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专题 01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线 与方程 之间有以下两个关系：
①曲线 上的点的坐标都是方程 的解；
②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点．
此时，把方程 叫做曲线 的方程，曲线 叫做方程 的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为 ；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
x、y
（4）用坐标 表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1定义法：
如果动点 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨
迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：
如果动点 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 满足的等量关系易于建立，
则可以先表示出点 所满足的几何上的等量关系，再用点 的坐标 表示该等量关系式，即可得到轨
迹方程。
3.3代入法（相关点法）：
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲
线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，
即可得到动点 的轨迹方程。
3.4点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 的坐标
代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 ， ， ， 等关系式，由于
弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线 的斜率为 ，由此可求得弦
中点的轨迹方程.
二、典型题型题型一：定义法求轨迹方程
1．（2023上·高二课时练习）分别写出满足下列条件的动点 的轨迹方程：
(1)点 到点 、 的距离之和为10；
(2)点 到点 、 的距离之和为12；
(3)点 到点 、 的距离之和为8．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果；
（2）根据椭圆的定义可求出结果；
（2） 可知动点 的轨迹是线段 .
【详解】（1）因为 ，
所以动点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，
这里 ， ，即 ， ，
所以 ，
所以动点 的轨迹方程为 .
（2）因为 ，
所以动点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，
这里 ， ，即 ， ，
所以 ，
所以动点 的轨迹方程为 .
（3）因为 ，
所以动点 的轨迹是线段 ，其方程为 .
2．（2022上·高二课时练习）求下列动圆的圆心 的轨迹方程：
(1)与圆 和圆 都内切；
(2)与圆 内切，且与圆 外切；
(3)在 中， ， ，直线 ， 的斜率之积为 ，求顶点 的轨迹方程.【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得 ，根据双曲线的定义可知圆心 的轨迹是以点 、
分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；
（2）依题意可得 ，根据双曲线的定义可知圆心 的轨迹是以点 、 分别为左、
右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；
（3）设 根据斜率公式得到方程，整理可得.
【详解】（1）圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为 ，则圆 与圆 外离，
设圆 的半径为 ，由题意可得 ，所以 ，
所以圆心 的轨迹是以点 、 分别为上、下焦点的双曲线的下支，
设圆心 的轨迹方程为 ，
由题意可得 ，则 ， ，
因此圆心 的轨迹方程为 .
（2）圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为 ，则圆 与圆 外离，
设圆 的半径为 ，由题意可得 ，所以 ，
所以圆心 的轨迹是以点 、 分别为左、右焦点的双曲线的左支，
设圆心 的轨迹方程为 ，
由题意可得 ，则 ， ，
因此圆心 的轨迹方程为 .
（3）设 ，则 ， ，
根据题意有 ，
化简得
∴顶点 的轨迹方程为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记
动点 的轨迹为 ，求 的方程.
【答案】【分析】设 ，根据题意列出方程 ，化简即可.
【详解】设 ，则 ，所以 ，化简得 ，
故 的方程为 .
题型二：直接法
1．（2024·全国·高三专题练习）已知点 与点 ， 是动点，且直线 与 的斜率之积等于
求动点 的轨迹方程;
【答案】
【分析】设点 的坐标为 ，进而利用 得到动点 的轨迹方程.
【详解】设点 的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，化简得 .
故动点 的轨迹方程为 .
2．（2024·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ， ，点 为
坐标系内一点，若直线 与直线 的斜率的乘积为 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)说明点 的轨迹是何种几何图形．
【答案】(1)
(2)点 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点
【分析】（1）根据题意结合斜率公式运算求解，注意 ；
（2）根据（1）中结果，结合椭圆方程分析说明.
【详解】（1）由题意可知：直线 与直线 的斜率分别为 ，
则 ，整理得 ，所以点 的轨迹方程为 .
（2）由（1）可知：点 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点.
