第 11 讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题）
目录
高频考点一：椭圆中的最值、范围问题（椭圆中最值问题）...............................1
高频考点二：椭圆中的最值、范围问题（椭圆中参数范围问题）.......................6
高频考点三：双曲线中的最值、范围问题（双曲线中最值问题）.....................13
高频考点四：双曲线中的最值、范围问题（双曲线中参数范围问题）..............19
高频考点五：抛物线中的最值、范围问题（抛物线中最值问题）.....................25
高频考点六：抛物线中的最值、范围问题（抛物线中参数范围问题）..............30
高频考点一：椭圆中的最值、范围问题（椭圆中最值问题）
典型例题
例题1．（23-24高二上·浙江衢州）已知动点 与平面上两定点 连线的斜率的积为定值
．
(1)试求动点 的轨迹方程C．
(2)设直线 与曲线 交于 两点，在曲线 上求一点P使 的面积最大．
【答案】(1)
(2)
【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题
【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可；
（2）联立直线 和椭圆，根据弦长公式求出 ，作直线 的平行线 ，当 与椭圆相切时，求出点 的
坐标，用点到直线的距离求出三角形的高，再利用面积公式求解即可.
【详解】（1）设点 ，则依题意有 ，整理得 ．
所以求得的曲线C的方程为 ．
（2）由 消去 得： ．
设 ，则
，
设直线 ，代入 ．消去 得： ，
令 得： ，解得： 或 ，
当 时，点 坐标为 面积有最大值，
点P到直线MN的距离 ，
.
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且
，点 在椭圆 上，直线 ．
(1)若直线 与椭圆 有两个公共点，求实数 的取值范围；
(2)当 时，记直线 与 轴， 轴分别交于 两点， 为椭圆 上两动点，求 的最大
值．
【答案】(1)(2)
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、根据直线与椭圆的位置关系求参数
或范围、求椭圆中的最值问题
【分析】（1）计算出 ，结合 在椭圆上，得到方程，求出 ，得到椭圆
方程，联立直线和椭圆方程，由根的判别式大于0求出答案；
（2）求出 ，数形结合得到 为位于直线 的两侧，过 和 的直线与直线 平行且
与椭圆相切时， 最大，由（1）可得相切时 即 ，从而求出切点坐标，得到三角形面
积，求出最大值.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ，则 ，故 ，
而 在椭圆上，故 ，
故 ，故椭圆方程为： ，
由 可得 ，
故 ，即 ，解得 .
（2）当 时，直线 ，故 ，
由题设可得 为位于直线 的两侧，不妨设 在直线 上方， 在直线 的下方，
当过 的直线与直线 平行且与椭圆相切时，
到直线 的距离最大及 的面积最大，
当过 的直线与直线 平行且与椭圆相切时，
到直线 的距离最大及 的面积最大， 最大，
由（1）可得相切时 即 ，
当 时，切点的横坐标为 ，切点坐标为 ，在直线 上方，此时 到 的距离为 ，
当 时，切点的横坐标为 ，切点坐标为 ，在直线 下方；
此时 到 的距离为 ，
又 ，
故 .
练透核心考点
1．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且
，过点 作两条直线 ，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 的方程；
(3)若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
【答案】(1)
(2) 或 ．
(3) ．
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中
的最值问题
【分析】（1）根据椭圆的定义求得 ，即可求解；
（2）由题意设 ，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出 ，结合
的面积建立方程，计算即可求解；
（3）由（2）可得 ，进而 ，则 ，
结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ，由题意知 ，所以 ，
的周长为 ，所以 ，
所以 ，故 的方程为 ．
（2）易知 的斜率不为0，设 ，
联立 ，得 ，
所以 ．
所以 ，
由 ，
解得 ，
所以 的方程为 或 ．
（3）由（2）可知 ，
因为 的斜率是 的斜率的2倍，所以 ，
得 ．
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．
2．（2024·广东珠海·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且
，点 在椭圆C上，直线 ．
(1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；(2)当 时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题
【分析】（1）根据焦距可得 ，再根据点在椭圆上可得 ，解出 后可得椭圆的方程，
联立直线方程和椭圆方程后结合判别式可求 的范围；
（2）由题设可得当过 且与直线 平行的直线与椭圆相切时面积之和最大，故求出切点坐标后可求面积
和的最大值.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ，则 ，故 ，
而 在椭圆上，故 ，
故 ，故椭圆方程为： ，
由 可得 ，
故 即 即 .
