专题7.6空间向量的应用十二大题型（原卷版）_11.4-2_2026-11-04

      
      
专题7.6 空间向量的应用【十二大题型】

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Ė‚ 2-1ď2024 Žö·no·Ĩ•Ĕ¦ù,¤La&/Ĵ𝐴𝐵𝐶𝑃:L𝐴𝑃∥𝐵𝐶L𝐴𝑃⊥𝐴𝐵L
𝐴𝐵= 𝐵𝐶=
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𝐴𝐵𝐶𝐷LĸJ !"𝐴𝑃 ∥$(𝐸𝐹𝐺.
      
      
Ė‚ 2-2ď2024 Ž·no·Ĩ•Ĕ¦ùLaįİĹ𝑂−𝐴𝐵𝐶𝐷:Lij(𝐴𝐵𝐶𝐷fĺL𝑂𝐴⊥ij(
𝐴𝐵𝐶𝐷L𝑂𝐴= 2L𝐴𝐷= 2𝐴𝐵= 2L𝑀f𝑂𝐴.:1L𝑁f𝐵𝐶.:1L*!
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Ė‚ 2-3ď23-24 Žö·Ļļ·ħªĨ•Ĕ¦ùLĩįİĹ𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷.f 6L𝐴𝐵= 3 2LÄ M rİ𝑃𝐶
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𝐷1L𝐵𝐷L𝐵1𝐶.:1¥!"
  
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(2)$(𝑀𝑁𝑃//$(𝐶𝐶1𝐷1𝐷¥
Ė‚ 3-2ď23-24 ŽĪ·no·ŀÊdŁĔ¦ùLaāJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:L𝐴𝐵= 4L𝐵𝐶= 3L𝐶𝐶1
= 2.*!
$(𝐴1𝐶1𝐵//$(𝐴𝐶𝐷1.
      
      
Ė‚ 3-3ď23-24 Žö·łŃńŅ·ħªĨ•Ĕ¦ùLaāJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:L𝐴𝐵= 4L𝐵𝐶= 3L
𝐶𝐶1 = 2.
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D¥𝐴𝐶1 ⊥𝐴1𝐶
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Ć/L𝐴𝐶= 2 2,𝑃𝐵=
2,𝑃𝐵⊥$(𝐴𝐵𝐶,𝑀f𝑃𝐶.:1.!"
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Ė‚ 4-3ď2024 Ć·no·Ĩ•ĔëĆİı𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1.ōİāőf4,∠𝐴1𝐴𝐵= 60∘L1𝐴1aĪij
(𝐴𝐵𝐶.øíf𝐴𝐵.:1𝑂.aİ𝐵𝐵1ďŒœ1ĔörņjaR1𝐷·𝐴1𝐷⊥𝐴𝐶1ŇćjaL*Ô𝐵𝐷.ā‹ć
ÅjaLňĬ"ʼn‹
      
      
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(1)*ŖĩĆİŕ.£(Ĉ‹
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Ė‚ 5-1ď2024 Ć·no·Ĩ•Ĕõ¡ĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1.İāf1L𝑀5𝑁5𝑃G´rİ𝐶
𝐶15𝐵𝐶5𝐶𝐷.:1L*!
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Ė‚ 5-2ď2024 Ć·no·Ĩ•Ĕ¦ùLõ¡&Ćİı𝐴𝐵𝐶−𝐹𝐺𝐸,𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 4,𝐴𝐶⊥𝐵𝐶,𝑂f𝐵𝐶.:
1L𝐷fIJİ𝐵𝐺öR1LÄ𝐵𝐷=
1
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Ė‚ 5-3ď2024·«ŗ·ğĠġĢĔõ¡ĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1.İāf 1L𝐸aİ𝐷𝐷1öŘřL𝐹a#ª
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Ď 6ď2024 Ć·no·Ĩ•Ĕ¦ùLaij(rĺ.įİĹ𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷:L𝑃𝐴⊥$(𝐴𝐵𝐶𝐷L
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$(𝑃𝐶𝐷⊥$(𝑃𝐴𝐷.
      
