文档文本内容
专题 02 不等式
【考点1 不等式的性质】
【考点2 大小比较】
【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】
【考点4利用基本不等式求参数】
【考点5 一元二次不等式求解】
【考点6 根据一元二次不等式解求参数】
【考点7 不等式恒成立问题】
【考点8 基本不等式的其他应用】
【考点9 不等式与线性规划综合】
知识点1不等式的性质
（1）对称性：a>b⇔b<a．
（2）传递性：a>b，b>c⇒a>c．
（3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc．
（5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
知识点2两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．知识点3 基本不等式
（1）基本不等式：≤．
（2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
（3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
（4）其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
知识点4 几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）＋≥2(a，b同号)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）≥ (a，b∈R)．
知识点5 三个“二次”的关系
判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
有两个不相等的实 有两个相等的实数
方程的根 没有实数根
数根x ，x (x <x ) 根x ＝x ＝－
1 2 1 2 1 2
不等式的解集 {x|x<x ，或x>x } {x|x≠－} R
1 2
知识点6 分式不等式与绝对值不等式
（1）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
（2）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
（3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)．
【考点1 不等式的性质】
方法技巧：判断不等式的常用方法．
（1）利用不等式的性质逐个验证．
（2）利用特殊值法排除错误选项．
（3）作差法．
（4）构造函数，利用函数的单调性．
【典例1】（2024•淮北模拟）已知a，b R，下列命题正确的是（ ）
A．若ab＝1，则a+b≥2 ∈
B．若 ，则a＞b
C．若a＞b，则ln（a﹣b）＞0
D．若a＞b＞0，则
【典例2】（2024•郫都区校级模拟）已知非零实数a，b满足a＞|b|+1，则下列不等关系不
一定成立的是（ ）
A．a2＞b2+1 B．2a＞2b+1 C．a2＞4b D． ＞b+1
【典例3】（2024•固始县校级三模）若a，b R，且a＞b，则（ ）
∈
A． B．a2b＞ab2
C．a2＞ab＞b2 D．
【典例4】（2024•东城区一模）已知a，b R，ab≠0，且a＜b，则（ ）
∈
A． B．ab＜b2 C．a3＜b3 D．lg|a|＜lg|b|
【典例5】（多选）（2024•合肥模拟）已知实数a，b满足0＜a＜b＜1，则（ ）
A．
B．a+b＞ab
C．ab＜ba
D．
【考点2 大小比较】sin2
【典例1】（2024•李沧区校级模拟）设a= ，b＝log sin2，c＝2sin2，则下列关系正确的
2
2
是（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【典例2】（2024•青羊区校级模拟）若lna＝﹣1，eb=❑√2，3c＝ln3，则a，b，c的大小关
系为（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c
1
【 典 例 3 】 （ 2024• 博 爱 县 校 级 三 模 ） 函 数 f(x)= ， 记
x2 +1
1 1
a=f(− )，b=f(3−0.5 )，c=f(log )，则（ ）
2 52
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【典例4】（2024•李沧区校级模拟）设a＝log 3，b=log 7，c＝30.7，则a，b，c的大小
7 1
3
关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【典例5】（多选）（2024•柳州三模）若a＞b，则（ ）
A．a3﹣b3＞0 B．ln（a﹣b）＞0 C．ea﹣b＞1 D．|a|﹣|b|＞0
【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】
技巧一:凑项【典例1】（2024•林芝市一模）已知x＞1，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
技巧二:凑系数
【典例1】（2024•成都三模）若正实数a，b满足a2+b2＝m，则a+b的最大值为（ ）
A． B． C． D．2m
技巧三: 分离
【典例 1】（2024•安徽三模）已知 x＞0，y＞0，且 2x+y＝1，则 的最小值为
（ ）
A．4 B． C． D．
【典例2】（2024•新余二模）已知x，y为正实数，且x+y＝2，则 的最小值为（
）
A．12 B． C． D．
【典例3】（2024•山东模拟）设正实数a，b满足a+2b＝1，则 的最小值为（
）
A． B．17 C． D．16
技巧四:换元
【典例 1】（2024•苏州模拟）已知 a，b R，a+b＝4，则 的最大值为
∈
（ ）
A． B． C． D．
技巧五:函数的单调性
【典例1】（2024•一模拟）已知函数f（x）＝log （ ﹣x），若对任意的正数a，
2b，满足f（a）+f（3b﹣1）＝0，则 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【典例2】（2024•新县校级模拟）已知m，n R，且m+2n＝2，则m•2m+n•22n+1的最小值
为 ． ∈
技巧六:整体代换
【典例1】（2024•安徽模拟）已知 m，n （0，+∞）， ，则 的最小值为（
） ∈
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例2】（2024•江苏模拟）设x＞0，y＞0， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【典例3】（2024•龙华区校级二模）已知x＞0，y＞0，且 ，则 的最小值为
．
技巧七：利用sin²a+cos²a=l转换式子
【典例1】（2024•昭通模拟） 的最小值为 ．
技巧八:解决二元函数的最值问题
【典例 1】（2024•凉山州模拟）已知正数 x，y 满足 x+2y＝1，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024•松江区校级模拟）设实数x、y满足|x+y|＝1，则xy的最大值是 ．
【考点4利用基本不等式求参数】
【典例1】（2024•江西模拟）已知集合M＝{x|lnx＜0}，N＝{x|ex﹣a＞0}，若M N，则实
数a的取值范围为（ ） ⊆A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，e] D．（﹣∞，e）
【典例2】（2024•思明区校级模拟）已知 ，若2 A，则m的取值范围
是（ ） ∈
A． B．
C． 或 D． 或
【典例3】（2024•天河区二模）若实数m满足log （﹣m）＜m+1，则m的取值范围为（
2
）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，0）