（2）当 时，直线 ，故 ，
由题设可得 为位于直线 的两侧，不妨设 在直线 上方， 在直线 的下方，
当过 的直线与直线 平行且与椭圆相切时，
到直线 的距离最大及 的面积最大，
当过 的直线与直线 平行且与椭圆相切时，
到直线 的距离最大及 的面积最大，
由（1）可得相切时 即 ，
当 时，切点的横坐标为 ，切点坐标为 ，在直线 上方，此时 到 的距离为 ，
当 时，切点的横坐标为 ，切点坐标为 ，在直线 下方；
此时 到 的距离为 ，
又
故四边形PAQB面积的最大值为8.
高频考点二：椭圆中的最值、范围问题（椭圆中参数范围问题）
典型例题
例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离
心率为 ，长轴长与短轴长之和为6.
(1)求 的方程；
(2)设 为 上一点， .若存在实数 使得 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的参数及范围
【分析】（1）根据题意结合离心率列式解得 ，即可得椭圆方程；
（2）根据椭圆定义可得 ，根据两点间距离公式结合椭圆方程列式求解即可.
【详解】（1）因为椭圆 的长轴长与短轴长之和为6，则 ，即 ①，
又因为 ，结合 可得 ②，
联立①②解得 ，所以 的方程为 .
（2）设P(x,y)，则 ，因为存在实数 使得 ，即 ，
可得 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
所以 的取值范围为 .
例题2．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆 .
(1)若椭圆 的左右焦点分别为 为 的上顶点，求 的周长；
(2)设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 为锐角（其中 为坐标原点），求
直线 的斜率 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的参数及
范围
【分析】（1）先根据椭圆方程求出 ，然后根据椭圆的定义可求得结果；
（2）设直线 的方程为 ，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关
系，再由题意可得 可求得直线 的斜率 的取值范围.
【详解】（1）由题意得 ，
所以 ，
所以 的周长为 ；
（2）显然 不满足题意，设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，
，
因为 为锐角， 不共线，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以
，
解得 ，
因为
所以解得 或 ，
所以实数 的取值范围为
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将 为
锐角转化为 ，则 ，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.
练透核心考点
1．（23-24高二下·上海·期中）已知点A为椭圆 上一点， 分别为椭圆的左､右焦点.(1)求椭圆 的离心率；
(2)若点A的横坐标为2，求 的长.
(3)设 的上、下顶点分别为 ，点 为椭圆 上一点，记 的面积为 的
面积为 ，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求椭圆中的参数及范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据椭圆方程求a、b、c、求
平面两点间的距离
【分析】（1）根据椭圆方程求 ，即可得离心率；
（2）设 ，代入椭圆方程可得 ，利用两点间距离公式运算求解；
（3）设 ，结合面积关系可得 ，在利用两点间距离公式结合
齐次式问题分析求解.
【详解】（1）由题意可知： ，
所以椭圆 的离心率 .
（2）由（1）可知： ，
设 ，则 ，解得 ，
所以 .
（3）由（1）可知： ，
设 ，
则 ，
若 ，即 ，可得 ，因为 ，
由 ，即 ，则 ，可得 ，
可得 ，即 的取值范围为 .
