重难点05利用导数证明不等式十大题型（原卷版）_11.4-2_2026-11-04

      
      
重难点05 利用导数证明不等式【十大题型】

 1   !"#$% ................................................................................................................................2
 2  &'()*
!"#$% ....................................................................................................................3
 3  +,*
 !"#$% ........................................................................................................................4
 4  +- !"#$% ................................................................................................................................5
 5  ./ !"#$% ................................................................................................................................6
 6  012( ................................................................................................................................................7
 7  345  ................................................................................................................................................9
 8  678#$%9!" ..........................................................................................................................10
 9  *
:
;#$%<=!"> ......................................................................................................11
 10  ?
@A9#$%!"> ........................................................................................................12
1BC?
!"#$%
?
D9#$%!"E9FGE9H5>GF:*
9IJB*
945:KLB

;$MN=GOPQRSTUGVEWX YZY[G\()*
 B./ $G]1#29QG
^_`#29WX Gabcdefgh9ij.
lm5 1  ?
D9#$%!"9Wno
1p?
D9#$%!"9Wno
(1)qrsGt! f(x)>g(x)uvw(aGb)xyzG{()|}*
 F(x)~f(x)g(x)G€+- F(x)u‚5
ƒ9*
L„!"#$%p… F(a)~0G†{!" F(x)u(aGb)x‡ˆ‰Š‹aŒ… F(b)~0G†{!" F(x)
u(aGb)x‡ˆ‰‹a.
(2)u!"#$%DG…Ž q‘*
9’L>Ga“”‘*
9’L>p
2p&'()*
!"#$%
•!#$%9”–—˜2q‘78™GqrsGab()“›œ”ž“œ›”9*
GC
?Ÿ ¡¢‡ˆI$M*
IJ!"#$%.
3p+,*
 !"#$%
(1)…£?¤?
%¥T¦§žŽ¨©ª™Ga«•!%¬­7®G()”‘*
G¨¯°dab
±‰9Dw8Gcd!"9Q².u!"³DG$´EµG¶ƒ g(x)min·f(x)max ¸yzG¨¯ f(x)¹
      
      
g(x)¸yz.
(2)$´7®9Q9E£?¤º‡s°dKL5GqrsG
: lnx t+»GF()
: lnxG
:
9¼B½®%.¾¿£?¤°dKL5.
4p./¤()*
!"#$%
À Á # $ % G   ( ) * 
 #  £ ¢ ’ L G a b Ã Ä s C  Å l 9 * 
 # $ %
$¬­./G˜C¿º¤Æ?
%9£Wž*
LÇÈ9ÉʌËabC
ÌÍ*
9˜ÎI¬­./GP¤Ï()*
¬­!".
lm5 2  012(
1p012(!"#$%
uWÐ01Ñ=#$%™G\¸yz£Ò
ÓLÔ՞!"#$%G˜qÍ+EÖ×C*
‡
ˆI()؄9G\jÙÚÛ°dܑ*
Ý(‹#$%”–1Þ92q*
)GŽßUUàáWÐ>9
âS.°dܑ*
Ý9X GÙÚã2( .
(1)ä‘Få7®
.
 1   !"#$%
æ 1ç2024·èéêëì·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = e𝑥−
1
2𝑥2−𝑥.
(1)£*
𝑓(𝑥)u𝑥= 1ƒ9òóX³.
(2)!"
∀𝑥∈[0, + ∞),𝑓(𝑥) > sin𝑥.
7% 1-1ç2024·ôõö@·÷Ýðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑥2−𝑎𝑥+ ln𝑥G𝑥= 1𝑓(𝑥)9KL5.
(1)£ aŒ
(2)!"
𝑓(𝑥) ≤2𝑥2−4𝑥.
      
