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第3 题 取整与数列的碰撞 （解透一题）
【2024 年联赛模拟一试】
在数列
中，
，
，其中
表示不超过实数
的最大整数，则
______．
本题一阶递推关系式给出数列，同时将取整函数符号融入，具有相当创新性.新高考对创新
意识考察，主要体现在对问题进行归纳概括，得到猜想和规律，并加以验证.
【方法一】列举猜测通项
在求与高斯函数有关的值时，要充分利用高斯函数的意义，确定自变量的取
值范围后再求解，问题解决没有固定套路，故罗列观察，题目目标可以认为求出数列通项
即可确定
.如果整体的规律不容易发现，也可以分奇数项和偶数项观察.比如
，
，
，我们可以猜测奇数项乘等差数列.
根据已知条件罗列有：
．
;
;
;
……
猜想：
，所以
．故本题答案为2023．
如果问题以解答题呈现，我们需要严格证明，现在附以数学归纳证明如下
由题
，
若
，
，则
，
．
所以
．同理
，
若
，
，则
，
，
所以
．
．
【方法二】目标导引+相邻项关系
目标求
，题目暗示我们关注相邻两项的和.于是我们研究
的性质.
根据已知条件罗列有：
．
;
;
;
；
……
猜想：
，所以
．故本题答案为2023
本题是一道取整数列有关的问题，主要考查一阶递推数列．题目中涉及取整数列
，解
题的关键是在确定
的表达式，我们可由前面几项猜出数列
的通项，再用数学归纳法进
行证明．但对于我们陌生，或者递推关系比较抽象的数列问题，列举，观察，归纳，证明
是解决问题的一种行之有效的方式. 研究数列的根本方法是罗列，观察、归纳、猜想、证
明.
【典型例题】已知
，记
为
在区间
中的项的个数，求数列
的前
项和
．
【思路导引】通过分析数列
的规律，由此求得数列
的前
项和
.
【详细解析】由于
，所以
对应的区间为
，则
；
对应的区间分别为
，则
，即有2 个1；
对应的区间分别为
，则
，即有
个2；
对应的区间分别为
，则
，即有
个3；
对应的区间分别为
，则
，即有
个
4；
对应的区间分别为
，则
，即有
个
5；
对应的区间分别为
，则
，即有37
个6．
所以
．
【举一反三】
1．已知正项数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
（其中
表示不超过
的最大整数），求数列
的前100 项的和
.
【答案】(1)
(2)147
【分析】（1）先应用因式分解求出
,再利用
即可求出；
（2）根据数列特点采用分组求和法求解.
【详解】（1）因为
，所以
又因为
为正项数列,所以
,可得
当
时，
，
当
时，
，
将
代入上式验证显然适合，所以
.
（2）已知
,因为
，
，
，
所以
，
所以
.
【典型例题】设数列
满足
，
．计算a2，a3，猜想
的通项公式并
加以证明.
【思路导引】通过罗列猜测
为等差数列，故
为常数列.
【详细解析】由题意可得
，
，
由数列
的前三项可猜想数列
是以为首项，2 为公差的等差数列，即
．
证明：因为
，所以
，
即
，故
所以
故
.
【举一反三】
2．
为等差数列
的前n 项和，且
记
，其中
表示不超过x 的
最大整数，如
.
(1)求
；
(2)求数列
的前1000 项和.
【答案】(1)
(2)1893.
【分析】（1）先求公差、可得通项
，再根据已知条件求
；
（2）用分段函数表示
，再求数列
的前1 000 项和．
【详解】（1）设
的公差为
，根据等差数列的前n 项和公式得：
，
则解得
所以
的通项公式为
即
（2）根据
可得：
所以数列
的前
项和为
3．定义
表示不超过x 的最大整数，例如，
，
．函数
，
当
，
时，
的值域为
，记集合
中元素的个数为
，则
，
．
【答案】
【分析】根据题意可得
，
，
，此区间段内
有
个
元素，
，
，
，此时
有1 个元素，从而可求出
，再利用裂项相消
求和法可求出
【详解】
，
，
，此区间段内
有1 个元素，
，
，
，此区间段内
有1 个元素，
，
，
，此区间段内
有2 个元素，
，
，
，此区间段内
有3 个元素，
……
，
，
，此区间段内
有
个元素，
，
，
，此时
有1 个元素，
∴
，
，
，
故答案为：
，
4．用
表示不超过x 的最大整数，例如
，
，
．已知数列
满
足
，
，则
.
【答案】2022
【分析】先判断数列的单调性，再对递推公式取倒数变形，最后根据题中定义，结合数列
的单调性进行和裂项求和求解即可.
【详解】由题意
，所以数列
为递增数列.
由
，
两边取倒数，可得：
.
所以
，
所以
.
因为
，
，所以
.
所以
，
即
.
故答案为：2022
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键一是对递推公式的取倒数变形；二是判断数列的单
调性.
5．设高斯函数
表示不超过
的最大整数（如
），已知
，则
；
．
【答案】 4285 2
【分析】由
的定义求出
即可,求出
，
，
，
，
，
，
判断出
是一个以周
期为6 的周期数列，求出
即可．
【详解】
.
，
∴
，
，
，
同理可得：
；
；
，
；
，
，…
∴
.
故
是一个以周期为6 的周期数列，
则
.
故答案为：4285，2.
【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出
是一个以周期为6 的周期数列，由此即可
顺利得解.
6．在不大于
的正整数中，所有既不能被2 整除也不能被3 整除的数的个
数记为
.
表示不超过x 的最大整数，令
，则
.
【答案】500
【分析】根据在不大于
的所有正整数中，能被2，3，6 整除的数的个数，得到
，从而得到
，当
时，
求解.
【详解】解：因为在不大于
的所有正整数中，能被2 整除的数有
个，能被3 整除的数
有
个，能被6 整除的数有
个，
所以
，
当
时，
，则
，
当
时，
，
则当
时，
，
因为
，所以
，则
，所以
，
所以
，
故答案为：500
7．定义“规范01 数列”{an}如下：{an}共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意
，
中0 的个数不少于1 的个数.若m=4，则不同的“规范01 数列”共有
A．18 个
B．16 个
C．14 个
D．12 个
【答案】C
【详解】试题分析：由题意，得必有
，
，则具体的排法列表如下：
,01010011;010101011,共14 个
【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求
计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到
出奇制胜的效果．
