培优专题01 三角函数与解三角形 6 大重难题型
参考答案
题型01 三角函数化简及图象、性质问题
🎯命题方向一 三角函数概念及三角恒等变换
1 .【答案】（1）
2
4
（2）
9
2,
8
【分析】（1）利用两角和的三角函数公式写出Q 点的坐标表达式，进而得到m
n
的三角函数式并计算.
（2）利用Q 点在圆上的条件将
2
2
m
n
n
转化为关于n 的表达式，再根据的范围，利用三角函数和二
次函数的性质求取值范围.
【详解】（1）设射线
OP
与x 正半轴的夹角为
，则
1
cos
4
，
15
sin
4
，
由三角函数定义可知
cos(
)
m
，
sin(
)
n
，
因为
π
4
，则
π
π
π
π
cos
sin
2 sin
2 cos
4
4
4
4
m
n
，
所以
2
4
m
n
．
（2）由题知
2
2
2
2
2
1
2
1
m
n
n
n
n
n
n
n
，
由
sin(
)
n
，
π 5π
,
4
4
，可知初始位置，即
π
4
，
得
π
π
π
30
2
sin(
)
sin
cos
2
cos
sin
1
2
4
4
4
8
15
1
4
2
4
2
n
，
终边位置，即
5π
4
，即
5π
π
30
2
sin(
)
sin(
)
1
4
4
8
n
，
由（1）知
π
π
3
2
，所以
7π
7π
12
4
，所以当
3π
2
，n 取得最小值1
，
所以n 的取值范围为
30
2
1,
8
，
因为
2
2
1
y
n
n
在
1
1,
4
n
上单调递增，
1
30
2
,
4
8
n
上单调递减，
所以当
1
4
n
时，
2
max
1
1
9
2
1
4
4
8
y
，
由
30
2
1
30
2
2
8
4
8
1
5
1
4
4
，
可知
1
n 时，
2
min
2
1
1
1
2
y
所以
2
2
m
n
n
的取值范围为
9
2,
8
．
2．【答案】(1)对称中心为
π
π 1
,
12
2
2
k
k
Z
，对称轴方程为：
π
π
3
2
k
x
k
Z ；
(2)最大值为
3
2 ，最小值为0．
【分析】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为
π
1
sin 2
6
2
f x
x
，利用正弦函数的对
称性，求解即可．
（2）当
7π
0, 12
x
时，
π
π
2
,π
6
6
x
，可得
π
1
sin 2
,1
6
2
x
，即可得出函数的最值．
【详解】（1）
2
sin
3cos sin
f x
x
x
x
1
cos2
3sin2
2
2
x
x
3
1
1
sin2
cos2
2
2
2
x
x
π
1
sin 2
6
2
x
，
令
π
π
2
π
6
2
x
k
k
Z ，解得
π
π
3
2
k
x
k
Z ，
对称轴方程为：
π
π
3
2
k
x
k
Z ．令
π
2
π
6
x
k
k
Z ，解得
π
π
12
2
k
x
k
Z ，
函数
f
x 的对称中心为
π
π 1
,
12
2
2
k
k
Z
．
（2）当
7π
0, 12
x
时，
π
π
2
,π
6
6
x
，
由正弦函数的性质可知，
π
sin 2
6
x
的最大值为1，最小值为
1
2
，
函数
π
1
sin 2
6
2
f x
x
的最大值为
3
2 ，最小值为0．
3．【答案】(1) π ；单调递增区间为
π
π
π
, π
Z
3
6
k
k
k
(2)
5
m
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周
期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
（2）由已知找到
f
x
取最小值为4 时的x 值，得到关于m 的方程．
【详解】（1）
π
cos2
3sin 2
2sin 2
6
f x
x
x
m
x
m
，
2π
π
2
T
∴
．
由
π
π
π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
，
Z
k ，求得
π
π
π
π
3
6
k
x
k
，
Z
k ，
函数的单调递增区间为
π
π
π
, π
Z
3
6
k
k
k
．
（2）由
π
0, 2
x
时，
π
π 7π
2
,
6
6
6
x
，
π
1
sin 2
,1
6
2
x
，
1
2
4
2
m
，解得
5
m
．
🎯命题方向二 三角函数的性质
4. 【答案】（1）
π
sin 2
3
f x
x
（2）
11π
4π
8
7
f
f
【分析】（1）首先根据周期求，再根据对称性求，求函数的解析式；
（2）代入函数解析式，结合诱导公式化简，再根据单调性比较大小.
【详解】（1）由条件可知，2π
π
，得
2
，
π
2π
2
3
f
f
可知，函数
f
x 关于直线
π
2π
7π
2
3
2
12
x
对称，
所以
7π
π
2
π,
Z
12
2
k
k
，得
2π
π,
Z
3
k
k
,
因为
π
2
，所以
1
k
时，
π
3
，所以
π
sin 2
3
f x
x
；
（2）
11π
11π
π
37π
π
π
sin 2
sin
sin 3π
sin
8
8
3
12
12
12
f
，
4π
4π
π
31π
10π
10π
sin 2
sin
sin π+
sin
7
7
3
21
21
21
f
，
sin
y
x
在区间
π
0, 2
单调递增，所以
π
10π
sin
sin
12
21
，则
π
10π
sin
sin
12
21
，
所以
11π
4π
8
7
f
f
.
5．【答案】(1)1，
1
3,2
3
(2)
5 π
12
．
【分析】（1）由三角恒等变换化简后，利用正弦型函数的周期求出，再由自变量的范围求出值域；
（2）根据函数为奇函数， 由诱导公式求解即可.
【详解】（1）
2
π
π
π
π
sin 2
2 3cos
sin 2
3cos 2
3
6
12
6
6
f x
x
x
x
x
π
2sin 2
3
6
x
由题意可知，函数
f
x 的最小正周期
2π
π
2
T
，所以
1
，
所以
π
2sin 2
3
6
f x
x
．
π
0, 3
x
，
π
π 5π
2
,
6
6
6
x
，
π
1
sin 2
,1
6
2
x
．
所以，
f
x 在
π
0, 3
的值域为1
3,2
3
．
（2）函数
π
3
2sin 2
2
6
y
f x
x
为奇函数，
令
0
x
得
π
2
π,
Z
6
k
k
，所以
π
π ,
Z
2
12
k
k
，
因为
π
0, 2
，所以
1
k ，
5 π
12
．
🎯命题方向三 三角函数的图象变换
6.【答案】 （1）
（2）
【分析】（1）先利用三角函数最小正周期公式
求出
，得到
的解析式；再将
代
入，结合角度范围，通过角度配凑与二倍角公式，将已知的正弦值转化为目标角的余弦值进行计算.
（2）根据三角函数图像平移 “左加右减、上加下减” 的规则，得到
的解析式；再由给定的
范围
确定整体角的范围，结合正弦函数的单调性与最值，求出
在区间上的值域.
【详解】（1）
函数
的最小正周期为
，
，解得
， 即
，
，
，则
，
，则
，
，
，
，
，即
，∴
.
（2）
，
的图象向右平移
个单位后得到的函数为
，即
，
再向上平移1 个单位得到的图象对应函数为
，
，当
时，
，
令
，则
，
则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
则
，
，
，
函数
在
上的值域为
．
7．【答案】(1)
，
；
(2)2
【分析】（1）将
代入解析式，求出
，并求出
，数形结合得到不等
式，求出
的取值范围；
（2）在（1）基础上，得到
，求出平移后的解析式，得到
，结合
求出最大值.
【详解】（1）将
代入解析式得
，
又
，故
，又
，
当
时，
，
因为
在区间
上恰有一个极大值和一个极小值，
故
，解得
；
（2）
是整数，又
，故
，
2π
3
7
6
11
6 ,1
3
0,
2
2π
3
2π
2π
2π
,
π
3
3
3
x
2
2
1
9
2 sin
4
8
h x
x
sin
1,1
x
3
0,
2
3
sin
2
π
π
2
2π
3
0
0,π
x
2π
2π
2π
,
π
3
3
3
x
f
x
0, π
2π
5π 7π
π
,
3
2
2
11 17
,
6
6
11 17
,
6
6
2
所以
，
的图象向右平移
个单位长度得到
，
所以
，
，
又
，故当
，即
时，
取得最大值，最大值为
.
8．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦的和角公式及倍角公式得
，再结合条件，即可求
解；
（2）根据条件得
，由
可得
或
，再结
合条件，即可求解.
【详解】（1）
，
又
的最小正周期为
，
，则
，所以
.
（2）由（1）知
，所以
，
由
时，得到
，
所以
或
即
或
，
2π
sin 2
3
f x
x
f
x
11π
24
11π
2π
π
sin 2
sin 2
12
3
4
g x
x
x
π
1
π
π
π
1
π
π
sin 2
sin 2
8
2
8
4
4
2
8
4
h x
g x
g
x
x
x
2
2
π
1
9
sin 2
sin
cos2
sin
2sin
sin
1
2 sin
2
4
8
x
x
x
x
x
x
x
sin
1,1
x
sin
1
x
π
2 π,
Z
2
x
k
k
2
1
9
2 sin
4
8
h x
x
2
1
9
2
1
2
4
8
1
13π 7π
12
4
,
π
2sin 2
3
f x
x
2π
2sin 2
1
3
g x
x
0
g x
π
π,
Z
4
x
k
k
π
π,
Z
12
x
k
k
2
π
4sin
cos
3
2sin
cos
2 3cos
3
3
f x
x
x
x
x
x
π
sin2
3cos2
2sin 2
3
x
x
x
f
x
π
0
2π
π
2
T
1
π
2sin 2
3
f x
x
2π
2sin 2
1
3
g x
x
0
g x
2π
1
sin 2
3
2
x
2π
π
2
2 π,
Z
3
6
x
k
k
2π
5π
2
2 π,
Z
3
6
x
k
k
π
π,
Z
4
x
k
k
π
π,
Z
12
x
k
k
因为
在区间
上有且仅有3 个零点，
由
，令
，得
；令
，得
；
由
，令
，得
；
，得
；
所以
，
故
的取值范围是
.
