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第 01 讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）某钟表里分针按正常方式走了2小时 20 分， 则对应时针转
过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）若 是第二象限角，则 一定是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知角 的终边经过点 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·北京·高一北京二十中校考阶段练习）若角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇
子，如图1，其平面图如图2的扇形 ，其中 ， ，则扇面（曲边四边形
）的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重
合，终边过点 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B．4 C． 或3 D．－4或4
7．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）在直角坐标系 中，若点 从点 出
发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动 到达点 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
8．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知角 的终边经过点 ，且 ，
则实数m的值是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
二、多选题
9．（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩
丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一
部分（如图2），已知 ，则（ ）
A． B．弧 的长为
C．该平面图形的周长为 D．该平面图形的面积为
10．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末） 的值可能是
（ ）
A． B．3 C． D．
三、填空题
11．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）斐波那契螺旋线被称为自然界最完美的
“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8……为边长的正方形按如图的方式拼成长方
形，并以每个正方形的某一顶点为圆心画一个圆心角为 的圆弧，这些圆弧连成的弧线被称为斐波那契
螺旋线，图中的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的面积与矩形ABCD的面积之比为
________．12．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）定义：角 与 都是任意角，若满足 ，则称α与β“广义
互余”，已知 ，若角 与角 “广义互余”，则角 ___________.（写出满足条件的一个角
的值即可）
四、解答题
13．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知扇形 的圆心角为 ，面积为 ，求弧 的长，并求
含于扇形内，且以 为弦的弓形面积．
14．（2023·高一课时练习）已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角 ，弧长 及面积 ;
(2)求该扇形面积 的最大值及此时扇形的半径 .
15．（2023春·上海奉贤·高一校考阶段练习）已知角 的顶点在原点，始边与 轴的正半轴重合，终边经
过点 ，求 的值．B能力提升
1．（2023春·山东潍坊·高一校考阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛
三角形的画法如下：先画等边三角形 ，再分别以点 为圆心，线段 长为半径画圆弧，便得到
莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为 ，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓
形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作
圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB， ， 所围成的图形.若 ，则该拱券的面积是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·高一课时练习）已知扇形的圆心角是 ，半径为 .
（1）若 ， 求扇形的弧长 .（2）若扇形的周长为 ，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
5．（2023秋·浙江衢州·高一统考期末）已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，
终边过点 ．（点 不与原点 重合）
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
C综合素养
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，
“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐
次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边
形与圆内接正 边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高一专题练习）2022年冬奥会在北京市和张家口市举行，北京也成为世界第一个“双奥”
之城，北京冬奥会向世界展现了阳光､自信､开放､充满希望的中国形象，为世
人留下许多精彩瞬间，其中“冰墩墩”给人留下了深刻印象，它的左手手心的
爱心形状向世界表达了友好交流的寓意.如图，心形曲线可以表示为
，A为曲线上一点，记OA与x非负半轴所成的角为
，则当 时， 可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·高三课时练习）如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此
时圆上一点 的位置为（0，0），该圆沿 轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点 的坐标为______.
4．（2023春·四川泸州·高一校考阶段练习）如图所示，有一块扇形钢板 ，面积是 平方米，其所在
圆的半径为1米.
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)现在钢板 上裁下一块平行四边形钢板 ，要求使裁下的钢板面积最大.设 ，试问如
何确定 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
