文档文本内容
第 01 讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背............................................................2
第二部分：高考真题回归..........................................................4
第三部分：高频考点一遍过........................................................6
高频考点一：象限角..........................................................6
角度1：确定已知角所在象限...............................................6
角度2：由已知角所在的象限确定某角的范围.................................7
角度3：确定 倍角（分角）所在象限........................................9
高频考点二：区域角.........................................................12
高频考点三：终边相同的角...................................................16
高频考点四：角度制与弧制度的相互转化.......................................18
高频考点五：弧长公式与扇形面积公式.........................................20
角度1：弧长的有关计算..................................................20
角度2：与扇形面积有关的计算............................................22
角度3：扇形中的最值问题................................................25
角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用....................................29
高频考点六：任意角的三角函数...............................................33
角度1：单位圆法与三角函数..............................................33
角度2：终边上任意点法与三角函数........................................35
角度3：三角函数值符号的判定............................................38
高频考点七：三角函数线.....................................................40
高频考点八：解三角不等式...................................................44
第四部分：数学文化题...........................................................49
第五部分：高考新题型...........................................................53
①开放性试题...............................................................53
第六部分：数学思想方法.........................................................53
①函数与方程的思想.........................................................53
②数形结合的思想...........................................................54
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
③终边相同的角：
终边与角 相同的角可写成 ．
2、弧度制的定义和公式
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零， ， 是以角 作为圆心
角时所对圆弧的长， 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值 与所取的 的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算： ； ．
若一个角的弧度数为 ，角度数为 ，则 ， ．
3、任意角的三角函数
3.1.单位圆定义法：
任意角的三角函数定义：设 是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点 ，那么
（1）点 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作 ；
（2）点 的横坐标叫角α的余弦函数，记作 ；
（3）点 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作 （ ）.它们都是以角为自变
量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
3.2.终边上任意点法：
设 是角 终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为 （ ）那么：； ； （ ）
角
不存在
4、扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角大小为 ，则 变形可得 ，此公式称为弧长
公式，其中 的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
5、三角函数线
三角函数线
正弦线： 余弦线： 正切线：
6、常用结论
（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制与弧度制可利用 进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，
不可混淆.
角度制弧度制
（3）象限角：
象限角 集合 区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
（4）轴线角
角 终边所在位置 角度制 弧度制
角 终边在 轴非负半轴
角 终边在 轴非正半轴
角 终边在 轴非负半轴
角 终边在 轴非正半轴
角 终边在 轴上
角 终边在 轴上
角 终边在坐标轴上
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算
圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上，
．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时，
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接 ，
因为 是 的中点，
所以 ，
又 ，所以 三点共线，
即 ，
又 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以 .
故选：B.
2．（2021·北京·统考高考真题）若点 关于 轴对称点为 ，写出 的一个
取值为___．
【答案】 （满足 即可）
【详解】 与 关于 轴对称，即 关于 轴对称，
，
则 ，
当 时，可取 的一个值为 .
故答案为： （满足 即可）.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：象限角
角度1：确定已知角所在象限
典型例题
例题1．（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）给出下列四个命题：① 是第四象限
角；② 是第三象限角；③ 是第二象限角；④ 是第一象限角．其中正确命题的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】对①： 是第四象限角，故①正确；
对②： ，故其为第三象限角，故②正确；
对③： ，又 是第四象限角，故 是第四象限角，③不正确；
对④： ，又 是 轴的负半轴，故 不是象限角，④不正确.
故正确的有2个.
故选：B.例题2．（2023·全国·高一专题练习）若 是第二象限角，则 是第______象限角．
【答案】一
【详解】若α是第二象限角，则 ， ，
所以 ， ，
即 ， ，
所以180°－α是第一象限角．
故答案为：一.
练透核心考点
1．（2023春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）若 是第一象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【详解】根据题意可知角 的范围为 ， ，
则 的范围为 ， ，
由此可得 是第三象限角.
故选：C
2．（2023春·江西南昌·高一南昌十中校考阶段练习）已知角 ，则 的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】因为 ，而 ，
所以 的终边在第三象限.
故选：C.
3．（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习） 是第______象限角.
【答案】二
【详解】 ．而 是第二象限角，
因此 是第二象限角．
故答案为：二
角度2：由已知角所在的象限确定某角的范围
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若 是第四象限角，则 是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【详解】 是第四象限角，则 ， ，则 ， ，在第二象限.
