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专题02 集合与其他知识交汇的新定义解答题
（新定义，高观点，压轴题）
1．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组
表示，在
三维空间中点的坐标可用三个有序数组
表示，一般地在
维空间中点A
的坐标可用n 个有序数组
表示，并定义n 维空间中两点
，
间的“距离”
．
(1)若
，
，求
；
(2)设集合
．元素个数为2 的集合M 为
的子集，
且满足对于任意
，都存在唯一的
使得
，则称M 为“
的优集”．
证明：“
的优集”M 存在，且M 中两不同点的“距离”是7．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题，得到
，结合裂项法求和，即可求解；
（2）根据新定义得到
，
，构造
有2 个元素，由
为整数，得到存在
为“
的优集”，设
，
，推得
，
，显然矛盾，即可得证.
1
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【详解】（1）解：因为
，
，
，则
，
所以
.
（2）证明：定义：对任意
，规定
，
对任意
，
，
由于
，
，
，容易得
，
所以
，得结论：
，
，
构造
有2 个元素，由
为整数，
当
时，则满足M 为“
的优集”的定义，
当
时，则
，满足M 为“
的优集”的定义，
所以存在
为“
的优集”，
若M 中的两个点
，
有一个位置相同，不妨设为第一个位置，
则设
，
，
则取
，则有
，
，显然矛盾，
所以M 中的两个点每一个位置均不同，即
，显然
，
即“
的优集”M 存在，且M 中两不同点的“距离”是.
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具
体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，
2
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要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
2．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数
，令
，对任意的
，
，定义
与
的距离
．设
是
的含有至少两个元素的子集，集合
中的最小值称为
的特征，
记作
．
(1)当
时，直接写出下述集合的特征：
；
(2)当
时，设
且
，求
中元素个数的最大值；
(3)当
时，设
且
，求证：
中的元素个数小于
．
【答案】(1)
，
，
(2)
(3)证明详见解析
【分析】（1）根据
与
的距离
的定义，直接求出
的最小值即可；
（2）一方面先证明A 中元素个数至多有
个元素，另一方面证明存在集合
中元素个数
为
个满足题意，进而得出A 中元素个数的最大值；
（3）设
，定义
的邻域
，先证明对任意的
，
中恰有2021 个元素，再利用反证法证明
，于是得
到
中共有
个元素，但
中共有
个元素，所以
3
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，进而证明结论．
【详解】（1）依题意可得
，
，
．
（2）（a）一方面：对任意的
，
令
，
则
，故
，
令集合
，则
，
则
且
和
的元素个数相同，
但
中共有
个元素，其中至多一半属于
，
故
中至多有
个元素．
(b)另一方面：设
是偶数，
则对任意的
，
，
，
都有
中的元素个数为
，
易得
与
奇偶性相同，
故
为偶数，
又
，则
，所以
，
注意到
，
且它们的距离为2，
故此时
满足题意，
综上，
中元素个数的最大值为
．
（3）当
时，设
且
，
设
，
则对任意的
，定义
的邻域
，
4
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（a）一方面：对任意的
，
中恰有2021 个元素，
事实上，
①若
，则
，恰有一种可能；，
②若
，则
与
，恰有一个分量不同，共2020 种可能；
综上，
中恰有2021 个元素，
（b）对任意的
，
，
事实上，若
，
不妨设
，
，
则
，这与
矛
盾，
由（a）和（b）可得
中共有
个元素，
但
中共有
个元素，所以
，即
，
注意到
是正整数，但
不是正整数，上述等号无法取到，
所以，集合
中的元素个数
小于
．
【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之
间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综
合性较强，属于难题．
3．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A 与B，存在对应关系f，使A 中的每一个元素a，
B 中总有唯一的元素b 与它对应，则称这种对应为从A 到B 的映射，记作f：A→B．
设集合
，
（
，
），且
．设有序四元
数集合
且
，
．对于给定
5
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的集合B，定义映射f：P→Q，记为
，按映射f，若
（
），则
；若
（
），则
．记
．
(1)若
，
，写出Y，并求
；
(2)若
，
，求所有
的总和；
(3)对于给定的
，记
，求所有
的总和（用含m 的式子表示）．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1，
，5 是否属于B 进行分类讨论，求出对应所有Y 中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f 下得到的所有
的和，同理求出在映射f 下得到的所有
（
）的和，即可求解.