2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 短轴长为2，左、右焦点分别为 ，过点
的直线 与椭圆 交于M，N两点，其中M，N分别在 轴上方和下方， ，直线
与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．
(1)若 坐标为 ，求椭圆 的方程；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆中的参数及范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根
据椭圆过的点求标准方程
【分析】（1）根据重心的定义，求解得到点 的坐标，用待定系数法即得椭圆的方程；
（2）根据重心的几何性质并结合图象，将三角形的面积拆分，然后利用面积关系即可求解得到 的取值
范围．
【详解】（1）依题意， ，故椭圆 ，易知点 为 的重心，则 ，故 ，
代入椭圆方程得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）解法一：易知点 分别为 的重心，
设 ，设点 ，
则根据重心性质及面积公式得 ，
，
而 ，
所以 ，则 ，所以 ；
设直线 ，则联立椭圆方程得 ，消元化简得， ，
，
，
对任意的 恒成立，
即得 ，故实数 的取值范围为 ．
解法二：易知点 为 的重心， ，
，
此时，设点 ，则根据重心的性质可得 ，
， ，
，而 ，
；
设直线 ，则联立椭圆方程得 ，消元化简得， ，
，
，
对任意的 恒成立，
即得 ，故实数 的取值范围为 ．
高频考点三：双曲线中的最值、范围问题（双曲线中最值问题）
典型例题
例题1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知点 ，动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)记动点 的轨迹为 ，若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线中的最值问题
【分析】（1）根据双曲线定义求出轨迹方程；
（2）分直线 斜率不存在和直线 斜率存在两种情况，当斜率不存在时求出 ，斜率存在
时， ，得到答案.
【详解】（1）因为 ，
由双曲线定义可知：点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，所以， ，
所以动点 的轨迹方程为： .
（2）①当直线 斜率不存在时，设直线 方程为： ，
此时 ，
所以 ；
②当直线 斜率存在时，设直线 方程为： ，
代入双曲线 方程可得： ，
可知其有两个不等的正实数根 ，
解得： ，
所以
.
由 得，
，
综上所述， 的最小值为1.
例题2．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知双曲线的方程 ： ，直线 与双曲线
的两支交于 ，直线 与双曲线的两支交于 .(1)若双曲线焦距为4，求能使 时 的取值范围.
(2)在（1）的条件下，若双曲线的离心率为 时，求四边形 的面积最小值
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的
最值问题
【分析】（1）根据斜率关系可得 ，故可求 的取值范围.
（2）联立直线方程和双曲线方程，结合弦长公式可求面积，由不等式放缩和基本不等式可求面积的最小
值.
【详解】（1）由题设双曲线的半焦距 .
因为 分别与双曲线的两支交于 ，所以 的斜率均存在且不为零，
设 的斜率为 ，则 为 ，则 ，且 ，
故 且 ，
若 ，则 且 ，此时不存在 使得这两个不等式成立，
故 ，所以 ，故 .
（2）因为双曲线的离心率为 且 ，故 ，
故 ，故双曲线的方程为 .
设直线 ， 可得 ，
整理得到： ，
因直线 与两支都相交，故 即 ，
此时 恒成立，且 ,
又 ，又直线 ，同理有 ，
其中 ，故 或 ，
又四边形 的面积为：
故 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，
当且仅当 时等号成立，
故四边形 的面积最小值为 .
【点睛】思路点睛：直线与双曲线的位置关系中，我们可利用渐近线来判断直线与双曲线的左右均有交点
时斜率的范围，这样可以简化运算.
练透核心考点
1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线
上存在一点 .使得直线 垂直平分线段 ，点 为垂足，且 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点， 为坐标原点，探究 是否有最小值，若
有，求出最小值，若没有，说明理由.
【答案】(1)(2)存在最小值为
【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的最值问题
【分析】（1）过点 作 轴于点 ，利用几何关系求得 ，再利用两点斜率公
式得 ，即可得解；
（2）联立方程，韦达定理，利用弦长公式求出 ，利用点到直线距离公式求出高，从而求出 表达
式，再利用换元法结合二次函数求解函数最值即可.
