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2024 届大题强化训练及变式训练（8）
1．已知函数
（1）求 在 处的切线方程;
（2）记函数 ,若 恒成立，求实数a的最大值.
变式：已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 上恒成立，求实数a的取值范围．
2．如图，已知圆柱 的轴截面 是边长为2的正方形，点 是圆 上异于点 ， 的任意一
点.（1）若点 到平面 的距离为 ，证明： .
（2）求 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
变式：如图所示，半圆柱的轴截面为平面 ， 是圆柱底面的直径， 为底面圆心， 为
一条母线， 为 的中点，且 .
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
3．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育
锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.（1）若把年龄在 的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超
过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 的独立性
检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，
抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 与 的人数分别为
，求ξ的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动
项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛
球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
变式：某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量 （单位： ）与药效指标值 （单
位： ）之间的关系，该公司研发部门进行了 20 次试验，统计得到一组数据 （ ，
2，⋯，20），其中 ， 分别表示第 次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中 与 之间具有线性相关关系，且 ， ， ， ，
.
（1）求 关于 的经验回归方程 ；
（2）该公司要用 与 两套设备同时生产该种新药，已知设备 的生产效率是设备 的2倍，设备
生产药品的不合格率为0.009，设备 生产药品的不合格率为0.006，且设备 与 生产的药品是否
合格相互独立.
①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备 生产的概率.
参考公式： ， .
4．已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点，
.
（1）求 的方程；
（2）若 是 上异于点 的两个动点，且点 不关于 轴对称， ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 .
变式：已知过点 的直线与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，当直线
垂直于 轴时， 的面积为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 为 的重心，直线 分别交 轴于点 ，记 的面积分别为
，求 的取值范围.
5．在无穷数列 中，令 ，若 ， ，则称 对前 项之积是封闭
的．
（1）试判断：任意一个无穷等差数列 对前 项之积是否是封闭的？
（2）设 是无穷等比数列，其首项 ，公比为 ．若 对前 项之积是封闭的，求出 的
两个值；
（3）证明：对任意的无穷等比数列 ，总存在两个无穷数列 和 ，使得，其中 和 对前 项之积都是封闭的．
变式：对于无穷数列 ，若对任意 ，且 ，存在 ，使得 成立，则
称 为“ 数列”.
（1）若数列 的通项公式为 ，试判断数列 是否为“ 数列”，并说明理由；
（2）已知数列 为等差数列，
①若 是“ 数列”， ，且 ，求 所有可能的取值；
②若对任意 ，存在 ，使得 成立，求证：数列 为“ 数列”.
