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第2 节 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐
标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的
平面向量共线的条件.
【知识梳理】
1.平面向量的基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋
λ2e2
基底
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基
底
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝( x 1＋
x 2，
y 1＋
y 2)，a－b＝( x 1－
x 2，
y 1－
y 2)，λa＝( λx
1，
λy
1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－
x 1，
y 2－
y 1)，|AB|＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－
x 2y1＝
0 .
[常用结论与微点提醒]
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a 与b 不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的
向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设a，b 是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2 满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋
μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b 的充要条件可以表示成＝.( )
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
解析 (2)若b＝(0，0)，则＝无意义.
2.(必修二P31 例7 改编)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.
答案 3
解析 因为a∥b，所以4y－2×6＝0，解得y＝3.
3.(必修二P30 例5 改编)已知平行四边形ABCD 的顶点A(－1，－2)，B(3，－
1)，C(5，6)，则顶点D 的坐标为________.
答案 (1，5)
解析 设D(x，y)，则AB＝DC，
得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，
即解得即D(1，5).
4.在△ABC 中，点M，N 满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝
________，y＝________.
答案 －
解析 如图，MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(CA＋AB)＝AB－AC，
所以x＝，y＝－.
考点一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)(2024·安阳段测)在平行四边形ABCD 中，点E，F 分别在边CD，BC 上，
DE＝EC，CF＝2BF，设AE＝m，AF＝n，则AC＝( )
A.m＋n
B.m＋n
C.m＋n
D.m＋n
答案 D
解析 由题意，AE＝AD＋DE＝AB＋AD，AF＝AB＋BF＝AB＋AD，
而AC＝xAE＋yAF＝AB＋AD＝AB＋AD.
由对应系数相等得∴
∴AC＝m＋n.
(2)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在线段BD 上，且EB＝mDE(m∈R)，若
AC＝λAE＋μAD(λ，μ∈R)，且λ＋2μ＝0，则m＝________.
答案 3
解析 在平行四边形ABCD 中，
因为EB＝mDE，
所以AB－AE＝m(AE－AD)，
所以AE＝AB＋AD.
又AB＝DC＝AC－AD.
所以AE＝(AC－AD)＋AD，
所以AC＝(1＋m)AE＋(1－m)AD.
又AC＝λAE＋μAD，
所以λ＝1＋m，μ＝1－m，
又λ＋2μ＝0，
所以1＋m＋2(1－m)＝0，
解得m＝3.
感悟提升 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三
角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底
将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在
不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是( )
A.若p＝xa＋yb，则p 与a，b 共面
B.若p 与a，b 共面，则存在实数x，y 使得p＝xa＋yb
C.若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B 共面
D.若P，M，A，B 共面，则存在实数x，y 使得MP＝xMA＋yMB
答案 AC
解析 对于B，若a，b 共线，p 与a，b 不共线，则不存在实数x，y 使得p＝xa
＋yb，故B 错误；
对于D，若M，A，B 共线，P 在直线AB 外，则不存在实数x，y 使得MP＝xMA
＋yMB，故D 错误；
由平面向量基本定理知A，C 正确.
(2)(2024·江西重点中学协作体联考)如图，在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中
点，AC 与MD 相交于点P.若AP＝xAB＋yAD，则x＋y＝________.
答案
解析 因为在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，AC 与MD 相交于点P，
所以＝＝2，
所以AP＝AC＝(AB＋AD).
又AP＝xAB＋yAD，
所以x＝y＝，x＋y＝.
考点二 平面向量的坐标运算
例2 (1)在平行四边形ABCD 中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC 与BD
交于点O，则CO的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 因为在平行四边形ABCD 中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC 与
BD 交于点O，所以CO＝－AO＝－(AD＋AB)＝.
(2)如图，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E 为AD
的中点，若CA＝λCE＋μDB(λ，μ∈R)，则λ＋μ 的值为________.
答案
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
∴CA＝(－2，2)，CE＝(－2，1)，DB＝(1，2)，
∵CA＝λCE＋μDB，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴解得
故λ＋μ＝.
感悟提升 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若
已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求
解.
训练2 (1)已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN＝－
2PM，则P 点的坐标为( )
A.(2，4)
B.(－14，16)
C.(6，1)
D.(22，－11)
答案 A
解析 设P(x，y)，
则PN＝(10－x，－2－y)，PM＝(－2－x，7－y)，
由PN＝－2PM，
得解得∴P(2，4).
(2)已知向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(
)
A.c＝2a－3b
B.c＝－2a－3b
C.c＝－3a＋2b
D.c＝3a－2b
答案 D
解析 如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，
所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)，
设向量c＝ma＋nb，
则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
则解得
所以c＝3a－2b.故选D.