【详解】（1）如图所示， 直线 垂直平分线段 ， 在第一象限.
如图，过点 作 轴于点 .
， ，且 ， ，
，则点 .
由 ，解得 ，又 ， ，
故 的标准方程为 .
（2）设 ，
把 代入 ，得 ，
则 ，
故 ， ，
，点 到直线 的距离 ，
，
令 ， ，令 ，则 ，
， ，由 ，得 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，即当 即 时，等号成立.
此时 ，解得 ，满足 ，
存在最小值为 .
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，点 ， 分别是其
左右焦点，过点 的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时，
.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)线段 交圆 于点B，记 ， ， 的面积分别为S，S，S，求
1 2
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的最值问题
【分析】（1）根据双曲线 的离心率为 ，得到 ，再根据 ，得到求解.
（2）设 ，则 ，求得 ，再利用双曲线的定义得到
， ，再由 ， 求解.
【详解】（1）解：因为双曲线 的离心率为 ，
所以 ，又过点 的直线PA的斜率不存在时， ，
所以 .
解得 ，
所以双曲线的方程为： ；
（2）设 ，则 ，且 ，
所以 ，
，
，
由双曲线定义得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
，
，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值 .
高频考点四：双曲线中的最值、范围问题（双曲线中参数范围问题）
典型例题
例题1．（2024·广东佛山·二模）双曲线 的左顶点为 ，焦距为4，过右焦点
作垂直于实轴的直线交 于 、 两点，且 是直角三角形．
(1)求双曲线 的方程；
(2) 、 是 右支上的两动点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，求点 到直线
的距离 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的参数及范围、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为 的方程，即可求解；
（2）首先设直线 的方程为 ，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示 ，并根据 的
取值范围，求点到直线的距离的取值范围.
【详解】（1）依题意， ，焦半径 ，
由 ，得 ，得 ，
解得： （其中 舍去），
所以 ，
故双曲线 的方程为 ；
（2）显然直线 不可能与轴平行，故可设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 整理得 ，
在条件 下，设 ， ，则 ， ，
由 ，得 ，
即 ，
整理得 ，
代入韦达定理得， ，
化简可消去所有的含 的项，解得： 或 （舍去），
则直线 的方程为 ，得 ，
又 都在双曲线的右支上，故有 ， ，
此时 ， ，
所以点 到直线 的距离 的取值范围为 .
例题2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点 分别为双曲线 的左顶点和右焦
点，过 且垂直于 轴的直线与双曲线第一象限部分交于点 ， 的面积为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线的左、右两支分别交于 ， 两点，与双曲线的两条渐近线分别交
于 ， 两点，记 ， 的面积分别为 ， （ 为坐标原点）．若 ，求实数 的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的参数及范围
【分析】（1）根据双曲线方程即可写出 之间的关系，再根据三角形面积公式解得 ，即可得到双
曲线 的方程；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式即可写出 的表达式，同理
可得 的面积表达式，再通过构造函数即可求得实数 的取值范围．
【详解】（1）由题意可知 ，所以 ， ，
由已知 ，可得 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）设 ，
联立 ，整理可得
所以 ，解得 ，
由 ， 可得，
，
原点到直线 的距离 ，
所以
设 ， ，易知渐近线方程为 ，
不妨设 在渐近线 上，
由 得 ，同理，
所以 ，
到直线 的距离 ，
所以
所以 ，，则
令 ，则
故 的取值范围是
练透核心考点
1．（23-24高二·江苏·单元测试）已知 ，点 满足 ，记点 的轨迹为 ．
(1)求轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 且与轨迹 交于 两点．
①无论直线 绕点 怎样转动，在 轴上总存在定点 ，使 恒成立，求实数m的值；
②过 作直线 的垂线 ，垂足分别为 ，记 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求方程、双曲线中的参数及范围、双曲线中存在定点满足
