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专题03 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究切线，单调性问题）（选填压轴题）
目录
一、切线问题........................................................1
①已知切线几条求参数.............................................1
②公切线问题.....................................................4
③和切线有关的其它综合问题......................................10
二、单调性问题.....................................................13
①已知单调区间求参数............................................13
②由函数存在单调区间求参数......................................15
③已知函数在某区间上不单调求参数................................18
④利用函数的单调性比大小........................................21
一、切线问题
①已知切线几条求参数
1．（2023·全国·高二专题练习）过坐标原点可以作曲线
两条切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵
，∴
，
设切点为
，则
，切线斜率
,
1
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切线方程为
，
∵切线过原点，∴
，
整理得：
,
∵切线有两条，∴
，解得
或
，
∴
的取值范围是
,
故选：D
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点
可作曲线
的三条切线，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设切点为
，
由函数
，可得
，则
所以在点
处的切线方程为
，
因为切线过点
，所以
，
整理得
，
设
，所以
，
令
，解得
或
，令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
要使得过点
可作曲线
的三条切线，
则满足
，解得
，即
的取值范围是
．
故选：C．
3．（2023 春·广东深圳·高二统考期末）已知点
在直线
上运动，若过点
恰有三条不同的直线与曲线
相切，则点
的轨迹长度为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【详解】由题意，
设点
，过点
的直线与曲线
相切于点
，
∴
，的方程为
，
2
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∴
，化简得
，
设
，
∴
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
∵若过点
恰有三条不同的直线与曲线
相切，
，
∴满足条件的
恰有三个，
∴
，即
，
∴点
的轨迹长度为8.
故选：D.
4．（2023 春·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知
只有一条过原点的切线，则
．
【答案】
【详解】依题意，设切点坐标为
，
因为
，则
，
所以切线的斜率为
，
故切线的方程为
，
因为切线过原点，所以
，整理得
，
因为
只有一条过原点的切线，
所以方程
有且只有一个实数根，
故
，即
，解得
或
（舍去），
所以
.
故答案为：
.
5．（2023 春·四川·高二统考期末）已知函数
，若过点
可作曲线
的三
条切线，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设过点
作曲线
的切线的切点坐标为
，
3
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由
求导得：
，则切线斜率
，
切线方程为
，
于是
，整理得
，
令
，求导得
，
由
，得
或
，由
，得
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，函数
取得极大值
，当
时，函数
取得极小值
，
因为过点
作曲线
的切线有三条，则方程
有3 个不等实根，
即函数
有3 个零点，由三次函数的性质知，
，解得
，
所以的取值范围是
.
故答案为：
6．（2023·全国·高二专题练习）若曲线
有三条经过点
的切线，则
的
范围为 ．
【答案】
【详解】由题意
，
令
，则
，
令
可得
或
.
故当
和
时
，
单调递增，
图象往下凸；
当
时
，
单调递减，
图象往上凸.
4
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又经过
的切线方程为
，即
，
令
可得
，又经过
的切线方程为
，故当
时有三条经过点
的切线.
故答案为：
②公切线问题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数
，
，若直线
为
和
的公切线，则b 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设直线
与
相切于点
，
与
相切于点
，
由
，所以
，
由
，
则
，
即点
，代入直线中有：
， ①
5
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由
，
所以
，
由
，
，
即点
，代入直线中有：
， ②
联立①②解得：
，
所以
，
故选：B.
2．（2023 春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）若曲线
与
有三条
公切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设公切线为
是与
的切点，由
，得
，
设
是与
的切点，由
，得
，
所以的方程为
，
因为
，整理得
，
同理
，
因为
，整理得
，
依题意两条直线重合，可得
，
消去
，得
，
由题意此方程有三个不等实根，设
，
6
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即直线
与曲线
有三个不同的交点，
因为
，令
，则
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
有极小值为
，
有极大值为
，
因为
，
，
，所以
，
当
趋近于
时，
趋近于0；当
趋近于
时，
趋近于
，
故
的图象简单表示为下图:
所以当
，即
时，直线
与曲线
有三个交点.
故选：A.
3．（2023 春·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）若直线
是曲线
与曲
线
的公切线，则
（ ）．
A．26
B．23
C．15
D．11
【答案】D
【详解】解：因为
，
所以
，由
，解得
或
（舍去），
所以切点为
，
因为切点在切线
上，解得
，
所以切线方程为
，
设切点为
，
由题意得
，解得
，
所以
，
故选：D
4．（2023 春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）已知函数
，
，若曲线
7
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与曲线
存在公切线，则实数m 的最大值为 .
【答案】
/0.5
【详解】由题意可知：
，
设公切线和
相切于
，和
相切于
，
因为
就没有垂直于
轴的切线，故公切线斜率存在，设公切线斜率为
.
