文档文本内容
七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题4 分，共48 分）
1．计算（a2）3的结果是（ ）
A． a5
B． ﹣a5
C． a6
D． ﹣a6
2．下列说法中的不正确的是（ ）
A． 两直线平行，内错角相等
B． 两直线平行，同旁内角相等
C． 同位角相等，两直线平行
D． 平行于同一条直线的两直线平行
3．甲型H1N1 流感病毒的直径大约为0.00000008 米，用科学记数法表示为
（ ）
A． 0.8×10
7
﹣米
B． 8×10
8
﹣米
C． 8×10
9
﹣米
D． 8×10
7
﹣米
4．下列关系式中，正确的是（ ）
A． （a
b
﹣）2=a2
b
﹣
2
B． （a
b
﹣）2=a2+2ab+b2
C． （a+b）2=a2+b2
D． （a+b）（a
b
﹣）=a2
b
﹣
2
5．如图，∠1 和∠2 是一对（ ）
A． 同位角
B． 内错角
C． 同旁内角
D． 对顶角
6．如图，直线a、b 相交于点O，若∠1 等于40°，则∠2 等于（ ）
A． 50°
B． 60°
C． 140°
D． 160°
7．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果
∠1=20°，那么∠2 的度数是（ ）
1 / 23
A． 30°
B． 25°
C． 20°
D． 15°
8．观察一串数：0，2，4，6，…第n 个数应为（ ）
A． 2（n
1
﹣）
B． 2n
1
﹣
C． 2（n+1）
D． 2n+1
9．已知a+b=4，a
b=3
﹣
，则a2
b
﹣
2=（ ）
A． 4
B． 3
C． 12
D． 1
10．已知3a=5，9b=10，则3a+2b=（ ）
A． ﹣50
B． 50
C． 500
D． 以上都不对
11．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式
是（ ）
A． （a
b
﹣）2=a2
2ab+b
﹣
2
B． 2a（a+b）=2a2+2ab
C． （a+b）2=a2+2ab+b2
D． （a+b）（a
b
﹣）=a2
b
﹣
2
12．已知：如图1，点G 是BC 的中点，点H 在AF 上，动点P 以每秒2cm 的速度沿
图1 的边线运动，运动路径为：G﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞H，相应的△ABP
的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB=6cm，则下列四个结
论中正确的个数有（ ）
①图1 中的BC 长是8cm，②图2 中的M 点表示第4 秒时y 的值为24cm2，
2 / 23
③图1 中的CD 长是4cm，④图2 中的N 点表示第12 秒时y 的值为18cm2．
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
二、计算题（每题3 分，共30 分）
13．计算：x3•x2= ．
14．已知am=2，an=5，则am+n= ．
15．如果x2+kx+1 是一个完全平方式，那么k 的值是 ．
16．如图，a∥b，∠1=36°，则∠2= 度．
17．已知（x
a
﹣）（x+a）=x2
9
﹣，那么a= ．
18．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是 度．
19．梯形的上底长是2，下底长是8，则梯形的面积y 与高x 之间的关系式是
．
20．已知：如图，∠1=72°，∠2=62°，∠3=62°，求∠4 的度数．
21．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密
文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，d 对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，
4d．例如，明文1，2，3，4 对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28 时，
则解密得到的明文为多少？
3 / 23
22．有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m+n）
（m+n）=2m2+3mn+n2．观察图②，请你写出三个代数式（m+n）2、（m
n
﹣）2、mn 之
间的等量关系是 ．
三、计算题（每题5 份，共20 分）
23.（1）﹣20+4
1
﹣×（﹣1）2009×
（2）5a5•（﹣a）2﹣（﹣a2）3•（﹣2a）
（3）x3y2•（xy）2÷（﹣x3y）
（4）（x+4）2﹣（x+2）（x
5
﹣）
24．运用公式简便计算
（1）21×19
（2）732
73×26+13
﹣
2．
四、解答题（每题8 分，共32 分）
25．化简求值：（2x+y）2﹣（2x
y
﹣）（x+y）﹣
2（x
2y
﹣
）（x+2y），其中
，y=
2
﹣．
4 / 23
26．如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）此变化过程中， 是自变量， 是因变量．
（2）甲的速度 乙的速度．（大于、等于、小于）
（3）6 时表示 ；
（4）路程为150km，甲行驶了 小时，乙行驶了 小时．
