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专题4 分段数列
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现
的概率变大,由于分段数列问题大多涉及分类讨论思想,对能力要求更高,作为压轴题出现的频率更高,本专
题总结分段数列的常见类型及求解,供大家参考.
（一）分段数列求通项
分段数列求通项,关键是确定n 在不同范围内取值时
与
的关系,恰当进行分类是求解的难点.
【例1】（2024 届四川省成都石室中学高三下学期适应性考试）已知数列
满足
当
时,
(1)求
和
,并证明当
为偶数时
是等比数列；
(2)求
及
.
【解析】（1）因为
当
时,
,
所以
,
.
,
,又
,
当
为偶数时,
是以
为首项,以
为公比的等比数列；
（2）由（1）知,
,
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设
,则
为偶数时,
当
为奇数时,
；
设
,
为奇数时,
,
所以
.
.
（二）分段数列求和
对于分段数列求和,一般数列分几段,求和时也分几段,对于
型的数列求和,一定要
注意若
为偶数,则奇数项与偶数项各有
项,若n 为奇数,则奇数项有
项,偶数项有
,若
是公
差为
的等差数列,则
的奇数项是公差为
的等差数列,若
是公比为
的等比数列,则
的偶数
项是公比为
的等比数列.
【例2】（2024 届广东省名校教研联盟高三下学期5 月模拟）已知数列
是公差不为0 的等差数列,其前
n 项和为
,
,
,
,
成等比数列．
(1)求
的通项公式；
(2)若
,
,求数列
的前100 项和
．
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【解析】（1）设数列
的首项为
,公差为
,
根据题意得
即
解得
或
．
又因
,所以
．所以
的通项公式为
．
（2）由（1）得
．
即数列
的偶数项是以4 为首项,4 为公差的等差数列,
奇数项是以
为首项,16 为公比的等比数列．
数列
的前100 项中偶数项有50 项,奇数项有50 项,
数列
的前100 项和
．
,
．
所以
．
【例3】（2024 届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）若各项均为正数的数列
满足
（
为常数）,则称
为“比差等数列”.已知
为“比差等数列”,且
.
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(1)求
的通项公式；
(2)设
,求数列
的前
项和
.
【解析】（1）由
为“比差等数列”,
得
,从而
.
设
,则
,
所以数列
为等差数列.
因为
,所以
为常数列,
因此,
,即
,
所以
是首项为
,公比为
的等比数列,因此
.
（2）当
为偶数时,
；
当
为奇数时,
.
综上,
.
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（三）
型的分段数列
此类问题比较简单,求解时只需分n 为偶数与奇数即可,求指定项时要注意区分该项在奇数项或偶数项中的位
置,求和时要注意奇数项与偶数项的项数.
【例4】已知数列
的奇数项是首项为1 的等差数列,偶数项是首项为2 的等比数列.数列
前
项和为
,且满足
(1)求
；
(2)求数列
的通项公式及数列
的前2k 项和
;
(3)在数列
中,是否存在连续的三项
,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的
正整数
的值;若不存在,说明理由
【解析】（1）设等差数列的公差为
,等比数列的公比为
,
则
,
因为
,所以
,即
,
因为
,所以
,即
,
解得
,
所以
；
（2）由（1）知
,
所以对于
,有
,
,
所以
（
）,
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（3）在数列
中,仅存在连续三项
按原来的顺序成等差数列,此时正整数
,
下面说明：
若
,则由
,得
,
化简得
,
此式左边是偶数,右边是奇数,不可能成立,
若
,则由
,得
,化简得
,
令
,则
,
所以
,所以只有
,此时
,
综上,在数列
中,仅存在连续三项
按原来的顺序成等差数列,此时正整数
.
（四）
型的分段数列
求解此题问题,一般是由已知条件推出
与
（或
与
,
与
）的递推关系,再构造等
差（比）数列求通项.
【例5】设数列
满足：
是
的等比中项.
（1）求
的值；
（2）求数列
的前20 项的和.
【解析】（1）由已知
,
,
又
是
的比例中项,所以
,即
,显然
且
,故解得
；
（2）
是奇数时,
,
,
,而
,
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所以数列
是等比数列,
．
（五）相邻项和（积）为等差（比）数列型的分段数列
1.若
,则当
时,
,两式相减得
,即数列
与数列
均是公差为
的等差数列.
2.若
,则
,两式相除得
,即数列
与数列
均是
公比为
的等比数列.
【例6】设数列
的前n 项和为
,且
．
（1）求
；
（2）若
对
恒成立,求
的取值范围．
【解析】（1）因为
,当
时,
,
两式相减得
,则
,
两式相减得
．
当
时,
,则
；当
时,
,则
,
所以
.
（2）由（1）得
．
要使
对
恒成立,则
即
解得
,
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所以
的取值范围为
.
（六）
型的分段数列
求解此类问题,关键是确定分界点
.