故选：B.
例题2．（多选）（2023秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）若角 是第二象限角，则下列各
角中是第三象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为角 是第二象限角，所以 ， ，
对于A ， ， ，故 是第三象限角，故A正确；
对于B， ， ，故 是第一象限角，故B不正确；
对于C ， ， ，故 是第三象限角，故C正确；
对于D， , ,故 是第三象限角或 轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确.
故选：AC
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则90º－α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【详解】由题知， ， ，
则 ，在第二象限，
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则π－α是第（ ）象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【详解】∵α是第四象限角，
∴－ ＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－2kπ<－α<－2kπ＋ ，k∈Z，
∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋ π，k∈Z，
故π－α是第三象限角.故选：C
3．（2023·河南濮阳·高一濮阳一高校考）已知 为第三象限角，则 为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【详解】因为 是第三象限角，故可令 ，则 ，是第四象限角．
故选：D．
角度3：确定 倍角（分角）所在象限
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知 是锐角，那么 是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
【答案】C
【详解】因为 是锐角,所以 ,所以 ,满足小于180°的正角.
其中D选项不包括 ，故错误.
故选：C
例题2．（多选）（2023·高一课时练习）若 是第二象限角，则（ ）
A． 是第一象限角 B． 是第一或第三象限角
C． 是第二象限角 D． 是第三或第四象限角或 轴负半轴上
【答案】BD
【详解】因为 是第二象限角，可得 ,
对于A中，可得 ，此时 位于第三象限，所以A错误；
对于B中，可得 ，
当 为偶数时， 位于第一象限；当 为奇数时， 位于第三象限，所以B正确；
对于C中，可得 ，
即 ，所以 位于第一象限，所以C不正确；对于D中，可得 ，所以 位于第三、第四象限角或 轴负半轴，所以D正
确.
故选：BD
例题3．（2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考阶段练习）已知 是第二象限角，则 终边在第
__________象限.
【答案】一或三
【详解】由题意知 ，
则 ，
当 时， ，
此时 终边在第一象限，
当 时， ，
此时 终边在第三象限.
所以 终边在第一和三象限.
故答案为：一或三.
例题4．（2023·高一课时练习）若角 是第二象限角，试确定 ， 的终边所在位置．
【答案】角 的终边落在第三象限、第四象限或 轴的负半轴；角 的终边落在第一象限、第三象限
【详解】由于角 是第二象限角，
所以 ，
所以 ， ，
所以角 的终边落在第三象限、第四象限或 轴的负半轴，
角 的终边落在第一象限、第三象限.
练透核心考点
1．（多选）（2023春·全国·高一校联考开学考试）已知角 的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴
上，终边在第二象限，则角2 的终边可能在（ ）
A．x轴的负半轴上 B．y轴的负半轴上 C．第三象限 D．第四象限【答案】BCD
【详解】由题意得， ， ，则 ， ，故角2 的终边可
能在第三象限、y轴的负半轴、第四象限上.
故选：BCD.
2．（多选）（2023春·江西赣州·高一兴国中学校考阶段练习）已知角 是第一象限角，则角 可能在以下
哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABC
【详解】解：因为角 是第一象限角，所以 ， ，所以 ， ， 当
， 时， ， ， 位于第一象限，当 ， 时，
， ， 位于第二象限，当 ， 时， ，
， 位于第三象限，综上可得 位于第一、二、三象限；
故选：ABC
3．（多选）（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知 为第四象限角，则 可能为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BCD
【详解】由题意知 为第四象限角，则 ,
则 ，
当 时， ， 为第四象限角，
当 时， ， 为第二象限角，
当 时， ， 为第三象限角，
即 可能为第二、三、四象限角，不可能为第一象限角，
故选：高频考点二：区域角
典型例题
例题1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）集合 中角所表示的范围
(阴影部分)是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：分 为偶数和 为奇数讨论，即可得到答案.
详解：由集合 ，
当 为偶数时，集合 与 表示相同的角，位于第一象限；
当 为奇数时，集合 与 表示相同的角，位于第三象限；
所以集合 中表示的角的范围为选项C，故选C.
例题2．（2023春·广西钦州·高一浦北中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边
界）的角 的集合是______．
【答案】
【详解】因为终边落在射线OA上的角的集合是为 ，
终边落在射线OB上的角的集合为 ．所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角 的集合是 ．
故答案为：
例题3．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）用弧度制表示终边落在下列阴影部分
的角.