3．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知两个定点 ， ，动点 满足直线 与直线
的斜率之积为定值 （ ）.
(1)求动点 的轨迹方程，并说明随 变化时，方程所表示的曲线 的形状；
【答案】(1)答案见解析.
【分析】（1）由斜率之积表示出轨迹方程，再对m分类讨论确定曲线的类型即可.
【详解】（1）设动点 ，依题意有
，
整理，得 ，
∴动点M的轨迹方程为： ,
时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，
时，轨迹是圆，
时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，
且点 不在曲线上．
题型三：代入法（相关点法）
1．（2024·全国·高二专题练习）如图，已知点 的坐标为 ， 是以点 为圆心的单位圆上的动点(不与
点 重合)， 的角平分线交直线 于点 ，求点 的轨迹方程．
【答案】
【分析】由三角形的角平分线的性质，得到 ，设点 ，根据向量的坐标表
示，得到 ，代入圆 的方程，即可求解.【详解】由三角形的角平分线的性质，可得 ，所以 ，
设点 ，则 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为点 在圆 上，所以 ，即 ，
即点 的轨迹方程为 .
2．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知圆 的圆心为直线 与直线
的交点，且圆 的半径为 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)若 为圆 上任意一点， ，点 满足 ，求点 的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆 的标准方程.
（2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点 的轨迹方程.
【详解】（1）由 解得 ，则圆心为 ，半径为 ，
∴圆 的标准方程为 .
（2）设 ， .
由 ，可得 ，
则 ，又点 在圆 上，所以 ，
即 ，化简得 ，
∴点 的轨迹方程为 .
3．（2024·全国·高三专题练习）已知点 ，点P是圆 上的动点，M为线段PA的中点，当
点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程，并分析此轨迹与圆 的位置关系.【答案】 ，两圆相外离
【分析】利用中点坐标公式及点在圆上，结合两点间的距离公式及圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】设 ， ，则
由中点坐标公式得 ， .
因为 在圆 上，
所以 ，即 .
所以点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆.
两圆的圆心距 ，
而两圆半径之和为6，即 ，
所以这两圆相外离.
题型四：点差法
1．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直
线交椭圆于 ， 两点，若 的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出A，B的坐标代入椭圆方程，利用点差法和中点坐标公式求出直线 的斜率，再由已知建立
斜率的等式关系，进而可以求解.
【详解】解：设 ， ，
代入椭圆方程可得： ，两式作差可得：
，
又 的中点坐标为 ，所以 ， ，
则 ，又直线 的斜率为 ，所以 ，而 ，
所以 ， ，所以椭圆的方程为： ，
故选：A.
2．（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知点 为椭圆 （
）的左焦点，点 为椭圆的下顶点，平行于 的直线 交椭圆于 ， 两点，且 的中点为
，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出直线 的斜率为 ，设 ， ，再利用点差法求出直线 的斜率
为 ，利用斜率相等可得 的值，从而得到椭圆方程.
【详解】
因为 ， ，
所以直线 的斜率为 ，
设 ， ，则 ①， ②，
①-②得： ，
即 ，
因为 是 的中点，所以 ， ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以椭圆的方程为 ，
故选：D.
三、专项训练
一、单选题
1．（【名校面对面】2022-2023学年高二大联考（12月）数学试题）已知圆 ， 是圆
上的动点，点 ，若动点 满足 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ，由 求出 ，代入圆 的方程可得答案.
【详解】设 ， ，由 ，得 ，所以 ，
又因为点 在圆 上，
所以 ，即 .
故选：C.
2．（2024上·广东梅州·高二统考期末）已知定点 为圆 的动点，则线段 的中点
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设线段 中点 的坐标为 ，且点 ，结合中点公式求得 ，代入
即可求解.
【详解】设线段 中点 的坐标为 ，且点 ，又由 ，可得 ，解得 ，
又由 ，可得 ，即 ，
故选：A
3．（2024上·四川达州·高二统考期末）已知平面内一动点P到两定点 ， 的距离之和为8，
则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.
