北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§6.4 数列求和、数列的综合应用
基础篇
【基础集训】
考点一 数列求和
1.在等差数列{a}中,a=5,a=11.设b=(-1)n·a,则数列{b}的前100项之和S = ( )
n 4 7 n n n 100
A.-200 B.-100 C.200 D.100
答案 D
1
2.数列{a}的前n项和为S,若a= ,则S 等于( )
n n n n(n+1) 5
5 1 1
A.1 B. C. D.
6 6 30
答案 B
3.已知等差数列{a}的前n项和为S,且a=7,a+a=26.
n n 3 5 7
(1)求a 及S;
n n
S
(2)令b= n (n∈N*),求证:数列{b}为等差数列.
n n
n
4.已知等差数列{a}满足(a+a)+(a+a)+…+(a+a )=2n(n+1)(n∈N*).
n 1 2 2 3 n n+1
(1)求数列{a}的通项公式;
n
{ a }
(2)求数列 n 的前n项和S n .
2n-1
考点二 数列的综合应用
5.已知数列{a}满足a=log (n+2)(n∈N*),我们把使乘积a·a·a·…·a 为整数的数n叫做“优数”,则在区间
n n (n+1) 1 2 3 n
(1,2 004)内的所有“优数”的和为 ( )
A.1 024 B.2 003 C.2 026 D.2 048
答案 C
1 1 1
6.已知数列{a}的前n项和为S,且S=n2+4n,若首项为 的数列{b}满足 - =a,则数列{b}的前10项和
n n n 3 n b b n n
n+1 n
为 ( )
175 39 173 181
A. B. C. D.
264 88 264 264
答案 A
7.(2020山东仿真联考3)已知正项数列{a}满足a >2a,S 是{a}的前n项和,则下列四个命题中错误的是 (
n n+1 n n n
)
A.a >2na B.S >(1+2k)S
n+1 1 2k k
{a }
C.S n <2a n -a 1 (n≥2) D. n+1 是递增数列
a
n
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
8.已知公差不为0的等差数列{a}的首项a=2,且a+1,a+1,a+1成等比数列.
n 1 1 2 4
(1)求数列{a}的通项公式;
n
1 3
(2)设b= ,n∈N*,S 是数列{b}的前n项和,求使S< 成立的最大的正整数n.
n a a n n n 19
n n+1
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 数列求和
1.(2019福建漳州一模,10)已知数列{a}和{b}的首项均为1,且a ≥a(n≥2),a ≥a,数列{b}的前n项和为S,且
n n n-1 n n+1 n n n
满足2SS +ab =0,则S = ( )
n n+1 n n+1 2 019
1 1
A.2 019 B. C.4 037 D.
2 019 4 037
答案 D ∵a ≥a(n≥2),a ≥a,∴a≥a ≥a,∴a=a (n≥2),另外,由a≥a≥a,可得
n-1 n n+1 n n n+1 n n n+1 1 2 1
a=a=1,∴a=1.∵2SS +ab =0,∴2SS +b =0,∴2SS +S -S=0,∴ 1 - 1 =2.∴数列{1 }是等差数列,首
2 1 n n n+1 n n+1 n n+1 n+1 n n+1 n+1 n
S S S
n+1 n n
1 1 1
项为1,公差为2.∴ =1+2(n-1)=2n-1,∴S= ,∴S = ,故选D.
S n 2n-1 2 019 4 037
n
2.(2019广东茂名一模,18)已知S 为数列{a}的前n项和,S=2a-2.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)若b n ={ a n ,n=2k-1, k∈N*,求数列{b n }的前2n项和T 2n .
log a ,n=2k,
2 n
解析 (1)由S
n
=2a
n
-2①,
得S
n-1
=2a
n-1
-2(n≥2)②,
①-②得a
n
=2a
n
-2a
n-1
,∴a
n
=2a
n-1
(n≥2),
由a=S=2a-2,得a=2,
1 1 1 1
∴{a}是以2为首项,2为公比的等比数列,
n
∴a=2n.
n
(2)b={2n,n=2k-1,k∈N*.
n
n,n=2k,
T =(b+b+b+…+b )+(b+b+b+…+b )
2n 1 3 5 2n-1 2 4 6 2n
=(2+23+25+…+22n-1)+(2+4+6+…+2n)
2×(1-4n) (2+2n)×n 2 2
= + =- + ×4n+n2+n.
