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专题06 三角函数(讲义)
Ⅰ、三角函数的概念 诱导公式
一、角的概念
1.角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的 图形.旋转开始时的射线
叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线 的端点叫做角的顶点.
2.角的分类
任意角包括：正角、负角、零角.
正角：一条射线按逆时针方向旋转形成的角.
负角：一条射线按顺时针方向旋转形成的角.
零角：一条射线没有进行任何旋转形成的角.
温馨提示：对于角的形成过程，既要有旋转量，又要有旋转方向。
二、终边相同的角
所有与角a 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S={β|β=α+k
360°,k Z},
∈
即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和.
温馨提示：
1.相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的
整数倍；
2.终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；
3.终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.
三、象限角与轴线角
1.象限角、轴线角的概念
(1)象限角
在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么,角的终边在第几象
限，我们就说这个角是第几象限角.
(2)轴线角
如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称这个角为轴线角，
2.象限角的集合表示
1
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锐角为{α|0⁰<a<90°}, 小于90°的角不等同于锐角，锐角不等同于第一象限的角.
3.轴线角的集合表示
(1)终边在x 轴上的角{a|a= k·180°,k Z}.
∈
(2)终边在y 轴上的角{a|a=k·180 °+90°,k Z).
∈
(3)终边在坐标轴上的角{αlα=k·90°,k Z}.
∈
(4)终边在x 轴非负半轴上的角{ala=k·360°,k Z}.
∈
(5)终边在x 轴非正半轴上的角{a|a=k·360°+180°,k Z},
∈
(6)终边在y 轴非负半轴上的角{αla=k·360°+90°,k Z).
∈
(7)终边在y 轴非正半轴上的角{αla=k·360°+270 °,k Z}.
∈
四、角度制与弧度制的概念
1.角度制
角可以用度为单位进行度量，1 度的角等于周角的
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2.弧度制
(1)1 弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)弧度制
用+弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.用符号rad 表示，读作弧度.
温馨提示：无论是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.
(3)弧度数公式
如果半径为r 的圆的圆心角α 所对弧的长为l, 那么,角α 的弧度数的绝对值是
五、角度与弧度的换算
角度与弧度的换算公式
360⁰=2π rad,180°=π rad.
2
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六、弧长公式、扇形面积公式
1.弧长公式
角度制：
为圆心角的角度数，R 为扇形的半径).
弧度制：l=aR(a 为圆心角的弧度，0<a<2π,R 为扇形的半径).
2.扇形面积公式
角度制：
(n 为圆心角的角度数，R 为扇形的半径).
弧度制：
(a 为圆心角的弧度，0<a<2π,R 为扇形的半径，l 为扇形的弧长).
温馨提示：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式
结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示.
七、任意角的三角函数
(1)定义：任意角α 的终边与单位圆交于点P(x ，y)时，则sinα=y ，cosα=x ，
tanα= y
x ( x≠0)
．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x ，y)是角α 终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的
距离为r ，则
sinα= y
r ，
cosα= x
r ，
tanα= y
x ( x≠0)
三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象
限符号
第二象限
符号
第三象
限符号
第四象
限符号
sinα
R
＋
＋
－
－
cosα
R
＋
－
－
＋
tan α
{α| α≠kπ+ π
2 ，k ∈Z}
＋
－
＋
－
记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(3)三角函数线
当角α 的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α 的正弦值和正切值都为0;
3
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当角α 的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α 的余弦值为0,正切值不存在.
八、同角三角函数基本关系
(1)平方关系：
．
(2)商数关系：
；
九、三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作
；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断
所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当
为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当
为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
温馨提示：
1．利用
可以实现角
的正弦、余弦的互化，利用
可以实现角
的弦切互
化．
2．
Ⅱ、三角恒等变换
一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
5．tan(α－β)＝
6．tan(α＋β)＝
二、二倍角公式
4
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1．基本公式
(1)sin 2α＝2sinαcosα；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝．
2．公式变形
(1)降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；sin αcos α＝sin 2α；
(2)升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sin α＝2；1－sin α＝2．
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan
∓
αtan β)
三、辅助角公式、半角公式
(1)辅助角公式
asin x＋bcos x＝，
令cos φ＝，sin φ＝，则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ 为辅助
角．
(2)半角公式
sin ＝±，
cos ＝±，
tan ＝±，
tan ＝＝
拓展：万能公式：
设tan ＝t，则sin α＝，cos α＝，tan α＝．
四、积化和差与和差化积公式
1．积化和差公式
2．和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin cos sin α－sin β＝2cos sin
cos α＋cos β＝2cos cos cos α－cos β＝－2sin sin
Ⅲ、三角函数的图像与性质
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理：
1.正弦函数与余弦函数的图像画法
在正弦函数y＝sin x，x [0,2π]
∈
的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x [0,2π]
∈
的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x
－
－＋
－
5
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ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x [0
∈
，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k Z)
∈
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
三、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin
(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2.函数y＝sin x 的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
振幅
周期
频率
相位
初相
6
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y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x [0
∈
，＋∞)表示一个振动量时
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
常用结论：
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx 到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ 个单位长度.
四、周期函数
1.周期函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T, 使得对每一个x D,
∈
都有x+T D,
∈
且
f(x+T)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期.
3.正弦、余弦函数的周期
正弦函数(y=sinx )和余弦函数(y=cosx) 都是周期函数，周期为2kπ(k Z
∈
且 k≠0), 最小正周期是2π.
4. 函数y=Asin(
x+φ) 及 y=Acos(
x+φ)的周期函数 y=Asin(
x+φ) 及函数y=Acos(
x+φ) (其 中A,
,φ 为常数，且A≠0,
>0,x R),
∈
令X=wx+φ, 因为函数y=Asinx 及y=Acosx(x R)
∈
的周期都是2π，
所以自变量x 至少要增加到
, 函数值才能重复出现，
即
是使等式 Asin[w(x+T)+φ]=Asin(wx+φ),Acos[w(x+T)+φ]=Acos(wx+φ)成立的最小正数，从而函
数 y=Asin(wx+φ)及函数y=Acos(wx+φ) (其中A,w,φ 为常数，且A≠0,w>0,z R)
∈
的最小正周期
温馨提示：求三角函数最小正周期的方法：a.定义法；b.公式法:
;c.图像法
五、三角函数模型在生活中的应用
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动、水中浮标的上下浮动、琴弦的振动，等
等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动，在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)
正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以
用函数y=Asin(wx+φ),x [0,+∞]
∈
表示，其中A>0,w>0.描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与
这个解析式中的常数有关：
六、三角函数模型应用的步骤
(1)审题：理解题意，认真领悟自然语言和图形语言中的数学本质，分清已知与知，画出示意图：
(2)建模：根据审题所得到的信息，把实际问题抽象为数学问题，根据已知条件上求解目标，建立数学模型，
7
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如三角函数式、三角不等式或三角方程等：
(3)求解：利用所学三角函数知识，求得数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解；
(5)还原：将所得的结论转译成实际问题的答案.
8