【详解】因为平面内一动点P到两定点 ， 的距离之和为8，且 ，
所以动点P的轨迹方程为焦点位于 轴的椭圆，
设椭圆方程为 ，焦距为 ，
则 ，解得 ，故动点P的轨迹方程为 .
故选：B
4．（2024上·贵州黔南·高二统考期末）若动点 满足方程 ，则
动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合根据椭圆的定义，可得点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，进而求得椭圆
的方程，得到答案.
【详解】由动点 满足方程 ，
根据椭圆的定义，可得点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，
且 ，可得 ，则 ，所以动点P的轨迹方程为 .
故选：A.
5．（2024上·湖北·高二校联考期末）已知一个动圆P与两圆 ： 和 ： 都
外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B．
C． （ ） D． （ ）
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意易知两圆圆心分别为 ，半径分别为 ，
设动圆 圆心 ，半径 ，
则根据题意有 ,
根据双曲线的定义知 的轨迹是以原点为中心， 为左右焦点， 为实轴长的双曲线的左
支，故其轨迹方程为： .
故选：A
6．（2023上·全国·高二专题练习）设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为26，若曲线 上的
点到椭圆 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用双曲线定义确定曲线 为双曲线，再利用题给条件即可求得曲线 的标准方程.
【详解】在椭圆 中，由题知 ，解得 ，
所以椭圆 的焦点为 ， ，
因为曲线 上的点到 ， 的距离的差的绝对值等于8，且 ，所以曲线 是以 ， 为焦点，实轴长为8的双曲线，
所以曲线 的虚半轴长为 ，
故 的标准方程为： .
故选：A.
7．（2023上·四川凉山·高二校联考期末）已知点 ， ，动点 满足条件 ，则
动点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义可判断动点 的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程.
【详解】因为 ， ，所以 ，动点 满足 ，
由双曲线的定义可知，动点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的左支，
设双曲线方程为 ，则有 ， ， ，
所以动点 的轨迹方程为 .
故选：D.
8．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市翔宇中学校考阶段练习）与圆 ： 和圆 ：
都外切的圆的圆心 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由题意得到两定圆的圆心和半径，设圆 的半径为 ，再由圆 与圆 、圆 都外切得到
，根据双曲线的定义，即可确定动点轨迹，从而求出轨迹方程.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，再由圆 与圆 、圆 都外切，设圆 的半径为 ，
则 ， ，所以 ，
因此，由双曲线的定义可得圆心 的轨迹为双曲线的右支，
且该双曲线的焦距为 ，实轴长为 ，
所以 ，故 ，
所以所求圆的圆心 的轨迹方程 .
故选：D.
二、多选题
9．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知 为直线 上的一点，动点 与两个定点 ，
的距离之比为2，则（ ）
A．动点 的轨迹方程为 B．
C． 的最小值为 D． 的最大角为
【答案】ACD
【分析】由动点 的轨迹求出方程验证选项A；由圆上的点到直线的最小距离验证选项B；由三点共线求
距离之和的最小值验证选项C；由直线与圆的位置关系求 的最大值验证选项D.
【详解】设 ，依题意有 ，化简得 ，
所以动点 的轨迹方程为 ，A选项正确；方程 表示圆心为 半径为2的圆，圆心 到直线 的距离
，
所以 的最小值为 ，B选项错误；
，当 三点共线时，有最小值，
最小值为点 到直线 的距离 ，C选项正确；
的最大时， 与圆 相切，此时 ， ， ，D选项正确；
故选：ACD
三、解答题
10．（2024上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）在平面内，动点 与定点 的距离
和它到定直线 的距离比是常数3．
(1)求动点M的轨迹方程；
【答案】(1)
【详解】（1）由题意，
动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离比是常数3，
∴ ，
整理化简可得：即 ，
∴动点M的轨迹方程为：
