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第 12 讲 零点问题、隐零点问题与零点赋值问题
【典型例题】
例1．（2024·北京石景山·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值；
(3)当 时，求证： ．
【解析】（1）
， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） ，
当 时， 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，最大值为 ，
当 时， ，得 ，
在区间 小于0，函数 单调递减，
在区间 大于0，函数 单调递增，
所以函数 的最小值为 ，
， ，显然 ，所以函数 的最大值为 ，
综上可知，当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ，
当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ；
（3）当 时， ，即证明不等式 ，
设 ， ， ，
设 ， ， ，
所以 在 单调递增，并且 ， ，所以函数 在 上存在唯一零点 ，使 ，
即 ，则在区间 ， ， 单调递减，
在区间 ， ， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
由 ，得 ，且 ，
所以 ，
所以 ，即 .
例2．（2024·山西·一模）已知 ，且 ，函数 .
(1)记 为数列 的前 项和.证明：当 时， ；
(2)若 ，证明： ；
(3)若 有3个零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题意可知 时， ，
所以
；
（2）易知 时， ，
令 ，
显然 时， 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 时， 时， ，
故 ；
（3）①若 ，易知 定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意；②若 时，则 时， ， 时， ，
由（2）可知： 时， ，
时， ，
且 ，则函数 只有一个零点，不符题意；
③由（2）知， 时， 在 上单调递增，也不符题意；
④若 ， ，
令 ，
显然 时， 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
注意到 ， ，
所以 使得 ，
即 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
又 时， ， ， ，
所以在区间 各存在一个零点，及 也是一个零点，符合题意；
综上 .
例3．（2024·辽宁抚顺·一模）已知函数 ．
(1)当 时，判断 的单调性；
(2)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）
函数 的定义域为 ，
当 时， ．
当 时，有 ，得 ，函数 在区间 单调递增；当 时，有 ，得 ，函数 在区间 单调递增．
综上：可知 在 上是单调递增函数．
（2）当 时， 恒成立，
即 恒成立，因此只需 ．
令 ，则 ．
令 ，则 ，
所以 在区间 是单调递增函数；
因为 ，所以 在 内存在唯一零点 ，且 ，
所以当 时， ，即 ，
函数 在区间 是单调递减函数，
当 时， ，即 ，函数 在区间 是单调递增函数．
又因为 ，即 ．（*），
设 ，当 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
由 知 ，所以 ，且 ．
所以 ．
所以 ，即 ，故实数 的取值范围为 ．
例4．（2024·江西赣州·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间，
(2)已如 .若函数 有唯一的零点 .证明， .
【解析】（1） ，令 ，当 时， 即 为增函数，
又
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
的减区间为 ，增区间为
（2）
由（1）可知 在 单调递增，且 ，
又
存在唯一的 使得
当 时 单调递减；当 时 单调递增；
若方程 有唯一的实数 ，则
消去 可得 ，
令 ，
则 ， 在 上为减函数
且
当 时 ，即
例5．（2024·高三·河南焦作·阶段练习）已知函数 ， .
(1)若 的最大值是0，求m的值；
(2)若对于定义域内任意x， 恒成立，求m的取值范围.
【解析】（1） 的定义域 ， .若 ， ， 在定义域内单调递增，无最大值；
若 ，当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
所以当 时， 取得最大值 ，所以 .
（2）对于定义域内任意x， 恒成立，即 在 恒成立.
设 ，则 .
设 ，则 ，
所以 在其定义域内单调递增，且 ， ，所以 有唯一零点 ，且
，所以 .
构造函数 ，则 ，
又函数 在 是增函数，故 ， ，
由于当 ， ，
所以由 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
故 ，
于是m的取值范围是
例6．（2024·四川南充·二模）设函数 ， ．
(1)若函数 在区间 是单调函数，求 的取值范围；
(2)设 ，证明函数 在区间 上存在最小值 ，且
【解析】（1）由已知 的定义域为 ，
恒成立，
所以函数 在 和 上单调递增，又函数 在区间 是单调函数，
则 或 ，
即 或 ；
（2）由 ， ，
得 ， ，且 ，
设 ，由（1）得 在 上单调递增，
又 ，则 ， ，
所以 ，使 ，即 ，
且当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，
设 ， ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 .