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据图象可知，
阴影部分表示的角为
（2）根据图象可知，
阴影部分表示的角为 .
例题4．（2023·高一课时练习）如下图，终边落在 位置时的角的集合是__________；终边落在 位
置，且在 内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______．【答案】
【详解】由题意以 为终边的一个角是 ，因此以 为终边的角的集合是 ；
以 为终边的角的集合是 ，在已知范围内的有 两个角，集合表示为
；
∴终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为 ．
故答案为： ； ； ．
练透核心考点
1．（2023春·江西宜春·高一江西省铜鼓中学校考阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非
负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合______．
【答案】
【详解】阴影部分内的角的集合为
故答案为： .
2．（2023·全国·高一专题练习）写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合．（包括边界）【答案】（1） （2）
【详解】解：（1）图中阴影区域内的角的集合为
（2）图中阴影区域内的角的集合为
3．（2023·高一课时练习）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是
________．
【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是 ,
所以角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．
故答案为：{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
4．（2023·高一课时练习）如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（1）终边落在射线 上；（2）终边落在直线 上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）终边落在射线 上的角的集合为 ；
（2）终边落在直线 上的角的集合为 ；
（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为 ，
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为
，
因此，终边落在阴影区域内的角的集合为
.
高频考点三：终边相同的角
典型例题
例题1．（2023春·山东济宁·高一校考阶段练习）与 终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，
∴与 终边相同的角是 .
故选：D
例题2．（2023·全国·高一专题练习）下列各组中，终边相同的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】C【详解】对A， 与 终边相同， 与 终边相同，A错；
对B， 与 终边相同， 与 终边相同，B错；
对C， 与 终边相同， 与 终边相同，C对；
对D， 与 终边相同， 与 终边相同，D错.
故选：C
例题3．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）已知角 .
(1)将 改写成 的形式，并指出 是第几象限的角；
(2)在区间 上找出与 终边相同的角．
【答案】(1) ，第二象限角
(2) 和
【详解】（1） ，
因为 为第二象限，所以 是第二象限角；
（2）与 终边相同的角可以写出 ，
由 ，
得当 时， ，
当 时， ，
所以在区间 上与 终边相同的角为 和 ．
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）终边落在直线 上的角 的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】易得 的倾斜角为 ，当终边在第一象限时， ， ；当终边在第三象
限时， ， ．所以角 的集合为 ．
故选：B
2．（2023春·北京·高一北理工附中校考阶段练习）与角 终边相同的角是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A错, ,与角 终边不同；
B正确, ,当 时,得 上的角为 ,与角 有相同的终边；
C错, ,当 时,得 上的角为 ,与角 终边不同；
D错, ,当 时,得 上的角为 ,与角 终边不同,
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）若角 的终边在函数 的图象上，试写出角 的集合为_________．
【答案】
【详解】解：函数 的图象是第二、四象限的平分线，在 ～ 范围内，以第二象限射线为终边的
角为 ，以第四象限射线为终边的角为 ，
∴ 的集合为 或 ．
故答案为： ．
高频考点四：角度制与弧制度的相互转化
典型例题
例题1．（2023春·北京·高一校考阶段练习）在单位圆中， 的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，因为半径为 ，所以 的圆心角所对的弧长为 ，
故选：B
例题2．（2023·全国·高一专题练习）将－1485°化成 的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ， ， ，所以－1485°可化成 ．
故选：D．
例题3．（2023秋·山西太原·高一太原市进山中学校校考期末）把弧度化成角度： ______
【答案】
【详解】 ，
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）把 化成角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，
故选：B
2．（2023·新疆和田·高一校考）将 化为弧度为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
所以 .
故选：D.
3．（2023·高一单元测试）将﹣300°化为弧度为_______．
【答案】【详解】
高频考点五：弧长公式与扇形面积公式
角度1：弧长的有关计算
典型例题
例题1．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）在直径为4cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以72°的圆心角所对的弧长为 .
故选：A.
例题2．（2023春·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）已知扇形的周长为6，圆心角
的弧度数是4，则该扇形的弧长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】设扇形的半径为 ，圆心角为 ，弧长为 ，
则周长为6得： ，
所以扇形的弧长为： ，
故选：B.
例题3．（2023春·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知扇形的面积为9，圆心角为
2rad，则扇形的弧长为______．
【答案】6
【详解】设半径为 ，弧长为 ，
由题得， ， ，
②代入①得， ，所以 ，则 .