      
Ė‚ 6-1ď2024 Ć·no·Ĩ•Ĕ¦ùLaįİĹ𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷:L𝑃𝐴⊥$(𝐴𝐵𝐶𝐷L𝐴𝐷⊥𝐶𝐷L𝐴𝐷//
𝐵𝐶L𝑃𝐴= 𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 2L𝐵𝐶= 3.𝐸f𝑃𝐷.:1L1𝐹a𝑃𝐶öLÄ
𝑃𝐹
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$(𝐴𝐸𝐹⊥$(𝑃𝐶𝐷.
Ė‚ 6-2ď23-24 ŽĪ·ŊĤ·Ē:Ĕa △𝐴𝐵𝐶:L𝐵=
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2,𝐴𝐵= 2𝐵𝐶= 4L1𝐷、𝐸G´fĿ𝐴𝐶、𝐴𝐵.:
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(1)*!
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𝐴𝐵⊥𝐴𝐷Lć𝐴𝐷= 2，𝐴𝐹= 𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐹𝐸= 1.
      
      
(1)*Š(7 ABCDEF .7Ĉ‹
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$(𝐶𝐷𝐸⊥$( AMD.
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Ď 7ď2024·Đđš·ğĠġĢĔõ¡Ćİı𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1Ŏă𝐵𝐵1
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2 + 𝐵𝐶⋅𝐵𝐴1 = 1L|𝐵𝐴1| =
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|𝐴𝐶1| = 3L²+(&#𝐵𝐴10𝐴𝐶1,-/.ãäåfď    Ĕ
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Ė‚ 7-3ď2024·no·ğĠġĢĔ¦ùLĺ ABCD rŧı𝑂1𝑂2.Ũũ(L1 E aŧ𝑂2öLć𝐴𝐷= 2
2L𝐴𝐵= 2 3L∠𝐵𝐴𝐸= 60°L²+(&# BD 0𝑂1𝐸,-/.ãäåfď    Ĕ
      
      
  
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3𝐵1𝐶1L²&#𝐷𝐸0$(𝐴𝐶𝐶1𝐴1,-/.ĩäåfď    Ĕ
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1ĔL1𝑄r#ª𝐴𝐶.:1L³𝑃𝑄0$(𝐴𝐶𝐷1,-/f𝜃L²cos𝜃.ś‰årď    Ĕ
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∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 60°.
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(2)ć E f𝐵𝐶:1L1 F Ŏă𝐸𝐹= 𝐷𝐴L*&#𝐵𝐹0$(𝐴𝐵𝐷,-/.ãäå.
      
      
Ė‚ 8-3ď2024·ůūŰš·ğĠġĢĔ¦ùL&#𝑃𝐷)&wĴ𝐴𝐵𝐶𝐷,a.$(L
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°L𝐹f#ª𝑃𝐴.:1L𝑃𝐷=
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(2)*&#𝐴𝐸0$(𝐵𝐶𝑃,-/.ĩäå.
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Ď 9ď2024·įŬ·ğĠġĢĔ¦ùL‘(7𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹:Lõ¡(𝐴𝐵𝐶𝐷rĿāf 4 .ĩJL △𝐹𝐵𝐶r
‡ĿĆ/L𝐸𝐹//𝐴𝐵L𝐸𝐹=
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2𝐴𝐵L$(𝐹𝐵𝐶⊥$(𝐴𝐵𝐶𝐷¥
(1)*!
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Ė‚ 9-1ď2024·įŬűŲ·ĆğĔ¦ùL$%ų(7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:Lij(𝐴𝐵𝐶𝐷rĿāf 2 .ťL
      
      
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6,∠𝐴1𝐴𝐵= ∠𝐴1𝐴𝐷,𝐴𝐴10$(𝐴𝐵𝐶𝐷,-./f45°,𝐴𝐶0𝐵𝐷Ùw𝑂¥
(1)!"
𝐴1𝑂⊥$(𝐴𝐵𝐶𝐷‹
(2)*Ž(/𝐵−𝐶𝐶1−𝐷.ĩäå¥
Ė‚ 9-2ď2024·Ŋđ·ĆğĔ¦ùLįİĹ𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷.ij(𝐴𝐵𝐶𝐷rĴL
𝐵𝐶//𝐴𝐷,𝑃𝐴= 𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 1,𝐴𝐷= 2,𝑃𝐶=
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(2)aİ𝑃𝐷örņjaR1 EL·¸Ž(/𝐸−𝐴𝐶−𝑃.ãäåf 6
3 .ćjaL*Ô𝑃𝐸:𝐸𝐷.å‹ćÅjaLň
Ĭ"ʼn.
Ė‚ 9-3ď2024·ĻļŴŵ·ğĠġĢĔ¦ù 1LaŠĿ𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸:L𝐴𝐵= 𝐵𝐷L𝐴𝐷⊥𝐷𝐶L𝐸𝐴= 𝐸𝐷Ä
𝐸𝐴⊥𝐸𝐷LÇ △𝐴𝐸𝐷ĵ𝐴𝐷Ķ-ù 2L·¸𝐸𝐵= 𝐴𝐵L𝐹f𝐴𝐸.:1¥
      