例7．（2024·山西·模拟预测）已知函数 ，且 与 轴相切于坐标原点．
(1)求实数 的值及 的最大值；
(2)证明：当 时， ；
(3)判断关于 的方程 实数根的个数，并证明．
【解析】（1）
由题意知， 且 ，
，
，解得 ，
， ，则 ，
当 时， ， ．故 ，
所以 在区间 上单调递减，所以 ．
当 时，令 ，
则 ，
， ， ，
在区间 上单调递减，则 ，
在区间 上单调递增，则 ，则 ．
综上所述， ， 的最大值为 ．
（2）因为 ，
要证当 时 ，即证 ，
记 ， ，
当 时， ， ，
；
当 时， ，
记 ，则 ，
在区间 上单调递减，则 ，
则 在区间 上单调递减，
，
综上所述，当 时， ．
（3）设 ， ，，
当 时，由（1）知 ，
故 ，
故 在区间 上无实数根．
当 时， ，因此 为 的一个实数根．
当 时， 单调递减，
又 ， ，
存在 ，使得 ，
所以当 时 ，当 时 ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，又 ，
在区间 上有且只有一个实数根，在区间 上无实数根．
当 时， ，
令 ，
，
故 在区间 上单调递减， ，
于是 恒成立．故 在区间 上无实数根，
综上所述， 有2个不相等的实数根．
【过关测试】
1．（2024·全国·模拟预测）当 时，总有不等式 成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)设方程 ，试确定该方程实根的个数，并证明你的结论．
【解析】（1）设 ，则 ．
当 时，令 ，得 ；
令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
由题意得 ，
设 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ．
综上， ，所以 ；
当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递减，且 ，
当 时， ，不符合题意，所以 舍去．
综上所述，实数 ．
（2）由题意得， ，
令 ．
因为 ，所以 是方程 的一个实根．
又 ，
①当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递减， ，
即 在 上无实根；
②当 时，令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以 在 上有唯一实数根 ，且满足 ，
当 时， 在 上单调递减，此时 ，方程 在 上无实根；
当 时， 在 上单调递增，
因为 ，可得 ，
此时
，
，
故方程 在 上有唯一实根；
③当 时，由（1）知， 在 上单调递增，
所以 ，
故 ，
即方程 在 上无实根．
综上所述，方程 有且仅有两个实根．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且 在点 处的切线的斜率为 ．
设函数 的最大值为 ．
(1)求 的值；
(2)求证： ；
(3)若不等式 ，求实数 的最大值．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ．
（2）证明：由（1）可知， ，且 的定义域是 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减，且 ，
，
由零点存在定理可得 ，使得 ，即 ，即 ，
且当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的最大值 在 上单调递增，所以
．
（3）令 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，
所以当 时， ，
由零点存在定理可得， ，使得 ，
即 ，即
即 ，
且当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ．
由（2）知， ，
所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 的最小值 ．
又不等式 ，
所以 ，所以 的最大值为2．
3．（2024·上海·一模）已知 ，函数 的导函数为 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)求函数 的极值点；
(3)函数 的图象上是否存在一个定点 ，使得对于定义域内的任意实数 ，
都有 成立？证明你的结论．
【解析】（1）当 时， ，
求导得 ，切线方程为 ，
所以所求切线方程为 .
（2）函数 的定义域为 ，求导得 ，
令 ，即 ，即 ，
①当 时，函数 在定义域内严格增,无极值点；
②当 时，当 或 时， ，当 时， ，
函数 在 和 严格增，在 严格减，
此时极大值点为 ，极小值点为 ；
③当 时，当 时， ，当 时， ，
函数 在 严格减，在 严格增的，
此时函数无极大值点，极小值点为 ，
所以当 时，函数 无极值点；
当 时，函数 极大值点为 ，极小值点为 ；
当 时，函数 极小值点为 ，无极大值点.（3）假设存在定点 满足条件，
由 得： ，
又点 在曲线 上，则 ，
于是
，
而 ，于是 ，
因此 ，变形得 ，
令 ，则 ，令函数 ，
求导得 ，则 在 单调递增，
又 ，于是 只有唯一解 ，即 ，又 ，则 ，
故不存在定点 满足条件.
4．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数 .
(1)判断 的单调性；
(2)当 时，求函数 的零点个数.
【解析】（1）函数 的定义域为 .
令 ，则 .
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，在 上单调递减.（2） 且 的零点等价于 且 的零点.
,令 ，
易知 ，因为 ，
所以存在 ，使得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，
在 上单调递增.
当 时， ，当 时， ，
所以 在 ， 上不存在零点.
取 ，则 ，
所以 在 上存在一个零点，设为 .