【详解】（1）由题意知，
，
所以
．
（2）对1，
，5 是否属于B 进行讨论：
①含1 的B 的个数为
，此时在映射f 下，
；
不含1 的B 的个数为
，此时在映射f 下，
；
所以所有Y 中2 的总个数和1 的总个数均为10；
②含5 的B 的个数为
，此时在映射f 下，
；
6
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不含5 的B 的个数为
，此时在映射f 下，
；
所以所有Y 中6 的总个数和5 的总个数均为10；
②含
的B 的个数为
，此时在映射f 下，
，
；
不含
的B 的个数为
，此时在映射f 下，
，
；
所以所有y 中
的总个数和
的总个数均为20．
综上，所有
的总和为
．
（3）对于给定的
，考虑
在映射f 下的变化．
由于在A 的所有非空子集中，含有
的子集B 共
个，
所以在映射f 下
变为
；
不含
的子集B 共
个，在映射f 下
变为
；
所以在映射f 下得到的所有
的和为
．
同理，在映射f 下得到的所有
（
）的和
．
所以所有
的总和为
．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过
推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，
创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.
4．（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存
在
，使得
，则称X 具有性质P．
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(1)设
，请写出向量集Y 并判断X 是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若
，且集合
具有性质P，求x 的值；
(3)若X 具有性质P，且
，q 为常数且
，求证：
．
【答案】(1)
，
具有性质
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据向量集Y 的定义，结合
的元素，直接写出
，再判断是否满足性质
即可；
（2）根据性质
的定义，任取
，
，讨论
的取值，结
合
的范围，即可求得
的取值；
（3）根据性质
的定义推出
为定值，结合
，即可推证.
【详解】（1）根据向量集
的定义可得：
，
若
，则存在
，使得
，
同理亦可证明对任意
，也满足性质
，
故
具有性质P．
（2）对任意a，
，都存在c，
，使得
，
即对于
，都存在
，使得
，其中a，b，c，
，
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因为集合
具有性质P，
选取
，
，则有
，
假设
，则有
，解得
，这与
矛盾，
假设
，则有
，解得
，这与
矛盾，
假设
，则有
，解得
，这与
矛盾，
假设
，则有
，解得
，满足
，故
；
经检验，集合
具有性质P．
（3）证明：取
，设
且满足
，
由
得
，从而s，t 异号，
∵－1 是x 中唯一的负数，
∴s，t 中一个为－1，另一个为1，故
．
因为
，所以
，
X 具有性质P，取
，
，
设
，因为
，且c，d 中的正数大于等于1，
所以只能
，
所以
，
．
又X 中只有
个大于1 的正数，
即
，
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且
，这
个大于1 的正整数都属于集合X，
所以只能
，
，…
，
即
，
即
．
【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质
的定义，推出
，以及
为定值，进而根据X 中只有
个大于1 的正数解决问题.
5．（2024·北京石景山·一模）已知集合
，对于
，
，定义
与
之间的距离为
．
(1)已知
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)设集合
，
中有
个元素，若
中任意两个元素间的距离的最小值为，
求证：
．
【答案】(1)
、
、
、
；
(2)
；
(3)见解析
【分析】
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（1）根据题中定义可得
的所有情形；
（2）分
、
两种情况，利用绝对值三角不等式可求得
的最大值；
（3）表示出
，结合定义，可得
，即
中任意两元素不相等，可得
中至多有
个元
素，即可得证．
【详解】（1）已知
，
，且
，
所以，
的所有情形有：
、
、
、
；
（2）设
，
，
因为
，则
，
同理可得
，
当
时，
；
当
时，
.