      
7% 1-2ç23-24 ÷©·ëøù"·úûüýðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎−ln𝑥G𝑎> 0p
(1)£𝑓(𝑥)9’þL𝑔(𝑎)Œ
(2)!"
𝑔(𝑎) ≤𝑎+
1
𝑎−1p
7% 1-3ç2024·èéÿĀ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 +𝑥−ln(𝑥+ 𝑚)G𝑚∈𝑅.
(1)Ä𝑚= 0™G£āó𝑦= 𝑓(𝑥)u5(1,𝑓(1))ƒ9òóX³Œ
(2)Ä𝑚≤1™G!"
𝑓(𝑥) ≥0.
 2  &'()*
!"#$%
æ 2ç2024·Ăă·ÝíîïðĄ*
𝑓(𝑥) = ln𝑥+ 𝑎𝑥+ 𝑏Gāó𝑦= 𝑓(𝑥)u5(1,𝑓(1))ƒ9òóX³
𝑦= 6𝑥−3p
(1)£𝑎,𝑏9LŒ
(2)!"
𝑓(𝑥) > −
2
5𝑥−1p
7% 2-1ç2024·ąăĆć·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) =
𝑥
e𝑥G𝑔(𝑥) = ln𝑥.
(1)£𝑓(𝑥)9KLŒ
(2)!"
𝑥𝑔(𝑥) +2 > e𝑥𝑓(𝑥)−
2
𝑥.
      
      
7% 2-2ç2024·ąăĈĉ·÷Ýðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑚ln𝑥+ 𝑥2−𝑥,𝑓(𝑥)9?*
𝑓′(𝑥).
(1)Ċċ𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)Ä𝑚= 1™G!"
𝑓′(𝑥+ 1) ≤
2e𝑥
𝑥+1 +
1
𝑥+1 +𝑥−1.
7% 2-3ç2024·xČčè·ĎÝðñl*
𝑦= 𝑥⋅ln𝑥+ 𝑎ç𝑎F
ðGď𝑦= 𝑓(𝑥) = 𝑥⋅𝑔(𝑥).
(1)…*
𝑦= 𝑔(𝑥)u𝑥= 1ƒ9òóĐ5G£đ
𝑎9LŒ
(2)1¿Çđ
𝑡G£!
𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑡−𝑥) ≥𝑓(𝑡)−𝑡ln2 + 𝑎Œ
(3)Ä𝑎= 1™G£!
𝑔(𝑥) + cos𝑥< e𝑥
𝑥.
 3  +,*
 !"#$%
æ 3ç23-24 ÷x·ĂĒ·úûüýðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥e𝑥(𝑎≠0).
(1)Ċċ𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)Ä𝑎≥
4
e2™G!"
𝑓(𝑥)
𝑥+1−(𝑥+ 1)ln𝑥> 0.
7% 3-1ç2024·ēĔ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−ln𝑥,𝑎∈𝑅p
(1)…*
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑥2˜”‘KL5G£𝑎9ÓLÔՌ
(2)…āó𝑦= 𝑓(𝑥)u5 1
e ,𝑓1
e
ƒ9òó:𝑦ĕĖG£!
𝑓(𝑥) < e𝑥+
1
e𝑥p
      
      
7% 3-2ç2024·ĂăėĀ·÷Ýðñl*
𝑓(𝑥) =
1+ln𝑥
e𝑥p
(1)£*
𝑓(𝑥)u5(1,𝑓(𝑥))ƒ9òóX³Œ
(2)£*
𝑓(𝑥)9‡ˆvwŒ
(3)…𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)9?*
GĄ𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥)𝑓′(𝑥)p!"
1Ęę𝑥> 0G𝑔(𝑥) < 1 + e−2p
7% 3-3ç2024·ēĔ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) =
1
2e2𝑥+ (𝑎−2)e𝑥−2𝑎𝑥p
(1)…āó𝑦= 𝑓(𝑥)u 0,𝑎−3
2 ƒ9òóX³4𝑎𝑥+ 2𝑦+ 1 = 0G£𝑎9LĚ𝑓(𝑥)9‡ˆvwp
(2)…𝑓(𝑥)9KUL𝑓(ln2)G£𝑎9ÓLÔÕp
(3)Ä𝑎= 0™G£!
𝑓(𝑥) +5e𝑥−
5
2 >
3
2𝑥2 +𝑥ln𝑥p
 4  +- !"#$%
æ 4ç2024·ěĉ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = (𝑥2−𝑎𝑥−𝑎)e𝑥.
(1)Ä𝑎= 0™G£*
𝑓(𝑥)9KLŒ
(2)£!
Ä0 < 𝑎< 1,𝑥> 0™G𝑓(𝑥) >
𝑎
𝑎−1.
      