故答案为：6
例题4．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）已知一个扇形的弧所对的圆心角是 ，半径
，则该扇形的周长是______．【答案】
【详解】根据题意可得，扇形弧长为
则扇形的周长为
故答案为:
练透核心考点
1．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）秀峰公园里有块周长为46米的扇形花田，其弧长30米，则
这块扇形花田的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．120
【答案】A
【详解】设扇形的圆心角为 ，半径为 ,弧长为 ，
则由扇形的周长为46得： ，所以
则 ，
故选：A.
2．（2023春·山东济宁·高一校考阶段练习）已知扇形的周长为 ，面积为 ，则该扇形的圆心角
的弧度数为（ ）
A．1或4 B．4 C．2或4 D．2
【答案】A
【详解】解：设扇形所在圆的半径为 ，弧长为 ，由扇形的周长为6，面积为2，
所以， ，解得 或 ，
由弧长公式 ，得 ，
所以，当 ， 时，可得 ；
当 ， 时，可得 ．以上均满足条件．
所以，该扇形的圆心角 的弧度数为1或4.
故选：A
3．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知扇形的面积为 ，该扇形圆心角的
弧度数是1，则扇形的弧长为__________ .
【答案】【详解】设扇形的半径以及弧长分别为 ,故由面积公式可得 ,所以弧长为
，
故答案为：
4．（2023秋·安徽马鞍山·高一统考期末）已知扇形的半径为 ，面积为 ，那么该扇形的弧长为
________.
【答案】
【详解】解：因为扇形的面积公式为 ，
所以 .
故答案为：
角度2：与扇形面积有关的计算
典型例题
例题1．（2023春·山东潍坊·高一山东省潍坊第四中学校考阶段练习）扇面书画在中国传统绘画中由来
已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐
的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则
该扇面画的面积约为（ ）（ ）
A．185 B．180 C．119 D．120
【答案】C
【详解】设外弧长为 ，外弧半径为 ，内弧长为 ，内弧半径为 ，该扇面所在扇形的圆心角为 ,
∵扇形的弧长为 ，
∴ ， ，
∵扇形的面积为 ，
∴该扇面画的面积为 ，
故选：C．
例题2．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所
示，则该玉雕的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，设 ， ，
由弧长公式可得 ，
解得 ， ，
设扇形 ，扇形 的面积分别为 ， ，
则该壁画的扇面面积约为 ．
故选：A
例题3．（2023秋·广东深圳·高一校考期末）已知扇形的圆心角为 ，其弧长为 ，则此扇形的面积
为___________.
【答案】
【详解】∵ ，∴ ，∴扇形面积 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中学校考阶段练习）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为
“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧 长度是 ，弧 长度是 ，几何图形 面积为 ，扇形
面积为 ，若 ，则 （ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
故选：D
2．（2023春·江西上饶·高一校联考阶段练习）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，
折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图，这是折
扇的示意图，已知D为OA的中点， ， ，则此扇面（扇环ABCD）部分的面积是
_________.
【答案】
【详解】由题意可得整个折扇扇形的半径 ，圆心角 ，
故扇面面积 ，
故答案为：
3．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）若圆的半径是2 ，则30°的圆心角与圆
弧所围成的扇形的面积是__________ （请用弧度制表示）.
【答案】 ##
【详解】 ，扇形的面积公式为： .故答案为： .
角度3：扇形中的最值问题
典型例题
例题1．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值
时，圆心角大小为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ，由已知得 ，
扇形面积为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，则圆心角 ，
故选：D.
例题2．（2023·高一课时练习）已知扇形 的圆心角为 ，周长为4.那么当其面积取得最大值时，
的值是______.
【答案】2
【详解】设扇形所在圆的半径为 ，
由题意， ， ，所以 ，
因此扇形面积为： ，
当且仅当 ，即 时，取得最大值.
故答案为： .
例题3．（2023·高一单元测试）一个扇形的周长是20cm，问它的半径 多大时，此扇形的面积最大？最
大面积为多少？
【答案】当半径为5cm时，此扇形的面积的取到最大值
【详解】设半径为r，弧长为l，则 ，即 ，
，
当 时， 取到最大值25，
故当半径为5cm时，此扇形的面积取到最大值 .例题4．（2023春·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）如图，在扇形 中，
的平分线交扇形弧于点 ，点 是扇形弧 上的一点（不包含端点），
过 作 的垂线交扇形弧于另一点 ，分别过 作 的平行线，交 于点 ．
(1)若 ，求 ；
(2)设 ，求四边形 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知 关于 对称，连接 ，记 与 的交点分别为 ，
则 ，
故 ，
则 ，
故 .