又 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上存在一个零点 .
综上所述，当 时，函数 的零点个数为2.
5．（2024·云南·一模）已知 是自然对数的底数，常数 ，函数 .
(1)求 、 的单调区间；
(2)讨论直线 与曲线 的公共点的个数；
(3)记函数 、 ，若 ，且 ，则 ，求
实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为 .
，
，
当 时， ，当 时， ，的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
函数 的定义域为 ，常数 ，
当 时， ，当 时， .
的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
（2）设 ，它的定义域为 ，
当 时， ，即 单调递减，
当 时， ，即 单调递增，
的最小值为 ，
不成立，即方程 无实数解，
故方程 无实数解， 直线 与曲线 无公共点；
（3）根据已知， 的定义域为 ，
设 ，由（2）得 ，且 ，
由 ，记 ，则 ，
由 得 ，
由（1）知 在 上单调递减，故 ，
，
记 ，则 ，由 ，得 ，
，若 ，且 ，则 ，
，
，
设 ，则 ，
解得 ，
由 得 ，由 得 ，
，
设 ，则 ，，
由 是自然对数的底数，得 ，
由（1）知， 在 上单调递减，
在 上单调递增；由 得 ，
又 ，
存在唯一 ，使 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
当 时， 单调递增，故 ；
当 时， 单调递减，故 ；
当 时， 单调递增，故 .
综上所述，当 时， ，
.
实数 的取值范围为 .
6．（2024·山东泰安·一模）已知函数 ．
(1)若 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直，证明： ；
(2)若对任意的 且 ，函数 ，证明：函数 在 上存在唯一零点．
【解析】（1） ，
，
，
，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
单调递增，
又 ，存在 使得 即 ，
，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
；
（2） ，
，
在 上单调递增，
又
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
当 时， ，即 ，
，
又 ，
，
存在 ，使得 ，
又 在 上单调递增，函数 在 上存在唯一零点.
7．（2024·山东淄博·一模）已知函数
(1)讨论函数 在区间 上的单调性;
(2)证明函数 在区间 上有且仅有两个零点.
【解析】（1）函数 ，当 时， ，
所以 在 上的单调递增.
（2）由（1）知， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，
， ，因此函数 在 上有唯一零点；
当 时，令 ，求导得 ， 在 上单调递增，
，则存在 ，使得 ，
当 时， ，函数 ，即 单调递减，
当 时， ，函数 ，即 单调递增，
又 ， ，则存在 ，使得 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，
而 ， ，因此函数 上有唯一零点，
所以函数 在区间 上有且仅有两个零点.
8．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 ， 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，所以 ，
令 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，即 ，
从而函数 在 上单调递增．（2）因为 ，所以 ，
又 ，
恒成立等价于 恒成立．
记 ，所以 ．
令 ，所以 ．
设 ，从而 ，
则 在 上单调递增，
故有 ，则 在 上单调递增，
即 在 上单调递增，故有 ．
当 时， ，此时 单调递增，
从而 ，满足题意．
当 时， ，且 在 上单调递增，
故存在 满足 ，
当 ，则 在 上单调递减，
所以当 时， ，不满足题意．
综上， 的取值范围为 ．
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求函数 的图像在点 处的切线方程；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，则 ，
故函数 的图像在点 处的切线方程为 ，即 ．（2）由题意，不等式 对 恒成立，
即不等式 对 恒成立．
令 ，则 ， ．
令 ，则 ， ．
①若 ，则 在 上恒成立，
当且仅当 时等号成立，故 在 上单调递减，
所以 ，满足题意．
②若 ，令 ，得 ．
当 时， ，所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
在区间 上， ，所以 单调递减，则 ；
在区间 上，当 趋向 时， 趋向 ，且 ，所以 单调递减，
则 ．所以在区间 上，有 ，满足题意．
当 时， ，所以当 时， ，故 单调递增，
所以 ，故 单调递减，所以 ，满足题意．
当 时， ，所以当 时， ，故 单调递增；
当 时， ，故 单调递减．
在区间 上， ，所以 单调递增，则 ，不满足题意．
综上，实数 的取值范围为 ．
10．（2024·四川·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调递减区间；
(2)若 有两个极值点 ， （ ）.
①求实数b的取值范围；
②证明： .
【解析】（1）当 时， ， 的定义域为 ..
令 ，得 .所以 的单调递减区间为 .
（2）① ， .
因为 有两个极值点 ， ，所以方程 有两个不等正根 ， ，
所以 ，解得 .则实数b的取值范围为 .