当
，
时，上式等号成立.
综上所述，
；
（3）记
，
我们证明
．一方面显然有
．另一方面，
且
，
假设他们满足
．则由定义有
，
与
中不同元素间距离至少为相矛盾．
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从而
．
这表明
中任意两元素不相等．从而
．
又
中元素有
个分量，至多有
个元素．
从而
．
【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应
用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键
之外用好集合的运算与性质.
6．（23-24 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、
为正整数集
的两个子集，、
至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合
：
①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
.则称
集合
为集合的“
集”.
(1)若集合
，求
的“
集”
；
(2)若三元集
存在“
集”
，且
中恰含有4 个元素，求证：
；
(3)若
存在“
集”，且
，求
的最大值.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)4.
【分析】
（1）根据定义直接求解；
（2）利用反证法推矛盾即可证明；
（3）设
，结合（2）的结论推出
不成立，结合定义和
得
即可求解.
【详解】（1）
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若
，由题意可得，
，
，
，即
，此时
，
满足题意，
假设集合
中还有第四个元素为，则由题意可知：若
，即
，则
，∴不成
立；
若
，则
，∴
或9 或27，矛盾.故集合
中无四个元素，所以集合
.
（2）
设集合
，不妨设
，
假设
，即
，则
且
，
由②知
，注意到
，故有
，即
，所以
，
故
，即
，因为集合
中有4 个元素，故设
，
由②可得：若
，则
，∴
，矛盾；
若
，
，则
或
或
，所以
或
或
，与集合元素的互异性矛盾，
假设错误，故
.
（3）
，
，不妨设
，
所以
，
，又
，故
，同理可得
，
若
，与（2）类似得
，从而必有
，
对任意的
，有
，即
，所以
，即
.
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若
，即
，
，故
，
，
，
，
所以
，即
，从而必有
，
对任意的
，必有
，即
，所以
，即
.
综上，得
，又
时，有
，
符合题意，
所以
的最大值为4
【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是充分利用定义并分类讨论
和
求解第三问,并充分利用反证法推理.
7．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数
，由
元实数集合
定义其随影数集
.若
，则称集合
为一个
元理想数集，并定义
的理
数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合
是不是理想数集；（结论不要求说
明理由）
(2)任取一个5 元理想数集
，求证：
；
(3)当
取遍所有2024 元理想数集时，求理数的最小值.
注：由
个实数组成的集合叫做
元实数集合，
分别表示数集
中的最大
数与最小数.
【答案】(1)集合是理想数集，集合
不是理想数集
(2)证明见解析
(3)1024144
【分析】（1）由理想数集的定义即可判断；
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（2）为了方便说明，假定元素间一个有序关系为
，从而分三种情况，
，
，
讨论即可得证；
（3）首先通过分类讨论证明，对
元理想数集
，有
.从而有
，即
，
通过放缩与等差数列求和即可得解.
【详解】（1）设
的随影数集分别为
，
则
，
所以集合是理想数集，集合
不是理想数集.
（2）不妨设集合
且
，即
.
为理想数集，
，则
，且
，使得
.
当
时，
.
当且仅当
且
时，等号成立；
当
时，
当且仅当
且
时，等号成立；
当
时，
.
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当且仅当
时，等号成立.
综上所述：
.
（3）设
.
为理想数集.
，且
，使得
.
对于
，同样有
.
下先证对
元理想数集
，有
.
不妨设集合
中的元素满足
.即
.
为理想数集，
，且
，使得
.
当
时，
当且仅当
且
时，等号成立；
当
时，
当且仅当
且
时，等号成立；
当
时，
.
当且仅当
时，等号成立.
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.
.当且仅当
时，等号成立.
.
理数
.
当且仅当
或
时，等号成立.
理数的最小值为
.
【点睛】关键点点睛：关键是通过分类讨论证明，对
元理想数集
，有
，由此即可顺利得解.