      
(1)!"
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(2)ć𝐸𝐵0$(𝐴𝐵𝐶𝐷,-./f30°L*Ž(/𝐴−𝐸𝐵−𝐷.ĩäå¥
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Ď 10ď2024·ėļ}Ŷ·RğĔİāf 3 .ĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:L1 ELF Ŏă𝐷1𝐸= 2𝐸𝐷L⃗𝐵𝐹= 2⃗
𝐹𝐵1L²1 E 2&#𝐹𝐶1.34fď    Ĕ
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5
B¥2 35
5
C¥3 7
5
D¥2 7
5
Ė‚ 10-1ď23-24 Žö·ŲĘŷŸ·ħªĨ•Ĕ¦ùLaĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:L𝐴𝐵= 1LMLN G
´rİ ABL𝐶𝐶1.:1LE r BD .:1L²+(&#𝐷1𝑀LEN @.34fď     Ĕ
A¥ 2
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Ė‚ 10-2ď2024·no·ğĠġĢĔõ¡a?@&/ÑÒQ:L&#𝑙Ź–𝐴(3,3,3)L𝐵(0,6,0)¿1L²1
𝑃(0,0,6)2&#𝑙.34rď    Ĕ
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Ė‚ 10-3ď23-24 ŽĪ·ĻŏźŅ·Ē:ĔaįİĹ𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷:Lij(𝐴𝐵𝐶𝐷rĿāf 3 .ĩJL𝑃𝐴⊥
ij(𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑃𝐴= 6L1𝐺aIJİ𝑃𝐵öLÄŎă2𝑃𝐺= 𝐺𝐵L²+(&#𝑃𝐶'𝐷𝐺.34fď    Ĕ
A¥3 14
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Ď 11ď2024·ėĘ·ĆğĔ¦ùLĿāf 4 .¿ÆĩĆ/𝐴𝐵𝐶L𝐵𝐶𝐷,a$(âØ)&L𝐸L𝐹G´f
𝐵𝐶L𝐶𝐷.:1L1𝐺aİ𝐴𝐷öL𝐴𝐺= 2𝐺𝐷L&#𝐴𝐵0$(𝐸𝐹𝐺ØÙw1𝐻.
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Ė‚ 11-2ď2024 Žö·no·Ĩ•Ĕ&įİı𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:Lij(𝐴𝐵𝐶𝐷fĩJLĿāf
2LIJİ𝐴1𝐴= 3L𝑀、𝑁G´f𝐴1𝐵1、𝐴1𝐷1.:1L𝐸、𝐹G´r𝐶1𝐷1,𝐵1𝐶1.:1¥
    
(1)*!
$(𝐴𝑀𝑁 //$(𝐸𝐹𝐵𝐷‹
(2)*$(𝐴𝑀𝑁0$(𝐸𝐹𝐵𝐷.34¥
Ė‚ 11-3ď2024·ŊĤţŤ·ğĠġĢĔ¦ùLĆİı𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1:L△𝐴𝐵𝐶rĿāf 2 .‡ĿĆ/L
𝐴𝐴1 = 𝐴1𝐶.
  
(1)!"
𝐴1𝐶1 ⊥𝐴1𝐵‹
(2)ćĆİı𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1.7Ĉf 3LÄ&#𝐴𝐴10$( ABC ,-/f 60°L*1𝐴12$(𝐵𝐶𝐶1𝐵1.34.
      