考点三 平面向量共线的坐标表示
角度1 利用向量共线求参数
例3 (多选)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，3)，c＝(－1，2)，若(ma＋c)∥(a＋nb)
(m，n∈R)，则(m，n)可能是( )
A.(2，1)
B.(0，－1)
C.(3，2)
D.
答案 ABD
解析 由题意得ma＋c＝(3m－1，m＋2)，
a＋nb＝(3＋2n，1＋3n).
由(ma＋c)∥(a＋nb)可得
(3＋2n)(m＋2)－(1＋3n)(3m－1)＝0，
整理得mn＝n＋1.
A 中，2×1＝1＋1，满足；
B 中，0×(－1)＝－1＋1，满足；
C 中，3×2≠2＋1，不满足；
D 中，(－1)×＝－＋1，满足.
角度2 利用向量共线求向量或点的坐标
例4 在△ABC 中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，OC＝OA，OD＝OB，
AD 与BC 交于点M，则点M 的坐标为________.
答案
解析 因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，
所以点C，同理点D.
设M 的坐标为(x，y)，
则AM＝(x，y－5)，而AD＝.
因为A，M，D 三点共线，
所以AM与AD共线，
所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.
而CM＝，
CB＝＝，
因为C，M，B 三点共线，
所以CM与CB共线，
所以x－4＝0，即7x－16y＝－20.
由得
所以点M 的坐标为.
感悟提升 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b 的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的
坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
训练3 (1)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P 在直线AB 上，且|AB|＝2|AP|，则点P
的坐标为( )
A.(3，1)
B.(1，－1)
C.(3，1)或(1，－1)
D.(3，1)或(1，1)
答案 C
解析 ∵A(2，0)，B(4，2)，∴AB＝(2，2).
∵点P 在直线AB 上，且|AB|＝2|AP|，
∴AB＝2AP或AB＝－2AP，
故AP＝(1，1)或AP＝(－1，－1)，
故P 点坐标为(3，1)或(1，－1).
(2)(多选)(2024·德州模拟)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，
m－2)，若连接AB，BC，AC 能构成三角形，则实数m 可以是( )
A.－2
B.
C.1
D.－1
答案 ABD
解析 由题知AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC－OA＝(m＋
1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).
假设A，B，C 三点共线，
则1·(m＋1)－2m＝0，即m＝1.
所以若连接AB，BC，AC 能构成三角形，
则m≠1.故选ABD.
【A 级 基础巩固】
1.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(
)
A.(－23，－12)
B.(23，12)
C.(7，0)
D.(－7，0)
答案 A
解析 由题意可得3a－2b＋c＝3(5，2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)
＝(0，0)，
所以解得
所以c＝(－23，－12).
2.(2024·嘉兴调研)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若a＋2b 与2a－b 平行，则
实数m＝( )
A.－
B.－
C.
D.
答案 B
解析 已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，
得a＋2b＝(－1，2)＋2(m，1)＝(2m－1，4)，
2a－b＝2(－1，2)－(m，1)＝(－m－2，3).
由a＋2b 与2a－b 平行，
有3(2m－1)－4(－m－2)＝0，解得m＝－.
3.(2024·西安质检)设k∈R，下列向量中可与向量q＝(1，－1)构成一个基底的是(
)
A.b＝(k，k)
B.c＝(－k，－k)
C.d＝(k2＋1，k2＋1)
D.e＝(k2－1，k2－1)
答案 C
解析 对于选项A，B，若k＝0，则b＝(0，0)，c＝(0，0)，均不满足构成基底
的条件，所以A，B 不符合题意；
对于选项C，因为∀k∈R，k2＋1≠0，且(k2＋1)×(－1)－(k2＋1)×1＝－2(k2＋
1)≠0 恒成立，
所以d 与q 不共线，满足构成基底的条件，
所以C 符合题意；
对于选项D，若k＝±1，则e＝(0，0)，不满足构成基底的条件，所以D 不符合
题意.故选C.
4.如图，已知AB＝a，AC＝b，BC＝4BD，CA＝3CE，则DE＝( )
A.b－a
B.a－b
C.a－b
D.b－a
答案 D
解析 DE＝DC＋CE＝BC＋CA
＝(AC－AB)－AC＝AC－AB
＝b－a.
5.(2024·湘潭部分校联考)向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c＝xa
＋yb，则x＋y＝( )
A.－
B.
C.－4
D.4
答案 A
解析 设网格中小正方形的边长为1，在网格线上取互相垂直的单位向量i，j，
如图所示，
则有a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j.
由c＝xa＋yb，得
－i－3j＝x(－i＋j)＋y(6i＋2j)，
则解得
∴x＋y＝－.