8．（2024·广东·模拟预测）设X，Y 为任意集合，映射
．定义：对任意
，
若
，则
，此时的
为单射．
(1)试在
上给出一个非单射的映射；
(2)证明：
是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合
与映射
，若对任意
，有
，则
；
(3)证明：
是单射的充分必要条件是：存在映射
，使对任意
，有
．
【答案】(1)
（答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】
（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可；
（2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；
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（3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.
【详解】（1）由题意不妨设
，当
（
非0）互为相反数时，
满足题意；
（2）一方面若
是单射，且
，则
，即
（否则若
，有
，矛盾），
另一方面，若对任意
，由
可以得到
，
我们用反证法证明
是单射，
假设
不是单射，即存在
，有
，
又由
可以得到
，即
，这就产生了矛盾，
所以
是单射，
综上所述，命题得证；
（3）一方面若
是单射，则由
可得
，
同理存在单射
，使得
，
，有
，
另一方面，若存在映射
，使对任意
，有
，
我们用反证法来证明
是单射，
若
不是单射，即存在
，有
，
又若
，则由题意
，这与
产生矛盾，
所以此时
是单射，
综上所述，命题得证.
【点睛】
关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利
得证.
9．（2024·广东江门·一模）将2024 表示成5 个正整数
，
，
，
，
之和，得到方
18
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程
①，称五元有序数组
为方程①的解，对于上述
的五元有序数组
，当
时，若
，则称
是
密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解
，使得
等于同一常数?若存在，
请求出该常数；若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是
密集的?
(3)记
，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
(3)存在，最小值为
.
【分析】（1）若
等于同一常数，则
构成等差数列，根据等差数列下
标和性质得到
，推出矛盾即可得解；
（2）依题意
时，即当
时，
，则
，
，即可求出
，
，
，
，
中有
个
，个
，从而得解；
（3）由方差公式得到
（
为方差），从而得到当方差
取最小值时取最
小值，从而推出
是
密集，即可求出的最小值.
【详解】（1）若
等于同一常数，
根据等差数列的定义可得
构成等差数列，所以
，
解得
，与
矛盾，
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所以不存在一组解
，使得
等于同一常数；
（2）因为
，
依题意
时，即当
时，
，
所以
，
，
设有
个
，则有
个
，由
，解得
，
所以
，
，
，
，
中有
个
，个
，
所以方程①的解共有组.
（3）因为平均数
，
又方差
，即
，
所以
，因为
为常数，所以当方差
取最小值时取最小值，
又当
时
，即
，方程无正整数解，故舍去；
当
时，即
是
密集时，取得最小值，
且
.
【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用.
10．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何
学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面
，定义对
，
，其度量（距离）
并称
为一度量平面．设
，
，
称平面区域
为以
为心，
为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
20
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(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：
的一个子集是
开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由交集的定义可解；
（2）结合题意，利用并集的定义证明；
（3）利用题目定义分别证明充分性和必要性.
【详解】（1）设这两个球形邻域分别为
，
，
为
和
的交集．
①若
与
不相交，则
；
②若
与
相交，则
且
故
或
且
．
（2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为
表示集合族
的所有集合的并集
回到原题，设这两个球形邻域分别为
，
，
为
和
的交集．
①若
与
不相交，则
，即
可以看作零个球形邻域的并集；
②若
与
相交，则取
，
令
，构造球形邻域
．
21
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因为对于
，有
故
，这说明
．
由于
是
中任取的一点，这说明
，
继而
即
可被表示为若干个球形邻域
的并集．
命题得证．
（3）①先证充分性：当
的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集．
设
，由（2）可知
可看作若干个球形邻域的并集，
即
则
，
使得
，故
是开集．充分性证毕．
②再证必要性：若
的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集．
设
是一个开集，由情况①得
，
使得
，所以
即
故
可被表示为若干个球形邻域
的并集．必要性证毕．
【点睛】思路点睛：利用集合的运算和题干中的定义完成问题.
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