题型02 三角形的中线、角平分线、垂线条件的应用
🎯命题方向一 三角形的中线
1.【答案】（1）
；（2）证明见解析；（3）
【详解】（1）
如图所示，
由余弦定理得，
，
代值计算得到
，求得
；
由于
，代值计算得
，求得
（2）在
中，
；
在
中，
；
两式相加，且
，得到
，则原式得证．
g x
0,m
π
π,
Z
4
x
k
k
1
k
3π
4
x
2
k
7π
4
x
π
π,
Z
12
x
k
k
0
k
π
12
x
1
k
13π
12
x
13π
7π
12
4
m
m
13π 7π
,
12
4
（3）由于
则由正弦定理，得
，
即
，
去分母整理得到
，即
．
且
，则
，则
．
由于
，且
，即
联立解出
由于
，则
，
解得
，则
（负数不满足）.
由余弦定理得到
，代值计算，
， 则
，
则
．
2．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先利用余弦定理将分母
转化为
，再将 tanA+tanC 化为正弦、余
弦形式，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角C.
（2）可利用中线长公式或在两个小三角形中分别应用余弦定理，结合（1）中求得的角 C，建立关于
的方程，最终求出.
【详解】（1）因为
.
所以
，故
，所以
.
（2）由于
故
，由余弦定理又有
，而
，故有
，
.
所以
.
3．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理先求得
，再结合正弦定理求解即可；
（2）设
，
，根据平面向量的线性运算可得
，
，进而结合平面向
量的数量积及运算律求解即可.
【详解】（1）由余弦定理得
，
57
19
4 91
91
19
BC
AB
c
AC
b
1
2
AM
b
c
1
2
BN
b
c
2
2
2
2
2
1
2
cos
2
5
2 2 5
19
2
BC
AB
AC
AB AC
BAC
则
．
由正弦定理得
，
则
，解得
．
（2）设
，
，则b 与c 的夹角为
，且
，
因为AM，BN 为中线，
所以有
，
，
于是
，则
，
，则
．
又
，
所以
．
4．【答案】(1)
5
c
；
(2)
49 3
12
.
【分析】（1）先由题设结合倍角公式和正弦定理得
14 3
sin
sin
sin
3
a
b
c
A
B
C
，接着由
13
cos
14
B
即可结
合同角三角函数关系和两角和正弦公式即可依次求出sin A 和sin C ，从而由正弦定理即可求解c；
19
BC
sin
sin
AB
BC
ACB
BAC
2
19
sin
3
2
ACB
in
19
57
s
ACB
AB
c
AC
b
60
5,
2
b
c
1
2
AM
b
c
1
1
2
2
BN
AN
AB
AC
AB
b
c
2
2
2
2
2
1
1
39
2
5
2
2 5 2 cos60
4
4
4
AM
b
c
b c
39
2
AM
2
2
2
2
2
1
1
21
5
2
5 2 cos60
4
4
4
BN
b
c
b c
21
2
BN
2
2
1
1
1 1
1
2
2
2 2
2
AM BN
b
c
b
c
b
b c
c
2
2
1 1
1
5
5 2 cos60
2
3
2 2
2
3
4 91
cos
91
39
21
2
2
AM BN
MPN
AM BN
（2）先由（1）求出a，接着由
2
2
1
4
AD
AB
AC
结合余弦定理和基本不等式即可依次求出
49
3
bc
和
7 3
6
AD
，再由正弦定理形式面积公式即可求解.
【详解】（1）因为
2π
3
A
，所以
π
0,
3
B
，故cos
0
B
，
又7sin 2
3 cos
B
b
B
，即14sin
cos
3 cos
B
B
b
B
，
所以由正弦定理
14 3
sin
sin
sin
3
a
b
c
A
B
C
，
若
13
cos
14
B
，则
2
3 3
sin
1 cos
14
B
B
，
则
3
13
1
3 3
5 3
sin
sin
sin
cos
cos
sin
2
14
2
14
14
C
A
B
A
B
A
B
，
所以
5
14 3
14 3
sin
3
5
14
3
3
c
C
；
（2）由（1）得
14 3
14 3
3
sin
7
3
3
2
a
A
，取BC 中点D ，
则AD 为BC 边上的中线，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
4
4
4
4
4
4
4
2
4
AD
AB
AC
AB
AC
AB AC
c
b
bc
b
c
bc
，
又由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，故
2
2
2
2
49
2
3
b
c
bc
b c
bc
bc
，
即
49
3
bc
，当且仅当
7 3
3
b
c
时等号成立，
所以
2
1
1
49
49
49
2
49
2
4
4
3
12
AD
bc
，即
7 3
6
AD
，当且仅当
7 3
3
b
c
时等号成立，
所以BC 边上的中线最小值为
7 3
6 ，此时
1
1
49
3
49 3
sin
2
2
3
2
12
ABC
S
bc
A
.
🎯命题方向二 三角形的角平分线
5．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式中的边化为角，约去sinB 后得到关于角 A 的三角方程，结合 A
的取值范围求出角 A.
（2）根据角平分线性质或面积法，结合（1）中求得的角 A 与已知边长b,c，建立关于 AD 的方程，进
而求出 AD 的长度.
【详解】（1）已知
，
由正弦定理得
，
，
，
，即
，
，又
，
；
（2）
是
的角平分线，
由（1）知，
，则
，因为
，
则
，因为
，
，即有
，
故
．
6.【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先应用两角和正弦公式化简，再应用诱导公式计算得出余弦值即可求解角
；
（2）根据余弦定理计算，应用角平分线定理结合面积公式计算求解.
【详解】（1）由
得，
，所以
，
2π
3
A
5 3
4
A
sin2
cos sin
sin cos
A
B
C
B
C
2sin cos
sin cos
cos sin
sin
A
A
B
C
B
C
B
C
2sin cos
sin π
A
A
A
即
，因为
，所以
，
则
，所以
．
（2）
中，由余弦定理得
，即
①，
因为
为
的角平分线，所以
，即
②，
联立①②，解得
，所以
．
7．【答案】(1) 2
(2)
32 2
7
【分析】（1）利用降幂公式求出
2 2
cos
2
3
B
，再结合余弦定理求解即可；
（2）先求出
1
sin 2
3
B
，
4 2
sin
9
B
，利用等面积法
ABC
ABD
CBD
S
S
S
求出
36
7
c
，进而求解即可.
【详解】（1）由
7
cos
9
B
，则
2
7
1
1 cos
8
9
cos
2
2
2
9
B
B
，
因为
7
cos
0
9
B
，所以
π
0, 2
B
，
所以
π
0,
2
4
B
，则
2 2
cos
2
3
B
，
又BD 是角B 的角平分线，
则在
BCD
△
中，由余弦定理得
2sin cos
sin
A
A
A
0,π
A
sin
0
A
1
cos
2
A
2π
3
A
ABC
V
2
2
2
1
2 5
2
2
b
c
bc
2
20
b
c
bc
AQ
ABC
V
1
3
1
3
1
3
1
1
2
2
2
2
2
2
bc
c
b
bc
c
b
5
bc
1
1
3
5 3
sin
5
2
2
2
4
ABC
S
bc
A
2
2
2
2 2
2
cos
18 16
2 3 2
4
2
2
3
B
CD
BD
a
BD a
，即
2
CD
.
（2）由（1）知
2 2
cos
2
3
B
，则
2
1
sin
1 cos
2
2
3
B
B
，
由
7
cos
9
B
，则
2
4 2
sin
1 cos
9
B
B
，
又BD 是角B 的角平分线，由
ABC
ABD
CBD
S
S
S
，
则
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
B
B
ac
B
c BD
a BD
，
则1
1
1
1
1
4
3 2
3
4 2
9
4 3 2
2
2
3
2
c
c
，解得
36
7
c
，
所以
1
1
36
sin
4
2
2
7
4 2
32 2
9
7
ABC
S
ac
B
.
8．【答案】(1)
2π
3
A
(2)
2 3
3
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式、和角的正弦公式化简即得.
（2）设
2π
,0
3
ADB
，利用正弦定理用表示
,
BD CD ，换元结合余弦定理求出范围，进而构造函
数并利用导数求出最小值.
【详解】（1）在
ABC
V
中，由
cos2
2 cos
cos
0
b
c
c
A
a
A
C
，得
2
2 cos
2 cos
cos
0
b
c
A
a
A
C
，
由正弦定理得sin
2cos (sin
cos
sin
cos )
0
B
A
C
A
A
C
，即sin
2cos
sin(
)
0
B
A
A C
，
则sin
2cos
sin
0
B
A
B
，而sin
0
B
，解得
1
cos
2
A
，又0
π
A
，
所以
2π
3
A
.
（2）由（1）知
π
3
BAD
CAD
，设
2π
,0
3
ADB
，
在
,
ABD
ACD
△
△
中，由正弦定理得sin
sin
BD
AB
BAD
ADB
，sin
sin
CD
AC
CAD
ADC
，
则
3
3
,
2sin
2sin
c
b
BD
CD
，令
3
3
[
,
)
2sin
2
，
(
)
4
a
BD CD
b c
，
在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
16
(
)
16
16
a
b
c
bc
b
c
bc
bc
，
解得1
1
，因此
3
[
,1)
2
，
2
2
1
1
1
1
4
4
1
(16 16
)
4 (1
)
BD
DC
c
b
bc
，
令
2
(1
)
( )
f
，求导得
2
1 3
0
( )
f
，函数( )
f 在
3
[
,1)
2
上单调递减，
则
max
3
3
( )
(
)
2
8
f
f
，所以
1
1
BD
DC
的最小值为
2 3
3 .
