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专题03 函数的概念与性质
1．（2023 广西）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【知识点】求函数值
【分析】直接代入计算即可.
【详解】
.
故选：A.
2．（2023 吉林）函数
的定义域为（ ）
考点一：函数的概念
1
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A．
且
B．
且
C．
D．
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据根式、分式的意义直接运算求解即可.
【详解】由题意可得：
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
且
.
故选：B.
3．（2024 浙江）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据偶次根式有意义的条件求解即可
【详解】函数
的定义域为
，
故选：B
4．（2024 浙江）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】解不含参数的一元一次不等式、具体函数的定义域
【分析】由解析式中根号下为非负数，分母不为零，解不等式即可求得结果.
【详解】根据函数解析式可得
，解得
；
所以该函数的定义域为
.
故选：C
5．（2024 浙江）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
与
【答案】C
2
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【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】逐项判断两个函数的定义域、表达式和值域是否相同即可.
【详解】对于A，
的定义域为
，
的定义域为
，定义域不同，不是同一函数，故A
错误；
对于B，
，
，表达式不同，不是同一函数，故B 错误；
对于C，两函数的定义域，表达式和值域均相同，是同一函数，故C 正确；
对于D，
的定义域为
，
的定义域为
，定义域不同，不是同一函数，故D 错误.
故选：C.
6．（2024 广东）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】令
，解得
，故定义域为
.
故选：D
7．（2023 新疆）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于
、分式分母不为
可求结果.
【详解】因为
，所以
，
所以定义域为
，
故选：B.
8．（2023 天津）函数
的定义域为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据根号下大于等于零，分母不为零列出条件，解出即可.
【详解】由
，得
且
，
故选：
9．（2023 北京）函数
的定义域是 ．
【答案】
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据函数解析式有意义求解即可.
【详解】由
可得
，
所以函数
的定义域是
，
故答案为：
10．（2024 广东）函数
的定义域为 .
【答案】
【知识点】具体函数的定义域
【分析】利用具体函数的定义域求解.
【详解】解：因为
，
所以
,解得x≥1 且x≠2，x≠3，
即函数的定义域为
，
故答案为：
.
1．（2024 福建）某工厂生产零件x 件，当
时，每生产1 件的成本为100 元，超过10 件时，每生产1
件的成本为150 元，当x=15 时，生产成本为（ ）元
A．1000
B．1750
C．1500
D．1300
考点二：函数的表示
4
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【答案】B
【知识点】求函数值、解析法表示函数
【分析】根据给定条件，求出生产成本
与产量
的函数关系，再代入求出函数值.
【详解】令生产零件
件的成本为
元，
当
时，
，
当
时，
，
因此
，当
时，
，
所以当
时，生产成本为1750 元.
故选：B
2．（2024 北京）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的性质及应用
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.
【详解】当
时，
，当
时，
，
故由
，得
，
故选：A
3．（2023 北京）某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为
，收费标准如下表所示：
时间段
00：00—
07：00
07：00—
10：00
10：00—
15：00
15：00—
18：00
18：00—
21：00
21：00—
23：00
23：00—
24：00
收费（元/
）
1.2
1.4
1.6
1.4
1.6
1.4
1.2
小王的新能源汽车于17：30 开始在该小区的公共交流充电桩充电，当天21：00 还未充满，21：30 来查
看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（ ）
A．31.5 元
B．37.5 元
C．45.3 元
D．51.1 元
【答案】B
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值
【分析】根据题意算出各时间段的充电费用即可判断选项.
【详解】由题知，小王在15：00—18：00 时段充电0.5 小时，费用为
元；
5
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在18：00—21：00 时段充电3 小时，费用为
元；
记在21：00—23：00 时段充电时间为x 小时，费用为
元.
综上，小王应缴纳的充电费
，
因为
，所以
.
故选：B
4．（2023 新疆）已知
，则
的解析式可取为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】利用配凑法求得
的解析式.
【详解】由于
，
所以
.
故选：C
5．（2023 湖南）如图是周老师散步时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象，则
周老师散步的路线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数关系的判断、函数图像的识别
【分析】根据
关于
的函数关系的图象确定正确答案.
【详解】根据
关于
的函数关系的图象可知，
周老师先远离家，然后有一段时间和家的距离相同，然后再回家（离家越来越近），
所以D 选项对应图象符合.