于是
由
可得，
；
由
化简整理可得，
.
根据
可得，
，
故
，
设
，则
，
1.当
时，显然
；
2.当
时，则
，
令
，则
，
故
在
上递增，注意到
，
①当
时，
，
；
②当
时，
，
；
综上所述：当
时，
；当
时，
；
则
在
上递增，在
上递减，故
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
5．（2023 春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）设直线l 是函数
，
和函数
8
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的公切线，则l 的方程是 ．
【答案】
【详解】设直线l 与函数
的切点为A
，
直线l 与函数
的切点为B
，
，所以
，
，所以
，
所以
，
后面等式整理得
，
代入前面等式整理得
，
化简得
，
令
，
因为
，
所以
，
所以
，
令
，
所以
，
容易知道，
为减函数，
，
所以
恒成立，
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所以
单调递增，
所以
最多一个零点，
容易知道
，
所以
只有一个解
，
故
，
所以A 点坐标为
，
切线斜率为
，
所以切线方程为
，
即
.
故答案为：
.
6．（2023 春·江苏苏州·高二校联考期中）已知函数
.若曲线
与曲线
有公切线，则实数m 的取值范围为 .
【答案】
【详解】∵
，则
，
设切点坐标
，则切线斜率
，
故切线方程为
，整理得
，
又∵
，则
，
设切点坐标
，则切线斜率
，
故切线方程为
，整理得
，
由题意可得
，整理得
，
10
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构建
，则
，
∵
，可得
，
令
，解得
；令
，解得
；
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
当x 趋近于0 时，
趋近于正无穷大，当x 趋近于正无穷大时，
趋近于正无穷大，
可得
的值域为
，即实数m 的取值范围为
.
故答案为：
.
③和切线有关的其它综合问题
1．（2023 春·江西吉安·高二统考期末）若动点
在曲线
上，则动点
到直线
的距离的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，由题意知
，
则在点
处的切线斜率为
，
当在点
处的切线与直线
平行时，点
到直线
的距离最小，
由
，得
，则
，
所以点
到直线的距离
.
所以动点
到直线
的距离的最小值为
.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数
，
，，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．4
D．16
【答案】B
【详解】由
得，
，
，即
，
，
的几何意义为曲线
上的点
到直线
上的点
连线的距离的平方，
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不妨设曲线
，直线
，设与直线
平行且与曲线
相切的直线方程为
，
显然直线
与直线
的距离的平方即为所求，
由
，得
，设切点为
，
，
则
，解得
，
直线
与直线
的距离为
，
的最小值为8．
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）若x、a、b 为任意实数，若
，则
最小
值为( )
A．
B．9
C．
D．
【答案】C
【详解】由
可得
在以
为圆心，1 为半径的圆上，
表示点
与点
的距离的平方，
即表示圆
上动点到函数y＝lnx 图像上动点距离的平方．
设
为y＝lnx 上一点，且在
处的y＝lnx 的切线与
和
连线垂直，可得
，
即有
，
由
在
时递增，且
，可得m＝1，即切点为
，
圆心与切点的距离为
，
由此可得
的最小值为
．
故选：C．
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4．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，记
，
则
的最小值为 ．
【答案】
/
【详解】设
，
，
．
由题意知，
的最小值可转化为曲线
上的点
到
直线
上的点
的距离的平方的最小值．
易知，曲线
与直线
没有交点，则
当曲线
在点A 处的切线平行于B 所在的直线，
且AB 连线与直线
垂直时，两点间距离最小．
由
，得
，直线
的斜率
，
令
，解得
，则
，
所以点A 到直线
的距离
，
故M 的最小值为
．
故答案为：
.
5．（2023 春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）若
，则
的最小值为 .
【答案】
/1.6/
【详解】
，
，
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则
表示曲线
上的点与直线
上的点的距离的平方，
令
得
，所以曲线
在
的切线方程为
，
所以曲线
上的点与直线
上的点的距离的最小值即为直线
与
之间的距离，
即
,
.
故答案为：
二、单调性问题
①已知单调区间求参数
1．（2023 春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题可知，
在
上恒成立，
显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：D．
2．（2023 春·吉林松原·高二长春市九台区第一中学校联考期末）已知函数
在
上
单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【详解】因为
，所以
，
由
在
上单调递增，得
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，，
即
在
上恒成立，
当
时，二次函数
取到最大值
，
故
，即a 的取值范围为
，
故选：C
3．（2023 春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数
在区间
上单调递减，
则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
，
因为函数
在区间
上单调递减，
所以
对
恒成立，即
恒成立，
当
时，
，
所以
，即实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
4．（2023 春·高二课时练习）已知函数
是区间
上的单调函数，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
，
15
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令
，则
或
，
因为
是区间
上的单调函数，
所以
或
，解得
或
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
5．（2023 春·高二单元测试）设函数
在区间
上是减函数，则
的取值范
围是 ．
【答案】
【详解】因
，
，
若
，
，当
时，
，符合题意，
当
时，
得
，因
，
故
，
由题意
在
上恒成立，
设
，
则
在
上单调递减，
故
故
，
，
综上
，
故答案为：
②由函数存在单调区间求参数
1．（2023 春·四川眉山·高二统考期末）若
在
上存在单调递增区间，则
的
取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
，求导得
，
因为函数
在
上存在单调递增区间，则不等式
在
上有解，
而
，
当
时，
，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
2．（2023 春·河北邯郸·高二校联考期中）若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
若
在区间
内存在单调递增区间，则
有解，
故
，令
，则
在
单调递增，
，故
.