🎯命题方向三 三角形的高线
9.【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用三角形内角和、正弦定理和三角恒等变换化简可得.
（2）利用三角形面积公式和正弦定理可得
【详解】（1）由题意得：
，
则
，
有
，即
，因为
所以
．
（2）由
，则
，所以
，
π
3
A
1
cos
cos
8
B
C
π
sin
sin
2sin
6
sin
B
C
B
A
( 3sin
cos
)sin
sin
sin
cos
sin
cos
B
B
A
B
A
B
B
A
3sin
1 cos
A
A
2sin
1
6
A
0,π
A
π
3
A
1
1
sin
2
2
ABC
S
ah
bc
A
2
3
3
8
4
a
bc
2
2
a
bc
有
，则
，
又
，则
．
10．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理得
，结合同角三角函数平方关系即可求解；
（2）先求
，由正弦定理得
，进而得
，再由平方关系求
，利用两角和的正弦公
式求
，进而求解.
【详解】（1）由
和正弦定理，可得
，
因为
，所以
，
两边取平方，可得
，
解得
，因
，则得
；
（2）由（1）可得
.
由
和正弦定理，可得
，
，
又
，故
为锐角，则
.
所以
.
因
，则
.
2
sin
2sin
sin
A
B
C
3
sin
sin
8
B
C
1
cos
cos(
)
sin
sin
cos
cos
2
A
B
C
B
C
B
C
1
cos
cos
8
B
C
1
8
5 7
4
sin sin
3 7sin cos
C
B
B
C
sin C
3sin
2sin
A
C
sinA
cosA
sin
sin
B
A
C
sin
3 7 cos
c
B
b
C
sin sin
3 7sin cos
C
B
B
C
sin
0
B
sin
3 7cos
C
C
2
2
2
sin
1 cos
63cos
C
C
C
2
1
cos
64
C
sin
3 7cos
0
C
C
1
cos
8
C
2
2
1
3 7
sin
1 cos
1
8
8
C
C
3
2
a
c
3sin
2sin
A
C
2
7
sin
sin
3
4
A
C
2
3
a
c
c
A
2
2
7
3
cos
1 sin
1
4
4
A
A
7
1
3
3 7
5 7
sin
sin
sin cos
cos sin
4
8
4
8
16
B
A
C
A
C
A
C
6
c
2
4
3
a
c
边上的高为
.
11．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角
；
（2）先根据余弦定理求出边
的值，再通过三角形面积公式求出边
上的高
.
【详解】（1）由正弦定理可得
，
因为
，所以
，
又因
为锐角三角形，
，所以
.
（2）由余弦定理
可知
又因
即
代入上式可得
则
的面积为
则
解得：
.
12．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出
，再由
，结合平方关系可求
的值；
（2）结合（1）可得
，再利用三角形面积相等可求得
边上的高.
【详解】（1）在
中，
，
，
AB
5 7
5 7
sin
4
16
4
a
B
π
3
3 21
7
A
bc
BC
AD
3sin
2sin sin
B
A
B
sin
0
B
3
sin
2
A
ABC
V
π
0, 2
A
π
3
A
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
2
2
2
2
2
2
π
7
2
cos
7
3
b
c
bc
b
c
bc
b
c
bc
1
b
c
1
b
c
6
bc
ABC
V
1
1
3
3 3
sin
6
2
2
2
2
ABC
S
bc
A
△
1
1
3 3
7
2
2
2
ABC
S
BC
AD
AD
△
3 3
3 21
7
7
AD
而A 为三角形内角，
，
，
整理得
，得
，
又
，且
，
（2）由正弦定理得
，
得
，
由（1）得，
，
，
，
设
边上的高为h，则
，
边上的高为
题型03 解三角形中的求边、求角、求面积问题
🎯命题方向一 利用正、余弦定理解三角形的边与角
1. 【答案】（1）
（2）①
；②
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得
，得到
，即可求解；
π
3
7
13
14
sin
3cos
A
A
tan
3
A
（2）①由正弦定理得
，利用三角形的面积公式，列出方程，求得
的值，结合余弦定理，即可
求解；②利用正弦定理，求得
的值，结合三角函数的基本关系式和倍角公式，分别求得
的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理，可得
，
又因为
，
可得
，
所以
，即
因为
，可得
，所以
，即
，
又因为
，所以
.
（2）①因为
，由正弦定理得
，
所以
的面积为
又因为
的面积为
，可得
，解得
，则
，
由余弦定理得
，所以
；
②由正弦定理
，可得
，
2
3
b
c
,b c
sin B
sin 2 ,cos2
B
B
sin
sin
2 3(
cos
)
a
B
b
A
c
a
B
sin
sin
sin
sin
2 3(sin
sin
cos
)
A
B
B
A
C
A
B
π
A
B
C
sin
sin[π
(
)]
sin(
)
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
A
B
2sin
sin
2
cos
3
sin
A
B
A
B
sin
sin
3 cos
sin
A
B
A
B
(0,π)
B
sin
0
B
sin
3cos
A
A
tan
3
A
(0,π)
A
π
3
A
2
sin
sin
3
B
C
2
3
b
c
ABC
V
2
1
1
2
π
3
sin
sin
2
2
3
3
6
S
bc
A
c c
c
ABC
V
3 3
2
2
3
3 3
6
2
c
3
c
2
b
2
2
2
2
2
π
2
cos
2
3
2 2 3cos
7
3
a
b
c
bc
A
7
a
sin
sin
a
b
A
B
π
3
2sin
2
sin
21
3
2
sin
7
7
7
b
A
B
a
因为
，可得
为锐角，所以
，
则
，
，
又因为
，所以
.
2.【答案】（1）证明见详解
（2）
2π
3
A
【分析】（1）根据二倍角公式可得
2
2
2
sin
sin
2sin
A
B
C
，再结合正弦定理即可得结果；
（2）利用余弦定理结合（1）中结论可得cos
2
b
c
A
c
b
，代入
sin
3
b
A
c
整理可得sin 2
6
1
π
A
，
进而分析求解.
【详解】（1）因为cos2
cos2
2cos2
A
B
C
，可得
2
2
2
1
2sin
1
2sin
2 1
2sin
A
B
C
，
整理可得
2
2
2
sin
sin
2sin
A
B
C
，由正弦定理可得
2
2
2
2
a
b
c
.
（2）因为
2
2
2
2
a
b
c
，即
2
2
2
2
a
c
b
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
2
2
2
b
c
c
b
b
c
a
b
c
b
c
A
bc
bc
bc
c
b
，
又因为
sin
0
3
b
A
c
，则
3
sin
c
b
A
，可得
sin
cos
3
2sin
3
A
A
A
，
b
c
B
2
2
21
2 7
cos
1 sin
1 (
)
7
7
B
B
2 7
21
4 3
sin 2
2sin
cos
2
7
7
7
B
B
B
2
2
2 7
1
cos2
2cos
1
2 (
)
1
7
7
B
B
π
3
A
π
π
π
cos(2
)
cos(2
)
cos2 cos
sin 2 sin
3
3
3
B
A
B
B
B
1
1
4 3
3
1
12
13
7
2
7
2
14
14
14
即
2
2 3sin
cos
n
3
2si
A
A
A
，可得3sin 2
1 cos2
3
A
A
，
即
co
3s
s2
2
in 2A
A
，可得sin 2
6
1
π
A
，
且0
π
A
，则
π
π
13π
2
6
6
6
A
，
可得
π
3π
2
6
2
A
，解得
2π
3
A
.
3. 【答案】（1）
π
3
A
（2）4 3
【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解．
（2）由（1）知，
12
bc
，而
2 3
b
，
π
3
A
，得
ABC
V
为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
c
a
bc
A
，因为
2
2
2
12
b
c
a
，所以
cos
6
bc
A
.
由三角形面积公式得
1
sin
2
S
bc
A
，又因为
3 3
S
，所以
sin
6 3
bc
A
，所以
sin
tan
3
cos
bc
A
A
bc
A
，
因为
0,π
A
，所以
π
3
A
.
（2）由（1）知，
π
sin
6 3
3
bc
，得
12
bc
，而
2 3
b
，得
2 3
c
，又
π
3
A
，
得
ABC
V
为等边三角形，得
2 3
a
， 故
4 3
a
c
.
4. 【答案】（1）证明见解析
（2）
120
A
【分析】（1）根据题意结合面积公式可得
2
2
2
bc
b
c
，运算求解即可；
（2）根据题意结合余弦定理可得
1
cos
2
A
，即可得角A 的大小.
【详解】（1）在
ABC
V
中，
1
sin
2
S
bc
A
，
因为
2
2
1
sin
2
S
b
c
A
，即
2
2
1
1
sin
sin
2
2
bc
A
b
c
A
，
且0
180
A
，则sin
0
A
，则
2
2
2
bc
b
c
，即
2
0
b
c
b
c
，
又因为
0
b
c
，则
2
0
b
c
，即
2
b
c
.
（2）若
7
a
c
，则
2
2
7
a
c
，且
2
b
c
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
4
7
1
cos
2
4
2
b
c
a
c
c
c
A
bc
c
，
且0
180
A
，所以
120
A
.
🎯命题方向二 与三角形的面积相关解三角形问题
5.【答案】（1）
π
4
（2）2
详解】（1）已知
2 sin
b
c
B
，由正弦定理可得sin
2 sin
sin
B
C
B
，
ABC
V
中，0
π
B
，sin
0
B
，所以有
2 sin
1
C ，即
2
sin
2
C
，
由C 为锐角，得
π
4
C
.
（2）已知
2,
10
a
c
，
π
4
C
，由余弦定理
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
，有
2
10
2
2
b
b
，
即
2
2
8
0
b
b
，由
0
b
，解得
4
b
，
所以
ABC
V
的面积
1
1
π
sin
2
4 sin
2
2
2
4
ABC
S
ab
C
.