故选：D
6．（2023 河北）某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，如表记录
了该家庭用车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量/升
加油时的累计里程/千米
6
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2020 年10 月1 日
12
32000
2020 年10 月6 日
48
32600
（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．）在这段时间内，该车每100 千米平均耗油量为
（ ）
A．6 升
B．8 升
C．10 升
D．12 升
【答案】B
【知识点】列表法表示函数
【分析】根据表格数据求出行驶里程与耗油量，即可解得.
【详解】由表格中的信息可知，2020 年10 月1 日油箱加满了油，此时的累计里程为32000 千米，
到2020 年10 月6 日，油箱加满油需要48 升，说明这段时间的耗油量为48 升，累计里程为32600 千米，
说明这段时间汽车行驶了
千米，则在这段时间内，该车每100 千米平均耗油量为
（升）．
故选：B．
7．（2023 河北）已知函数
，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值
【分析】代入数据直接计算得到答案.
【详解】
，
，
.
故选：D
8．（2023 广东）设函数
，若
，则实数a 的值为（ ）
A．±2 或±4
B．±2 或－4
C．2 或4
D．2 或－4
【答案】D
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量
【分析】讨论
与
两种情况，分别代入对应解析式进行求解即可.
【详解】当
时，
，得
（舍去－2）；
当
时，
，得
.
综上，
或
.
故选：D.
7
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9．（2022 宁夏）如图，可以表示函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数关系的判断、图象法表示函数
【分析】根据函数的概念判断
【详解】根据函数的定义，对于一个
，只能有唯一的
与之对应，只有D 满足要求
故选：D
10．（多选）（2022 浙江）矩形的面积为
，如果矩形的长为
，宽为
，对角线为
，周长为，下列
正确的（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
【答案】ABD
【知识点】解析法表示函数
【分析】根据已知条件逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为矩形的面积为
，矩形的长为
，宽为
，
所以
，得
，所以矩形的周长为
（
），所以A 正确，
对于B，由选项A，可知
（
），所以B 正确，
对于C，因为矩形的面积为
，对角线为
，长为
，宽为
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
，
因为
，所以
，所以矩形的周长为
（
），所以C 错误，
8
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对于D，由选项C 可知
，
，所以
，
因为
，所以
（
），所以D 正确，
故选：ABD
11．（2022 广西）设函数
，则
．
【答案】2
【知识点】求分段函数值
【分析】根据已知，直接求解分段函数的函数值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
.
故答案为：2.
12．（2023 上海）已知函数
，则方程
的解为 .
【答案】
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量
【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.
【详解】当
时，
，
由于
，所以
.
故答案为：
13．（2022 北京）对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（
），少数国家使用华氏温标（
），两种温标间有如下对应关系：
摄氏温标（
）
…
0
10
20
30
40
50
…
华氏温标（
）
…
32
50
68
86
104
122
…
根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断：
①
对应
；
②
对应
；
③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．
其中所有正确推断的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】函数关系的判断、解析法表示函数、求函数值
【分析】根据条件可得
，然后逐项分析即得.
【详解】设摄氏温标为x
，对应的华氏温标为y
,
9
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根据表格数据可知
∴
，即
，
∴
时，
，
时，
，故①②正确；
由
，可得
，即摄氏温标
对应的华氏温标为
，故③正确.
故答案为：①②③.
14．（2022 北京）已知函数
则
；方程
的解为 ．
【答案】 －2 1
【知识点】求分段函数值、已知分段函数的值求参数或自变量
【分析】根据分段函数的性质求解即可.
【详解】
2×(－1)＝－2；
x＜0 时，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0 时，x≥0，则
，解得x＝1.
故答案为：－2；1.
15．（2023 广东）某移动公司推出两种不同的通话套餐类型供客户选择：
套餐一：零月租，按照0.4 元/分钟计算话费；
套餐二：月租为40 元，包含通话100 分钟，若通话时长超过100 分钟，则按照0.2 元/分钟计算话费.
(1)写出两种套餐对应的话费与月通话时长之间的函数关系.
(2)如果某用户月通话时长为200 分钟，则他选择哪个套餐会更划算？
【答案】(1)答案见解析
(2)他选择套餐二会更划算
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求函数值
【分析】（1）根据题意直接进行求解即可；
（2）运用代入法进行求解判断即可.