1-4 2 3 3
3.设f(x)= 4x ,求S=f( 1 )+f( 2 )+…+f(2 001)的值.
4x+2 2 002 2 002 2 002
解析 ∵f(x)= 4x ,∴f(1-x)= 41-x = 4 = 2 ,
4x+2 41-x+2 4+2·4x 4x+2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∴f(x)+f(1-x)=1,
∵S=f( 1 )+f( 2 )+…+f(2 001)=f(2 001)+f(2 000)+…+f( 1 ),
2 002 2 002 2 002 2 002 2 002 2 002
∴2S=f( 1 )+f( 2 )+…+f(2 001)+f(2 001)+f(2 000)+…+f( 1 )=1×2
2 002 2 002 2 002 2 002 2 002 2 002
2 001
001=2 001,∴S= .
2
考点二 数列的综合应用
1.(2019湖南岳阳一模,16)已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三
行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,……如图所示,在宝塔形数表中位于第i行,第j列的数记为a ,例如
i,j
a =9,a =15,a =23,若a =2 019,则i+j= ( )
3,2 4,2 5,4 i,j
1
3 5
11 9 7
13 15 17 19
29 27 25 23 21
……
A.64 B.65 C.71 D.72
答案 C 由题中数表可知:第1行有1个奇数,第2行有2个奇数,……,第n行有n个奇数,则前n行共有
n(n+1)
个奇数,设2 019在第n行中,又2 019是从1开始的连续奇数的第1 010个奇数,则有
2
n(n-1)
{ <1 010,
2 解得n=45,即2 019在第45行,则前44行共990个数,又第45行的奇数从右到左,
n(n+1)
≥1 010,
2
从小到大排列,则2 019为第45行从右到左的第1 010-990=20个数,即2 019为第45行从左到右的第45-
20+1=26个数,故i=45, j=26,故i+j=45+26=71,故选C.
2.已知函数f(x)=2x-3x-1,点(n,a)在f(x)的图象上,数列{a}的前n项和为S,n∈N*.
n n n
(1)求使a<0的n的最大值;
n
(2)求S.
n
解析 (1)由已知得a=f(n)=2n-3n-1,
n
则f '(n)=2nln 2-3,n∈N*,
当f '(n)>0,即n≥3时, f(n)单调递增,
当f '(n)<0,即1≤n≤2时, f(n)单调递减.
又∵a<0,即2n-3n-1<0,
n
当n=2时,22-6-1<0,当n=3时,23-9-1=-2<0,当n=4时,24-12-1>0.∴使a<0的n的最大值为3.
n
(2)S=a+a+…+a=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-n
n 1 2 n
2(1-2n) n(n+1) n(3n+5)
= -3· -n=2n+1- -2.
1-2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3.(2020辽宁葫芦岛兴城高中模拟)设函数f(x)=x2,过点C(1,0)作x轴的垂线l 交函数f(x)图象于点A,以A 为
1 1 1 1
切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C,再过C 作x轴的垂线l 交函数f(x)图象于点A,……,以此类推得点
2 2 2 2
A,记A 的横坐标为a,n∈N*.
n n n
(1)证明数列{a}为等比数列,并求出通项公式;
n
g
(2)设直线l
n
与函数g(x)=lo
1
x的图象相交于点B
n
,记b
n
=⃗OA ·⃗OB (其中O为坐标原点),求数列{b
n
}的前n项
n n
2
和S.
n
1 1
解析 (1)以点A (a ,a2 )(n≥2)为切点的切线方程为y-a2 =2a (x-a ).当y=0时,x= a ,即a= a ,
n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 2 n-1 n 2 n-1
1
又∵a=1,∴数列{a}是以1为首项, 为公比的等比数列,
1 n
2
∴通项公式为a
n
=(1) n-1 .