（5）9 时甲在乙的 （前面、后面、相同位置）
（6）乙比甲先走了3 小时，对吗？ ．
27．如图所示，长方形ABCD 是“阳光小区”内一块空地，已知AB=2a，BC=3b，
且E 为AB 边的中点，CF= BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的
面积．
28．已知，如图，EF⊥AC 于F，DB⊥AC 于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：
AB∥MN．
5 / 23
五、解答题（29 题4 分，30 题6 分，共10 分）
29．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2
6n+9=0
﹣
，求m 和n 的值．
解：∵m2+2mn+2n2
6n+9=0
﹣
∴m2+2mn+n2+n2
6n+9=0
﹣
∴（m+n）2+（n
3
﹣）2=0
∴m+n=0，n
3=0
﹣
∴m=
3
﹣，n=3
问题：若x2+2y2
2xy+4y+4=0
﹣
，求xy的值．
30．在长方形ABCD 中，AB=CD=10cm、BC=AD=8cm，动点P 从A 点出发，沿
A⇒B⇒C⇒D 路线运动到D 停止；动点Q 从D 出发，沿D⇒C⇒B⇒A 路线运动到
A 停止；若P、Q 同时出发，点P 速度为1cm∕s，点Q 速度为2cm∕s，6s 后P、Q 同时
改变速度，点P 速度变为2cm∕s，点Q 速度变为1cm∕s．
（1）问P 点出发几秒后，P、Q 两点相遇？
（2）当Q 点出发几秒时，点P 点Q 在运动路线上相距的路程为25cm？
6 / 23
7 / 23
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4 分，共48 分）
1．计算（a2）3的结果是（ ）
A． a5
B． ﹣a5
C． a6
D． ﹣a6
考点：幂的乘方与积的乘方．
分析：根据幂的乘方计算即可．
解答：解：（a2）3=a6．
故选C．
点评：此题考查幂的乘方问题，关键是根据幂的乘方法则计算．
2．下列说法中的不正确的是（ ）
A． 两直线平行，内错角相等
B． 两直线平行，同旁内角相等
C． 同位角相等，两直线平行
D． 平行于同一条直线的两直线平行
考点：平行线的判定与性质．
分析：根据平行线的性质对A、B、D 进行判断；根据平行线的判定对C 进行判断．
解答：解：A、两直线平行，内错角相等，所以A 选项正确；
B、两直线平行，同旁内角互补，所以B 选项错误；
C、内错角相等，两直线平行，所以C 选项正确；
D、平行于同一条直线的两直线平行，所以D 选项正确．
故选：B．
点评：本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，
内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行．
3．甲型H1N1 流感病毒的直径大约为0.00000008 米，用科学记数法表示为
（ ）
A． 0.8×10
7
﹣米
B． 8×10
8
﹣米
C． 8×10
9
﹣米
D． 8×10
7
﹣米
考点：科学记数法—表示较小的数．
分析：绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10
n
﹣，与
较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个
不为零的数字前面的0 的个数所决定．
8 / 23
解答：解：0.00 000 008=8×10
8
﹣，
故选：B．
点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10
n
﹣，
其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
4．下列关系式中，正确的是（ ）
A． （a
b
﹣）2=a2
b
﹣
2
B． （a
b
﹣）2=a2+2ab+b2
C． （a+b）2=a2+b2
D． （a+b）（a
b
﹣）=a2
b
﹣
2
考点：完全平方公式；平方差公式．
专题：计算题．
分析：ABC、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
D、利用平方差公式化简得到结果，即可做出判断．
解答：解：A、（a
b
﹣）2=a2
2ab+b
﹣
2，故A 错误；
B、（a
b
﹣）2=a2
2ab+b
﹣
2，故B 错误；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故C 错误；
D、（a+b）（a
b
﹣）=a2
b
﹣
2，故D 正确．
故选：D．
点评：此题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
5．如图，∠1 和∠2 是一对（ ）
A． 同位角
B． 内错角
C． 同旁内角
D． 对顶角
考点：同位角、内错角、同旁内角．
分析：根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都
在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，
进而得出答案．
解答：解：∠1 和∠2 是一对内错角，
故选：B．