      
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𝐶𝐹∥$(𝐴𝐷𝐸‹
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2 L¦§jaL*𝑀𝐵.ā¥
Ė‚ 12-1ď2024·ƃŅƄļ·RğĔ¦ù,¤f&įİı𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1,𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 2 2,𝐶𝐵= 𝐶𝐷= 4,𝐴
𝐴1 = 4L∠𝐵𝐶𝐷= 60°L𝑀,𝑀1G´r#ª𝐵𝐶,𝐵1𝐶1.:1.
(1)!":𝐵𝐶⊥$(𝑀𝑀1𝐷‹
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ĵ𝐴𝐶ĶķL·1 D 2Ɗ1 P OPLÄ𝑃𝐶⊥𝐵𝐶LƋĂ𝑃𝐵¸ĆİĹ𝑃−𝐴𝐵𝐶L¦ù 2¥
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Ė‚ 12-3ď2024·ƌÐƆƍ·ŽğĔĆİı𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1:L𝐴𝐵⊥𝐴𝐶L𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2LIJ(𝐴1𝐴𝐶𝐶1fĺ
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②ć𝑚⊂𝛼,𝑛⊂𝛼Ä𝑚//𝛽,𝑛//𝛽L²𝛼//𝛽
③ć𝑚⊥𝛼,𝑛//𝛽LÄ𝑚⊥𝑛L²𝛼⊥𝛽
④ć𝑚⊥𝛼,𝑛//𝛽LÄ𝑚//𝑛L²𝛼//𝛽
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B¥2
C¥3
D¥4
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Ɛ:ĩģ.rď    Ĕ
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B¥$(𝐵𝐷𝐶1 ⊥$(𝐴𝐶𝐷1
C¥𝐸𝐹⊥$(𝐵𝐷𝐷1𝐵1
D¥$(𝐴𝐵𝐵1𝐴1tja0𝐸𝐹$%.&#
3¥ď2024·ůūŰš·ğĠġĢĔõ¡&Ćİı𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1:L∠𝐴𝐵𝐶= 120°L𝐴𝐵= 𝐶𝐶1 = 2L𝐵𝐶= 1L²
+(&#𝐴𝐵10𝐵𝐶1,-/.ãäåfď    Ĕ
A¥ 3
2
B¥ 15
5
C¥ 10
4
D¥ 3
3
4¥ď2024·Ļļã·ğĠġĢĔõ¡𝐴(−1,−1,−1)L&#𝑙–Ɠ1Ä$%w𝑎= (0,1,2)L²𝐴2𝑙.34f
ď    Ĕ.
A¥2 5
5
B¥1
C¥ 30
5
D¥ 35
5
5¥ď2024·ĻļŴŵ·ğĠġĢĔaĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:L$(𝛼Ź–1𝐵,𝐷L$(𝛽Ź–1𝐴,𝐷1LŚ$
(𝛼,𝛽G´ũĩJ7,¸ũ((ĈśôL$(𝛼0$(𝛽.X/.ãäåfď    Ĕ
A¥
1
2
B¥ 3
3
C¥ 6
3
D¥  3
2
6¥ď2024·ĻŏƔƕ·ğĠġĢĔİāf 2 .ĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:L³1𝑃fij(𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1tďŒĿƖĔ
      
      
.ř1L²1𝐴,𝐶12$(𝑃𝐵𝐷34y'.ś‰åfď    Ĕ
A¥ 3
3
B¥2 3
3
C¥ 2
2
D¥ 2
3
7¥ď2024·ūƗƘƙ·ğĠġĢĔaĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:L1𝑃f#ª𝐵𝐷1ö.ř1L&#𝑚f$(𝐴1𝐷𝑃
0$(𝐵1𝐶𝑃.Ù#LƚN¦ĪĬ 
①Åja1𝑃L·¸𝐵𝐵1//$(𝐴1𝐷𝑃
②ja1𝑃L·¸𝐵1𝑃⊥$(𝐴1𝐷𝑃
③Ś1𝑃År𝐵𝐷1.:1LőN𝑚/$(𝐴1𝐵1𝐶𝐷
④Ś1𝑃År𝐵𝐷1.:1LőN𝑚⊥$(𝐴𝐵𝐷1
ï:ĩģ.Ĭ Nď    Ĕ
A¥①③
B¥③④
C¥②③
D¥①④
8¥ď2024·ƛļ·ğĠġĢĔa$%ų(7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:Lõ¡𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 𝐴𝐴1 = 1L∠𝐴1𝐴𝐵= ∠𝐴1
𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷= 60°L²ĪīƜ:ĭĮ.RƜrď    Ĕ
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B¥#ª𝐴1𝐶.ā†f 2
C¥&#𝐴1𝐶0𝐵𝐵1,-./f 90°
D¥&#𝐴1𝐶0$( ABCD ,-/.ĩäåf 6
3
Ž5‘
9¥ď2024·ĐĤ·ğĠġĢĔõ¡ĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1,𝑃f𝐴𝐴1:1L𝑄f BC :1L²ď   Ĕ
      