②证明： .
所以 .
令 ，下面证明 ，
求导得 ，显然 在 上单调递增.
因为 ， ，且 在 上连续，
所以，函数 存在唯一零点 ，即 .
并且 时， ， 时， ，
所以 .
因为 ，根据对勾函数的性质得 在 上单调递增，
则 ，
所以 ，所以 .命题得证.
11．（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 只有一个极值点，求实数 的取值范围；
(2)若 在 处取得极值 ，且 ，证明： ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，当 时， 在 上单调递增， 不存在极值；
当 时，令 ，即 ，得 ．
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，即 单调递减；
当 时， ，即 单调递增；
所以 仅在 处取得极小值，符合题意．
故当 只有一个极值点时，实数 的取值范围为 ．
（2）由（1）知， ，且 ，所以
故 ，
令 ，则 ，
所以 单调递减，所以 ，
由 ，得 ．
设 ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 ，
所以 ①；
设 ，则 ，当 时， 单调递增，
又 ，故当 时， ，所以 ②，
①②两式相乘得 ，
故 ，
因为 ，
所以 ，得证．
12．（2024·高三·江西·阶段练习）记函数 在 上的导函数为 ，若 （其中 ）恒成立，则称 在 上具有性质 ．
(1)判断函数 （ 且 ）在区间 上是否具有性质 ？并说明理由；
(2)设 均为实常数，若奇函数 在 处取得极值，是否存在实数 ，使得 在
区间 上具有性质 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设 且 ，对于任意的 ，不等式 成立，求 的最大值．
【解析】（1）令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以当 时，函数 在区间 上具有性质 ；
当 时，函数 在区间 上不具有性质 ．
（2）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，且 为奇函数，
所以 在 处也取得极值，则 ，解得 ，
所以 ，可得 ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，满足 在 处取得极值，
所以 ，
当 时， 恒成立，
所以，存在实数 ，使得 在区间 上具有性质 ，且 的取值范围是 ．
（3）因为 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 在区间 上单调递增，又因为 ，
所以存在 ，使 ，
因为当 时， 在区间 上单调递减，
当 时， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 的最小值为 ，
由 ，有 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 恒成立，所以 ，
因为 且 ，所以 的最大值为 ．
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)若 ，求函数 的零点个数．
【解析】（1）解法一：由题， ，
所以 ．
记 ，则 ，
①当 时， ，可得 ，故函数 在区间 上单调递减．
②当 时， ，可知函数 单调递增，
又 ，所以当 时， ；当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
由①②知函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
故 ．
解法二：由题， ，
所以 ．
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故 ，
所以 ，故 在定义域上单调递增．
易知 ，故当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
故 ．
（2）由题意知 ，定义域为 ，
所以 ，
设 ，
所以 ，所以 在区间 上是增函数，
因为 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得极大值，且极大值为
．
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减．
所以 ，
所以 在 内无零点．
因为 ，所以 在 内有且只有一个零点．
综上所述， 有且只有一个零点．
14．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 点 处的切线方程；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题意可知： ，则 ，
可得 ，
即切点坐标为 ，切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）因为 ，即 ，
整理得 在 内恒成立，
构建 ，则 ，
构建 ，则 ，
①当 ，即 时，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递增，则 ，
即 在 内恒成立，可知 在 内单调递增，
所以 ，不合题意；
②当 ，即 时，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递减，则 ，
即 在 内恒成立，可知 在 内单调递减，
所以 ，符合题意；
③当 ，即 时，因为 在 内单调递减，
且 ，所以 ，使得 ，
当 时， ，可知 在 内单调递增，则 ，
即 在 内恒成立，可知 在 单调递增，
则 ，不符合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
15．（2024·安徽·模拟预测）已知函数 的图象在点 处的切线方程为
．
(1)求 的解析式；
(2)证明： ， ．
参考数据： ．
【解析】（1）由题可知，切点为 ，切线的斜率为 ，
，所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）要证明 ，
即证明 ，
令函数 ，
则 ，
当 时， ，
设函数 ，
则 ，故 在 单调递增，
又 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，
即 ，所以 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以
，
设函数 ，
则当 时， 在 单调递增，
所以 ，原不等式得证.
16．（2024·辽宁·一模）已知函数
(1)讨论 的零点个数;
(2)当 时，| 求a的取值范围.