      
7% 4-1ç2024·ăĜ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑥ln(𝑥+ 1)−𝑥2 +𝑎𝑥(𝑎∈𝑅)p
(1)…𝑓(𝑥)u@AĝĞE‡ˆ*
G£ a 9ÓLÔՌ
(2)…𝑓(𝑥)˜”‘KL5𝑥1G𝑥2G£!
𝑥1 + 𝑥2 > 0p
7% 4-2ç2024·ôõ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑎ln𝑥−𝑥.
(1)Ċċ𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)!"
Ä𝑎> 0™G𝑓(𝑥) ≤
𝑎
e
𝑎
−1.
7% 4-3ç2024·ğĠġĢ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑎e𝑥−𝑥−
3
2(𝑎∈R)p
(1)Ċċ𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)!"
Ä𝑎> 0™G𝑓(𝑥) > 2ln𝑎−𝑎2p
 5  ./ !"#$%
æ 5ç2024·ģĒ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = e𝑚𝑥𝑥2−3𝑚+3
𝑚
𝑥+ 2𝑚2+5𝑚+3
𝑚2
G¢D𝑚≠0.
(1)£āó𝑦= 𝑓(𝑥)u5(2,𝑓(2))ƒòó9ĤĥĦŒ
(2)…*
𝑓(𝑥)9KþLþ¿ 0G£đ
𝑚9ÓLÔՌ
(3)!"
2e𝑥−2(𝑥+ 1)ln𝑥−𝑥> 0.
      
      
7% 5-1ç2024·ģĒ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) =
1
𝑥+ 𝑎ln𝑥+
2
𝑥−2G¢D𝑎∈Rp
(1)Ä𝑎≥1™GÉÊ𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)…𝑓(𝑥)ħu”‘KL5𝑥1,𝑥2(𝑥2 > 𝑥1 > 0)p
çⅰð!"
𝑥2−𝑥1 +2 >
2
𝑎Œ
çⅱð!"
𝑥∈(1, + ∞)™G𝑓(𝑥) >
1
𝑥3
2−
4
𝑥2
2 +
5
𝑥2−2p
7% 5-2ç2024·Ĩğ·ĎÝðñl*
𝑓(𝑥) = ln𝑥+ 𝑎𝑥2 + (𝑎+ 2)𝑥+ 1Gç𝑎∈RG𝑎≠0ð.
(1)Ċċ*
𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)…𝑎= −2G!"
e𝑥−𝑥2 +2𝑥−𝑥𝑓(𝑥) > 1.
7% 5-3ç23-24 ÷x·ĩõ·úûüýðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑥ln𝑥.
(1)Ċċ𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)…”‘#M$9Çđ
 aGb Īī𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)G£!
𝑎+ 𝑏< 1Œ
(3)…
π
4 < 𝛼<
π
2G£!
𝑓(cos𝛼) < 𝑓(sin𝛼).
      
      
 6  012(
æ 6ç2024·èééĀ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = ln𝑥+ 𝑎𝑥+ 1,𝑎∈𝑅p
(1)Ċċ𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)Ä𝑎≤2™G!"
𝑓(𝑥)
𝑥≤e2𝑥p
7% 6-1ç2024·Ĭĭè6Įģ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = ln𝑥+
2
𝑥−𝑎(𝑥+ 1)(𝑎∈R).
(1)Ä𝑎= −1™GĊċ𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)…𝑥1,𝑥2(𝑥1 < 𝑥2)E𝑓(𝑥)9”‘KL5G!"
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1) <
1
2𝑎−4p
7% 6-2ç2024·ąăĆć·Ýíîïðįl*
𝑓(𝑥) = e𝑥−e−𝑥−2𝑎𝑥(𝑎∈𝑅).
(1)Ä𝑎= 2™G£āó𝑦= 𝑓(𝑥)u5(0,𝑓(0))ƒ9òóX³Œ
(2)…*
𝑔(𝑥) =
1,𝑥= 0
e𝑥−e−𝑥
2𝑥
,𝑥≠0
 
G£!
1 ≤𝑔(𝑥) ≤e𝑥+e−𝑥
2
.
7% 6-3ç2024·ĩõİĀ·÷Ýðñl*
𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥−𝑎(ln𝑥+ 𝑥)G¢DeEıP1
9IJ
.
(1)Ä𝑎= 1™G£āó𝑦= 𝑓(𝑥)u5(1,𝑓(1))ƒ9òó9ĥij%X³Œ
(2)Ä𝑎= e™G£Ø*
𝑓(𝑥)9Ĵ˜45Œ
(3)!"
𝑥2e𝑥> (𝑥+ 2)ln𝑥+ 2sin𝑥.
      