2
(2)由题意,得B n ((1) n-1 ,n-1 ),
2
∴b
n
=
⃗OA
·
⃗OB
=(1) n-1 +(1) n-1 ·(n-1)=n·(1) n-1 ,
n n 4 4 4
∴S
n
=1×(1) 0 +2×(1) 1 +…+n×(1) n-1 ,
4 4 4
1S
n
=1×(1) 1 +2×(1) 2 +…+n×(1) n .
4 4 4 4
(1) n
1-
3 (1) 0 1 (1) n-1 (1) n 4 (1) n 16 (4n 16)
两式相减,得 S=1× + +…+ -n× = -n× ,化简,得S= - + ×
4 n 4 4 4 4 1 4 n 9 3 9
1-
4
(1) n =16- 3n+4 .
4 9 9×4n-1
综合篇
【综合集训】
考法一 错位相减法求和
1.(2020广东揭阳第三中学第一次月考,19)已知{a}是公差d≠0的等差数列,a,a,a 成等比数列,a+a=26,数列
n 2 6 22 4 6
{b}是公比q为正数的等比数列,且b=a,b=a.
n 3 2 5 6
(1)求数列{a},{b}的通项公式;
n n
(2)求数列{a·b}的前n项和T.
n n n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2.(2020普通高等学校招生全国统一考试考前演练)已知数列{a}为等差数列,S 是数列{a}的前n项和,且
n n n
a=2,S=a,数列{b}满足b=2b=4,当n≥3,n∈N*时,ab+ab+…+ab=(2n-2)b+2.
2 3 6 n 2 1 1 1 2 2 n n n
(1)求数列{a},{b}的通项公式;
n n
(2)令c
n
= a n,n∈N*,证明:c
1
+c
2
+…+c
n
<2.
b
n
考法二 裂项相消法求和
3.(2020湖南长沙明德中学3月月考)在各项都为正数的等比数列{a}中,若a=2,且aa=64,则数列
n 1 1 5
{ a }
n 的前n项和是 ( )
(a -1)(a -1)
n n+1
1 1
A.1- B.1-
2n+1-1 2n+1
1 1
C.1- D.1-
2n+1 2n-1
答案 A
4.(2019湖南岳阳一模,13)曲线y=nx+ln x(n∈N*)在x=2处的切线斜率为a,则数列{ 1 }的前n项和为
n
2 n a a
n n+1
.
n
答案
n+1
5.(2020天津静海大邱庄中学第一次质量检测,20)已知等比数列{a}的首项为1,公比为q,a,a,a 依次成等差数
n 4 3 5
列.
(1)求q的值;
(2)当q<0时,求数列{na}的前n项和S;
n n
n a2
∑ i 3
(3)当q>0时,求证: < .
i=1(
2i-
1) 2
-a2 4
3 i
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 错位相减法求和
1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{na}的前n项和为S,且a=2n,则使得S-na +50<0的最小正整
n n n n n+1
数n的值为 .
答案 5北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2(1-2n)
解析 S=1×21+2×22+…+n×2n,则2S=1×22+2×23+…+n×2n+1,两式相减得-S=2+22+…+2n-n·2n+1= -
n n n 1-2
n·2n+1,故S=2+(n-1)2n+1,因为a =2n+1,故S-na +50=2+(n-1)2n+1-n·2n+1+50=52-2n+1,令52-2n+1<0,故最小正整数n
n n+1 n n+1
的值为5.
2.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a}的前n项和为S,点(n,S)在函数f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的图
n n n
象上,且a=C.
1
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)记b=a( +1),求数列{b}的前n项和T.
n na n n
2n-1
解析 (1)设数列{a}的公差为d,
n
则S
n
=na
1
+n(n-1)d=dn2+(
a -
d)n,
2 2 1 2
{ d
又S=n2+Bn+C-1,两式对照得 =1, 解得{d=2,
n 2
C=1,
C-1=0,
所以a=1,所以数列{a}的通项公式为a=2n-1(n∈N*).
1 n n
(2)由(1)知b=(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n,
n
则T=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n,
n
2T=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,
n
两式相减得T=(2n-1)·2n+1-2(22+…+2n)-2
n
22(1-2n-1)
=(2n-1)·2n+1-2× -2=(2n-3)·2n+1+6.
