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专题3.3 导数之函数的极值和最值
3.3.1 函数的极值
知识点梳理
1.函数极值的概念
（1）极小值与极小值点：若函数y＝f(x)在点x＝a 的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其
他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a 叫做
函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）极大值点与极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b 的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其
他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b
叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
（3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
2.求函数y＝f(x)的极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数f′(x)；
（3）解出方程f′(x)＝0 的根（可能不止一个）；
（4）确定极值点，用函数的导数值为0 的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区
间，并列成表格，检验f′(x)在方程根左右两侧的值的符号.
①如果在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
③如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是极值点.
典型例题
例1.已知函数f（x）＝xex（e 为自然对数的底），求函数f（x）的极值；
例2.若函数f（x）＝alnx+ b
x + c
x
2（a≠0）既有极大值也有极小值，则（ ）
1
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A．bc＞0
B．ab＞0
C．b2+8ac＞0
D．ac＜0
例3.设函数f(x) 满足x
2f
′(x)+2xf(x)=e
x
x
, f(2)=e
2
8
, 则x>0时,则函数f(x) (
)
A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值
例4.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(
)
A.∀x∈R,f(x)≤f(x0) B.−x0是f(−x)的极小值点
C.−x0是−f(x)的极小值点 D. −x0是−f(−x)的极小值点
随堂演练
1.设函数f(x)=2
x +lnx，则( )
A. x=1
2
为f(x)的极大值点 B. x=1
2
为f(x)的极小值点
C. x=2为f(x)的极大值点 D. x=2为f(x)的极小值点
2.下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是( )
A.f(x)=xsin x B.f(x)=x+1
x
C.f(x)=e
x+1
e
x D.f(x)=|x+1| |
−x
1|
−
3.若函数f(x)=alnx−1
x +1
x
2 (a≠0)既有极大值也有极小值,则a的取值范围是( )
A.(−1
8 ,0) B.(−1
2 ,0) C.(0,1
4) D.(0,1
2)
4.设a∈R,若函数y=e
x+ax,x∈R有大于零的极值点,则( )
A.a< 1
− B.a> 1
− C.a<−1
e
D.a>−1
e
5.设函数f(x)=(x
1
−)
2(x
4)
−
,则( )
A. x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时, f(x)<f(x
2)
C.当1<x<2时,
4<
−
f(2x
1)<0
−
D.当1<
−
x<0时, f(2−x)>f(x)
6.已知e 为自然对数的底数,设函数f ( x)=(e
x−1)∙( x−1)
k(k =1,2),则（ ）
2
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A．当k=1 时,f(x)在x=1 处取到极小值
B．当k=1 时,f(x)在x=1 处取到极大值
C．当k=2 时,f(x)在x=1 处取到极小值
D．当k=2 时,f(x)在x=1 处取到极大值
7.若x= 2
−是函数f(x)=(x
2+αx
1)
−
e
x
1
−的极值点，则f(x)的极小值为( )
A. 1
− B. 2
−e
3
− C.5e
3
− D.1
8. 已知函数f(x)=blnx+3
2 x
2+2ax+a
2
3
−a在x=1处取得极小值27
2
, 则b
a
的值为
.
9.若a>0,b>0，且函数f(x)=4x
3−a x
2
2
−bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值为
.
10.已知函数f(x)=e
x−ax−a
3.若f(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.
11.已知函数f ( x)= x + ln(ax)+ 1
a x e
x（a＜0），求函数f（x）的极值.
3
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3.3.2 函数的最大值与最小值
知识点梳理
函数的最大值与最小值
（1）一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必
有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
（2）函数的极值与最值的区别
①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.
②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.
③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.
（3）求函数的最大值与最小值的步骤
①求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
典型例题
例1.已知函数f ( x)=lnx−1
2 a x
2(a∈R)，当a＝1 时，则f（x）的最大值为 .
例2. 函数f(x)=x
2+(a
1)
−
x
3ln
−
x在(1,2)内有最小值, 则实数a的取值范围为
.
例3.设函数f(x)={x
3
3
−x,
x≤a
2
−x,
x>a
，①若a =0，则f(x)的最大值为 ；②
若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是 .
随堂演练
1.函数f(x)=x
3
3
−x+1在闭区间[ 3,0]
−
上的最大值、最小值分别是( )
A. 1, 17
−
B. 3, 17
−
C. 1, 1
− D. 9, 19
−
2.函数f(x)=x
3
3
−x
2+2在区间[ 1,1]
−
上的最大值是( )
A. 4 B. 2 C. 0 D.
2
−
3.函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为 ( )
4
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A. −π
2 ,π
2
B. −3π
2
,π
2
C. −π
2
,π
2
+2 D.
−3π
2
,π
2
+2
4.已知函数f(x)=e
x
x
a
e
−x+alnx的最小值为1, 则a的取值范围为 .
5.已知函数f(x)=(x
1)
−
e
x+a x
2的最小值为1
−，则实数a的取值范围为 .
6.已知函数f(x)=3x
2
2ln
−
x+(a
1)
−
x+3在区间(1,2)上有最小值，则整数a的一个取
值可以是 .
7.已知函数f(x)=ax−1
x
(
−a+1)lnx.当a =0时, 则f(x)的最大值为 .
8.函数f(x)=−x
2+3x+2
√x+1
的最大值为 .
9.已知函数f(x)=x(e
x
1
−
2
−a) ln
−
x的最小值为0，则a的值为 .
10.已知函数f(x)=3 2
−x
x
2+a
. 若f(x)在x= 1
−处取得极值, 求f(x)的单调区间, 以及其最
大值与最小值.
11.已知函数f(x)=e
x−ax和g(x)=ax
ln
−
x有相同的最小值.求a.
5
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