      
 7  345 
æ 7ç23-24 ÷©·ôø·úûüýðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥−3𝑒𝑥.
ç1ð£𝑓(𝑥)9KLŒ
ç2ð…𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥)−𝑥+ ln𝑥u 1
4 ,1 x9’UL𝜆G£!
−6𝑒−3 < 𝑓(𝜆) < −7𝑒−4.
7% 7-1ç23-24 ÷©·ĵČČø·Ķķðñl*
 𝑓(𝑥) = 𝑎e𝑥−1−𝑥−1.
(1)Ċċ𝑓(𝑥)9‡ˆI;
(2)!":Ä𝑎≥1™G 𝑓(𝑥) +𝑥−ln𝑥≥
2𝑎−2
𝑎+1 .
7% 7-2ç2024·ĸĹ·qÝðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−(𝑎+ 1)ln𝑥−
1
𝑥+2(𝑎∈𝑅).
ç1ðĊċ*
𝑓(𝑥)‡ˆIŒ
ç2ðÄ𝑎= −2™G£!
𝑓(𝑥) < 𝑒𝑥−2𝑥−
1
𝑥.
7% 7-3ç2024·ĂĒĂĀ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑥e𝑎𝑥ç𝑎> 0ð.
(1)£𝑓(𝑥)uvw[−1,1]x9’UL:’þLŒ
(2)Ä𝑎≥1™G£!
𝑓(𝑥) ≥ln𝑥+ 𝑥+ 1.
      
      
 8  678#$%9!"
æ 8ç2024·Ćĺ=Ļ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑎(1−2ln𝑥) + 4𝑥6(𝑎∈R)p
(1)Ċċ𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)…𝑥1G𝑥2(𝑥1 ≠𝑥2)*
𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥2 +
1
𝑥2−ln𝑥9”‘45G£!
(𝑥1𝑥2)4 > 12e4p
7% 8-1ç2024·ļĽyľ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) =
sin𝑥
e𝑥−𝑚,𝑥∈(0,π).
(1)£*
𝑓(𝑥)9‡ˆvwŒ
(2)…𝑥1 < 𝑥2GĪī𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) = 0.
çⅰð£𝑚9ÓLÔՌ
çⅱð!"
𝑥1 + 𝑥2 < π.
7% 8-2ç2024·ĂĒĿģ·ĎÝðñl𝑓(𝑥) = −
1
2e2𝑥+4e𝑥−𝑎𝑥−5.
(1)Ä𝑎= 3™G£𝑓(𝑥)9‡ˆvwŒ
(2)…𝑓(𝑥)˜”‘KL5𝑥1G𝑥2G!"
𝑓(𝑥1) +𝑓(𝑥2) + 𝑥1 + 𝑥2 < 0.
      
      
7% 8-3ç2024·ĆĺŀŁ·qÝðñl*
𝑓(𝑥) = 3ln𝑥−𝑎𝑥p
(1)Ċċ𝑓(𝑥)9‡ˆIp
(2)ñl𝑥1,𝑥2E*
𝑓(𝑥)9”‘45(𝑥1 < 𝑥2)p
çⅰð£đ
𝑎9ÓLÔÕp
çⅱð𝜆∈0, 1
2 ,𝑓′(𝑥)E𝑓(𝑥)9?*
p!"
𝑓′[𝜆𝑥1 +(1−𝜆)𝑥2] < 0p
 9  *
:
;#$%<=!">
æ 9ç2024·ģĒłŃ·qÝðñl*
𝑓(𝑥) = ln𝑥+ 𝜆1
𝑥−𝑥(𝜆∈𝑅).
ç1ðÄ𝑥> 1™G#$%𝑓(𝑥) < 0¸yzG£𝜆9’þLŒ
ç2ðĄ
;𝑎𝑛=
1
𝑛(𝑛∈𝑁∗)G¢ń𝑛'Ņ𝑆𝑛G!"
𝑆2𝑛−𝑆𝑛+
𝑎𝑛
4 > ln2.
7% 9-1ç2024·ôø·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = ln
1
1−𝑥ç𝑥≠0ð.
(1)!"
𝑥
1−𝑥> 𝑓(𝑥)Œ
(2)…Ç'
;{𝑎𝑛}Īī𝑎𝑛= 𝑓(𝑎𝑛+1)Gņ𝑎1 ∈(0,1)Gď{𝑎𝑛}9ń𝑛'Ņ𝑆𝑛G!"
𝑆𝑛>
2𝑛𝑎1
𝑛+2𝑎1ç𝑛≥2ð.
7% 9-2ç2024·Ňň·ĎÝðñl*
𝑓(𝑥) =
𝑥
ln(2−𝑥).
(1)£𝑓(𝑥)9‡ˆvwŒ
(2)Ä0 < 𝑥< 1™G𝑓(𝑥) >
𝑎
𝑥−1 +𝑎G£đ
𝑎9ÓLÔՌ
      