（2）连接 ，记 与 的交点分别为 ， ，
则 ，， ，
，
所以四边形 的面积
，
因为 ， ，
所以当 ，即 时， 取到最大值1，
故 .
练透核心考点
1．（2023春·山东威海·高一校考阶段练习）已知扇形的周长为 ，则该扇形的面积S最大时，圆心角的
大小为（ ）．
A．4弧度 B．3弧度 C．2弧度 D．1弧度
【答案】C
【详解】设扇形半径为r，弧长为l．
∵扇形的周长为 ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴当半径 时，扇形的面积最大，为 ，
此时， ．
故选：C
2．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为 ，半径为R，弧长为l．
(1)若 ， ，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
【答案】(1)
(2)扇形周长的最小值为 ，此时
【详解】（1）因为 ， ，
所以扇形的弧长 ；（2）由扇形面积 ，得 ，
则扇形周长为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
此时， ，所以 ，
所以扇形周长的最小值为 ，此时 .
3．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传
牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形 挖去扇形 后构成的)．已知 米， 米
，线段 、线段 与弧 、弧 的长度之和为 米，圆心角为 弧度．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为 ，试问 取何值时， 的值最大?并求出最大值．
【答案】(1) ；
(2)当 时，y的值最大，最大值为 ．
【详解】（1）根据题意，弧 的长度为 米，弧 的长度 米，
，
．
（2）依据题意，可知 ，
化简得： ， ，
当 ， ．
∴当 时，y的值最大，且最大值为 ．
4．（2023·高一课时练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，
“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角 为 ，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角 是 ，半径为 ，若该扇形周长是一定值 当 为多少弧度时，
该扇形面积最大？
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）由题意，如下图示 ，令圆弧的半径为 ， ，
∴ ，即 ，得 ，
∴弧田面积 ，而 ，
∴ .
（2）由题意知：弧长 为 ，即该扇形周长 ，而扇形面积 ，
∴ 当且仅当 时等号成立.
∴当 时，该扇形面积最大.角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用
典型例题
例题1．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）设圆心角为 的扇形的弧长为 ，面积为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设扇形的半径为 ，则 ，所以
又 .
故选：D.
例题2．（2023春·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体
II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水
滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段 和圆的优弧 围成，其中 恰好与
圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点 到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，
设圆弧所在圆的圆心为 ，连接 ，依题意得 ，
且 ，则 ，所以 ，
所以该封闭图形的面积为 .
故选：A.
例题3．（2023·高三课时练习）已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形
的面积最大？最大面积是多少？
【答案】当扇形的半径为 ，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积是 .
【详解】设扇形的半径是 ，扇形的弧长为 ，圆心角的弧度数是 ，
则 ， .
扇形的面积 ，
可得当 时， ，
又 ，所以 .
所以，当扇形的半径为 ，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积是 .
例题4．（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习）某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民
休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园．经过测量，扇形空地的半径为600m， ．在其中圈
出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且 ．
(1)求扇形空地的面积；
(2)求矩形场地 的最大面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）扇形面积 ．
（2）如图，记弧 的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，设 ，则 ，
．
所以矩形面积
= ．
所以当 时，矩形场地CDEF的面积取得最大值，且最大值为 ．
练透核心考点
1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）若扇形的周长为定值 ，圆心角为
，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ，
因此 ，
扇形的面积 ，
由二次函数性质可知，当 时，扇形面积取到最大值；
此时 ， .
故选：B
2．（2023春·上海宝山·高二校考阶段练习）已知圆锥的高 ，它的侧面展开图的扇形圆心角为216°，
求其全面积__________．
【答案】
【详解】解：设底面半径为 ，母线长 ，
则有 ，解得 ，
所有 ，
故答案为： .
3．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下
的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为 ，则当该纸叠扇的
周长最小时， 的长度为______cm.
【答案】
【详解】设扇形ABC的半径为 ，弧长为 ，则扇形面积 .
由题意得 ，所以 .
所以纸叠扇的周长 ，
当且仅当 即 ， 时，等号成立，
所以此时 的长度为 .