点评：此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角定义．
6．如图，直线a、b 相交于点O，若∠1 等于40°，则∠2 等于（ ）
9 / 23
A． 50°
B． 60°
C． 140°
D． 160°
考点：对顶角、邻补角．
专题：计算题．
分析：因∠1 和∠2 是邻补角，且∠1=40°，由邻补角的定义可得∠2=180°﹣
∠1=180°
40°=140°
﹣
．
解答：解：∵∠1+∠2=180°
又∠1=40°
∴∠2=140°．
故选C．
点评：本题考查了利用邻补角的概念计算一个角的度数的能力．
7．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果
∠1=20°，那么∠2 的度数是（ ）
A． 30°
B． 25°
C． 20°
D． 15°
考点：平行线的性质．
分析：本题主要利用两直线平行，同位角相等作答．
解答：解：根据题意可知，两直线平行，同位角相等，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°
∵∠1=20°，
∴∠2=25°．
故选：B．
10 / 23
点评：本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺
的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°的利用．
8．观察一串数：0，2，4，6，…第n 个数应为（ ）
A． 2（n
1
﹣）
B． 2n
1
﹣
C． 2（n+1）
D． 2n+1
考点：规律型：数字的变化类．
专题：规律型．
分析：因为是从0 开始的一串偶数，所以第n 个数应为2（n
1
﹣）．
解答：解：第n 个数应为2（n
1
﹣）．
故选A．
点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，
并应用发现的规律解决问题．注意这串偶数是从0 开始．
9．已知a+b=4，a
b=3
﹣
，则a2
b
﹣
2=（ ）
A． 4
B． 3
C． 12
D． 1
考点：平方差公式．
专题：计算题．
分析：原式利用平方差公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．
解答：解：∵a+b=4，a
b=3
﹣
，
∴原式=（a+b）（a
b
﹣）=12，
故选C
点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．已知3a=5，9b=10，则3a+2b=（ ）
A． ﹣50
B． 50
C． 500
D． 以上都不对
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析：根据同底数幂的乘法的性质的逆用，先整理成已知条件的形式，然后代入
数据计算即可．
解答：解：∵9b=32b，
11 / 23
∴3a+2b，
=3a•32b，
=5×10，
=50．
故选B
点评：本题主要考查同底数幂的乘法的逆运用，熟练掌握运算性质并灵活运用是
解题的关键．
11．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式
是（ ）
A． （a
b
﹣）2=a2
2ab+b
﹣
2
B． 2a（a+b）=2a2+2ab
C． （a+b）2=a2+2ab+b2
D． （a+b）（a
b
﹣）=a2
b
﹣
2
考点：单项式乘多项式．
分析：由题意知，长方形的面积等于长2a 乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形
的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．
解答：解：长方形的面积等于：2a（a+b），
也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab，
即2a（a+b）=2a2+2ab．
故选：B．
点评：本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是
解题的关键．
12．已知：如图1，点G 是BC 的中点，点H 在AF 上，动点P 以每秒2cm 的速度沿
图1 的边线运动，运动路径为：G﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞H，相应的△ABP
的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB=6cm，则下列四个结
论中正确的个数有（ ）
12 / 23
①图1 中的BC 长是8cm，②图2 中的M 点表示第4 秒时y 的值为24cm2，
③图1 中的CD 长是4cm，④图2 中的N 点表示第12 秒时y 的值为18cm2．
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
考点：动点问题的函数图象．
专题：压轴题；动点型．
分析：理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值
是增大还是减小．
解答：解：根据函数图象可以知：从0 到2，y 随x 的增大而增大，经过了2 秒，P
运动了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm；