【解析】（1）令 ，则
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又 ，
作出 的大致图象如下图所示：当 时， ， 无零点；
当 时， ，得 ，
由上图知：
当 ，即 时， 无零点；
当 或 ，即 或 时， 有1个零点；
当 ，即 时， 有2个零点.
（2）当 时，显然 在 上单调递增，
由（1）知， 在区间 上有唯一的零点 ，即 ，
当 时，
由 得 ，即 ，
设函数 ，则 ，
在 上单调递减，所以 ，
解得 ，
当 时， ，
由 得 ，即 ，
设 ，则 ，
由 得 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
综上 ，
由 得 ，综上： 的取值范围为 .
17．（2024·高三·湖南湘潭·阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，记 的极小值点为 ，证明： 存在唯一零点 ，且 .（参考数据：
）
【解析】（1）当 时， ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
当 时， 取得极大值 ，所以 ，即 ，
所以 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
（2） ，设 ，则 ，
当 时， ，所以 单调递增，
，
所以存在 ，使得 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
又 且 时， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
存在唯一零点 .
要证 ，只需证 ，
即证 ，因为 ，
所以
，设 ，则 ，
令 ，解得 ，当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
当 时， 取得极大值 ，
所以 ，即 成立，命题得证.
18．（2024·高三·河南信阳·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为
∴当 时， ，
令 ， ．
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，
则不等式 的解集为 ．
（2）当 时， ，
令 ， 恒成立，
则 在 上单调递增，又 ，
，存在唯一的 使 ，且 ，
所以
当 时， ，由 ，
则 在 上单调递减，当 时， ，由 ，（分开考虑导函数符号）
当 时， 在 上单调递增，则 ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
由题意则 ，
设 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，此时 ，即 ，
综上所述，实数 的取值范围为 ．
19．（2024·四川遂宁·二模）已知函数 ．
(1)若 在区间 存在极值，求 的取值范围；
(2)若 ， ，求 的取值范围．
【解析】（1）由 ，得 ，
当 时， ，则 单调递增， 不存在极值，
当 时，令 ，则 ，
若 ，则 ， 单调递减；
若 ，则 ， 单调递增，
所以 是 的极小值点，
因为 在区间 存在极值，则 ，即 ，
所以， 在区间 存在极值时， 的取值范围是 ；
（2）由 在 时恒成立，
即 在 时恒成立，
设 ，则 在 时恒成立，
则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
时， ，则 ， 时， ，则 ，
所以 时， ，则 即 单调递增，
所以 ，则 即 单调递增，
所以 ，
①当 时， ，故 ， ，则 单调递增，
所以 ，
所以 在 时恒成立，
②当 时， ，
，
故在区间 上函数 存在零点 ，即 ，
由于函数 在 上单调递增，则 时， ，
故函数 在区间 上单调递减，
所以，当 时，函数 ，不合题意，
综上所述，的取值范围为 .
20．（2024·黑龙江·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)若存在 ，满足 ，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，则 ；
令 ，可得 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增；
因此函数 在 处取得极小值 ，
所以 的极小值为 ，无极大值；（2）易知当 时， ，
所以 ；
又 可得 ，
易知当 时， ，此时 单调递增，不满足 ；
因此 ；
由 可得 ，
记 ，且 ，
即可得 ，即 ，
所以 ，又易知 ，
因此 ，
令 ，可得 ，即 在 时有解，
所以 使得 ，
令 ，
则 ，由 可得 ；
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减；
易知 可得，若 ，则 在 上单调递减，显然不存在 使得 ；
若 ，解得 ，因此 在 上单调递增，在 上单调递减，因此 ；
以下证明存在 ，使得 ；
令 ，则 ，
可得 在 上单调递减，因此 ，即 时，
所以 ，
令 可得 ，
由 可得 ；
易知二次函数 在 上单调递减，
所以 ，
即存在 ，使得 ，因此 ；
所以 ，
令 ，则 ，
即函数 为单调递增，又
所以 ，即 ；
即 的取值范围为
21．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）函数 ；
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2) 在 恒成立，求整数 的最大值.
【解析】（1）当 时， ， ，
当 单调递减；
当 或 单调递增；
故函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和（2）因为 ，所以 ，即 ，
故 ， 在 恒成立，
即 ，则 在 恒成立，
设 ，
则 ，
设 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以方程 有且只有一个实根 ，且 ， ，
所以在 上， ， 单调递减；
在 , 上， ， 单调递增，
所以函数 的最小值为 ，
从而 ，又 为整数，
所以 的最大值为：2．