      
(3)ñl
;{𝑎𝑛}Īī
𝑎1 =
1
3Gņ𝑎𝑛= 𝑓(𝑎𝑛+1).!"
1
3⋅2𝑛−1 ≤𝑎𝑛≤
1
𝑛+2.
7% 9-3ç2024·ôø·Ýíîïðñl*
𝑔(𝑥) = ln𝑥+ 𝑚𝑥+ 1.
(1)Ä𝑚< 0™G£𝑔(𝑥)9‡ˆvwŒ
(2)Ä𝑚= 1™GĄÇ'
;{𝑥𝑛}Īī
𝑥1 = 1,𝑥𝑛+1 = 𝑔(𝑥𝑛)G
①£!
𝑥𝑛
2𝑛−1 ≤1Œ
②£!
𝑛
𝑖=2ln 1 + 1
𝑥2
𝑖
< 1.
 10  ?
@A9#$%!">
æ 10ç2024·ʼnŊŋŌ·÷ÝðōŎŏŐE Ĕ
őŒC·ōŎœ"9˜Y'%ŏŐŔ@*
9X
 GuŕŖŗ
D˜ŘĂř9Þ.ñl*
𝑓(𝑥)u𝑥= 0ƒ9[𝑚,𝑛]úōŎŏŐ@A
𝑅(𝑥) =
𝑎0+𝑎1𝑥+⋯+𝑎𝑚𝑥𝑚
1+𝑏1𝑥+⋯+𝑏𝑛𝑥𝑛GņĪī
𝑓(0) = 𝑅(0)G𝑓′(0) = 𝑅′(0)G𝑓(2)(0) = 𝑅(2)(0)G…G𝑓(𝑚+𝑛)(0) = 𝑅(𝑚+𝑛)(0).¢D
𝑓(2)(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ′G𝑓(3)(𝑥) = 𝑓(2)(𝑥) ′G…G𝑓(𝑚+𝑛)(𝑥) = 𝑓(𝑚+𝑛−1)(𝑥) ′.ñl𝑓(𝑥) = ln(𝑥+ 1)u𝑥= 0ƒ9[2,2]
úōŎŏՐ𝑅(𝑥) =
𝑎+𝑏𝑥+1
2𝑥2
1+𝑥+1
6𝑥2 .
(1)£đ
 aGb 9LŒ
(2)Ąℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑅(𝑥)G!"
𝑥ℎ(𝑥) ≥0Œ
(3)ñl𝑥1,𝑥2,𝑥3EX³ln𝑥= 𝜆𝑥−1
𝑥9÷‘#$đŚG£đ
𝜆9ÓLÔÕGś!"
𝑥1+𝑥2+𝑥3
3
>
1
𝜆−1.
      