【例7】（2023 年高考全国乙卷数学真题）记
为等差数列
的前
项和,已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【解析】（1）设等差数列的公差为
,
由题意可得
,即
,解得
,
所以
,
（2）因为
,
令
,解得
,且
,
当
时,则
,可得
；
当
时,则
,可得
；
综上所述：
.
【例8】（2024 届吉林省长春市东北师大附中高三第六次模拟）记集合
无穷数列
中存在有限
项不为零,
,对任意
,设
．定义运算
若
,
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则
,且
．
(1)设
,用
表示
；
(2)若
,证明：
：
(3)若数列
满足
,数列
满足
,设
,
证明：
．
【解析】（1）因为
,所以
,
所以
,
根据多项式的乘法可得：
．
（2）因为
,
所以
．
又
,
所以
,
所以
（3）对于
,
因为
,所以
,
所以
,
所以
,
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所以
．
所以
．
所以
．
所以
(七)含
或
型的分段数列
求解含
或
型的分段数列问题,一般借助三角函数的周期性求解,求和时通常把一个周期内的项
求和后,构造新数列求解.
【例9】（2024 届山东潍坊高三三模）已知正项等差数列
的公差为2,前项和为
,且
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)若
求数列
的前
项和.
【解析】（1）因为
,
所以
,即
,解得
或,
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又因为
,所以
,所以
.
（2）
,所以
,
所以为奇数时,
,
为偶数时,
,
所以前
项和
.
(八)当
时
型的分段数列
求解此类问题的关键是判断在每个范围内数列项的个数.
【例10】已知数列
是等差数列,其前和为
,
,
,数列
满足
(1)求数列
,
的通项公式；
(2)若对数列
,
,在
与
之间插入
个2（
）,组成一个新数列
,求数列
的前83 项的
和
.
【解析】（1）设公差为
,故
,解得
,
故
,
故
,①
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当
时,
,
当
时,
,②
式子①-②得,
,
即
,当
时,
也满足上式,故
；
（2）因为
,所以在
中,从项
开始,到项
为止,
共有项数为
,
当
时,
,当
时,
,
故数列
前
项是项
之后还有
项为2,
.
【例11】（2023 年天津高考数学真题）已知
是等差数列,
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)设
是等比数列,且对任意的
,当
时,则
,
（Ⅰ）当
时,求证：
；
（Ⅱ）求
的通项公式及前
项和．
【解析】（1）由题意可得
,解得
,
则数列
的通项公式为
,
求和得
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.
（2）(Ⅰ)由题意可知,当
时,
,
取
,则
,即
,
当
时,
,
取
,此时
,
据此可得
,
综上可得：
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：
,
则数列
的公比
满足
,
当
时,
,所以
,
所以
,即
,
当
时,
,所以
,
所以数列的通项公式为
,
其前
项和为：
.
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【例1】（2024 届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列
,
,函数
,其中
,
均为实数．
(1)若
,
,
,
,
,
（ⅰ）求数列
的通项公式；
（ⅱ）设数列
的前项和为
,求证：
．
(2)若
为奇函数,
,
,
且
,问：当
时,
是否存在整数
,使得
成立．若存在,求出
的最大值；若不存在,请说明理由．（附：
,
）
【解析】（1）（ⅰ）
,
,
由
,
得
,解得
,
又
,
,
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,
是以2 为公比,2 为首项的等比数列．
．
（ⅱ）令
,则
,
．
显然,当
时,
是递增数列,
在
时,单调递减,
可得
,
．
．
（2）
为奇函数,
．
,
又
,
,
,
．
,
由
得,
．
,
,
,
,
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在
上为增函数,
当
时,
,
；
,
．
当
时,
．
时,
,又
,
当
时,
,
．
又
,
的最大值为5．
【例2】（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知
为等差数列,
,记
,
分别为数
列
,
的前n 项和,
,
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时,
．
【解析】（1）设等差数列
的公差为
,而
,
则
,
于是
,解得
,
,
所以数列
的通项公式是
.
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（2）方法1：由（1）知,
,
,
当
为偶数时,
,
,
当
时,
,因此
,
当
为奇数时,
,
当
时,
,因此
,
所以当
时,
.
方法2：由（1）知,
,
,
当
为偶数时,
,
当
时,
,因此
,
当
为奇数时,若
,则
,显然
满足上式,因此当
为奇数时,
,
当
时,
,因此
,
所以当
时,
.
【例3】（2024 年天津高考数学真题）已知数列
是公比大于0 的等比数列．其前项和为
．若
．
(1)求数列
前项和
；
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(2)设
,
．
（ⅰ）当
时,求证：
；
（ⅱ）求
．
【解析】（1）设等比数列
的公比为
,
因为
,即
,
可得
,整理得
,解得
或
（舍去）,
所以
.