故选：D.
3．（2023 春·山东泰安·高二统考期末）已知函数
在区间
上存在单调减区间，则
实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由已知
在
上有解，
即
在
上有解，
设
，则
在
上恒成立，因此
在
上是增函数，
，
所以
，
17
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故选：D．
4．（2023 春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数
在
上存在单调递增区
间，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数
，∴
，
∵函数
在
上存在单调递增区间，
，即
有解，
令
,
,∴当
时，
，
即可．
故答案为:
5．（2023 春·广西·高二校联考期中）若函数
在
存在单调递减区间，则a 的取值范
围为 ．
【答案】
【详解】
，等价于
在
有解，即
在
有解，
即
在
有解，所以
，
令
，
则
，即
在
上是增函数，
∴
，所以
.
故答案为：
.
6．（2023·全国·高二专题练习）若函数
存在增区间，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【详解】
，定义域为
，
，
由题意可知，存在
使得
，即
.
当
时，
，
18
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所以，
，因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
③已知函数在某区间上不单调求参数
1．（2023 春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知函数
在
上不单调，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
当
时，
在区间
上单调递减，不符合题意.
当
，
时，
，
在区间
上单调递减，不符合题意.
当
时，令
，解得
，
要使
在区间
上不单调，则
，
即
，解得
,
此时
在区间
上
递减；
在区间
上
递增.
故选：B
2．（2023 春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考期末）已知函数
在
上不是
单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【详解】由已知可得，
定义域为
，
.
若
，则
恒成立，则
在
上单调递增，与已知不符，舍去；
当
时，由
可知，
或
（舍去）.
当
时，有
，所以
在
上单调递减；
当
时，有
，所以
在
上单调递增.
由已知函数
在
上不是单调函数，
所以应有
，所以
.
故选：A.
3．（2023 春·四川自贡·高二统考期末）若函数
在其定义域的一个子区间
内不是
单调函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
的定义域为
，且
，
令
，可得
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，函数
的唯一极值点为
，
因为函数
在其定义域的一个子区间
内不是单调函数，
则函数
在区间
上存在极值点，且
，
所以，
，解得
.
20
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故选：A.
4．（2023 春·上海松江·高二上海市松江一中校考期末）函数
在
上不单
调，则实数k 的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为
，所以
，
又因为函数
在区间
上不单调，所以
在
内有实数根，且无重根，
即
有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间
内，
①若
，则
，
，
方程
的两个实根0 和4 均不在区间
内，所以
；
②若
，则
，
，
方程
在区间
内有实根
，所以
可以为
；
③若方程
有一个实根在区间
内，另一个实根在区间
外，
则
，即
，
；
④若方程
在区间
内有两个不相等的实根，
则：
，∴
，
∴
；
综合①②③④得
的取值范围是
．
故答案为：
5．（2023 春·陕西西安·高二统考期末）若函数
在
上不单调，则实数
的取值
范围为 .
【答案】
【详解】因为函数
在
上不单调，
所以
在
上有零点，
21
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即方程
在
上有根，即方程
在
上有根，
又函数
定义域为
，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
6．（2023 春·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知函数
在定义域
上不单
调，则正整数
的最小值是 .
【答案】
【详解】函数
，则
，
因为n 为正整数，当
时，
，
在
上存在递增区间；
若
在
上存在递减区间，即
有解，则
，
所以
，所以正整数
的最小值是．
故答案为：．
④利用函数的单调性比大小
1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，
，
所以令
，则
，
所以当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
又因为
，所以
，
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即
，所以
，又因为
，所以
.
故选：A.
2．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，其中
，
则
，所以，函数
在
上为增函数，
故当
时，
，则
，所以
，
因为
，则
，
当
时，证明
，令
，其中
，则
，
所以函数
在
上为增函数，故当
时，
，
所以当
时，
，则
，所以
，
所以
，因此
.
故选：D.
3．（2023 春·江西上饶·高二统考期末）已知实数：
，
，
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，
令
，则
，当
时，
，当
时，
，
于是函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
即
，因此
，即
，又
，
所以
．
故选：D
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