【详解】（1）设通话时长为
（分）
设套餐一话费与月通话时长之间的函数关系
，
由题意可知：
；
设套餐二话费与月通话时长之间的函数关系
，
由题意可知：
；
（2）如果某用户用套餐一，当用户月通话时长为200 分钟，
他的话费为
元；
如果某用户用套餐二，当用户月通话时长为200 分钟，
10
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他的话费为
元，
显然
，因此他选择套餐二会更划算.
1．（2024 福建）已知函数
在
上的图像如图，则函数单调递增区间为（ ）
A．[−1,0]
B．[0,1]
C．
D．[1,2]
【答案】B
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性
【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可．
【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势，
由图可知：
的单调递增区间为
.
故选：B．
2．（2023 广西）函数
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【知识点】利用函数单调性求最值或值域
【分析】根据函数单调性求出最大值.
【详解】因为
是单调增函数，
又因为
,所以
.
故选：D.
3．（2024 湖南）已知函数
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．10
【答案】C
【知识点】利用函数单调性求最值或值域
【分析】方法一：运用基本不等式可求得最小值.
考点三：函数的单调性与最大（小值）
11
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方法二：求出函数
在
上的单调性，根据单调性判断函数的最值.
【详解】方法一：当
时，
，
所以
得最小值是6.
方法二：因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
.
故选：C
4．（2024 北京）下列函数中，存在最小值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域
【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.
【详解】
单调递减值域为
,无最小值，A 选项错误；
f (x)= x
2−2 x在
单调递减，在
单调递增，当x =1取得最小值，B 选项正确；
单调递增，值域为
，无最小值，C 选项错误；
f (x)=ln x单调递增，值域为
,无最小值，D 选项错误.
故选:B.
5．（2024 江苏）若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】由二次函数的性质直接求得答案.
【详解】函数
开口向下，对称轴为
，
由于函数
在
上单调递减，
所以
，解得
，
故选：B.
6．（2023 云南）已知函数
，则函数的最大值为（ ）
A．15
B．10
C．0
D．
【答案】A
12
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【知识点】求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域
【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.
【详解】函数
在
上单调递增，则
，
所以函数
的最大值为15.
故选：A
7．（2023 安徽）下列函数中，对任意
且
，同时满足性质：（1）
；（2）
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】根据性质（1）可得
在
上单调递减，从而排除AD；根据性质（2）可得
的图像
在
上是凹形曲线，从而排除C，再检验B 选项即可得解.
【详解】对于AD，因为对任意
且
，
，
不妨设
，则
，所以
，即
，
所以
在
上单调递减，
而
与
在
上单调递增，故AD 错误；
对于BC，因为对任意
且
，
，
所以
的图像在
上是凹形曲线，
而
的图像在
上是凸形曲线，故C 错误；
而
的图像在
上是凹形曲线，同时在
上单调递减，故B 正确.
故选：B．
8．（2022 贵州）已知函数
，若
对任意
恒成立，则实数m 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数不等式恒成立问题
13
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【分析】先判断出
在
单调递增，求出
，即可求出实数m 的范围.
【详解】因为
在
单调递增，
在
单调递增，
所以
在
单调递增.
所以
.
因为
对任意
恒成立，所以
.
故选：D
9．（多选）（2023 浙江）下列函数在
上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】由各选项对应函数在
上的单调性判断正误即可.
【详解】A 选项，函数
为在R 上递增函数，故A 错误；
B 选项，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故B 正确；
C 选项，函数
在
，
上单调递减，故C 正确；
D 选项，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故D 正确.
故选：BCD
10．（2024 福建）若函数
在区间
上单调递增，则k 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】求得抛物线的对称轴方程为
，可得
，求解即可.
【详解】由题意得抛物线的对称轴方程为
∵函数
在
上单调递增，
∴
，∴
，则
的取值范围为
.
故答案为：
11．（2023 山西）设函数
，对任意
恒成立，则实数
的取
14
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值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数不等式恒成立问题
【分析】
变换得到
，计算
的最大值得到
，解得答案.
【详解】
原不等式可化为
，
，则
，
令
，则
，因为
最大值为2，所以
，
即
，解得
.
故答案为：
.
12．（2022 浙江）已知
，函数
，存在
，使得对任意的
，都有
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】将题意转化为
，结合
可得
，再根据函数的单
调性，分
和
两种情况讨论求解即可.
【详解】根据对勾函数的性质，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.且
.又
在
上恒为正，且存在
，使得对任意的
，都有
，故
，因为
，故只需
即可.
（1）当
时，
不成立；
（2）当
时，
，故
，即
，
，解得
.
综上有
.
故答案为：
.