6. 【答案】（1）
（2）
（3）7
【分析】（1）根据
，再结合条件，利用两角和差的正弦公式，即可求解；
（2）首先根据（1）的过程求得
与
的关系，再根据
，再根据两角和的正
切公式，即可求解；
（3）根据圆的周长公式求半径，再根据正弦定理求边长，最后代入三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为
， 所以
，
又
，所以
，
联立得
；
（2）因为
，且三角形为锐角三角形，所以
，
，
由（1）可得
，即
，
所以
，所以
，
解得
或
，因为角
为锐角，所以
，
2 2
sin cos
5
A
B
4
tan
3
A
sin
sin
C
A
B
tan A
tan B
tan
tan
C
A
B
7 2
sin
sin
10
C
A
B
7 2
sin cos
cos sin
10
A
B
A
B
2
sin
10
A
B
2
sin cos
cos sin
10
A
B
A
B
2 2
3 2
sin cos
,cos sin
5
10
A
B
A
B
7 2
sin
10
C
2
cos
10
C
tan
7
C
tan
sin cos
4
tan
cos sin
3
A
A
B
B
A
B
4
tan
tan
3
A
B
2
4 tan
tan
tan
tan
3
tan
tan
7
4
tan tan
1
tan
1
3
B
B
A
B
C
A
B
A
B
B
2
4tan
tan
3
0
B
B
tan
1
B
3
tan
4
B
B
4
tan
1,tan
3
B
A
（3）因为
外接圆的周长为
.即
.
由
，得
，
因为
，所以
，解得
，
由（2）可知
，且角
为锐角，所以
，
,
所以
的面积为
7. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据正弦定理及两角和正弦公式得
，求得
，再根据两角和的正
切公式进行求解；
（2）根据三角形面积公式及内切圆半径公式，结合余弦定理，求得
，进而求得
的值，
从而求出
的面积.
【详解】（1）因为
，所以由正弦定理得
，
所以
，
所以
，
所以
ABC
V
2π
5π
R
2
5
R
4
tan
3
A
4
sin
5
A
2
sin
sin
a
c
R
A
C
5
4
7 2
5
10
a
c
7 2
4,
2
a
c
tan
1
B
B
π
4
B
2
sin
2
B
ABC
V
1
1
2
sin
7
2
2
2
ac
B
ac
3
4
3
2 3
π
sin
1
6
B
tan
3
B
3
3
b
3
2
ac
ABC
2
3sin
cos
c
a
C
C
b
2sin
sin
3sin
cos
sin
C
A
C
C
B
3sin
cos
sin
2sin
sin
C
C
B
C
B
C
3sin
cos
sin
2sin
sin cos
cos sin
C
C
B
C
B
C
B
C
3sin sin
2sin
cos sin
C
B
C
B
C
在
中，因为
，所以有
，即得
，即
，
因为
，所以
，即得
，
，
所以
.
（2）
内切圆的面积为
，所以内切圆半径
，
又
，则有
，
由余弦定理得
，
所以
，解得
或
（舍），
所以
，
则
.
8. 【答案】（1）tan
3tan
0
C
B
（2）
45
B
（3）
3
【分析】（1 ）由正弦定理结合sin
sin(
)
A
B
C
得到sin
cos
3sin
cos
0
C
B
B
C
，推导出
tan
3tan
0
C
B
；
（2 ）方法1：由三角形的面积可得3 sin
a
B
c
，结合正弦定理和三角恒等变换可得
ABC
V
sin
0
C
3sin
cos
2
B
B
π
2sin
2
6
B
π
sin
1
6
B
(0,π)
B
π
π
6
2
B
π
3
B
tan
3
B
tan
tan[π
(
)]
tan(
)
A
C
B
C
B
tan
tan
1
tan tan
C
B
C
B
5 3
3
3
4
1
5 3
3
ABC
V
π
1
r
1
1
sin
2
2
ABC
S
ac
B
a
b
c
r
3
3
3 3
2 ac
b
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
2
(
)
3
a
c
ac
2
3
3 3
(3
3 3)
3
3
2
b
2
3
2 3
2 3 3
2 3
3 3 3
3
3
2 3
b
b
2
2 3
(3
3 3)(3
3)
0
b
b
3
3
b = +
(3 3 3)
b =-
+
3
6
4 3
2 ac
1
1
3
sin
3
2 3
2
2
2
ABC
S
ac
B
ac
2
2
3tan
tan
tan
3tan
1
B
C
B
B
，结合（1）可求B ；
方法2 ：同方法1 可得3sin
sin
sin
A
B
C
，结合（1）sin
2sin
cos
A
B
C
，可得tan
3tan
C
B
，
进而可得
2
tan
6sin
C
B
，结合（1）可得
2
2
3tan
3tan
tan
3tan
1
B
B
B
B
，可求
B
；
（3）方法一：由余弦定理可得
2
2
2
2
c
b
a
，可得
1 3
cos
4
b
c
A
c
b
，利用基本不等式可求
A
的最大值，
进而可求
ABC
S
；
方法二：结合（1）可得
2
tan
1
3tan
tan
A
B
B
，结合基本不等式求出
A
的最大值，进而可求
ABC
S
.
【详解】（1）
2 cos
0
a
b
C
，由正弦定理可得：sin
2sin
cos
0
A
B
C
，
sin(
)
2sin
cos
0
B
C
B
C
，
sin
cos
3sin
cos
0
C
B
B
C
，
两边同时除以cos
cos
B
C ，可得：tan
3tan
0
C
B
.
（2）方法1：
2
1
sin
2
6
ABC
c
S
ac
B
，则3 sin
a
B
c
，
结合正弦定理得，3sin
sin
sin
A
B
C
，
即
3sin
sin(
)
3sin
sin
cos
3sin
cos
sin
sin
B
B
C
B
B
C
B
B
C
C
，
则
2
2
2
2
2
2
3sin
3sin
3tan
tan
1 3sin
cos
sin
cos
3sin
cos
tan
3tan
1
B
B
B
C
B
B
B
B
B
B
B
B
，
所以
2
2
3tan
3tan
tan
3tan
1
B
B
B
B
，即
2
tan
2tan
1
0
B
B
，
解得tan
1
B ，又
0,π
B
，所以
π
4
B
.
方法2：同方法1可得3sin
sin
sin
A
B
C
，
由（1）可得sin
2sin
cos
A
B
C
，所以6sin
cos
sin
sin
B
C
B
C
，
即
2
tan
6sin
C
B
，又tan
3tan
C
B
，
所以
2
2
2
2
2
2
2sin
2tan
tan
2sin
sin
cos
tan
1
B
B
B
B
B
B
B
，解得，tan
1
B ，
所以
π
4
B
.
（3）方法1：
2 cos
0
a
b
C
，
2
2
2
2
0
2
a
b
c
a
b
ab
，
2
2
2
2
0
a
b
c
，
2
2
2
2
c
b
a
，
2
2
2
2
2
2
2
1 3
3
2
cos
2
2
4
2
c
b
b
c
b
c
a
b
c
A
bc
bc
c
b
，
当且仅当
3
c
b 时等号成立，此时A 取到最大值6
，
2
b
Q
，当A 最大时，
1
1
1
sin
2 2 3
3
2
2
2
ABC
S
bc
A
△
.
方法2：由（1）知tan
3tan
0
C
B
，则tan
3tan
C
B
，
所以
2
tan
tan
2tan
2
tan
tan(
)
1
1
tan
tan
1 3tan
3tan
tan
B
C
B
A
B
C
B
C
B
B
B
1
3tan
2
n
2
3
3
ta
B
B
，当且仅当
1
3tan
tan
B
B
，即
3
tan
3
B
时，取“=”，
此时
π
6
A
B
，则
2
a
b
，
1
sin
3
2
ABC
S
ab
C
△
.
题型04 三角形中的最值、范围问题
🎯命题方向一 解三角形中涉及角度的最值（范围）
1. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解；
（2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定
的范围，将
转换成
，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可.
【详解】（1）由正弦定理，
，
，
可得：
，
又
，
所以
，因为
，
化简可得：
，因为
是锐角三角形，
，故
；
（2）由
得
，即
，
因为
是锐角三角形，所以
，解得
，
π
3
C
3
3 3 3
,
2
2
A
sin
sin
sin
A
B
C
2π
3
sin
sin
3
2
A
A
2 sin
a
R
A
2
sin
b
R
B
2 sin
c
R
C
cos
cos
2 (sin
cos
sin
cos
)
2 sin(
)
2 sin(π
)
a
B
b
A
R
A
B
B
A
R
A
B
R
C
2
cos
cos
sin
3
a
B
b
A
c
C
2
2 sin(π
)
2 sin
2 sin
sin
3
R
C
R
C
R
C
C
sin
0
C
3
sin
2
C
ABC
V
π
(0, )
2
C
π
3
C
π
3
C
2π
3
A
B
2π
3
B
A
ABC
V
2π
π
0
3
2
π
0
2
B
A
A
π
π
6
2
A
由
得
，故
，
代入得：
，
因此
的取值范围为
.
2. 【答案】（1）
3
5
（2）
3 ,1
2
【分析】（1）已知
π
3
C
，
3
a
b
，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和定理，
展开sinA 后求解tanB ；
（2）先根据向量关系得到角之间的关系，再利用三角函数的两角和公式化简sin
sin
ADC
CAD
，
最后根据角的范围求出其取值范围.