某条件问题
【分析】（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为 ， ， ，与双曲线方程联立消 得
，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出．
①利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；
②由双曲线定义得： ， 或者利用角度表示长度，
即可求解．
【详解】（1）解：由 知，点 的轨迹 是以 、 为焦点的双曲线右支，
由 ，所以 ，
故轨迹 的方程为
（2）解：当直线 的斜率存在时，设直线方程为 ，
与双曲线方程联立消 得 ，，解得
，
故得 对任意的 恒成立，
，解得 ，
当 时，
当直线 的斜率不存在时，由 及 知结论也成立，
综上，当 时， ．
② ，所以直线 是双曲线的右准线，
由双曲线定义得： ，
方法一：
，
注意到直线的斜率不存在时， ，
综上，
方法二：设直线 的倾斜角为 ，由于直线 与双曲线右支有两个交点，
，过 作 ，垂足为 ，
则由
故
2．（23-24高二下·吉林白城·阶段练习）已知双曲线 的离心率为 ，且焦点到渐近线的距离
为 ．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若以 为斜率的直线 与双曲线 相交于两个不同的点 ， ，且线段 的垂直平分线与两
坐标轴围成的三角形的面积为 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的参数及范围
【解析】(1)由焦点到渐近线的距离可求出 ,再由离心率求出 ,从而得到双曲线方程;
(2)设直线 的方程为 ,联立 可知 ,利用韦达定理和中点坐标公式求出线段 的垂
直平分线方程,再利用题设面积可求出 ,结合 即可求出实数 的取值范围.
【详解】(1)焦点 到渐近线 的距离为 ,
又 ,∴ ,∴ ,
∴双曲线 的标准方程为 .
(2)设直线 的方程为 , , ,
则由 消去 ,可得 ,
根据题意可知 ,且 ,
即 ①,
设线段 的中点坐标为 ,则 , ,
∴线段 的垂直平分线方程为 ,
此直线与 轴, 轴的交点坐标分别为 , ,
∴ ,化简可得 ②,
将②代入①得 ,
即 ,解得 或 ,
∴实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质及双曲线方程的求法,考查直线与双曲线的位置关系的应用,考查
计算能力,属于中档题.
高频考点五：抛物线中的最值、范围问题（抛物线中最值问题）
典型例题
例题1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知抛物线 的焦点 到直线 的距离
为 为直线 上的动点，过点 作直线 分别与 相切于点 .
(1)求 的方程；
(2)证明：直线 过定点；
(3)若直线 分别交 轴于点 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) .
【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的参数范围问题、根据抛物线上的点求标准方程、已知
点到直线距离求参数
【分析】（1）利用点到直线的距离即可求出p，即得答案；（2）设直线MN方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合导数的几何意义可得切线 的方
程，求出P点坐标，即可求得参数之间的关系，进而证明结论；
（3）结合（2）求出 的表达式，利用二次函数性质即可求得答案.
【详解】（1）由题意知 ，
结合 ，解得 .
故 的方程为 .
（2）证明：根据题意，直线 的斜率存在，设其方程为 .
联立 ，得 .
.
由 可得 ，所以 ，因此 的斜率分别为 ，
的方程分别为 ，
整理得 ，
联立 的方程，解得 ，即 .
因为点 在直线 上，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
故直线 过定点 .
（3）由（2）可知 与 轴的交点横坐标分别为 .
因为 ，
当 时取等号，故 的最小值为 .
【点睛】易错点点睛：解答此类圆锥曲线问题，要注意解题思路，这并不困难，一般利用联立方程即可求
解，容易出错的地方在于计算比较复杂，并且基本都是字母参数的运算，计算量大，很容易出现计算错误.
例题2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知抛物线 ，过 的直线交抛物线C于
A，B两点，O是坐标原点， ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若F点是抛物线C的焦点，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)10
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、求抛物线上一点到定点的最值、数量积的坐标表示
【分析】（1）设直线 的方程为 ， ， ，将直线方程代入抛物线方程化简利用
根与系数的关系，结合 可求出 的值，从而可求出抛物线方程；
（2）由（1）知 ， ，而 ，化简后可求出其最小值.