13．（2024 北京）已知
是定义在
上的函数．
15
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如果对任意的
，当
时，都有
，则称
缓慢递增．
如果对任意的
，当
时，都有
，则称
缓慢递减．
(1)已知函数
缓慢递增，写出一组
的值；
(2)若
缓慢递增且
，直接写出
的取值范围；
(3)设
，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结
论，构成一个真命题，并说明理由．
条件①：
缓慢递增； 条件②：
单调递增．
结论①：
缓慢递减； 结论②：
单调递减．
【答案】(1)
(2)
(3)条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析
【知识点】函数新定义、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得
为任意值，即可求解；
（2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得
的取值范围；
（3）先确定条件条件①：
缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：
缓慢递减，根据条
件条件①：
缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：
单调递减.若
单调递增不妨
设
，代入
，可得两结论都不满足.
【详解】（1）已知
是定义在
上的缓慢递增，
如果对任意的
，当
时，都有
，
则可得
为任意值，所以可得
；
（2）若
缓慢递增且
，
根据定义可得
，将已知代入化简可得
，
所以
的取值范围为
（3）若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果
缓慢递增，那么
缓慢递减．
16
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理由如下：因为
在
上缓慢递增，
所以对任意的
，当
时，都有
．
因为
，
所以
．
所以
．
所以
在
上缓慢递减．
若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果
缓慢递增，那么
单调递减．
理由如下：
因为
在
上缓慢递增，
所以对任意的
，当
时，都有
．
因为
，
所以
．
所以
．
所以
在
上单调递减．
而条件②：
为单调递增函数，
不妨设
，则
，
根据题意代入
，不满足新的定义，
所以
为单调递增函数不能推出
缓慢递减；也不能推出
单调递减.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
14．（2023 新疆）用定义证明函数
在
上的单调性，并求在
上的最值.
【答案】证明见解析，
，
17
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【知识点】利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】取
，计算
得到证明，再根据函数的单调性计算最值得到答案.
【详解】任取
，则
，即
，
故函数
在
上是增函数，
，故
，
.
15．（2022 天津）已知函数
，其中
.
(1)若
，求
的值；
(2)当
时，
（i）根据定义证明函数
在区间
上单调递增；
（ii）记函数
，若
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
或
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、分段函数的性质及应用、已知函数值求自变量或参数
【分析】（1）根据函数值直接代入求参即可；
（2）（i）任取
，且
，从而证明
即可；
（ii）根据题意研究该分段函数单调性，根据
分类讨论求值即可.
【详解】（1）因为函数
，所以
，
解得
，所以
的值为
（2）当
时，
，
（i）任取
，且
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
在区间
上单调递增
（ii）由题意得，
，
18
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函数在
和
单调递增，在
和
单调递减，
作出函数图像如下图所示，
若
， 显然
，
①
，即
时，
，解得
，符合题意；
②
，即
时，
，解得
，不符合题意；
③
，即
时，
，即
，
解得
，均符合题意.
综上所述，
或
16．（2023 浙江）已知函数
.
(1)当
时，判断
在R 上的单调性；
(2)记
在R 上的最小值为
，写出
的表达式并求
的最大值.
【答案】(1)
在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)
，
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、分段函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域
【分析】（1）讨论分段函数中二次函数的对称轴与
的大小关系即可得到答案.
（2）分
，
和
讨论即可.
【详解】（1）
，即
19
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当
时，
，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
（2）
，
，
当
，即
时，
，
函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
，
，
，
，
当
且
，即
时，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
当
，即
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
综上
，
当
时，
，
所以
.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是讨论二次函数的对称轴与分界点
的关系，同时要注意在最后得
到
的表达式之后，还需继续求出其最大值.
17．（2023 浙江）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求
的单调区间；
20
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(2)若对任意的
，且
，都有
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
，
.
(2)
【知识点】求函数的单调区间、根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数
【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间；
（2）不妨令
，则
，令
，依题意可得
在
上单调递增，
又
，对
分类讨论，分确定
在
上的单调性，即可得解.
【详解】（1）当
时
,
当
时
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时
，则
在
上单调递增，
综上可得
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
.