详解】（1）因为
3
a
b
，所以sin
3
sin
A
a
B
b
，又因为
π
3
C
，所以
π
sin 3
3
sin
B
B
，
化简得
3
1
cos
sin
2
2
3
sin
B
B
B
，即
3
5
2tan
2
B
，解得
3
tan
5
B
；
（2）因为
0
BC
CD
，所以D 在BC 的延长线上，
2π
3
sin
sin
sin
sin
sin
3
2
A
B
C
A
A
3
1
3
3
3
3
π
3
sin
cos
sin
sin
cos
3sin
2
2
2
2
2
2
6
2
A
A
A
A
A
A
π π
,
6 2
A
π
π 2π
,
6
3
3
A
π
3
sin
,1
6
2
A
3
3
π
3
3 3
3sin
2
6
2
2
A
sin
sin
sin
A
B
C
3
3 3 3
,
2
2
如图，故
π
3
ADC
CAD
，
所以
π
sin
sin
sin
sin 3
ADC
CAD
ADC
ADC
3
1
1
3
sin
cos
sin
sin
cos
2
2
2
2
ADC
ADC
ADC
ADC
ADC
π
sin
3
ADC
.
因为
π
0, 3
ADC
，所以
π
π 2π
,
3
3
3
ADC
，
解得
π
3
sin
,1
3
2
ADC
，
所以
sin
sin
ADC
CAD
的取值范围为
3 ,1
2
.
3. 【答案】（1）
1,
1
4
a
c
，或
1 ,
4
1.
a
c
（2）
6
2
2
p
分析】（1）根据正弦定理进行求解即可；
（2）根据余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）由题设及由正弦定理，由sin
sin
sin
A
C
p
B
，得a
c
pb
，
5
4
a
c
．
由
5
4
1
4
a
c
ac
，解得
1
1
4
a
c
，或
1
4
1
a
c
（2）由余弦定理，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
cos
(
)
2
2
cos
cos
2
2
b
a
c
ac
B
a
c
ac
ac
B
p b
b
b
B
，
即
2
3
1 cos
2
2
p
B
．
0
cos
1
B
，
2
3 ,2
2
p
，
由题设知
0
p
，
6
2
2
p
．
4．【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和差角的正弦公式推理得证.
（2）由（1）的结论，利用和角的正弦及二倍角公式化简，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）在
中，由
及余弦定理，得
，
整理得
，由正弦定理得
，
则
于是
或
（不成立），所以
.
（2）由（1）知，
，
，
则
，
由
，得
，
，
因此
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
🎯命题方向二 解三角形中涉及边长、代数式的最值（范围）
5．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由等差数列性质得
，结合正弦定理将
转化为边的关系，用余弦定理
求出cosB.
（2）由外接圆面积 S≥64π 得外接圆半径范围，再用正弦定理
求出的取值范围.
【详解】（1）因为
成等差数列，所以
，又
，所以
．
设
，则
，则
．
（2）由（1）得
，
则
外接圆的半径
，
则
，则
，
，
则
的取值范围为
．
6.【答案】（1）
π
3
（2）
1 ,2
2
【分析】（1）根据正弦定理可得到
2
2
2
a
b
c
bc
，进而得到2cos
1
A ，即可求出A 的大小；
（2）根据三角形内角和为π ，且
ABC
V
为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将
b
c 转化为关于
tanC 的函数即可求解．
详解】（1）由sin
sin
(
)sin
a
A
c
C
b
c
B
，
则根据正弦定理有
2
2
(
)
a
c
b
c b
，即
2
2
2
a
b
c
bc
，
又由余弦定理有
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，得2cos
1
A ，
所以在
ABC
V
中，得
π
3
A
；
（2）由
ABC
V
为锐角三角形，且
π
3
A
，
则有
π
0
2
2π
π
0
3
2
C
C
，得
π π
,
6 2
C
，即
3
tan
,
3
C
，即
1
0, 3
tanC
，
所以根据正弦定理有
π
3
1
sin
cos
sin
sin
3
1
1
1
3
2
2
,2
sin
sin
sin
2
tan
2
2
C
C
C
b
B
c
C
C
C
C
．
7. 【答案】（1）4 3
（2）(2,
)
【分析】(1) 利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得
3
A
，利用余弦定理可得
16
bc
，即可得；
(2) 利用正弦定理以及三角恒等变换可得
3
1
2tan
2
c
b
B
,即可得解；
【详解】（1）因为
2
2
2
(
2 )cos
0
2
a
b
c
c
b
A
b
，所以由余弦定理：(
2 )cos
cos
0
c
b
A
a
C
，
所以由正弦定理(sin
2sin )cos
sin cos
0
C
B
A
A
C
，
又因为
sin
cos
sin
cos
sin
sin
sin
C
A
A
C
A
C
B
B
，
所以sin (1 2cos )
0
B
A
，因为0
B
，所以
1
cos
2
A
，
因为0
A
，所以
3
A
，由余弦定理
2
2
16
b
c
bc
，
因为
4
a
，
8
b
c
，所以
2
3
16
b
c
bc
，所以
16
bc
，
所以
ABC
V
的面积
1
1
3
sin
16
4 3
2
2
2
S
bc
A
.
（2）因为角
C
为钝角，所以
0
2
2
3
2
B
B
，所以
0
6
B
，
因为sin
sin
b
c
B
C
，所以
sin
sin
c
C
b
B
，
代入
2
3
C
B
得
3
1
cos
sin
sin
3
1
2
2
sin
sin
2tan
2
B
B
c
C
b
B
B
B
,
因为
3
0
tan
3
B
，所以
3
3
2tan
2
B
，即
2
c
b
，
所以
c
b 的取值范围为(2,
)
.
8. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，结合三角形内角和公式和两角和的三角函数公式可求角
.
（2）利用余弦定理，结合（1）的结论，可求
的最大值.
π
3
B
1
B
2
2
2
2
a
b
c
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
在
中，
，
代入整理可得
，
又
，则
，可得
，即
，
又
，则
，则
，可得
.
（2）由余弦定理可得
.
因为
为锐角三角形，且
，所以
，
，
所以
.
由
，所以
，所以
，即
.
所以当
，即
时，即
为等边三角形时，
取得最大值
.
🎯命题方向三 解三角形中涉及周长的最值（范围）
π
2 sin
6
a
c
b
C
π
sin
sin
2sin
sin
3sin sin
sin cos
6
A
C
B
C
B
C
B
C
ABC
V
sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
C
B
C
cos sin
sin
3sin sin
B
C
C
B
C
π
0,
2
C
sin
0
C
3sin
cos
1
B
B
π
1
sin
6
2
B
π
0,
2
B
π
π π
,
6
6 3
B
π
π
6
6
B
π
3
B
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
a
a
c
ac
B
a
b
c
c
2
2
2
2
2
a
a
c
ac
c
2
2
2
2
1
1
a
a
a
c
c
c
ABC
V
π
3
B
π π
,
6 2
C
2π
3
A
C
sin
sin
a
A
c
C
2π
sin
3
sin
C
C
3
1
cos
sin
2
2
sin
C
C
C
3
1
2tan
2
C
π π
,
6 2
C
3
tan
3
C
3
1
1 ,2
2tan
2
2
C
1 ,2
2
a
c
1
a
c
a
c
ABC
2
2
2
2
a
b
c
1
9．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简已知等式，求出相应角及边长，再代入三
角形面积公式计算。
（2）用正弦定理将周长转化为三角函数形式，结合锐角三角形的角范围，求三角函数的取值范围，得到
周长范围。
【详解】（1）由正弦定理可得
，即
，
因为
，所以
，
又
，即
，
展开可得
，即
，即
，
又
，所以
，且
，
所以
为等边三角形，
则
.
（2）由正弦定理可得
，
又因为
为锐角三角形，则
，解得
，
则
，
其中
，
所以
，
所以
的周长
.
10．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得；
（2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到
，再结合锐角范围和三角函数值域可得.
【详解】（1）
.
由正弦定理得
在
中，
代入上式化简得：
因为
，所以
，即
为锐角，
.
（2）由正弦定理得
所以
，
是锐角三角形，
，
，
即
，
所以
周长的取值范围为
.
11．【答案】(1)
π
3
3
3 3,9
b
c
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
Q
sin cos
3sin sin
sin
sin
0
A
C
A
C
B
C
ABC
V
π,
sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
A
C
A
C
A
C
3sin sin
cos sin
sin
0
A
C
A
C
C
sin
0
C
3sin
cos
1
A
A
π
2sin
1
6
A
A
π
3
A
2π
2
2 3,
sin
sin
sin
3
a
c
b
R
B
C
A
C
B
2π
2 sin
2 sin
2 3 sin
sin
2 3 sin
sin
3
b
c
R
B
R
C
B
C
B
B
3
3
π
2 3
sin
cos
6sin
2
2
6
B
B
B
ABC
π
π
2π
π
0
,0
,0
2
2
3
2
B
C
B
π
π
π
π
2π
,
6
2
3
6
3
B
B
3
π
sin
1,
3 3
6,
3
3 3
9
2
6
B
b
c
a
b
c
ABC
V
3
3 3,9
π
4
A
(2)
【分析】（1）根据已知条件通过三角函数公式得出角之间的关系，求出角
（2）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，然后化简表达式，最后根据角的范围求出边的和的范围，
进而得到三角形周长的范围.
【详解】（1）由
，可得
，即
，
∴
，则
或
（舍），
∴
，
当
，由
，可得
.
（2）由正弦定理可得
∴
，
易知
，可得
，因此
，
易知
在
上单调递增，所以
，
可得周长范围为
.
🎯命题方向四 解三角形中涉及面积的最值、范围
12．【答案】(1)
;
(2)
(2
2,3
3)
1
a
cos
cos
b
A
a
B
a
sin
cos
sin
cos
sin
B
A
A
B
A
sin(
)
sin
B
A
A
B
A
A
(
)
π
B
A
A
2
B
A
π
4
C
π
A
B
C
π
4
A
1
sin
sin
sin
b
c
B
A
C
sin
sin
B
b
A
sin
sin
C
c
A
sin
sin
sin 2
sin
3
sin 2
sin3
sin
sin
sin
B
C
A
A
A
A
b
c
A
A
A
（
）
2sin
cos
sin
cos2
cos
sin 2
sin
A
A
A
A
A
A
A
2
2cos
cos2
2cos
A
A
A
2
2
1
5
4cos
2cos
1
4 cos
4
4
A
A
A
π
0
2
π
0
2
1
π
0
3
2
A
B
A
C
A
π
π
6
4
A
2
3
cos
,
2
2
A
2
1
5
4 cos
4
4
A
2
3
,
2
2
1
2,2
3
b
c
2
2,3
3
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再利用辅助角公式化简，结合特殊角即可求出角A；
（2）法一：结合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根据正弦定理边化角，利用三角函数求
最值，注意定义域.