【详解】（1）由题意知，直线 的斜率不为零，设直线 的方程为 ，
联立抛物线 的方程得： ，
恒成立，
设 ， ，所以 ， ．
又 ，
即 ，所以 ，即 ，
所以抛物线C的方程为 ．
（2）由（1）知： ， ， ，
所以
，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为10．练透核心考点
1．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于
两点，过 作 的切线 ，交于点 ，且 与 轴分别交于点 .
(1)求证： ；
(2)设点 是 上异于 的一点， 到直线 的距离分别为 ，求 的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的参数范围问题、求点到直线的距离、求在曲线上一点
处的切线方程（斜率）
【分析】（1）利用导函数的几何意义求得直线 的表达式，得出 三点的坐标，联立直线 与抛物
线方程根据韦达定理得出 ；
（2）利用点到直线距离公式可求得 ，可求出 的最小值.
【详解】（1）因为抛物线 的焦点为 ，
所以 ，即 的方程为： ，如下图所示：
设点 ，
由题意可知直线 的斜率一定存在，设 ，
联立 得 ，
所以 .
由 ，得 ，
所以 ，即 .
令 ，得 ，即 ，同理 ，且 ，
所以 .
由 ，得 ，即 .
所以 .
故 .
（2）设点 ，结合（1）知 ，即
因为 ，
所以 .
同理可得 ，
所以 .
又 ，
所以 .
当且仅当 时，等号成立；
即直线 斜率为0时， 取最小值 ；
2．（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线 ，过 作互相垂直的两条直线 ， 与抛物线相
交于 两点， 与抛物线相交于 两点，线段 的中点分别为 ．
(1)证明：直线 过定点；
(2)若线段 的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【知识点】根据韦达定理求参数、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的参数范围问题
【分析】（1）设直线方程及点坐标，利用韦达定理及中点坐标公式表示 点坐标，再表示直线
即可；
（2）结合（1）的结论及整体的思想由二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）由题意可知两直线都存在斜率且不为0，不妨设 ，
则 ， ，
联立 ，
所以 ，即 ，
同理可得 ，
则 ，
所直线 方程为： ，
显然该直线恒过定点 ；
（2）由上可知点E的纵坐标为：
，
当且仅当 时取得最小值 .高频考点六：抛物线中的最值、范围问题（抛物线中参数范围问题）
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线 ，在 上有一点 位于第一象限，设 的纵坐标
为 .
(1)若 到抛物线 准线的距离为3，求 的值；
(2)当 时，若 轴上存在一点 ，使 的中点在抛物线 上，求 到直线 的距离；
(3)直线 ， 是第一象限内 上异于 的动点， 在直线 上的投影为点 ，直线 与直线 的交点
为 .若在 的位置变化过程中， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】基本不等式求和的最小值、抛物线中的参数范围问题、根据抛物线的方程求参数
【分析】（1）先求出点 的横坐标，代入抛物线方程即可求解；
（2）先通过中点在抛物线上求出点 的坐标，进一步求出直线 方程，利用点到直线距离公式求解即
可；
（3）设 ，联立方程求出点Q的坐标，根据 恒成立，结合基本不等式
即可求解.
【详解】（1）抛物线 的准线为 ，由于 到抛物线 准线的距离为3，
则点 的横坐标为2，则 ，解得 ；
（2）当 时，点 的横坐标为 ，则 ，
设 ，则 的中点为 ，由题意可得 ，解得 ，
所以 ，则 ，
由点斜式可得，直线 的方程为 ，即 ，
所以原点 到直线 的距离为 ；
（3）如图，设 ，则 ，
故直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即 ，
则 ，依题意， 恒成立，
又 ，
则最小值为 ，即 ，即 ，
则 ，解得 ，
又当 时， ，当且仅当 时等号成立，
而 ，即当 时，也符合题意.