（2）因为对任意的
，且
，都有
成立，
不妨令
，则
，即
，
令
，则当
时
，
即
在
上单调递增，
又
，
当
时
，对称轴为
，
若
，即
时
在
上单调递增，
若
，即
时
，此时
在
上单调递增，
若
时，则
，此时
在
上单调递减，在
上单调递增，不符合题
意，
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若
时，
，此时
在
上单调递减，在
上单调递增，不符合题
意，
令
，解得
，当
时
，当
时
，
若
时，
，此时
在
上单调递减，在
上单调递增，不符合题意，
当
时
，此时
在
上单调递增，在
上单调递增，且函数连续，
所以
在
上单调递增，符合题意；
当
时
，此时
在
上单调递增，在
上单调递增，且函数连续，
所以
在
上单调递增，符合题意；
当
时
，此时
在
上单调递增，符合题意；
综上可得
或
，即实数
的取值范围为
.
18．（2023 湖南）若二次函数
的图象的对称轴为
，最小值为
，且
．
(1)求
的解析式；
(2)若关于x 的不等式
在区间
上恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】函数不等式恒成立问题、求二次函数的解析式、根据函数的最值求参数
【分析】（1）根据已知条件列方程组来求得
，也即求得
.
（2）由
分离常数
，进而求得
的取值范围.
【详解】（1）由
为二次函数，可设
∵
图象的对称轴为
，最小值为-1，且
，
∴
，∴
，
∴
．
（2）∵
，即
在
上恒成立，
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又∵当
时，
有最小值0，
∴
，
∴实数m 的取值范围为
．
19．（2022 浙江）设函数
.
(1)当a=8 时，求f(x)在区间[3，5]上的值域；
(2)若
，使f(xi)=g(t)，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）
问题
【分析】（1）首先求得函数
，根据函数的单调性，求解函数的值域；
（2）首先求解函数
，并判断两个函数的单调性，讨论
时，
，列式求
的取值范围，以及当
时的情况；另解，
，分
，
，讨论两个函数的单调性，利用值域关系，求实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
所以函数
在
上递减，在
上递增，
又
，
，
，
所以函数在
上的值域是
，
（2）
，
因为
，所以
在
上递增，在
上递减，在
上递增，
所以符合题意的
必须满足
或
，即
或
，
（ⅰ）当
时，
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函数
在
上递减，在
上递增，
在
上递增，
由题意得
，关于
的方程
在
至少有两个不同的解，等价于
，
即
，解得：
所以
（ⅱ）当
时，
，而当
时，
，
所以方程
无解，
综上，实数
的取值范围是
，
另解：
，
，
因为
，所以
在
上递增，在
上递减，在
上递增，
（ⅰ）当
时，
在
上递增，因为
，所以
在
上递增，
，
当
在
上递增，所以不存在
，使得
，
（ⅱ）当
时，
在
上递增，
，
①若
，
在
上递增，所以不存在
，使得
，
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②若
，
在
上递减，在
上递增，
由题意
，关于
的方程
在
至少有两个不同的解
所以
，解得：
所以
；
③若
，
而当
时，
，所以不存在
，使得
，
综上，实数
的取值范围是
【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，本题的关键是将任意，存在问题转化为
求函数的值域，难点是根据分段函数的单调性，讨论
的取值，分情况讨论函数的值域.
20．（2022 浙江）已知函数
，
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
【知识点】分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后分段确定最小值后可得；
（2）首先由
与1，0 的大小分类，然后每一类里根据绝对值定义分类去绝对值符号，再分段确定函数的
最小值，利用已知条件确定出
的范围．
【详解】（1）
＝
，
时，
，
时，
，
所以
；
（2）①若
，即
时，
，
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所以
在
上单调递减，最小值为2，在
上最小值是
，故只需
，
所以
；
②若
即
时，
，
由二次函数性质知在
时
的最小值为
，在
上最小值为
，故只需
，解得
，所以
；
③若
，即
时，
，
由二次函数性质知在
时
的最小值为
，在
上最小值为
，而
的最
小值为
，故只需
，解得
或
（舍去），
综上可得，
或
．
1．（2024 北京）已知
是定义在
上的奇函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的应用
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，
所以
，即
.
故选：B.
2．（2024 浙江）已知函数
的定义域为
，且
，则下列选项
不正确的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
在区间
上单调递减
考点四：函数的奇偶性
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【答案】D
【知识点】比较函数值的大小关系、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的奇偶性、求函数值
【分析】利用赋值法逐一分析判断即可.
【详解】对于选项A：令
，得
，故A 正确；
对于选项B：令
，得
，
即
，且
，所以
为偶函数，故B 正确；
对于选项C：令
，得
，
用
代入即
，
消去
得：
用
代入得
，
所以有
，即
，故C 正确；
对于选项D：令
，则有
，
令
，则有
，
令
，则有
，
所以
在区间
上不是单调递减，故D 错误.