      
7% 10-1ç23-24 ÷©·Ňň·ŜDð…*
𝑓(𝑥)u@AĝĞħu”‘#29
𝑥1,𝑥2G2™Īī𝑓(𝑥1) = 𝑓
(𝑥2)Gņ𝑓(𝑥)u5(𝑥1,𝑓(𝑥1)),(𝑥2,𝑓(𝑥2))ƒ9òóĥŝM2GŞã𝑓(𝑥)“ò=*
”
(1)!"
𝑓(𝑥) = 𝑥3−2𝑥“ò=*
”Œ
(2)…𝑔(𝑥) = 𝑥ln𝑥−𝑥2 +𝑎𝑥“ò=*
”GśĄĪīşŠ9”‘
𝑥1,𝑥2p
çⅰð£!
𝑥1𝑥2 <
1
4Œ
çⅱð£!
(𝑎+ 1)2𝑥1𝑥2−𝑥1𝑥2 <
3
4p
7% 10-2ç2024·ģă·÷Ýð+DL@E¼+D9Ňt@GšE ¡vwx*
L7Ţţ
9˜iŤťG¢DŦŧŨũDL@EŪūGš9ĞŬ\©:
\j*
𝑓(𝑥)uŭvw[𝑎,𝑏]xêÆGuĶvw(𝑎,𝑏)a?G?
𝑓′(𝑥)GŮůuĶvw(𝑎,𝑏)ĞŰűħuq5
𝑐GŲų𝑓′(𝑐) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
G¢D𝑐Ŵŵ𝑓(𝑥)u[𝑎,𝑏]x9“ŦŧŨũDL5”.ñl*
𝑓(𝑥) = (𝑎+1)𝑥2
4
ln𝑥+ 𝑏2(𝑥−4)
e𝑎𝑥−𝑏2
6 𝑥3 +
9𝑏+15
8
𝑥2.
(1)…𝑎= −1,𝑏= 0G£*
𝑓(𝑥)u[1,7]x9“ŦŧŨũDL5”𝑥0Œ
(2)…𝑎= −1,𝑏= 1G£!:*
𝑓(𝑥)uvw(0, + ∞)ŶŷxĘę”5𝐴G𝐵êó9ĥŝ#U¿18−e−6Œ
(3)…𝑎= 1,𝑏= −1,∀𝑥1,𝑥2,𝑥3 ∈
1
4 ,1 Gņ𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3G£!:
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
>
𝑓(𝑥3)−𝑓(𝑥2)
𝑥3−𝑥2
.
7% 10-3ç2024·ŸèŹź·ĎÝðōŎŏŐE Ĕ
őŒC•ōŎœ"9˜Y'%ŏŐŔ@*
9X .Ż@”‘Çż
𝑚,𝑛G*
𝑓(𝑥)u𝑥= 0ƒ9[𝑚,𝑛]úōŎŏŐ@A
𝑅(𝑥) =
𝑎0+𝑎1𝑥+⋯+𝑎𝑚𝑥𝑚
1+𝑏1𝑥+⋯+𝑏𝑛𝑥𝑛GņĪī
𝑓(0) = 𝑅(0)G𝑓′(0) = 𝑅′(0)G𝑓″(0) = 𝑅″(0)G…G𝑓(𝑚+𝑛)(0) = 𝑅(𝑚+𝑛)(0). ñl𝑓(𝑥) = e𝑥u𝑥= 0ƒ9[1,1]ú
ōŎŏՐ𝑅(𝑥) =
1+𝑎𝑥
1+𝑏𝑥.
𝑓″(𝑥) = [𝑓′(𝑥)]′G𝑓′′′(𝑥) = [𝑓′′(𝑥)]′G𝑓(4)(𝑥) = 𝑓′′′(𝑥) ′G𝑓(5)(𝑥) =
      