故答案为：
4．（2023春·北京·高一北理工附中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为 ．若
， ，扇形的弧长为______；若扇形的周长为16，该扇形面积的最大值______.
【答案】 16
【详解】对于①，扇形的弧长 ；
对于②，设半径为r，圆心角为 （ ） ，则有 ，
扇形面积，当且仅当 ，即 时等号成立；
故答案为：① ，②16.
高频考点六：任意角的三角函数
角度1：单位圆法与三角函数
典型例题
例题1．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）已知角 的终边与单位圆的交于点 ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由三角函数的定义可得 .
故选：A.
例题2．（2023秋·四川眉山·高一仁寿一中校考期末）设角 的终边经过点 ，那么
等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】解：因为角 的终边经过点 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
例题3．（2023秋·天津河西·高一统考期末）已知角 的终边经过点 那么 的值是
_______.
【答案】【详解】因为角 的终边经过点
所以 为第二象限角， ，
由三角函数的定义可得 ，故答案为 .
练透核心考点
1．（2023春·西藏拉萨·高三拉萨中学校考阶段练习）已知角 的终边与单位圆相交于点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵已知角 的终边与单位圆相交于点 ，
∴ .
故选：A.
2．（2023春·北京·高一校考阶段练习）已知角 的终边经过点 ，则 __________，
__________， __________.
【答案】 ## ##0.5 ##
【详解】由题设， ， ，则 .
故答案为： ， ，
3．（2023秋·天津静海·高一静海一中校考期末）角 的终边与单位圆上半圆交于 ，则
_______
【答案】
【详解】解：由题意
角 的终边与单位圆上半圆交于 ，则 ，由 ，
解得： ，
∴ .
故答案为： .
角度2：终边上任意点法与三角函数
典型例题
例题1．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）若角 的终边经过点 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】角 的终边经过点 ，则 ，
所以 .
故选：C
例题2．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）角 的终边经过点 ，则
的值为________.
【答案】 ##-0.3
【详解】∵ ， ，∴ ，
∴ ；
∴ ，
故 ．
故答案为： ．
例题3．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知角 的顶点在原点，始边与 轴非负半轴重合，点 是角 终边上的一点，则 ______．
【答案】
【详解】∵角 的顶点在原点，始边与 轴非负半轴重合，点 是角 终边上的一点，
∴ ，
∴ ， ，
∴
故答案为：
例题4．（2023春·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知角 的终边上有一点
，且 ．
(1)求 的值;
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）依题意得，由
（2）由（1）可知 ，
当 时，此时 ， ，
当 时，此时 ， ，
综上所述： 的值为 或 .
练透核心考点
1．（2023春·广西钦州·高一校考阶段练习）已知角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为角 的终边经过点 ， ，
所以 .
故选：A2．（2023春·北京·高一北理工附中校考阶段练习）若角 的终边上有一点 ，则
______．
【答案】
【详解】由题意，P点在第一象限，P到原点的距离为 ，由正余弦的定义可知：
；
故答案为： .
3．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）若角 的终边上有一点 ，则实数
a的值为_________．
【答案】
【详解】角 的终边上有一点 ,
则 ，
，
解得 .
故答案为： .
4．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）已知角 终边经过点 ，且
，则 的值为_________．
【答案】 ##
【详解】 ， ， .
故答案为： .
5．（2023春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）已知 为第二象限角，点 在其终边
上，且 ，则 ______．
【答案】
【详解】根据三角函数定义 ，解得 ，因为 为第二象限角，所以 ，
所以 .
故答案为： .
角度3：三角函数值符号的判定
典型例题
例题1．（2023春·江西·高一江西师大附中校考阶段练习）下列函数值：① ；②
；③ ；④ ，其结果为负值的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【详解】对于①： ，
对于②： ，
对于③： ，
因为 ，所以 ，即 ，
对于④：因为 ，所以 .
故选：C
例题2．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）若 ，且 ，则角 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【详解】由 ，可得 为第三、第四象限角及 轴非正半轴上的角；
由 ，可得 为第一、第四及 轴非负半轴上的角．
取交集可得， 是第四象限角．
故选：D．
例题3．（多选）（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）若 在第一象限，则下列选项中，一定为正
数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】 在第一象限， ，，故 是第一或第三象限角，
因而 一定为正， 可能为正，可能为负，故C正确，D错误；
又 是第一或第二象限角或终边在 轴正半轴上，故 恒正， 可正可
负或为0，故 正确，B错误，
故选：AC.