故选：D.
【点睛】思路点睛：解决跟抽象函数有关的问题，通常利用赋值法.
3．（2024 湖南）如图，已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
【答案】D
【知识点】函数对称性的应用、函数图象的应用
【分析】利用函数
图象上取点，求得关于对称直线的对称点，代入函数
求得参数值，再检
验即得.
【详解】依题意，在函数
的图象上取点
，点
关于直线
的对称点
必在函数
的图象上，
则有
，解得
，
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此时函数
即
，相当于将函数
的图象向右平移2 个单位长度得到，符合题意.
故选：D.
4．（2024 广东）下列函数图象中，为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断
【分析】由偶函数的性质即可得.
【详解】根据偶函数的图象性质可知，关于y 轴对称的函数是偶函数.
故选：C.
5．（2024 北京）在同一坐标系中，函数
与
的图象（ ）
A．关于原点对称
B．关于
轴对称
C．关于
轴对称
D．关于直线
对称
【答案】B
【知识点】判断或证明函数的对称性
【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.
【详解】当
时，
与
互为相反数，
即函数
与
的图象关于
轴对称.
故选：B.
6．（多选）（2023 广西）已知奇函数的图象关于原点对称．下列函数图象中，可以表示奇函数的有（
）
A．
B．
C．
D．
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【答案】BC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】根据奇函数关于原点对称判断选项.
【详解】根据奇函数关于原点对称结合函数图象，符合题意是B,C 选项.
故选：BC.
7．（2024 浙江）奇函数
，则
．
【答案】
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据题意，结合奇函数的性质
，即可求解.
【详解】由题意，函数
，可得
，即
，
经验证：函数
的定义域为
关于原点对称，
且
，符合题意，所以
.
故答案为：
.
8．（2023 吉林）已知函数
是定义域为
的奇函数，若
，则
．
【答案】
【知识点】函数奇偶性的应用
【分析】根据函数奇偶性定义解出函数值；
【详解】函数
是定义域为
的奇函数，则
，
若
，则
，
故答案为：
.
9．（2024 浙江）若定义在
上的偶函数
满足
，则
，
.
【答案】 1 4
【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】由奇偶性及赋值得
，
，由
得周期为2，可求
.
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【详解】在
中令
得
，
又
为偶函数，所以
，所以
.
由
得
，所以
，所以
的周期为2，
因为
为偶函数，所以
，
在
中令
得
，所以
，
所以
，
故答案为：1；4
10．（2024 陕西）设
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则
．
【答案】
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】根据函数的奇偶性，结合函数解析式易得.
【详解】依题意，
.
故答案为：
.
11．（2023 宁夏）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
【答案】
【知识点】函数奇偶性的应用
【分析】利用奇函数的性质可求得
的值.
【详解】因为函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，
则
.
故答案为：
.
12．（2023 辽宁）函数
是定义在
上的奇函数，且
．
(1)求实数
的值；
(2)用定义证明函数
在
上是增函数；
(3)解关于
的不等式
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
．
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【知识点】由函数奇偶性解不等式、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函
数的单调性
【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件即可得解；
（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；
（3）利用
的奇偶性、单调性与定义域列式即可得解.
【详解】（1）函数
是定义在
上的奇函数
所以
，则
，所以
因为
，则
，则
，所以
，
此时
，定义域关于原点对称，
又
，所以
是奇函数，满足题意，
故
，
.
（2）由（1）知
．
设
是
内的任意两个实数，且
，
，
因为
，
所以
，即
，
所以函数
在
上是增函数.
（3）因为
，所以
，即
，
则
，所以
，所以
，
即此不等式解集为
．
13．（2020 新疆）已知函数
.
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(1)求
的值；
(2)判断函数
的奇偶性，并说明理由.
【答案】(1)3
(2)奇函数，理由见解析
【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断
【分析】(1)代入
求解即可.
(2)先分析定义域,再求解
再分析与
的关系判定即可.
【详解】（1）由解析式知
；
（2）函数为奇函数，理由如下：
定义域为
，
且
，
所以
为奇函数.
14．（2023 山西）已知
是定义在
上的奇函数，且
，若对任意的m，
，
，都有
．
(1)若
，求实数a 的取值范围；
(2)若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)a 的取值范围为
；
(2)a 的取值范围为
.