6.(2024·石家庄质检)在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 为AB 上一点，AM
与CN 交于点D，且AD＝AM，AN＝λAB，则λ＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图，因为点M 是BC 的中点，
所以AD＝AM＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC).
因为N，D，C 三点共线，
所以AD＝μAC＋(1－μ)AN，
又AN＝λAB，
所以(AB＋AC)＝μAC＋(1－μ)λAB，
由平面向量基本定理可知
解得
7.(多选)已知等边三角形ABC 内接于⊙O，D 为线段OA 的中点，E 为BC 的中点，
则BD＝( )
A.BA＋BC
B.BA－BC
C.BA＋AE
D.BA＋AE
答案 AC
解析 如图所示，则
BD＝BA＋AD＝BA＋AE
＝BA＋(AB＋BE)＝BA－BA＋×BC
＝BA＋BC.故选AC.
8. 若P1(1，3)，P2(4，0)，且P 是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P
的坐标为________.
答案 (2，2)
解析 由题意得P1P＝P1P2，且P1P2＝(3，－3)，
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(3，－3)，
所以x＝2，y＝2，则点P(2，2).
9.(2024·河北部分学校联考)已知向量AB＝(m，2)，AC＝(1，3)，BD＝(－4，－
2).若B，C，D 三点共线，则m＝________.
答案 －1
解析 因为向量AB＝(m，2)，AC＝(1，3)，
则BC＝AC－AB＝(1－m，1)，
而BD＝(－4，－2)，
又B，C，D 三点共线，则有BC∥BD，
因此－2(1－m)＋4＝0，解得m＝－1.
10.若在△ABC 中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD 为BC 边上的高，O 为AD 上
靠近点A 的三等分点，且AO＝λAB＋μAC，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________.
答案 0
解析 由题意可知，
在Rt△ABD 中，AB＝，∠ABC＝，
所以BD＝1，所以BD＝BC，
所以AO＝AD＝(AB＋BD)
＝＝AB＋(BA＋AC)
＝AB＋AC，
又因为AO＝λAB＋μAC，
所以λ＝，μ＝，
所以λ－2μ＝－＝0.
11.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM
＝3c，CN＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc 的实数m，n；
(3)求M，N 的坐标及向量MN的坐标.
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝
(6，－42).
(2)法一 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
法二 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
又a＝mb＋nc，b 和c 不共线，
∴mb＋nc＝－b－c，
∴
(3)设O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，
∴OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)
＝(0，20).
∴M(0，20).
又∵CN＝ON－OC＝－2b，
∴ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)
＝(9，2)，
∴N(9，2)，∴MN＝(9，－18).
12.如图，在△ABC 中，AM＝AB＋AC.
(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；
(2)若N 为AB 中点，AM与CN交于点P，且AP＝xAB＋yAC(x，y∈R)，求x＋y 的
值.
解 (1)在△ABC 中，
由AM＝AB＋AC，
得4AM－3AB－AC＝0，
即3(AM－AB)＝AC－AM，
即3BM＝MC，
即点M 是线段BC 上的靠近B 的四等分点，
∴△ABM 与△ABC 的面积之比为.
(2)∵AM＝AB＋AC，
AP＝xAB＋yAC(x，y∈R)，
AP∥AM，AN＝AB，
∴设AP＝λAM＝AB＋AC
＝AN＋AC.
∵N，P，C 三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
【B 级 能力提升】
13.在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆
上.若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ 的最大值为________.
答案 3
解析 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，
2)，
直线BD 的方程为BD：
y＝－2x＋2，
⊙C 方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又AB＝(1，0)，AD＝(0，2)，
则AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)，
圆与直线BD 相切，则半径r＝.
P 点坐标可表示为
x＝1＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ
＝2＋sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1 时，有最大值，为
2＋×＝3.
14.如图，在直角梯形ABCD 中，|DA|＝2，∠CDA＝，DA＝2CB，∠B 为直角，
E 为AB 的中点，DP＝λDC(λ∈R，0≤λ≤1).
(1)当λ＝时，用向量DC，DA表示向量PE；
(2)求|PE|的最小值，并指出相应的实数λ 的值.
解 (1)当λ＝时，DP＝DC，
∴PE＝(PA＋PB)
＝[(DA－DP)＋(PC＋CB)]
＝
＝DC＋DA.
(2)∵PE＝(PA＋PB)
＝[(DA－DP)＋(PC＋CB)]
＝
＝
＝DA＋DC，
易知|DC|＝|DA|＝2，
∴|PE|2＝DA2＋DC2＋(1－2λ)·DA·DC＝4λ2－7λ＋＝4＋，
∵0≤λ≤1，
∴当λ＝时，|PE|2有最小值，
即|PE|有最小值.