      
𝑓(4)(𝑥) ′G…
(1)£đ
𝑎,𝑏9LŒ
(2)Ä𝑥∈(0,1)™Gķ¥T𝑓(𝑥):𝑅(𝑥)9UþGś!"Œ
(3)@A
;{𝑎𝑛}
𝑎1 =
1
2G𝑎𝑛e𝑎𝑛+1 = e𝑎𝑛−1G£!
1
2𝑛≤𝑎𝑛≤
1
2𝑛−1.
qB‡
1pç2024·ąăĆć·Ýíîïðñl𝑎= ln
6
5,𝑏=
1
6,𝑐=
1
7e
1
7Şç    ð
Ap𝑎> 𝑏> 𝑐
Bp𝑎> 𝑐> 𝑏
Cp𝑐> 𝑏> 𝑎
Dp𝑐> 𝑎> 𝑏
2pç2024·ąăĆć·Ýíîïð…0 < 𝑥1 < 𝑥2 < 1GŞç   ð
Ape𝑥2 + ln𝑥1 > e𝑥1 + ln𝑥2
Bpe𝑥2 + ln𝑥1 < e𝑥1 + ln𝑥2
Cp𝑥2e𝑥1 > 𝑥1e𝑥2
Dp𝑥2e𝑥1 < 𝑥1e𝑥2
3pç2024·ôõŽž·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = ln𝑥+ 1−𝑎𝑥˜”‘45𝑥1,𝑥2Gņ𝑥1 < 𝑥2GŞ©;ÖÇſ
9Eç    ð
Ap𝑎> 1
Bp𝑥1 + 𝑥2 <
2
𝑎
Cp𝑥1 ⋅𝑥2 < 1
Dp𝑥2−𝑥1 >
1
𝑎−1
4pç2024·ôøƀĀ·÷ÝðĄ𝑥1,𝑥2 ∈(0, + ∞)Gņe𝑥1 + ln𝑥2 = 1GŞç    ð
Ap…𝑥1 = 𝑥2GŞ𝑥1 ∈
1
3 , 1
2
Bp…𝑥1𝑥2 = 1GŞ𝑥1ħuņ#Ɓq
Cp𝑥1 + 𝑥2 > 1
Dp𝑥1 + ln𝑥2 > 0
5pç2024·Ćĺ·÷Ýðñlđ
𝑥1,𝑥2,𝑥3Īī
𝑥1
2−𝑥1 = e
𝑥2
2 −1 =
𝑥3
1+𝑥3+1 =
1
20GŞç    ð
Ap𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3
Bp𝑥1 < 𝑥3 < 𝑥2
Cp𝑥2 < 𝑥3 < 𝑥1
Dp𝑥2 < 𝑥1 < 𝑥3
6pç2024·ģĒ·Ýíîïðñl𝑎> 0G𝑏> 0Gņ𝑎+ 𝑏= 𝑎𝑏GŞ©;#$%yz9Eç    ð
      
      
Ap𝑎+ 𝑏≤4
Bplog2𝑎+ log2𝑏> 2
Cp𝑏ln𝑎> 1
Dp 𝑎+
𝑏≥3
7pç2024·ļĽøƂ·ÝíîïðĄ𝑎> 0,𝑏> 0,ņ𝑎+ 𝑏= 1,Ş©;NċÇſ9‘
ç   ð
①log2𝑎+ log2𝑏≥−2    ②2𝑎+ 2𝑏≥2 2    ③𝑎+ ln𝑏< 0    ④sin𝑎sin𝑏<
1
4
Ap1
Bp2
Cp3
Dp4
8pç2024·ļĽƃĀ·÷Ýðñl𝑥> 0Ge𝑥+ ln𝑦= 1GŻØ©;#$%
①𝑥+ ln𝑦< 0Œ②e𝑥+𝑦> 2Œ③ln𝑥+ e𝑦< 0Œ④𝑥+ 𝑦> 1
¢Dq@yz9‘
ç    ð
Ap1
Bp2
Cp3
Dp4
ĎBY
9pç2024·ŸèƄĀ·Ýíîïðñl e𝑏(𝑎2 + 1) = 𝑎(e2𝑏+ 1)G 𝑎，𝑏∈𝑅Gņ 𝑎< 𝑏 Şb©Çſ9E
ç    ð
Ap𝑎−ln𝑎= 𝑏+ e−𝑏
Bp𝑎+ 𝑏> 1
Cp𝑏= e𝑎
Dp𝑎𝑏≤
1
e
10pç2024·èéø€·÷Ýðñl2𝑎= log1
2𝑎,log2𝑏=
1
2
𝑏
GŞç    ð
Ap𝑎+ 2𝑎= 𝑏+ 2−𝑏
Bp𝑎+ 𝑏= 2𝑏+ 2−𝑎
Cp2𝑏+1 > e
1
𝑎
Dp2𝑎> e1−1
𝑏
11pç2024·ēĔ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = 𝑥+ ln(𝑥−2),𝑔(𝑥) = 𝑥ln𝑥p…𝑓(𝑥1) = 2 + 3ln𝑡,𝑔(𝑥2) = 𝑡3GŞ
©;NċDÇſ9Eç    ð
Ap∀𝑥∈(2, + ∞),𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)
Bp𝑥1−2 = ln𝑥2
Cp∃𝑥0 ∈(2, + ∞),𝑓(𝑥0) > 𝑔(𝑥0)
Dp(𝑥1𝑥2−2𝑥2)ln𝑡≥−
1
3e
÷BƅƆ
12pç2023·ʼnŊʼnĀ·Ýíîïðñl@Au(0, + ∞)x*
𝑓(𝑥)Īī
ln(𝑥+ 1) < 𝑓(𝑥) < 𝑥GƇØq‘Ī
īxƈşŠ9*
𝑓(𝑥) =      
.
13pç2023·èăěĆ·qÝð…𝑎=
10
7 ,𝑏= ln3,𝑐= 2 3
3 ,𝑑= e0.3GŞ𝑎,𝑏,𝑐,𝑑9UþƉE      
.
14pç2023·ļĽcĀ·ĎÝð𝑆𝑛E
;{𝑎𝑛}ń𝑛'ŅG𝑎1 = 3G𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛−
4
4𝑛2−1GŻØb©ļ‘Nċ
      