（2）（i）由（1）可知
,且
,
当
时,则
,即
可知
,
,
可得
,
当且仅当
时,等号成立,所以
；
（ii）由（1）可知：
,
若
,则
；若
,则
,
当
时,
,可知
为等差数列,
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可得
,
所以
,
且
,符合上式,综上所述：
.
【例4】（2021 年新高考1 卷数学真题）已知数列
满足
,
（1）记
,写出
,
,并求数列
的通项公式；
（2）求
的前20 项和.
【解析】（1）由题设可得
又
,
,故
即
即
所以
为等差数列,故
.
（2）设
的前
项和为
,则
,因为
,
所以
.
【例5】（2024 届湖南长沙高三下学期三模）若各项均为正数的数列
满足
（
为常数）,则称
为“比差等数列”.已知
为“比差等数列”,且
.
(1)求
的通项公式；
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(2)设
,求数列
的前项和
.
【解析】（1）由
为“比差等数列”,
得
,
从而
.
设
,则
,
所以数列
为等差数列.
因为
,
所以
为常数列,
因此,
,即
,
所以
是首项为
,公比为
的等比数列,
因此
.
（2）当为偶数时,
；
当为奇数时,
.
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综上,
.
【例6】设
是数列
的前n 项和,已知
,
（1）证明：
是等比数列；
（2）求满足
的所有正整数n.
【解析】（1）由已知得
,
所以
,其中
,
,所以
是以
为首项,
为公比的等比数列；
（2）由（1）知
,所以
,
,
所以
,所以
,当
时,
单调递减,其中
,
,
,
所以满足
的所有正整数n 为1,2.
1.（2024 届福建省厦门市高三第四次质量检测）设
为数列
的前项和,已知
,且
为等
差数列.
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(1)求
的通项公式；
(2)若
,求
的前
项和
.
2．（2024 届重庆市第八中学校高三下学期5 月月考）已知数列
满足
,
．
(1)求
,
,
,并求证：
；
(2)求数列
的前2n 项和
．
3．（2024 届贵州省贵阳市第一中学等校高三下学期三模）已知正项数列
的前项和为
,且满足
.试求:
(1)数列
的通项公式;
(2)记
,数列
的前项和为
,当
时,求满足条件的最小整数.
4．（2024 届天津市武清区杨村第一中学高考热身练）已知数列
是正项等比数列,
是等差数列,且
,
(1)求数列
和
的通项公式;
(2)
,求数列
的前
项和.
(3)
表示不超过的最大整数,
表示数列
的前
项和,集合
共有
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4 个元素,求
范围;
5．（2024 届天津市第一中学高三第五次月考）已知数列
是等差数列,
,
,数列
的前n 项和为
,且
,
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若集合
中恰有四个元素,求实数
的取值范围；
(3)设数列
满足
,
的前n 项和为
,证明：
．
6．（2024 届山西省高考三模）已知等差数列
的公差
,前项和为
,且
,
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
,求数列
的前
项和
.
7．（2024 届福建省厦门市高三第二次质检）已知
为等差数列
的前n 项和,
,
,
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
为数列
的前n 项和,若
,求n 的最小值.
8．（2024 届天津市十二区重点学校高三下学期联考）设
是等差数列,其前项和
,
是等比数列,且
,
,
.
(1)求
与
的通项公式；
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(2)设
,求数列
的前
项和
；
(3)若对于任意的
不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
9．（2024 届山东省烟台市高三二模）已知
是公差不为0 的等差数列,其前4 项和为16,且
成等
比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
,求数列
的前
项和
.
10．已知等差数列
的前项和为
,
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求数列
的前项和
.
11．已知
的前项和是
,且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
求数列
的前
项和
．
12．已知正项数列
的前项和为
,且满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
的前项和为
,求
.
13.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,a1＝－9,a2为整数,且a5≤0,a6≥0.
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(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设b1＝,bn＋1＝(n∈N*),求{bn}的前n 项和Tn.
14.（2020 天津高考真题）已知
为等差数列,
为等比数列,
．
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（2）对任意的正整数,设
求数列
的前
项和．
15.（2024 届广东省广州实验中学校考）已知数列
na
满足
1
2
1,
1
3 ,
2
n
n
n
a
n
a
a
n
当为奇数时
当为偶数时,且
na
的前100
项和
100
3775
S
(1)求
na
的首项
1a ；
(2)记
2
1
2
1
n
n
n
b
a
a
,数列
nb
的前n 项和为
nT ,求证：
3
2
nT
.
16．（2024 云南省昆明市五华区高三上学期第五次检测数学试题）已知数列
满足
,
数列
满足
．
(1)求
,
的值及数列
的通项公式；
(2)若
（
,
）,求
的取值范围；
(3)在数列
中,是否存在正整数
, ,使
,
,
（
,
,
）构成等比数列？若存在,求符合条
件的一组
的值,若不存在,请说明理由．