练透核心考点
1．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）若 ，且 ，则角 是第（ ）象限角．
A．二 B．三 C．一或三 D．二或四
【答案】D
【详解】由条件知 与 异号，则 为第二或第三象限角；又 与 异号，则 为第三或第
四象限角
所以 为第三象限角，即 ，
，
为第二或第四象限角.
故选：D.
2．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习） 的符号为（ ）
A．正 B．0 C．负 D．无法确定
【答案】C
【详解】由1弧度为第一象限角，2弧度为第二象限角，3弧度为第二象限角，4弧度为第三象限角，
则 ， ， ， ，
所以 ．
故选：C．
3．（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）若 是第三象限角，则下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 是第三象限角
，
，A正确；
，B错误；，C错误；
，D错误.
故选：A.
高频考点七：三角函数线
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）如图，已知点 是单位圆与 轴的交点，角 的终边与单位圆的交点为
， 轴于 ，过点 作单位圆的切线交角 的终边于 ，则角 的正弦线、余弦线、正切线分别
是（ ）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【答案】D
【详解】由题图， ， ， ，而 ，
所以角 的正弦线、余弦线、正切线分别是 ， ， .
故选：D
例题2．（2023·高一课时练习）利用单位圆分别写出符合下列条件的角 的集合：
（1） ；（2） ；（3） .
【答案】（1） 或 ；（2） 或 ；
（3） ．
【详解】解 （1） 作出如图所示的图形，则根据图形可得或 ；
（2）作出如图所示的图形，则根据图形可得 或 ；
（3）作出如图所示的图形，则根据图形可得 ．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）设 、 和 分别是角 的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的
是A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】分别作角 的正弦、余弦和正切线,如图,
.
.
故选:BC.
2．（2023·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析
【详解】（1）作出单位圆，交角 的终边于P，过P作 轴于点M，
过点 作 轴，交角 的终边于T，如下图所示，
则角 的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（2）作出单位圆，交角 的终边于P，过P作 轴于点M，过点 作 轴，交角 的终边反向延长线于T，如下图所示，
则角 的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（3）作出单位圆，交角 的终边于P，过P作 轴于点M，
过点 作 轴，交角 的终边于点T，如下图所示，
则角 的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（4）因为 ，所以角 与角 的终边相同，
作出单位圆，交角 的终边于P，过P作 轴于点M，
过点 作 轴，交角 的终边的反向延长线于T，如下图所示，
则角 的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.高频考点八：解三角不等式
典型例题
例题1．（2023·高一单元测试）在 上，利用单位圆，得到 成立的 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，
在单位圆中，设 ，则 ， ， ，
由图形可得在第一象限 均大于0， 在第一象限恒成立，即 在第一象限
恒成立，以 为分界线，当 时， 即 ，当 时， 即
；综上 在第一象限无解；
由图形可得在第二象限 大于0， 均小于0，所以 在第二象限无解；
由图形可得在第三象限 小于0， 大于0，所以 在第三象限无解；
有图形可得在第四象限 大于0， 小于0，且 恒成立，即 在 恒成立，所以 在第四象限的解为 ，
综上 在 的解集为 ，
故选：C
例题2．（2023·高一课时练习）若 ，且 ， ，则角 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D． ∪
【答案】D
【详解】角α的取值范围为图中阴影部分如下所示吧：
即 ∪
故选： .
例题3．（2023·高一课时练习）求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） .【答案】（1） ；
（2） .
【详解】（1）∵ ，∴ ，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图①所示，
可得 .
①
（2）∵ ∴ ，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图②所示，可
得 .
②
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）设 ，使 且 同时成立的 取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】因为 ，由正弦曲线得： 时，
由余弦曲线得： 时， ，
因为 ，
所以 且 同时成立的x的取值范围是
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝lg(2sinx－1)＋ 的定义域为__________________.
【答案】
【详解】要使原函数有意义，必须有 即 ，
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，
解集为 ,取交集可得
原函数的定义域为
故答案为：
3．（2023·高一课时练习）利用单位圆中的三角函数线 ，分别确定角 的取值范围.
(1) ;
(2) .
【答案】(1) .(2) 或
【详解】（1）下图中阴影部分就是满足条件的角 的范围，
即 ；
（2）下图中阴影部分就是满足条件的角 的范围，
即 或 ；
故答案为： ，
或 .