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式、由函
数奇偶性解不等式
【分析】（1）利用单调性的定义，证得
在
上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式
，求得
的取值范围.
（2）由（1）可得函数
在
上的最大值为
，由条件可得
，解不等式可得a 的取值范
围．
【详解】（1）任取两个实数
，满足
，
由题意可得
，
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即
，
在定义域
上是增函数.
因为
是定义在
上的奇函数，
所以当
时，
，
所以
，可化为
所以
所以
，
解得
，
a 的取值范围为
.
（2）由（1）知函数
在定义域
上是增函数，
所以当
时，函数
取最大值，最大值为
，
又
是定义在
上的奇函数，
所以
，又
，
所以函数
在定义域
上的最大值为
，
因为不等式
恒成立，
所以
，所以
，
故不等式
可化为
，
所以
，
解得
或
，
所以a 的取值范围为
．
15．（2023 北京）已知
是定义在区间
上的偶函数，其部分图像如图所示．
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(1)求
的值；
(2)补全
的图像，并写出不等式
的解集．
【答案】(1)1
(2)作图见解析，
【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的应用、画出具体函数图象、根据函数的单调性解不等式
【分析】（1）根据偶函数的性质计算；
（2）根据偶函数的性质以及函数图像计算.
【详解】（1）由图可知，
，
因为
是偶函数，所以
；
（2）
的图像如上图，不等式
的解集为
；
综上，
，
的解集为
.
1．（2024 湖南）已知
，且函数
在
上是增函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】C
【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数
【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可.
【详解】因为函数
在
上是增函数，
所以
，解得
，
考点五：幂函数
34
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又
，所以
.
故选：C
2．（2020 山东）已知函数
的大致图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】由幂函数的单调性求参数、函数图像的识别
【分析】根据幂函数性质可知a>0，且当x =0时，
，从而可求解.
【详解】由题中图象知函数f (x)单调递增，根据幂函数的性质可得a>0，
由图知当x =0时，
，所以
.故B 正确.
故选：B.
3．（2023 广东）已知幂函数
的图象经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【知识点】已知函数值求自变量或参数
【分析】把点代入幂函数解析式运算求解即可.
【详解】由题意可得：
，所以
.
故选：A.
4．（2023 江苏）已知函数
是偶函数，且在区间
上单调递增，则下列实数可作为
值的是
（ ）
A．-2
B．
C．2
D．3
【答案】C
【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性
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【分析】
在
上单调递减，A 错误，
不是偶函数，B 错误，定义判断C 正确，
函数为奇函数，D 错误，得到答案.
【详解】对选项A：
，
，函数在
上单调递减，错误；
对选项B：
，
，函数定义域为
，不是偶函数，错误；
对选项C：
，
，函数定义域为
，
，函数为偶函数，且在
上单
调递增，正确；
对选项D：
，
，函数定义域为
，
，函数为奇函数，错误；
故选：C
5．（2023 河北）已知幂函数
的图象过点
，则该函数的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求幂函数的解析式
【分析】根据幂函数定义可设
，代入所过点坐标即可求得结果.
【详解】设幂函数
，则
，
，
.
故选：B.
6．（2023 河北）已知幂函数
的图象过点
，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．9
【答案】B
【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式
【分析】设幂函数为
，代入点计算得到
，计算得到答案.
【详解】设幂函数为
，图象过点
，故
，故
，
，
.
故选：B
7．（2023 新疆）已知幂函数
的图象经过点
，则
.
【答案】
【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式
【分析】先根据幂函数图象经过的点求解出
的值，然后
可求.
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【详解】由条件可知
，所以
，
所以
，所以
，
故答案为：
.
8．（2022 浙江）已知幂函数
是偶函数，且在
上单调递增，
的值可以是 .
（写一个即可）
【答案】
（答案不唯一）
【知识点】由幂函数的单调性求参数、幂函数的奇偶性的应用
【分析】根据幂函数的性质确定出
值作答.
【详解】由偶函数
在
上单调递增，得
在
上单调递减，
而
是幂函数，则
，取
，
符合题意.
故答案为：
9．（2023 海南）请写出一个幂函数
，满足：
，
.此函数可以是
.
【答案】
（答案不唯一）
【知识点】由幂函数的单调性求参数、函数奇偶性的定义与判断、求幂函数的解析式
【分析】根据给定条件，确定函数
的定义域，及函数
的有关性质，再写出符合的函数解析式作
答.