【详解】（1）由正弦定理有
，
因为
，所以
，
故
，即
，即
，
因为
，所以
，
所以
，即
.
（2）法一：因为
，即
，
因为
，所以
，即
（当且仅当
时取等），
故
（当且仅当
时取等），
所以当
时，△ABC 面积S 有最大值，最大值为
.
法二：由正弦定理有
，即
，
，
因为
，所以
，
当
，即
时，
有最大值，最大值为1，
.
13．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用二倍角正弦公式计算求解；
（2）应用已知条件化简再结合面积公式及基本不等式计算求解.
【详解】（1）若
，则
，所以
，
所以
，即
，
因为
，所以
.
则
，
解得
；
（2）
，
有
，
故
有
， 即
，
.
当且仅当
时等号成立 .
所以
面积的最大值为
.
14．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得
面积的最大值即可.
【详解】（1）由
及正弦定理得
，
化简可得
，即
，
由余弦定理可得
，因为
，故
.
（2）因为
，则
，即
，
所以
，
即
，
所以
，当且仅当
时，
即当
，
时，等号成立，
故
，
即
面积的最大值为
.
15 .【答案】（1）
3 3
2
（2）
2
2
10
2
3
a
b
ab
【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理可把题中第一个条件转化为2c
a
b
，根据余弦定理可将题
中第二个条件化简为
2
1
n
4
si
2
3
ab
C
c
，根据向量的线性表示以及模长公式，即可余弦定理得
2
2
2
6
3
6
2
3
a
b
c
，进而根据二次方程的判别式求解0
6
c
，即可根据面积公式求解，
（2）利用基本不等式，以及三角形的三边关系即可求解.
【详解】（1）由
sin
tan 2
2
cos
C
A
A
可得
2cos
sin
sin
2
2
2
cos
2cos
cos
2
2
C
C
A
C
C
A
，即
sin
sin
1 cos
2
cos
C
A
C
A
,
故
sin
2
cos
sin
1
cos
C
A
A
C
，则
2sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
sin
sin
C
A
A
C
A
C
A
A
C
A
B
,
由正弦定理可得2c
a
b
，
由
2
2
2
2
2
2
2
1
3
4
2
4
a
b
c
a b
c
可得
2
2
2
2
2
1
3
1
3
cos
sin
4
4
2
4
a b
ab
C
c
ab
C
c
,
由于D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，
2
CD
，故
1
2
3
3
CD
CB
CA
,
平方可得
2
2
2
2
2
1
4
4
1
4
4
4
cos
9
9
9
9
9
9
CD
CB
CA
CB CA
a
b
ab
C
,
故
2
2
36
4
cos
4
a
b
C
ab
，
由余弦定理可得
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
，故
2
2
2
2
2
36
4
4
2
a
b
a
b
c
ab
ab
，
则
2
2
2
6
3
6
2
3
a
b
c
，
将
2
b
c
a
代入上式可得
2
2
24
22
36
0
9
c
c
a
a
，
由于该关于a 的一元二次方程有解，故
2
2
Δ
24
36 22
36
0
c
c
，故0
6
c
，
由于
2
3
3
3 3
6
4
4
2
1
sin
2
ABC
S
a
c
b
C
V
,当且仅当
6
c
取到等号.
故三角形面积的最大值为
3 3
2
，
（2）
2
2
2
a
b
ab
，当且仅当a
b
时取到等号，
2
2
2
a
b
ab
，
又a
b
c
，故
2
2
2
2
2
2
2
4
a
b
ab
a
b
ab
c
，故
2
2
10
3
a
b
ab
，
因此
2
2
10
3
a
b
ab
，综上可得
2
2
10
2
3
a
b
ab
题型05 几何图形中的解三角形
1．【答案】】(1)
(2)
【分析】（1）将
利用辅助角公式化简为
，结合A 的取值范围求
出角 A.
（2）先由余弦定理求出 BC 边长，再根据 BD:DC=1:2 得到 BD，DC 的长度；利用三角形内切圆半径
公式
，分别表示出
，
最后计算
的值.
【详解】（1）因为
，即
，且
，
则
，可得
，所以
.
（2）由（1）可知：
，且
，
，
由余弦定理可得
，即
，
则
，则
，
且
，可得
，
在
中，则
，解得
；
在
中，则
，解得
；
所以
.
2. 【答案】（1）
；
（2）
.
π
3
B
3 3
56
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用诱导公式及二倍角公式求解.
（2）①设
，在
中，利用余弦定理建立函数关系，再利用基本不等式求出最小值；②设
，在
中，利用正弦定理，结合相似三角形性质将
表示为
的三角函数，再
列出面积关系并求出最小值.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
而
，则
，即
，又
，
因此
，解得
，所以
.
（2）①由（1）知，
，而
，则
是正三角形，设
，
当
时，
与
重合，
为
的中点，
；当
时，
与
重合，
，
当
时，在
中，
，
由余弦定理，得
，
即
，因此
，当且仅当
时取等号，
而
，所以
长度的最小值
.
②设
，则
，
中，由正弦定理得
，
BE
x
BDE
V
,
CF
m
CEF
CEF
△
m
ABC
V
sin
sin
2
A
C
a
b
A
sin
sin
sin
sin
2
A
C
A
B
A
sin
0
A
π
sin
sin
2
B
B
cos
2sin
cos
2
2
2
B
B
B
π
0
2
2
B
1
sin 2
2
B
π
2
6
B
π
3
B
π
3
B
1
a
b
ABC
V
(0
1)
BE
x
x
0
x
E
B
D
AB
1
2
AD
1
x
E
C
1
AD
0
1
x
BDE
V
1
,
BD
AD DE
AD
2
2
2
2
cos
BD
BE
DE
BD BE
B
2
2
2
(1
)
(1
)
AD
x
AD
AD
x
2
1
(
2)
2
3
2
2
x
x
x
x
x
AD
x
x
3
3
1
2
3
2 3
3
2
2
x
x
x
x
2
3
x
1
2 3
3
2
AD
2 3
3
π
,
(0
)
2
CF
m
CEF
2π
3
CFE
CEF
△
π
2π
sin
sin
sin(
)
3
3
EF
CF
CE
则
，在
中，
，
则
，
，又
，
于是
∽
，
，则
，
由
，得
，解得
，
因此
的面积
，其中锐角
由
确定，
而
，则当
时，
，
，
所以
面积的最小值为
.
3．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，
，在
和
中分别应用余弦定理即可求解；
（2）由（1）知
，设
,
，
，在
和
中分别应用
正弦定理可得
，结合已知可得
，代入等式即可求解.
【详解】（1）设
，
，所以
，
，
在
中，
，
3
( 3 cos
sin )
,
2sin
2sin
m
m
EF
CE
DEF
π
,
6
DE
EF
EDF
π
3
DFE
π
AFD
DFE
CFE
CEF
π
3
A
C
ADF
△
CFE
△
2
AF
DF
CE
EF
( 3 cos
sin )
2
sin
m
AF
CE
1
AF
CF
( 3 cos
sin )
1
sin
m
m
sin
2sin
3 cos
m
DEF
2
2
2
2
1
3
3
3
3 3
(
)
2
2
2
2sin
8
sin
DEF
m
m
S
DE EF
EF
2
2
3 3
3 3
56sin (
)
8(2sin
3 cos )
3
tan
2
π
2
π
2
max
[sin(
)]
1
min
3 3
(
)
56
DEF
S
DEF
3 3
56
3
2 7
7
BO
m
CO
n
OBC
△
OAD
△
3
BO
DO
OCB
OAD
ODA
OBC
△
OAD
△
sin
sin
π
BO
m
CO
n
6
OD
m
3
OA
n
OBC
△
2
2
2
2
cos60
BC
m
n
mn
在
中，
，
因为
，解得
，所以BO 的长为
；
（2）由（1）知
，设
,
，
，
在
中，
，在
中，
，所以
，
若
，则
与
全等，所以
，
所以
，所以
，
不成立，所以
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
的值为
.
4．【答案】(1)
(2)
=1
【分析】（1）解法一：将原式变形，再利用余弦定理并结合角的范围即可求出；
解法二：将原式变形，并利用正弦定理与余弦定理并结合角的范围化简求解．
（2）利用余弦定理将两边的平方用
表示出来，再利用均值不等式确定取得最大值时
的大小.
