项正整数数列，令
，其中
.若对任意的
中均无相同的项，则称
数列
为“和差单值”数列.
(1)判断8，4，2，1，2，4，8 是否为“和差单值”数列.
(2)已知
，其中
为两两不同的正整数，问：
是否为“和差单值”数列？请
说明理由．
(3)证明：若
的最大值不超过
，则
一定不是“和差单值数列”.
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46．（24-25 高三下·河北沧州·月考）设
是整数数列，m 是某个取定的正整数，若
是
除以m
的余数，则称数列
是
关于m 的模数列，记作
．斐波那契数列
是常见的整数数列，
满足
．
(1)写出数列
的第3 项、第4 项和第5 项；
(2)斐波那契数列
有许多非常好用的性质，比如：
，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列
是周期为8 的周期数列；
（ii）求
的个位数字．
参考数据：
．
47．（24-25 高三下·云南·月考）设数列
的前n 项和为
，由
，
，…，
组成的数列记为
，把新数列
称为原数列
的一阶和数列，设数列
的前n 项和为
，把数列
称为数
列
的二阶和数列，依此类推，可得数列
的p 阶和数列
，其中
．
(1)若
，求数列
的二阶和数列
的通项公式；
(2)若
．
①求数列
的三阶和数列
的通项公式；
②写出数列
的p 阶和数列
的通项公式（不用证明）．
15
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48．（24-25 高三下·浙江湖州·月考）1679 年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字
电路中以2 为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0 和1 来表示．现代的计算机和依赖
计算机的设备里都使用二进制．设正整数
，
，其中
，
，那么，十进制数
可以用二进制表示为
，记作
，此时，令
，数列
满足
．
(1)二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如
震卦“
”对应的二进制数为100．请写出巽卦“
”和兑卦“
”对应的十进制数．
(2)证明：
，
．
(3)是否存在正偶数
，使得对任意
，满足
．若存在，请写出符合
要求的
；若不存在，请说明理由．
16
