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专题04 基本不等式
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题04 基本不等式
命题解读
命题预测
复习建议
基本不等式是高考的一个重
点，根据近几年的高考分
析，基本不等式的考察主要
是利用基本不等式求最值，
求未知参数的范围等等，题
目难度主要集中在中难度
上，基本不等式牵扯到的知
识点比较多，主要集中在导
数、数列、三角函数、解析
几何等等。
预计2024 年的高考对于基本
不等式的考察还是和往年一
样，变化不是很大，主要集
中在应用上。
集合复习策略：
1.理解基本不等式以及几个
重要的不等式；
2.掌握基本不等式求最值等
方面的应用。
→➊考点精析←
一、基本不等式
1．基本不等式√ab≤a+b
2
(1)基本不等式成立的条件: a>0，b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab (a，b∈R).
(2)b
a
+a
b
≥2a，b 同号).
(3)ab≤a+b
2
2(a，b∈R).
(4) a+b
2
2≤a
2+b
2
2
(a，b∈R).
3.算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b 的算术平均数为a+b
2
，几何平均数为√ab，基本不等式可叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
2
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(1)如果积xy 是定值p，那么当且仅当x=y 时，x+y 有最小值，是2√p (简记:积定和最小).
(2)如果和x+y 是定值p，那么当且仅当x=y 时，xy 有最大值，是p
2
4
(简记:和定积最大).
二、基本不等式应用
1.基本不等式与函数相结合，在函数中的应用；
2.基本不等式在求解恒成立问题中的应用，以及求解未知参数等问题。
→➋真题精讲←
1. 【2023 浙江三模】已知不等式
对任意实数
、
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.【2023 湖南省一模】函数
的图像恒过定点
，若点
在
直线
上，其中
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
→➌模拟精练←
1．（2023 春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数
，且
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
2．（2023·广东潮州·高三统考期末）正实数
满足
，且不等式
恒
成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
3
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C．
D．
3．（2023 春·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）若
，且
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·广东江门·高三江门市棠下中学校联考期末）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．13
B．14
C．
D．
5．（2023 春·广东广州·高三统考阶段练习）已知
，
，且
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·山东烟台·统考三模）已知
且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为2
C．
的最小值为6
D．
的最小值为4
7．（2023 春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）若正数a，b 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023 春·广东·高三校联考阶段练习）若直线
经过点
，则
（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
9．（2023·山东日照·三模）设
且
，则
的最小值为
_________．
10．（2023·山东济南·统考三模）已知正数
满足
，则
的最小值为
___________.
11．（2023 春·广东江门·高三校联考开学考试）已知正数x，y，z 满足
，当
取最大值时，
的最小值为______.
12．（2023·广东·高三校联考期末）已知a，b 都是正数，则
的最小值是
______．
13．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知
，且
，则
的最小值
是_____．
14．（2023·江苏常州·校考二模）在
中，
所对的边分别为
，且
，其中
是三角形外接圆半径，且
不为直角.
(1)若
，求
的大小；
(2)求
的最小值.
5
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→➍专题训练←
1.（多选）若a，b 为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（ ）．
6
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A．
B．
C．
D．
2.已知
，则
的最小值是 ．
3. 已知
，且
，则
的最小值为 ．
4. 设
，则
的最小值为______.
5.已知a，b∈R,且a-3b+6=0,则2a+ 1
8
b的最小值为 .
6. 已知
为正数，且满足
，证明：
（1）
（2）
7.已知函数
，不等式
的解集为
．
7
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（1）解不等式
；
（2）若
，
，
，求证：
．
8