第四部分：数学文化题
1．（2023秋·河南郑州·高一统考期末）英国浪漫主义诗人 (雪莱)在《西风颂》结尾写道“
”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的
节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为 等份，每等份为一个节
气.2019年12 月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题可得每一等份为 ，
从冬至到次年立春经历了 等份，即 .
故答案为：A.
2．（2023·陕西西安·统考二模）折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图
1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为 ，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为 （
为弧度角），则 ､d和 所满足的恒等关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】过点O作 于D，则 ，
则 ，则
故选：A
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周
初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳
光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10
寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北
两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部
为 ，太阳光线通过顶部 投影到“圭”上的点为 ．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的 ，记甲地
中直线 与地面所成的角为 ，且 ．则甲、乙两地之间的距离约为（ ）
A．10千里 B．12千里 C．14千里 D．16千里
【答案】B
【详解】依题意，甲地中线段AB的长为 寸，则甲地的日影长为 寸，
于是乙地的日影长为 寸，甲、乙两地的日影长相差12寸，
所以甲、乙两地之间的距离是12千里.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总
结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围
成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积= （弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误
差.现有圆心角为 ，弦长为 的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差
为_____________平方米.（其中 ， ）
【答案】16
【详解】解：因为圆心角为 ，弦长为 ，所以圆心到弦的距离为20m，半径为40m，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为 平方米，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为 平方米，
因此两者之差为 平方米.
故答案为：16.
5．（2023春·河南平顶山·高一汝州市第一高级中学校联考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》方田
篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；
周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式：扇形面积 ．
(1)已知甲宛田的面积为2，周为2，求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数；
(2)若乙宛田的面积为2，求乙宛田径与周之和的最小值．
【答案】(1)2，1
(2)
【详解】（1）由题意得 ，得径 ，
则扇形的半径为2，所以甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数为 ．
（2）设乙宛田的弧长为l，径为d，则 ，得 ，
所以乙宛田径与周之和为 ，
当且仅当 时，等号成立．
故乙宛田径与周之和的最小值为 ．第五部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023春·河南平顶山·高一汝州市第一高级中学校联考阶段练习）写出一个与 终边相同的正
角： ______．（用弧度数表示）
【答案】 ，( 写出一个即可)
【详解】因为 ，
所以与 终边相同的正角为 ,写出一个即可为 .
故答案为： .
2．（2023秋·湖北十堰·高一统考期末）写出一个与 终边相同的角：__________.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】与 终边相同的角的集合为 ，
取 ，则 ，（ 取值时， 即可）.
故答案为： （答案不唯一）.
第六部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2014春·广东云浮·高一阶段练习）已知角 的终边上有一点（– 1，2），则 的值为 （ ）
A． B． C． D．– 2
【答案】A
【详解】试题分析： 角 的终边过 ， ， .
2．（多选）（2023·高一课时练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AD
【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ，
则 解得 或 ，
又圆心角 ，
所以 或 .
故选：AD.
3．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）一个扇形的弧长和面积都为1，则此扇形的圆心角的弧度
数为________.
【答案】 ##
【详解】设此扇形的圆心角的弧度数为 ，半径为 ，弧长为 ，则 ，解得 .
故答案为：
②数形结合的思想
1．（多选）（2023春·湖北恩施·高一校考阶段练习）下列大小关系正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】因为 ， ，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，A错误；
如图以原点为顶点， 轴的正半轴为始边，作角 ， ，记角 的终边与单位圆的交点为 ，则劣弧 的长度为 ，
过点 作 ，垂足为 ，过点 作单位圆的切线，交射线 与点 ，
则 ， ，
又线段 的长度小于劣弧 的长度，线段 的长度大于劣弧 的长度，
所以 ，
所以 ，B正确，
，故C错误；
因为 ，
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，D正确；
故选：BD.
2．（2023·高一课时练习）已知 ，则 的取值范围是______．
【答案】【详解】如图，作出单位圆中的三角函数线，则有 ， ， ，
在 中， ，
∴ ,
又 ，
∴ 即 ，
当且仅当 取等号，
∴ ，
故答案为： .
3．（2023春·山东威海·高一校考阶段练习）不等式 在区间 上的解集为______．
【答案】
【详解】如图所示，由于 ，
所以在 上 的解集为 ．
故答案为：