P 在CD 段时，底边AB 不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD=4cm，面积
y=
=24cm2．
图2 中的N 点表示第12 秒时，表示点P 到达H 点，△ABP 的面积是18cm2．四个
结论都正确．
故选D．
点评：要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要
的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、计算题（每题3 分，共30 分）
13．计算：x3•x2=
x 5
．
考点：同底数幂的乘法．
分析：根据同底数的幂的乘法即可求解．
解答：解：原式=x5．
故答案是：x5．
13 / 23
点评：本题考查了同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，理清指数的变化是
解题的关键．
14．已知am=2，an=5，则am+n=
10
．
考点：同底数幂的乘法．
分析：根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
解答：解：am+n=am•an=5×2=10，
故答案为：10．
点评：本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．
15．如果x2+kx+1 是一个完全平方式，那么k 的值是
±2
．
考点：完全平方式．
分析：这里首末两项是x 和1 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 的
系数和常数1 的积的2 倍，故k=±2．
解答：解：中间一项为加上或减去x 的系数和常数1 的积的2 倍，
∴k=±2．
故答案为：k=±2．
点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2 倍，
就构成了一个完全平方式．注意积的2 倍的符号，避免漏解．
16．如图，a∥b，∠1=36°，则∠2=
36
度．
考点：平行线的性质．
分析：先根据平行线的性质求出∠3 的度数，再由对顶角相等即可得出结论．
解答：解：∵a∥b，∠1=36°，
∴∠3=∠1=36°，
∴∠2=∠3=36°．
故答案为：36．
14 / 23
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
17．已知（x
a
﹣）（x+a）=x2
9
﹣，那么a=
±3
．
考点：平方差公式．
分析：可先将式子（x
a
﹣）（x+a）变形为x2
a
﹣2，然后，再根据a2与9 的相等关系，
来解答出a 的值即可．
解答：解：根据平方差公式，
（x
a
﹣）（x+a）=x2
a
﹣2，
由已知可得，a2=9，
所以，a=±
=±3．
故答案为：±3．
点评：本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．公式：（a+b）
（a
b
﹣）=a2
b
﹣
2．
18．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是
60
度．
考点：余角和补角．
分析：首先求得这个角的度数，然后再求这个角的余角．
解答：解：180°
150°=30°
﹣
，90°
30°=60°
﹣
．
故答案为：60°．
点评：本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握补角和余角的定义是解题的关
键．
19．梯形的上底长是2，下底长是8，则梯形的面积y 与高x 之间的关系式是
y=5x
．
考点：函数关系式．
分析：利用梯形的面积公式列式即可．
解答：解：根据梯形的面积公式得y= ×（2+8）x，化简得y=5x．
故答案为：y=5x．
15 / 23
点评：本题主要考查了函数关系式，解题的关键是熟记梯形的面积公式．
20．已知：如图，∠1=72°，∠2=62°，∠3=62°，求∠4 的度数．
考点：平行线的判定与性质．
分析：根据∠2=∠3，可以得到a∥b，利用平行线的性质即可求解．
解答：解：∵∠2=62°，∠3=62°，
∴∠2=∠3，
∴a∥b，
∴∠5=∠1=72°，
∴∠4=180°﹣∠5=180°
72°=108°
﹣
．
点评：本题考查了平行线的判定与性质，正确理解判定定理和性质定理是关键．
21．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密
文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，d 对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，
4d．例如，明文1，2，3，4 对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28 时，
则解密得到的明文为多少？
考点：一元一次方程的应用．
专题：应用题．
分析：设得到的明文为a，b，c，d，根据加密规则求出a，b，c，d 的值即可．
解答：解：设明文为a，b，c，d，
根据密文14，9，23，28，得到a+2b=14，2b+c=9，2c+3d=23，4d=28，
解得：a=6，b=4，c=1，d=7，