      
①𝑎𝑛=
2𝑛+1
2𝑛−1Œ
②𝑎1 + 𝑎1𝑎2 +⋯+ 𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛= 𝑛2 +2𝑛Œ
③𝑆𝑛> 𝑛+ ln(2𝑛+ 1)Œ
④𝑆𝑛> 𝑛2 + ln(2𝑛2 + 1).
¢DÇſ9E      
çƇØēÍÇſNċ9Ɗ	ð.
ļBWƋ
15pç2024·ąăĈĉ·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = e𝑥+ (𝑎−1)𝑥−1G¢D𝑎∈𝑅p
(1)Ċċ*
𝑓(𝑥)9‡ˆIŒ
(2)Ä𝑎= 2™G!"
𝑓(𝑥) > 𝑥ln𝑥−cos𝑥p
16pç2024·ļĽƌƍƎ·÷Ýðñl*
𝑓(𝑥) = ln𝑥+
𝑎
𝑥−1(𝑎∈R)p
(1)£*
𝑓(𝑥)9KLŒ
(2)Ą*
𝑓(𝑥)9?*
𝑓′(𝑥)G…𝑓′(𝑥1) = 𝑓′(𝑥2)ç𝑥1 ≠𝑥2ðG!"
𝑓(𝑥1) +𝑓(𝑥2) +
1
𝑎> 1p
17pç2024·ĞƏƐƑŅƒŔ·ĎÝð1¿*
𝑓(𝑥)G…đ
𝑥0Īī𝑓(𝑥0) = 𝑥0GŞ𝑥0ã𝑓(𝑥)9#Ɠ5pñ
l*
𝑓(𝑥) = e𝑥−2𝑥+ 𝑎e−𝑥(𝑥≥0)p
(1)Ä𝑎= −1™G£!𝑓(𝑥) ≥0Œ
(2)Ä𝑎= 0™G£*
𝑓(𝑥)9#Ɠ59‘
Œ
(3)Ą𝑛∈N*G!"
1
12+1 +
1
22+2 +⋯+
1
𝑛2+𝑛> ln(𝑛+ 1)p
      
      
18pç2024·Ÿè·Ýíîïðñl*
𝑓(𝑥) = (𝑎𝑥−𝑏)𝑎𝑥(𝑎> 0,𝑎≠1)G𝑏∈𝑅p
(1)…𝑦= 𝑓(𝑥)u5(0,𝑓(0))ƒ9òóX³𝑦= e𝑥G£𝑎G𝑏9LŒ
(2)Ä𝑏= 1™G𝑦= 𝑓(𝑥)ħuKþL5𝑥0G£!
𝑓(𝑥0) ≤−e
1
ep
19pç2024·õƔ·÷Ýðñl𝑓(𝑥) = 2 𝑥−𝑎ln𝑥−𝑎𝑥−1p
(1)…𝑎= −1G£āó𝑦= 𝑓(𝑥)u5𝑃(1,2)ƒ9òóX³Œ
(2)…*
𝑦= 𝑓(𝑥)ħu”‘#29KL5𝑥1,𝑥2G£!
𝑓(𝑥1) +𝑓(𝑥2) > 0p