【典例4】（2024•昌乐县校级模拟）若正数a，b满足ab＝a+b+3，则a+b的取值范围是（
）
A．[6，+∞） B．[9，+∞） C．（0，6] D．（0，9）
【考点5 一元二次不等式求解】
【典例1】（2024•河北模拟）已知集合 A＝{x N|x≤5}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则
A∩B＝（ ） ∈
A．{2} B．{0，1，3，4，5} C．{0，4，5} D．{4，5}
【典例2】（2024•原州区校级模拟）已知集合A＝{x Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x N|x＜3}，
则A∩B＝（ ） ∈ ∈
A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【典例3】（2024•东城区校级三模）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2+3x+2＞0}，则
（ ）
A．A B B．B A C．B A D． A B
U U
【考点⊆6 根据一元二次不⊆等式解求参数】 ⊆∁ ∁ ⊆
【典例1】（2024•河池二模）已知A＝{x|x2﹣ax+1≤0}，若2 A，且3 A，则a的取值范
围是（ ） ∈ ∉
A． B． C． D．
【典例2】（2024•永寿县校级模拟）已知集合 A＝{x Z|x2+x﹣2＜0}，B＝{x N|0≤log
2
∈ ∈（x+1）＜2}，则A∪B的真子集的个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．8
【典例3】（2024•济宁一模）设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|﹣a≤x≤a}，若A B，
则实数a的取值范围是 ． ⊆
【考点7 不等式恒成立问题】
【典例1】（2023秋•滨州期末）已知不等式x2﹣ax+4≥0对于任意的x [1，3]恒成立，则
实数a的取值范围是（ ） ∈
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，5] D．[5，+∞）
【典例2】（多选）（2024•广东模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝8，则下列不等式恒成立的是
（ ）
A． B． C．a2+b2≥32 D．
【典例3】（多选）（2023秋•湖北期末）设x R，不等式ax2﹣2ax﹣3＜0恒成立的充分不
必要条件可以是（ ） ∈
A．﹣4＜a≤0 B．﹣2＜a＜0 C．﹣3＜a＜0 D．﹣4＜a＜1
【考点8 基本不等式的其他应用】
【典例1】（2024•梅县区校级一模）在△ABC中，E为AC上一点， ，P为BE上
任一点，若 ，则 的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【典例2】（2024•古蔺县校级模拟）在△ABC中，若C＝ ，则sinAsinB的最大值是
．
【考点9 不等式与线性规划综合】【典例1】（2024•汉中模拟）若实数x，y满足约束条件 则z＝2x+3y的最
小值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【典例2】（2024•大通县二模）若实数x，y满足约束条件 则z＝x+4y的最
大值为（ ）
A． B．6 C．13 D．15
一．选择题
1．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{x|1＜x2＜9}， ，则A∩B
＝（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3）
C．（﹣3，﹣2）∪（2，3） D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
2．（2024•大兴区校级模拟）若集合A＝{x N|2x＜4}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B
＝（ ） ∈
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1}
C．{0，1} D．{1}
3．（2024•香坊区校级模拟）已知集合 ，B＝{x|log x≥1}，则（ A）
2 U
∩B＝（ ） ∁
A．[2，3] B．（2，3）
C．（﹣∞．﹣1]∪（2，+∞） D．（2，+∞）
4．（2024•袁州区校级三模）已知集合 M＝{x|lgx＞0}， ，则M∩N＝（ ）
A．（1，2] B．（4，+∞）
C．（1，2）∪[4，+∞） D．（1，2]∪[4，+∞）
5．（2024•郊区校级三模）已知 ，（a＞0，b＞0），则下列结论不正确的是（
）
A． B． C．a2+b2≤6 D．ab≥3
6．（2024•思明区校级模拟）已知集合 ，则（
）
A．A B B．B A C．A∩B＝ D．A∪B＝R
7．（202⊆4•江苏模拟）若集合A⊆＝{x|log
2
x＞1}，B＝{x|x2﹣5∅x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．（1，3] B．（2，3] C．（1，6] D．（2，6]
8．（2024•临汾模拟）若0＜x＜1，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C． D．
9．（2024•雨城区校级模拟）已知 x＞0，y＞0，且 ，则 的最小值为（
）
A．9 B．10 C．12 D．13
10．（2024•安徽模拟）已知全集U＝R，集合 ， ，
则M∩N等于（ ）
A．[﹣1，1） B．[0，1） C．（﹣3，0） D．（﹣3，﹣1）
11．（2024•济南校级模拟）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则 的最小值为（
）
A．24 B．25 C． D．
12．（2024•玄武区校级二模）已知集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x N|2﹣x＞0}，则
A∩B＝（ ） ∈A．{3，4} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}
13．（2024•揭阳二模）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+1在（2，6）上不单调，则a的取值范
围为（ ）
A．（2，6） B．（﹣∞，2]∪[6，+∞）
C．（4，12） D．（﹣∞，4]∪[12，+∞）
14．（2024•商洛模拟）在不等式组 表示的平面区域内任取一点P（x，y），
则满足y≥x﹣2的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024•4月份模拟）若函数f（x）＝|x2﹣（m﹣2）x+1|在 上单调，则实数
m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024•高碑店市校级模拟）若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3
个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．5＜m≤6 B．5≤m≤6 C．6＜m≤7 D．6≤m≤7
17．（2024•西安模拟）已知x，y满足约束条件 ，则z＝﹣3x+6y的最大值
为（ ）
A．18 B．14 C．10 D．﹣30
18．（2024•榆阳区校级模拟）已知实数x，y满足约束条件 ，则z＝2x+y﹣1的
最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共1小题）19．（2024•河东区一模）若a＞0，b＞0，ab＝2，则 的最小值为 ．