则得到的明文为6，4，1，7．
16 / 23
点评：此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
22．有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m+n）
（m+n）=2m2+3mn+n2．观察图②，请你写出三个代数式（m+n）2、（m
n
﹣）2、mn 之
间的等量关系是 （
m+n
）
2 ﹣
（
m
n
﹣
）
2 =4mn
．
．
考点：完全平方公式的几何背景．
分析：大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，得出三个代数
式（m+n）2、（m
n
﹣）2、mn 之间的等量关系．
解答：解：（m+n）2﹣（m
n
﹣）2=4mn．
故答案为：（m+n）2﹣（m
n
﹣）2=4mn．
点评：本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不
同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．
三、计算题（每题5 份，共20 分）
（1）﹣20+4
1
﹣×（﹣1）2009×
（2）5a5•（﹣a）2﹣（﹣a2）3•（﹣2a）
（3）x3y2•（xy）2÷（﹣x3y）
（4）（x+4）2﹣（x+2）（x
5
﹣）
考点：整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
分析：（1）先算0 指数幂、负整数指数幂与乘方，再算乘法，最后算加法；
（2）先算积的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并；
（3）先算积的乘方，再算同底数幂的乘除；
（4）利用完全平方公式和整式的乘法计算，最后合并即可．
解答：解：（1）原式=
1+
﹣
×（﹣1）×4
=
1
1
﹣﹣
17 / 23
=
2
﹣；
（2）原式=5a5•a2﹣（﹣a6）•（﹣2a）
=5a7
2a
﹣
7
=3a7；
（3）原式=x3y2•（x2y2）÷（﹣x3y）
=x5y4÷（﹣x3y）
=﹣x2y3；
（4）原式=x2+8x+16
x
﹣
2+3x+10
=11x+26．
点评：此题考查整式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键，
注意符号的判断．
24．运用公式简便计算
（1）21×19
（2）732
73×26+13
﹣
2．
考点：平方差公式；完全平方公式．
分析：（1）把21×19=（20+1）（20
1
﹣）利用平方差公式展开；
（2）把732
73×26+13
﹣
2改成（73
13
﹣
）2，利用完全平方公式展开即可．
解答：解：（1）21×19=（20+1）（20
1
﹣）=202
1
﹣
2=400
1=399
﹣
；
（2）732
73×26+13
﹣
2=732
2×73×13+13
﹣
2=（73
13
﹣
）2=602=3600．
点评：此题考查平方差公式和完全平方公式的运用，注意数字特点，灵活运算．
四、解答题（每题8 分，共32 分）
25．化简求值：（2x+y）2﹣（2x
y
﹣）（x+y）﹣2（x
2y
﹣
）（x+2y），其中
，y=
2
﹣．
考点：整式的混合运算—化简求值．
专题：计算题．
分析：本题涉及整式的化简求值，先将括号里的整数相乘，再加减，将x= ，y=
2
﹣
代入化简后的分式，计算即可．
解答：解：原式=4x2+4xy+y2﹣（2x2+xy
y
﹣
2）﹣2（x2
4y
﹣
2）
18 / 23
=3xy+10y2；
将其中
，y=
2
﹣代入，原式=3×（﹣2）× +10×（﹣2）2=37．
点评：本题主要考查了整式的化简求值，先将括号里的整数相乘，再加减，解答此
题的关键是把整式化到最简，然后代值计算，属于基础题．
26．如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）此变化过程中，
t
是自变量，
s
是因变量．
（2）甲的速度 小于 乙的速度．（大于、等于、小于）
（3）6 时表示 乙追赶上了甲 ；
（4）路程为150km，甲行驶了
9
小时，乙行驶了
4
小时．
（5）9 时甲在乙的 后面 （前面、后面、相同位置）
（6）乙比甲先走了3 小时，对吗？ 不对 ．
考点：函数的图象．
专题：数形结合．
分析：（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量，路程是因变量；
（2）甲走6 行驶100 千米，乙走3 小时行驶了100 千米，则可得到它们的速度的大
小；
（3）6 时两图象相交，说明他们相遇；
（4）观察图象得到路程为150km，甲行驶9 小时；乙行驶了7
3=4
﹣
小时；
（5）观察图象得到t=9 时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些；
（6）观察图象得到甲先出发3 小时后，乙才开始出发．
解答：解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象，则t 是自变量，s 为因变量；
（2）甲的速度=
=
千米/小时，乙的速度=
千米/小时，所以甲的速度小于乙
的速度；
19 / 23
（3）6 时表示他们相遇，即乙追赶上了甲；