1-2
3.(2020江苏南师附中期初检测,20)设各项均为正数的数列{a}的前n项和为S,已知a=1,且aS -a S=a -
n n 1 n n+1 n+1 n n+1
λa 对一切n∈N*都成立.
n
(1)当λ=1时,
①求数列{a}的通项公式;
n
②若b=(n+1)a,求数列{b}的前n项和T;
n n n n
(2)是否存在实数λ,使数列{a}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
n
解析 (1)①λ=1时,a
n
S
n+1
-a
n+1
S
n
=a
n+1
-a
n
,
则(S +1)a=(S+1)a ,
n+1 n n n+1
S +1 a
又∵a n >0,S n >0,∴ n+1 = n+1,
S +1 a
n n
S +1 S +1 S +1 a a a
∴ 2 · 3 ·…· n+1 = 2· 3·…· n+1,
S +1 S +1 S +1 a a a
1 2 n 1 2 n
化简,得S +1=2a .∴当n≥2时,S+1=2a.
n+1 n+1 n n
a
故可得a n+1 =2a n ,即 n+1 =2(n≥2),
a
n
∵当n=1时,a=2,∴n=1时上式也成立,
2
∴数列{a}是首项为1,公比为2的等比数列,a=2n-1.
n n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
②∵b
n
=(n+1)a
n
,∴b
n
=(n+1)·2n-1,
∴T=2×20+3×21+4×22+…+n×2n-2+(n+1)×2n-1,
n
∴2T=2×21+3×22+4×23+…+n×2n-1+(n+1)×2n,
n
2(1-2n-1)
∴-T=2+21+22+…+2n-1-(n+1)×2n=2+ -(n+1)×2n=-n×2n,∴T=n·2n.
n 1-2 n
(2)令n=1,得a=λ+1,令n=2,得a=(λ+1)2,
2 3
要使数列{a}是等差数列,必须有2a=a+a,解得λ=0.
n 2 1 3
当λ=0时,S a=(S+1)a ,且a=a=1.
n+1 n n n+1 2 1
当n≥2时,S (S-S )=(S+1)(S -S),
n+1 n n-1 n n+1 n
S +1 S
整理,得 S2 +S n =S n+1 S n-1 +S n+1 ,则有 n = n+1,
n S +1 S
n-1 n
S +1 S +1 S +1 S S S
从而 2 · 3 ·…· n = 3· 4·…· n+1,
S +1 S +1 S +1 S S S
1 2 n-1 2 3 n
化简,得S+1=S ,∴a =1,
n n+1 n+1
综上所述,a=1(n∈N*).
n
∴λ=0时,数列{a}是等差数列.
n
考法二 裂项相消法求和
1.(2018湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考,3)数列{ 1 }的前2 017项的和为( )
√n+1+√n
A.√2 018+1 B.√2 018-1 C.√2 017+1 D.√2 017-1
1
答案 B 因为 =√n+1-√n,所以S =√2 017+1-√2 017+√2 016+1-√2 016
√n+1+√n 2 017
+…+√2-1=√2 018-1.故选B.
2.(2020浙江省重点高中统练,15)已知数列{a}的各项均为正数,a=2,a -a= 4 ,若数列{ 1 }
n 1 n+1 n
a +a a +a
n+1 n n+1 n
的前n项和为5,则n= .
答案 120
解析 本题考查等差数列的概念以及数列的前n项和;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.
由已知可得 a2 - a2 =4,即数列{ a2}是等差数列,首项是 a2 =4,公差是4,所以 a2 =4+4(n-1)=4n,又a n >0,所以a n =2
n+1 n n 1 n
1 1 √n+1-√n √2-1 √3-√2 √n+1-√n
√n,所以 = = ,由题意得5= + +…+ =
a +a 2√n+1+2√n 2 2 2 2
n+1 n
√n+1-1
,解得n=120.
2
3.(2018湖北十堰调研,17)已知数列{a}中,a=1,a=3,其前n项和为S,且当n≥2时,a S -aS=0.
n 1 2 n n+1 n-1 n n
(1)求证:数列{S}是等比数列,并求数列{a}的通项公式;
n n