【详解】令幂函数
（
为常数），由
，
知，函数
的定义域为R，
是偶函数，
又
，
，则函数
在
上单调递增，因此
可以为正偶数，
所以此函数可以是
.
故答案为：
1．（2024 湖南）为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年燃气用量
燃气价格
不超过
3.2 元
超过
但不超过
的部分
3.6 元
考点六：函数的应用（一）
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超过
的部分
4.5 元
若某户居民一年的燃气用量为
，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（ ）
A．1600 元
B．1680 元
C．1800 元
D．2250 元
【答案】B
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用
【分析】直接分段计算，然后相加即可得解.
【详解】由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为
元.
故选：B.
2．（2024 浙江）甲某全年交税额为5617.19 元，则他的交税等级为（ ）
级数
全年应纳税所得额
税率（
）
速算扣除数
1
不超过36000 元的
3
0
2
超过36000 元至144000 元的部分
10
2520
3
超过144000 元至300000 元的部分
20
16920
4
超过300000 元至420000 元的部分
25
31920
5
超过420000 元至660000 元的部分
30
52920
6
超过660000 元至960000 元的部分
35
85920
7
超过960000 元的部分
45
181920
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】分段函数模型的应用
【分析】根据题意分段计算，对比分析即可.
【详解】因为
.
所以可知交税等级为2.
故选：B.
3．（2024 福建）某“定制班车”的票价按下列规则制定：
①行程在
以内的（含
），票价2 元；
②行程在
以上的，前
票价2 元，以后每增加
票价增加1 元（不足
的按
计算）．
小明某天乘坐该“定制班车”，行程
，票价4 元，那么的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【知识点】分段函数模型的应用
【分析】根据小明的票价分析行程最大值，即可判断.
【详解】因为小明的票价为
元，则小明的行程最大为
，
又当小明的行程为
时，票价只需元，
则小明的行程需大于
且不超过
，所以
.
故选：B
4．（2023 云南）2012 年7 月1 日，居民阶梯电价开始实行.“一户一表”的城乡居民用户电量从今往后正
式按照三档收费.第一档月用电量为180 度及以下，用电价格0.50 元/度.第二档月用电量为181 度-280 度，
电价0.55 元/度.第三档月用电量为281 度及以上电价0.80 元/度.
(1)写出月电费
（元）与月用电量
（度）的函数关系式；
(2)若某户居民的电费为110 元，问这户居民的用电量是多少？
【答案】(1)
(2)
（度）
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数模型的应用
【分析】（1）根据题意，分别求得各个区间上的用电函数关系式，进而得到
关于
的函数关系式；
（2）由（1）的函数关系式，设用户的用电量为
，得出方程
，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，设月用电量为
（度），月用电费为
（元），
当
时，可得
；
当
时，可得
；
当
时，可得
，
所以月用电费为
月用电量为
的关系式为
.
（2）解：由（1）中的函数，可得
当
时，可得
元；
当
时，可得
元，
因为某户居民的电费为110 元，可得
，则用户用电量在
内，
设用户的用电量为
，可得
，
解得
（度），即用户的用电量大约为
（度）.
5．（2023 新疆）某厂家制造一件产品的成本为
元，如果一件产品的定价为
元时，可卖出
个；如
果定价每提高元售出的个数会减少
个，试将利润
表示成单价
的函数，并求出利润的最大值.
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【答案】
，
元
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题
【分析】根据条件先列出
关于
的函数，然后根据二次函数的性质求解出
的最大值即为最大利润.
【详解】由已知可得
，
所以
，
当
时，
，
所以利润的最大值为
元.
6．（2023 广东）某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为2.6 公里，收费10 元；若超过2.6 公里
的，每公里按2.4 元收费.
(1)设A 地到B 地的路程为4.1 公里，若搭乘出租车从A 地到B 地，需要付费多少？
(2)若某乘客搭乘出租车共付费16 元，则该出租车共行驶了多少公里？
【答案】(1)
元
(2)
公里
【知识点】分段函数模型的应用
【分析】（1）设出租车行驶
公里，根据题设写出付费额
的分段函数形式，进而求从A 地到B 地需
要的付费；
（2）由题意出租车行驶公里数
，结合解析式列方程求该出租车共行驶的公里数.
【详解】（1）设出租车行驶
公里，则付费额
，
所以
元.
（2）由题意，出租车行驶公里数
，
令
，则
公里.
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