故实数 的取值范围为 .
例题2．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 （ ）的焦点F到双曲线 的渐近线
的距离是 ．
(1)求p的值；
(2)已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段 的中垂线与E的准线l交于点P，且线段 的中点为
M，设 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】抛物线中的参数范围问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、已知方程求双曲线的渐近线、
已知点到直线距离求参数【分析】（1）求出双曲线的渐近线，由点到直线距离公式得到方程，求出 ；
（2）设直线 的方程为 ，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，进而由弦长公式求出
，求出M点的坐标和线段 的中垂线方程，得到 ， ，求出
，得到答案.
【详解】（1）E的焦点为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，不妨取 ，即 ．
由点到直线的距离公式得 ，
得 ．
（2）由（1）知 ， ， ： ．
设直线 的方程为 ，
联立 消去x并整理，得 ，
设 ， ，则 ， ，
，
∴ ．
易得M点的坐标为 ，
∴ 的中垂线方程为 ，
令 得 ，
∴ ，从而 ，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 ．
练透核心考点
1．（2024浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为
F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段 的中点M且与x轴平行的
直线依次交直线 ， ，l于点P，Q，N．
(1)求证： ；
(2)若线段 上的任意一点均在以点Q为圆心、线段 长为半径的圆内或圆上，若 ，求实数
的取值范围；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的参数范围
问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）设 ，即可表示 、 的坐标，再由直线 的方程，得到
点坐标，同理可得 点坐标，从而得证；
（2）依题意可得 ，即可求出 、 ，再根据三角形面积求出 的取值范围；【详解】（1）解：设 ，
则 ，
由于A，F，B三点共线，则 ，整理得 ，
又 ，
则 ，同理可得
则 ，
，所以 ，即证；
（2）解：若线段 上的任意一点均在以点Q为圆心、线段 长为半径的圆内或圆上，
即 ，则 ，
化简得 ， ，
即
可得 ，又因为 ，
，
可得 ， ， ，
， ，即
2．（23-24高二·全国·课后作业）已知两个定点 、 的坐标分别为 和 ，动点 满足
（ 为坐标原点）．
(1)求动点 的轨迹 的方程；(2)设点 为 轴上一定点，求点 与轨迹 上点之间距离的最小值 ；
(3)过点 的直线 与轨迹 在 轴上方部分交于 、 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于
点，求 点横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】抛物线中的参数范围问题、求平面轨迹方程
【分析】（1）设 ，根据题意得 ，整理即可求解；（2）设轨迹 ： 上任
一点为 ，根据题意得 ，分 和 两种情况讨论即
可；（3）先判断斜率不存在情况，再在斜率存在时，设 ： ， 、 ，联立得
， ， ，可得 ，求出线段 的垂直平分线方程 ，得
到 点横坐标： ，求值域即可.
【详解】（1）设 ， ， ， ，
，
，因为 ，
则 ，所以 ，即 ．
（2）设轨迹 ： 上任一点为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，对称轴为： ，
当 ，即 时， 在区间 单调递增，所以 时， 取得最小值，即
，所以 ，
当 ，即 时， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，
所以 时， 取得最小值，即 ，
所以 ，所以（3）当直线 的斜率不存在时，此时 ： 与轨迹 不会有两个交点，故不满足题意；
当直线 的斜率存在时，设 ： ， 、 ，代入 ，
得 ，即 ，所以 ， ，
，
因为直线 与轨迹 在 轴上方部分交于 、 两点，所以 ，得 ，
即 ；又 、 两点在 轴上方，所以 ， ，即 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 中点 ，即 ，
所以垂直平分线为 ，
令 ，得 ，因为 ，所以 ，
所以 在 时单调递增，
所以 ，即 ，
所以 点横坐标的取值范围为： .
【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．