      
A¥&# PD 0&#𝑄𝐵1$%
B¥&#𝑃𝐶10&#𝑄𝐷1)&
C¥&# PQ 0&#𝐴1𝐵ØÙ
D¥&# PQ 0&#𝐷𝐵1+(
10¥ď2024·ėļƃƝ·ğĠġĢĔ¦ùLaĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:LP f#ª𝐴1𝐶1.:1LQ f#ª𝐵𝐶1
ö.ř1ďÅƞƟœ1ĔL²ď    Ĕ
A¥ja1 QL·¸𝑃𝑄//𝐵𝐷
B¥ja1 QL·¸𝑃𝑄⊥$(𝐴𝐵1𝐶1𝐷
C¥ĆİĹ𝑄−𝐴𝑃𝐷.7ĈrVå
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1
3
11¥ď2024·ĐĤƠƎ·ŽğĔ¦ùLaĩįİı𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:L𝐴𝐴1 = 2𝐴𝐵= 2,𝐸rİ𝐴𝐴1.:1L𝑃
f#ª𝐵𝐷1ö.1ď+wœ1ĔLÄ𝐸𝐷= 𝑃𝐷L²ĪīĬ ĩģ.rď    Ĕ
  
A¥𝐸𝐷1r$(𝐸𝐷𝐶.RÆ 
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3
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C¥1𝑃2$(𝐸𝐶𝐷1.34f 6
18
D¥Ž(/𝑃−𝐸𝐶−𝐷.ĩäåf3 21
14
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13¥ď2024·ėĘ·RğĔaĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:L1 P5Q G´a𝐴1𝐵15𝐶1𝐷1öLÄ𝐴1𝑃= 2𝑃𝐵1L
      
      
𝐶1𝑄= 2𝑄𝐷1L²+(&#𝐵𝑃0𝐷𝑄,-/.ãäåf      
.
14¥ď2024·ėĘƤƥ·ğĠġĢĔõ¡įİı𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1.ij(rĩJL𝐴𝐵= 4L𝐴𝐴1 = 4 2L1𝐵1
aij(𝐴𝐵𝐶𝐷.ìíf𝐵𝐶:1 HL²&#𝐴𝐷10$(𝐴𝐵𝐶𝐷,-/.ĩäåf      
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15¥ď2024·ƛļşƦ·ğĠġĢĔ¦ùLõ¡‘(7rʼnĩįİĹ P-ABCD 0ĩJ7𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1Ƨ¬
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3
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(2)ć𝐴𝐵= 3L*įİĹ𝑃−𝐴𝐷𝐶1𝐵1.7Ĉ.
16¥ď2024·ƃŅ·ğĠġĢĔ¦ùLaĆİŕ𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1:L𝐶𝐶1 ⊥$( ABCL𝐴𝐶⊥𝐵𝐶L𝐵𝐶= 4L𝐴1𝐶1 =
𝐵1𝐶1 = 𝐶𝐶1 = 2¥
(1)*+(&#𝐴1𝐵0𝐵1𝐶1,-/.ãäå‹
(2)*&#𝐴1𝐵0$(𝐴1𝐵1𝐶,-/.ĩäå¥
      
      
17¥ď2024·ĐđƨŅ·ğĠġĢĔ¦ùLaĆİĹ𝑃−𝐴𝐵𝐶:L∠𝐴𝐵𝐶=
π
2L𝐴𝑂= 𝐶𝑂L𝑃𝐴= 𝑃𝐵= 𝑃𝐶¥
(1)!"
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(2)ć𝑃𝐴=
2𝐴𝐵=
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18¥ď2024·ŝđ·ğĠġĢĔ¦ùLa&įİı𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:Lij(įĿ𝐴𝐵𝐶𝐷fĴL
𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 2L𝐵𝐷= 2 2,𝐵𝐶= 4.
(1)!"
 𝐴1𝐵1 ⊥𝐴𝐷1;
(2)ć&# 𝐴𝐵0$( 𝐵1𝐶𝐷1,-/.ĩäåf 
6
6 L1 𝑀f#ª 𝐵𝐷öR1L*1𝑀2$( 𝐵1𝐶𝐷1.34.
19¥ď2024·ƃŅƃš·ŽğĔʼnĩİĹũ¸.İŕ¯fĩİŕ.¦ùLĩįİŕ𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:L𝐸,𝐹G
´f𝐴𝐷,𝐴𝐵.:1L𝐴𝐵= 2𝐴1𝐵1 = 4LIJ(𝐵𝐵1𝐶1𝐶0ij(𝐴𝐵𝐶𝐷,-/f45°.
      
      
  
(1)*!
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(2)#ª𝐴𝐵örņja1𝑀L·¸&#𝐷1𝑀0$(𝐴1𝐸𝐹,-./.ĩäåf3 5
10 LćjaL*Ô#ª𝐴𝑀.ā‹
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