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第 01 讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）某钟表里分针按正常方式走了2小时 20 分， 则对应时针转
过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】利用任意角的概念可得，顺时针方向旋转角为负角，
一小时时针转过的角度为 ，2小时 20 分相当于 小时，
所以对应时针转过的弧度数 .
故选：B
2．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）若 是第二象限角，则 一定是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【详解】由 与 的终边关于x轴对称，
可知若 是第二象限角，则 一定是第三象限角．
故选：C．
3．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知角 的终边经过点 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为角 的终边经过点 ，
所以 .
故选：A.
4．（2023春·北京·高一北京二十中校考阶段练习）若角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由三角函数的定义可知 ，
故选:C
5．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇
子，如图1，其平面图如图2的扇形 ，其中 ， ，则扇面（曲边四边形
）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知 ， ，
扇面面积为
故选：B．
6．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重
合，终边过点 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B．4 C． 或3 D．－4或4
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
因为 的终边过点 ，所以 ，解得 ，
故选：D
7．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）在直角坐标系 中，若点 从点 出
发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动 到达点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意可知，作出图示如下：根据题意可得 ， ，作 轴且垂足为 ；
利用三角函数定义可得 ， ；
又 点在第四象限，所以点 的坐标为 .
故选：C
8．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知角 的终边经过点 ，且 ，
则实数m的值是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】由三角函数的定义得 ，
解得
故选：A
二、多选题
9．（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩
丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一
部分（如图2），已知 ，则（ ）A． B．弧 的长为
C．该平面图形的周长为 D．该平面图形的面积为
【答案】ACD
【详解】如图，分别延长 与 交于点O，
易得 ，得 ，
所以 为等边三角形， ，
所以 ，得 ，
该平面图形的周长为 ，
面积为 ．
故选：ACD.
10．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末） 的值可能是
（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】ACD
【详解】当 是第一象限角时， 均大于0， ；
当 是第二象限角时， 大于0， 小于0， ；
当 是第三象限角时， 小于0， 大于0， ；
当 是第四象限角时， 小于0， 大于0， ；
故选：ACD
三、填空题
11．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）斐波那契螺旋线被称为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8……为边长的正方形按如图的方式拼成长方
形，并以每个正方形的某一顶点为圆心画一个圆心角为 的圆弧，这些圆弧连成的弧线被称为斐波那契
螺旋线，图中的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的面积与矩形ABCD的面积之比为
________．
【答案】 ##
【详解】由题意知，矩形 的面积为 ，
而阴影部分的面积为 ，
所以阴影部分的面积与矩形 的面积之比为 .
故答案为： .
12．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）定义：角 与 都是任意角，若满足 ，则称α与β“广义
互余”，已知 ，若角 与角 “广义互余”，则角 ___________.（写出满足条件的一个角
的值即可）
【答案】 （答案不唯一）
【详解】因为 ,所以 或 ，
根据“广义互余”定义, ,
所以 或 ，
可取 等,答案不唯一.
故答案为： .
四、解答题13．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知扇形 的圆心角为 ，面积为 ，求弧 的长，并求
含于扇形内，且以 为弦的弓形面积．
【答案】弧 的长为 ，弓形面积为
【详解】解：设扇形的半径为 ，圆心角为 ，
因为扇形 的圆心角为 ，面积为 ，
所以，根据扇形面积公式得 ，解得 ，
所以，弧 的长为 ，
，
所以，含于扇形内，且以 为弦的弓形面积为 .
14．（2023·高一课时练习）已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角 ，弧长 及面积 ;
(2)求该扇形面积 的最大值及此时扇形的半径 .
【答案】(1) ， ， ；
(2) ， .
【详解】（1）由题知扇形的半径 ，扇形的周长为30，
∴ ，
∴ ， ， .
（2）设扇形的圆心角 ，弧长 ，半径为 ，则 ，
∴ ，
∴
当且仅当 ，即 取等号，所以该扇形面积 的最大值为 ，此时扇形的半径为 .
15．（2023春·上海奉贤·高一校考阶段练习）已知角 的顶点在原点，始边与 轴的正半轴重合，终边经
过点 ，求 的值．
【答案】
【详解】因为角 的终边经过点 ，
所以 ， ， ，
所以 .
B能力提升
1．（2023春·山东潍坊·高一校考阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛
三角形的画法如下：先画等边三角形 ，再分别以点 为圆心，线段 长为半径画圆弧，便得到
莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为 ，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】莱洛三角形的周长为 ，可得弧长 ，
则等边三角形的边长 ，
分别以点A、B、C为圆心，圆弧 所对的扇形面积均为 ，等边 的面积 ，
所以莱洛三角形的面积是 .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓
形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作
圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB， ， 所围成的图形.若 ，则该拱券的面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设 的长为 .
所以扇形 的面积为 .
的面积为 .
所以该拱券的面积为 .
故选：D
3．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，
所以 .
故选：A．
4．（2023·高一课时练习）已知扇形的圆心角是 ，半径为 .
（1）若 ， 求扇形的弧长 .
（2）若扇形的周长为 ，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1） ；（2） ，扇形的面积取得最大值25.
【详解】解：（1） ， .
（2）由已知得， ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值25，此时 ， .
5．（2023秋·浙江衢州·高一统考期末）已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，
终边过点 ．（点 不与原点 重合）
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【详解】（1）∵ ，∴
∴ 或
（2）∵ ，∴
又∵ ,∴ ,即得∴ ．
C综合素养
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，
“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐
次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边
形与圆内接正 边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于正n边形，其圆心角为 ，面积为 ，对于正
边形，其圆心角为 ，
面积为 ，由此可得，
.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）2022年冬奥会在北京市和张家口市举行，北京也成为世界第一个“双奥”
之城，北京冬奥会向世界展现了阳光､自信､开放､充满希望的中国形象，为世人留下许多精彩瞬间，其中
“冰墩墩”给人留下了深刻印象，它的左手手心的爱心形状向世界表达了友好交流的寓意.如图，心形曲线
可以表示为 ，A为曲线上一点，记OA与x非负半轴所成的角为 ，则当
时， 可以是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由三角函数的定义，得 ，代入曲线方程有 ，则
，由选项：
若 时，
若 时，
若 时，
若 时，
故选：C.
3．（2023·高三课时练习）如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此
时圆上一点 的位置为（0，0），该圆沿 轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点 的坐标为
______.
【答案】
【详解】如图，作 轴， ， 为垂足.
根据题意得劣弧 ，则 ，于是在 中， ， ，
，
可得点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
所以点 的坐标为 .
故答案为： .4．（2023春·四川泸州·高一校考阶段练习）如图所示，有一块扇形钢板 ，面积是 平方米，其所在
圆的半径为1米.
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)现在钢板 上裁下一块平行四边形钢板 ，要求使裁下的钢板面积最大.设 ，试问如
何确定 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
【答案】(1)
(2) 是 的中点， 平方米
【详解】（1）依题意， ，
设 ，则 ， ，
即扇形圆心角的大小为 .
（2）连接 ，设 ，过 作 ，垂足为 ，
在 中， ，
所以 ，
设四边形 的面积为 ，则
，
由于 ， ， ，
所以当 ， 时， 取得最大值为 （平方米）.
所以当 是 的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为 平方米.