【详解】（1）解法一 ：因为
，
所以
，则
，
在
中，由余弦定理得
OAD
△
2
2
2
6
3
2 6
3
cos60
AD
m
n
m
n
BC
AD
3
m
3
3
BO
DO
OCB
OAD
ODA
OBC
△
sin
sin 60
BO
BC
OAD
△
sin
sin 60
DO
AD
sin
sin
OBC
△
OAD
△
3
2
CO
AO
π
6
π
2
π
7sin 2
8 7 cos
15
6
π
π
π
π
π
π
sin 2
sin 2 π
sin 2
sin
2
cos2
6
6
3
6
2
7cos2
8 7 cos
15
2
7 2cos
1
8 7 cos
15
2
7cos
4 7 cos
4
0
2 7
cos
7
cos
ODA
2 7
7
π
6
ACB
AC
CD
CD
2
2
2
2
3
AB
AC
BC
AC
BC
AC
2
2
2
2
2
3
AB
AC
BC
AC
BC AC
2
2
2
3
BC
AC
AB
BC AC
ABC
V
2
2
2
3
3
cos
,
2
2
2
BC
AC
AB
BC AC
ACB
BC AC
BC AC
因为
，所以
．
解法二 ：因为
，所以
，
在
中，由正弦定理和余弦定理得
，
所以
，
因为
，代入上式整理得
，
由题意可得
，
所以
，
因为
，所以
．
（2）由（1）可得
，因为
平分
，所以
，
因为
，则在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
此时
取最大值，即
取最大值，
故当
取最大值时，
．
5．【答案】(1)
(2)
0,π
ACB
π
6
ACB
2
2
2
2
3
AB
AC
BC
AC
BC
AC
2
2
2
2
3
2
2
AB
AC
BC
AC
BC
AC AB
AB
ABC
V
2sin
3sin
cos
2sin
ABC
BAC
BAC
ACB
2sin
cos
2sin
3sin
ACB
BAC
ABC
BAC
sin
sin
ABC
ACB
BAC
2cos
sin
3sin
ACB
BAC
BAC
sin
0
BAC
3
cos
2
ACB
0,π
ACB
π
6
ACB
π
6
ACB
AC
BCD
π
3
BCD
1,
BC
AC
CD
BCD
△
2
2
2
2
2
cos
1
BD
BC
CD
BC CD
BCD
CD
CD
ABC
V
2
2
2
2
2
2
·
cos
1
3
1
3
AB
BC
AC
BC AC
ACB
AC
AC
CD
CD
2
2
2
2
1
1
3
BD
CD
CD
AB
CD
CD
2
3
1
1
1
3
CD
CD
CD
3
1
3
1
1
1
1
1
3
2
3
CD
CD
CD
CD
2
3
1
CD
2
2
BD
AB
BD
AB
BD
AB
1
AC
CD
3
3 2
3 3
6
3 3
【分析】（1）由余弦定理结合
的取值范围可得出角
的值，结合
及正弦定理
可求得
的值，然后利用正弦定理可求得
、
的长，即可得出
的周长；
（2）根据已知条件分析可知四边形
为等腰梯形，
，即可得出梯形
的面积.
【详解】（1）因为
，
所以
因为
，所以
．
又因为
，所以
，
所以
，
因为
，故
，所以
，
，
且
，
由正弦定理
，所以
，
则
，
故
，
所以
的周长为
.
（2）连接
，
因为
，
，
，
所以
，
，所以
，且
，
所以四边形
为等腰梯形，所以，
，
则
，
ACB
ACB
2
3
AB
BC
BAC
BC
AB
ABC
V
ABCD
AC
BD
ABCD
2
2
2
2
2
2
cos
AB
BC
AC
AC BC
ACB
BC
AC
AC BC
1
cos
2
ACB
0,π
ACB
π
3
ACB
2
3
AB
BC
2sin
3sin
ACB
BAC
2
2
3
2
sin
sin
2
2
3
3
BAC
ACB
2
3
BC
AB
AB
BAC
ACB
π
4
BAC
5π
12
ABC
5π
π
π
π
π
π
π
sin
sin
sin
sin
cos
cos
sin
12
4
6
4
6
4
6
ABC
2
1
2
3
2
6
2
2
2
2
4
sin
sin
AC
BC
ABC
BAC
3
3
6
2
2
4
2
BC
3
6
2
3 2
6
4
4
2 3
2
2
6
2
6
2
BC
3
3
2 3
3 2
2
2
AB
BC
ABC
V
3
3 2
3 3
AB
AC
BC
BD
π
2
BAC
ACD
ACB
CAD
π
4
BAC
π
3
ACB
π
4
ACD
π
6
CAD
//
CD AB
5π
12
DAB
CBA
ABCD
π
4
BDC
ACD
3
3
BD
AC
又因为
，即
，设
，
所以四边形
的面积
.
6．【答案】(1)
(2)
.
(3)
．
【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边
的边长.从而得到面积.，
（2）在
中用余弦定理得到
得余弦及正弦值，从而得到
的余弦值，进而求出
的面
积.
（3）由（2）知，可设出
，通过正余弦定理在
表示出
，表示出
，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问.
【详解】（1）在
中，由余弦定理可得:
，则
．
因为
是等边三角形，所以
的面积
．
（2）在
中，由余弦定理可得
，
则
，故
，
π
2
ACD
BDC
BD
AC
AC
BD
O
ABCD
1
1
2
2
ABD
BCD
S
S
S
BD
OA
OC
BD AC
2
1 3
3
6
3 3
2
7 3
4
3 7
9 3
8
9 3
3
4
ABC
ACD
ACD
BCD
BCD
ACD=θ
ACD
AC cosθ
1
sin
60
2
S
BC CD
ACD
2
2
2
2
cos
7
AC
AD
CD
AD CD
ADC
7
AC
ABC
V
ABC
V
2
3
7 3
4
4
S
AC
ACD
2
2
2
2
cos
AD
AC
CD
AC CD
ACD
2
2
2
3
cos
2
4
AC
CD
AD
ACD
AC CD
7
sin
4
ACD
因为
是等边三角形，所以
，
所以
，
则
的面积为
，
（3）设
，
，
在
中，由正弦定理可得
，则
，
由余弦定理可得
，
，
则
，
所以
的面积：
，
因为
，
，
所以
，
当
时，
取得最大值
，即
的面积的最大值为
．
题型06 解三角形融合交汇问题
🎯命题方向一 三角函数与复数的创新融合
1.【答案】（1）
；
（2）
.
ABC
V
60
ACB
sin
sin
60
BCD
ACD
7
3 3
sin
cos60
cos
sin 60
8
ACD
ACD
BCD
△
1
1
7
3 3
3 7
9 3
sin
2 3
2
2
8
8
BC CD
BCD
ACD
ADC
ACD
sin
sin
AD
AC
sin
2sin
AC
2
2
2
2
cos
13 12cos
AC
AD
CD
AD CD
2
2
2
2
cos
AD
AC
CD
AC CD
2
5
18 12cos
cos
3
2cos
6
6
AC
AC
BCD
△
1
3
3
3 3
sin
sin
60
sin
cos
2
2
4
4
S
BC CD
BCD
AC
AC
AC
sin
2sin
AC
cos
3
2cos
AC
3
3 3
9 3
9 3
sin
cos
3sin
60
2
2
4
4
S
150
S
9 3
3
4
BCD
△
9 3
3
4
【分析】（1）将
代入求得
，利用复数的除法运算法则，分子分母同乘分母的共轭复数进行化简求解。
(2) 先根据复数乘法运算求出
，进而得到
，通过图象变换得到
，最后利用正弦函数的单调性
求其单调递增区间。
【详解】（1）当
时，
所以
.
（2）因为
，所以
，
所以
，
将
图象上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍（纵坐标不变）得
，
令
，解得
，
所以
的单调递增区间是
🎯命题方向二 三角函数与数列的创新融合
2．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数性质
，结合正弦函数的对称性，得到相位
满足的条件，再
由
确定
的值.
（2）将
代入，解方程
得到正数解的通项公式，将其整理为等差数列形式，再利用等差
数列求和公式求前项和.
【详解】（1）因为函数
是偶函数，所以
，
，整理可得
，所以
，
因为
，所以
.
（2）由
得
，
解得
，
从小到大排列为：
，所以
，
.
🎯命题方向三 解三角形与平面向量融合
3. 【答案】（1）
（2）
.
【分析】（1）根据三角形面积公式及向量的数量积求解即可.
（2）求出向量
，对
进行平方可得到
，将对应向量代入化简可得
，
结合余弦定理求出
，代入求值即可
【详解】（1）因为
，
，
，
所以
，即
，
因为
，
，所以
，
又因为
，所以
.
2π
3
A
5
7
CD
2
CD
AD
2
2
4
CD
AD
2
b
c
a
1
sin
2
S
bc
A
cos
cos
AB AC
AB
AC
A
cb
A
2
3
0
S
AB AC
2
3
0
1
sin
cos
2 bc
A
cb
A
sin
3
cos
0
bc
A
bc
A
0
bc
cos
0
A
tan
3
A
0
π
A
2π
3
A
（2）因为
，
.
因为
，所以
，则
，
即
.
整理得
，即
，也即
.
因为
，所以
，即
.
在
中，由余弦定理知，
，
所以
.
4．【答案】（1）
；（2）
.
【分析】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的应用，结合考查了两向量平行，属于一般题.
第二问属于典型的已知三角形一角和该角所对边的问题，可以利用圆中弦所对圆周角相等的这个几何性质
求出三角形边长范围.
【详解】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角
的大小；
（2）根据余弦定理求出
的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围.
【详解】（1）由
得
，
由正弦定理
，得
，
即
，因为在三角形中
，则
，
又
，故
；
（2）在
中，因
，
，由余弦定理得
，
4
1
3
3
AD
AB
AC
4
1
4
2
3
3
3
3
CD
AD
AC
AB
AC
AC
AB
AC
2
CD
AD
2
CD
AD
2
2
4
CD
AD
2
2
4
2
4
1
4
3
3
3
3
AB
AC
AB
AC
2
0
AB
AB AC
2
cos
0
c
c b
A
1
0
2
c c
b
0
c
1
0
2
c
b
2
b
c
ABC
V
2
2
2
2
2
2
1
2
cos
2
2 2
7
2
a
b
c
bc
A
c
c
c c
c
2
2
2
2
2
2
2
5
7
7
c
b
c
c
c
a
2
3
C
2 3,2
3
C
a
b
//
m
n
2
2 cos
2 cos
cos
a
C
c
A
C
b
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
2cos (sin
cos
sin
cos )
sin
C
A
C
C
A
B
2cos
sin(
)
sin
C
A C
B
sin(
)
sin
0
A C
B
1
cos
2
C
(0, )
C
2
3
C
ABC
3
c
2
3
C
2
2
2
3
c
a
b
ab
即
，当且仅当
时取等号，解得
，
又由三角形性质得
，故
，则
，
即
的周长的取值范围为
.