（4）路程为150km，甲行驶9 小时；乙行驶了7
3=4
﹣
小时；
（5）t=9 时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些，所以9 时甲在乙的后面
（6）不对，是乙比甲晚走了3 小时．
故答案为t，s；小于；乙追赶上了甲；9，4；后面；不对．
点评：本题考查了函数图象：利用函数图象反映两变量之间的变化规律，通过该
规律解决有关的实际问题．
27．如图所示，长方形ABCD 是“阳光小区”内一块空地，已知AB=2a，BC=3b，
且E 为AB 边的中点，CF= BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的
面积．
考点：整式的混合运算．
专题：计算题．
分析：阴影部分的面积=矩形的面积﹣三角形BEF 的面积﹣三角形ACD 面积，化
简即可得到结果．
解答：解：根据题意得：S 阴影=6ab﹣×6ab﹣a×2b=6ab
3ab
ab=2ab
﹣
﹣
．
点评：此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
28．已知，如图，EF⊥AC 于F，DB⊥AC 于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：
AB∥MN．
20 / 23
考点：平行线的判定．
专题：证明题．
分析：由于EF⊥AC，DB⊥AC 得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2=∠CDM，
而∠1=∠2，则∠1=∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，所以
∠C=∠AMN，又∠3=∠C，于是∠3=∠AMN，然后根据平行线的判定即可得到
AB∥MN．
解答：证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2=∠CDM，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C=∠AMN，
∵∠3=∠C，
∴∠3=∠AMN，
∴AB∥MN．
点评：本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，
同位角相等．
五、解答题（29 题4 分，30 题6 分，共10 分）
29．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2
6n+9=0
﹣
，求m 和n 的值．
解：∵m2+2mn+2n2
6n+9=0
﹣
∴m2+2mn+n2+n2
6n+9=0
﹣
∴（m+n）2+（n
3
﹣）2=0
∴m+n=0，n
3=0
﹣
21 / 23
∴m=
3
﹣，n=3
问题：若x2+2y2
2xy+4y+4=0
﹣
，求xy的值．
考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．
专题：阅读型．
分析：已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x 与y 的
值，即可求出xy的值．
解答：解：∵x2+2y2
2xy+4y+4=0
﹣
，
∴（x
y
﹣）2+（y+2）2=0
∴x=2，y=
2
﹣，
∴xy= ．
点评：此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式
是解本题的关键．
30．在长方形ABCD 中，AB=CD=10cm、BC=AD=8cm，动点P 从A 点出发，沿
A⇒B⇒C⇒D 路线运动到D 停止；动点Q 从D 出发，沿D⇒C⇒B⇒A 路线运动到
A 停止；若P、Q 同时出发，点P 速度为1cm∕s，点Q 速度为2cm∕s，6s 后P、Q 同时
改变速度，点P 速度变为2cm∕s，点Q 速度变为1cm∕s．
（1）问P 点出发几秒后，P、Q 两点相遇？
（2）当Q 点出发几秒时，点P 点Q 在运动路线上相距的路程为25cm？
考点：矩形的性质．
专题：动点型；分类讨论．
分析：（1）先设不变速能相遇，解出后与6 作比较，大于6 就说明需要变速，其
实一样，因为两者速度互换了一下；
（2）主要考虑两种情况，一种情况是PQ 相遇前相距25cm；另一种情况是PQ 相遇
后相距25cm．找出相等关系，即可求解．
22 / 23
解答：解：（1）设点P 出发t 秒，两点相遇．
一种情况是两点不变速就能相遇，那么有t+2t=28，解得t=
．
∵
＞6，∴两点不可能不变速就相遇．因此只能经过一次变速才能相遇．
根据题意可得：
1×6+2×6+t+2t=28，解得t=
．
那么所用总时间=6+
=
．
所以P 点出发
秒两点相遇．
（2）主要考虑两种情况：
一种情况是PQ 相遇前相距25cm，
未改变速度前，两者相距最小为：10+10+8﹣（1+2）×6=10cm
即在改变速度前有出现相遇25m 这一情况
设用时为t1，10+10+8﹣（1+2）×t1=25
解得，t1=1s
另一种情况是PQ 相遇后相距25cm，
设相遇用时为t2，t2=
s
经过t3后，PQ 相距25cm，
t3×（1+2）=25，
t3=
s，
故相遇后相距25cm 所需的时间为：t2+t3=
s
所以当t=1s 或t=
s 时，两点之间相距25cm．
点评：本题利用了相遇问题的知识，以及s=vt．主要是考虑情况要全面．
23 / 23