5．【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）先计算向量数量积，通过三角恒等变换将
化简为
形式，再根据正弦函
数单调性求单调递减区间.
（2）由
求出角A，结合正弦定理将
转化为边的关系，再用余弦定理求出
，最后
代入三角形面积公式计算.
【详解】（1）由题意得
，
令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
.
（2）因为
为锐角三角形，由
得
，
由
可得
，所以
，故
，
在
中，由正弦定理得
，所以
，
所以
①，
由余弦定理得
，得
②，
由①②解得
，
所以
的面积为
.
🎯命题方向四 解三角形与三角函数融合
6．【答案】(1)
；
2
2
(
)
3
3
2
a
b
a
b
ab
a
b
2
a
b
3
a
b
c
3
2
a
b
2 3
2
3
a
b
c
ABC
2 3,2
3
π
2sin(2
)
3
f x
x
π
π
(
,0),
Z
6
2
k
k
(2)
【分析】（1）由
的图象，求得
，得到
，得到
，再由
，即
，求得
，即可函数
的解析式及对称中心；
（2）由
，求得
，由正弦定理得
，得到
，化简得到
的周长为
，结合
为锐角三角形，得到
，结合三角函数的性质，即
可求解.
【详解】（1）解：由函数
的图象，可得
，
可得
，所以
，所以
，
又由
，即
，
解得
，即
，
因为
，所以
，
所以函数
的解析式为
；
令
，可得
，
所以
的对称中心为
.
（2）解：因为
，可得
，即
，
因为
，可得
，所以
，所以
，
又因为
，由正弦定理可得
，则
，
(4 3
4,12]
f
x
π
T
2
2sin 2
f
x
x
5π
(
)
2
12
f
5π
sin(
)
1
6
π
3
f
x
3
f C
π
3
C
8
2
3
R
8
8
sin
,
sin
3
3
b
B a
A
ABC
V
π
8sin(
)
4
6
l
A
ABC
V
π
π
6
2
A
f
x
3
5π
π
3π
(
)
4
12
3
4
T
π
T
2π
2
T
2sin 2
f
x
x
5π
5π
(
)
2sin(2
)
2
12
12
f
5π
sin(
)
1
6
5π
π
2 ,
Z
6
2
k k
π
2 ,
Z
3
k k
π
π
2
2
π
3
f
x
π
2sin(2
)
3
f x
x
π
π,
Z
x
k
k
2
3
π
π ,
Z
6
2
k
x
k
f
x
π
π
(
,0),
Z
6
2
k
k
3
f C
π
2sin(2
)
3
3
f x
C
π
3
sin(2
)
3
2
C
π
(0, )
2
C
π
π 2π
2
(
,
)
3
3
3
C
π
π
2
3
3
C
π
3
C
4
c
4
8
2
π
3
sin 3
R
8
8
sin
,
sin
3
3
b
B a
A
所以
的周长为
因为
，可得
，
所以
，
因为
为锐角三角形，可得
，可得
，可得
，
则
，可得
，
所以
的周长为
.
7．【答案】(1)
(2)
，其中
；最大值为
【分析】（1）根据题意，由正弦定理得
，求得
，进而求得
的长，得到三角形的周长；
（2）由
，根据正弦定理得到
，结合三角函数的性质，即可求
解.
【详解】（1）解：由
，
可得
，即
，
设三角形
的外接圆半径是
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，又
ABC
V
8
8
8
sin
sin
4
sin
sin
4
3
3
3
l
a
b
c
B
A
B
A
2π
3
A
B
2π
3
B
A
8
2π
π
[sin(
)
sin
]
4
8sin(
)
4
3
6
3
l
A
A
A
ABC
V
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
π
π
6
2
A
π
π
2π
3
6
3
A
π
3
sin(
)
(
,1]
6
2
A
π
8sin(
)
4
(4 3
4,12]
6
A
ABC
V
(4 3
4,12]
3 2
2 3
6
π
4 3sin
2 3
6
f x
x
2π
0
3
x
6 3
2
sin sin
sin sin
2 sin
2 3
R
B
C
C
B
R
A
2
R
, ,
a b c
B
x
2
4 3sin
2 3, 0
6
π
π
3
y
x
x
2
2
cos
cos
3
2
2
2
C
B
b
c
b
c
1 cos
1 cos
3
2
2
2
C
B
b
c
b
c
cos
cos
2 3
b
C
c
B
ABC
R
2
sin cos
sin
cos
2 sin(
)
2 sin
2 3
R
B
C
C
B
R
B
C
R
A
3
sin
2
A
2
R
6
2
sin
sin
3
4
4
C
又由
，解得
，
所以三角形
的周长为
.
（2）解：由
，且
，可得
，
可得
，
所以
，
由
，所以当
，即
时，
取到最大值
.
8．【答案】(1)1
(2)
3, 3
【分析】利用三角恒等变换整理可得
π
( )
2sin 2
1
6
f x
x
，结合最小正周期分析求解；
以
π
2
6
x
为整体，结合正弦函数最值可得
3
c .若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得
π
3
C
，
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得
π
2 3sin
3
a
b
A
，结合正弦函数分析求解；若选条件
②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得
π
3
C
，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得
π
2 3sin
3
a
b
A
，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得
π
3
C
，利用
正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得
π
2 3sin
3
a
b
A
，结合正弦函数分析求解.
【详解】（1）由题意可知：
2
π
( )
2 3sin
cos
2cos
3sin 2
cos2
1
2sin 2
1
6
f x
x
x
x
x
x
x
，
4
3
2
6
2
2
2
4
a
b
c
2 3,
2 2,
6
2
a
b
c
ABC
2 2
2 3
2
6
3 2
2 3
6
y
B
x
π
3
A
π
2π
π
3
3
C
x
x
2π
4sin ,
4sin(
)
3
b
x c
x
2
3
1
4sin
4sin
2 3
4sin
4(
cos
sin )
2 3
3
π
2
2
y
f
x
x
x
x
x
x
π
π
2
6sin
2 3 cos
4 3sin
2 3, 0
6
3
x
x
x
x
π
π
2
5
(0,
)
(
,
)
3
6
6
π
π
6
x
x
π
π
6
2
x
π
3
x
y
f
x
6 3
因为函数
( )
f x 的最小正周期为π ，且
0
，所以
2π
1
2π
.
（2）由（1）可知：
π
( )
2sin 2
1
6
f x
x
，
因为
π
0, 2
x
，则
π
π 7π
2
,
6
6
6
x
，
可知当
π
π
2
6
2
x
，即
π
6
x
时，
( )
f x 取到最大值3，即
3
c .
若条件①：因为cos
cos
2 cos
a
B
b
A
c
C
，
由正弦定理可得sin
cos
sin
cos
2sin
cos
A
B
B
A
C
C
，
又因为
sin
cos
sin
cos
sin
sin
A
B
B
A
A
B
C
，
可得sin
2sin
cos
C
C
C
，且
π
0, 2
C
，则sin
0
C
，
可得
1
cos
2
C
，所以
π
3
C
，
由正弦定理可得
3
2 3
sin
sin
sin
3
2
a
b
c
A
B
C
，可得
2 3sin
,
2 3sin
a
A b
B
，
则
π
2 3sin
2 3sin
2 3sin
2 3sin
3
a
b
A
B
A
A
1
3
2 3sin
2 3
sin
cos
2
2
A
A
A
π
3sin
3cos
2 3sin
3
A
A
A
，
因为
ABC
V
锐角三角形，则
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
，解得π
π
6
2
A
，
可得
π
π
π
6
3
6
A
，则
1
π
1
sin
2
3
2
A
，可得
3
3
b
a
所以a b
的取值范围为
3, 3
；
若条件②；因为2 sin
cos
sin 2
3
a
A
B
b
A
a
，
由正弦定理可得：
2
2sin
cos
sin
sin 2
3sin
A
B
B
A
A
，
则
2
2sin
cos
2sin
sin
cos
3sin
A
B
B
A
A
A
，
因为
π
0,
2
A
，则sin
0
A
，可得
2sin
cos
2sin
cos
2sin
2sin
3
A
B
B
A
A
B
C
，
即
3
sin
2
C
，且
π
0,
2
C
，所以
π
3
C
，
由正弦定理可得
3
2 3
sin
sin
sin
3
2
a
b
c
A
B
C
，可得
2 3sin
,
2 3sin
a
A b
B
，
则
π
2 3sin
2 3sin
2 3sin
2 3sin
3
a
b
A
B
A
A
1
3
2 3sin
2 3
sin
cos
2
2
A
A
A
π
3sin
3cos
2 3sin
3
A
A
A
，
因为
ABC
V
锐角三角形，则
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
，解得π
π
6
2
A
，
可得
π
π
π
6
3
6
A
，则
1
π
1
sin
2
3
2
A
，可得
3
3
b
a
所以a b
的取值范围为
3, 3
；
若选③：因为
2
2
2
3
4
a
b
c
S
，则
1
3
2
cos
sin
2
4
ab
C
ab
C
，
整理得tan
3
C
，且
π
0,
2
C
，所以
π
3
C
，
由正弦定理可得
3
2 3
sin
sin
sin
3
2
a
b
c
A
B
C
，可得
2 3sin
,
2 3sin
a
A b
B
，
则
π
2 3sin
2 3sin
2 3sin
2 3sin
3
a
b
A
B
A
A
1
3
2 3sin
2 3
sin
cos
2
2
A
A
A
π
3sin
3cos
2 3sin
3
A
A
A
，
因为
ABC
V
锐角三角形，则
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
，解得π
π
6
2
A
，
可得
π
π
π
6
3
6
A
，则
1
π
1
sin
2
3
2
A
，可得
3
3
b
a
所以a b
的取值范围为
3, 3
.
