30.和差化积公式及四大应用
抽象的东西不是无源之水，找到它的原型，这也是我们处理函数方程的一个重要方法，例
如，最常见的函数方程：
其实就是我们的指数乘法公式：
)
(
)
(
)
(
y
f
x
f
y
x
f
.所以，处理函数方程问题的一个重要手法就是找原型.
)1
,0
(
a
a
a
a
a
y
x
y
x
三角函数和差化积公式，一个出现在新教材必修一226 页习题！（凌晨讲数学）
一．基本原理
1.公式汇编与证明:
；
；
1
cos
cos
[cos(
)
cos(
)]
2
1
sin
sin
[cos(
)
cos(
)]
2
；
.
1
sin
cos
[sin(
)
sin(
)]
2
1
cos
sin
[sin(
)
sin(
)]
2
证明：由
，
，得
cos(
)
cos
cos
sin
sin
cos(
)
cos
cos
sin
sin
.
1
cos
cos
[cos(
)
cos(
)]
2
也可利用单位圆予以证明：
证明：线段AB 的中点M 的坐标为
.过点M 作
垂直于
1
1
(cos
cos
),
(sin
sin
)
2
2
1
MM
x 轴，交x 轴于
，如图，则
.在
中，
1
M
1
1
1
(
)
(
)
2
2
MOM
Rt OMA
A
.
cos
cos
2
2
OM
OA
在
中，
.
1
Rt OM M
A
1
1
cos
cos
cos
2
2
OM
OM
MOM
1
1
sin
sin
cos
2
2
M M
OM
MOM
2.和差化积公式推导出的一些常见恒等式
（1）平方差公式：
2
2
sin
sin
(sin
sin )(sin
sin )
x
y
x
y
x
y
2sin
cos
2cos
sin
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
2sin
cos
2sin
cos
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
sin(
)sin(
),
x
y
x
y
即
2
2
sin
sin
sin(
)sin(
)
x
y
x
y
x
y
（2）
cos
cos
tan
sin
sin
2
证明：左边
右边，所以原式
2sin
sin
2
2
2sin
cos
2
2
sin
2
tan
tan
2
2
cos
2
得证.
3 利用和差化积公式解决抽象函数
（1）将上述公式予以抽象，若令
，则上述积化和差公式可进一步抽象得：
x
x
f
cos
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
y
f
x
f
y
x
f
y
x
f
（
2）
若
令
，
则
有
x
A
x
f
cos
)
(
)
(
)
(
2
cos
cos
2
)
(
)
(
y
f
x
f
A
y
x
A
y
x
f
y
x
f
（3）进一步，倘若令
，那么上述和差化积公式可以表示为：
2
2
，抽象为：
2
cos
2
cos
2
cos
cos
)
2
(
)
2
(
2
)
(
)
(
y
x
f
y
x
Af
y
f
x
f
（4）若令
，那么：
)
cos(
)
(
t
x
A
x
f
y
t
x
A
y
t
x
A
y
t
x
A
y
x
f
y
x
f
cos
)
cos(
2
)
cos(
)
cos(
)
(
)
(
则有：
y
x
Af
y
x
f
y
x
f
cos
)
(
2
)
(
)
(
综上所述，有关和差化积，我们可以得到如下的抽象函数模型；
①.
x
A
x
f
cos
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
y
f
x
f
A
y
x
f
y
x
f
②.
x
A
x
f
cos
)
(
)
2
(
)
2
(
2
)
(
)
(
y
x
f
y
x
f
A
y
f
x
f
③.
)
cos(
)
(
t
x
A
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
cos
)
(
2
)
(
)
(
二．典例分析
★应用1.利用和差化积（积化和差）公式求值与化简
例1．如图，在平面直角坐标系中，以
为始边，角
与
的终边分别与单位圆相交于
OA
两点，且
若直线
的斜率为
，则
（ ）
,
E F
π
π
0,
,
,π ,
2
2
EF
1
3
sin(
)
A．
B．
C．
D．
3
5
-
3
5
4
5
4
5
解析：由题意可设
，
，则直线
的斜率
(cos ,sin
)
E
(cos
,sin
)
F
EF
，所以
，
2cos
sin
sin
sin
1
1
2
2
cos
cos
3
2sin
sin
tan
2
2
2
k
tan
3
2
所以
．故选：A．
2
2
2
2sin
cos
2tan
3
2
2
2
sin(
)
5
sin
cos
1
tan
2
2
2
例2．已知
，
，则
的值为（ ）
12
cos
cos
13
5
sin
sin
13
tan
A．
B．
C．
D．
119
120
120
119
119
120
120
119
解析：由和差化积公式，得
，
12
cos
cos
2cos
cos
2
2
13
，两式相除，所以
.
5
sin
sin
2cos
sin
2
2
13
5
tan
2
12
所以
.故选：B．
2
2tan
120
2
tan
tan 2
2
119
1
tan
2
例3．如图所示，已知角
的始边为
轴的非负半轴，终边与单位圆的交
π
,
0
2
x
点分别为
为线段
的中点，射线
与单位圆交于点
，则（ ）
, ,
A B M
AB
OM
C
A．
2
AOC
B．
cos
2
OA OC
C．当
面积为
时，点
在圆
上运动
AOB
V
3
4
M
2
2
1
2
x
y
D．点
的坐标为
M
cos
cos
,sin
cos
2
2
2
2
解析：由已知，得
，则
，依题意
为
的中点，则
,
AOx
BOx
AOB
M
AB
，故A 正确；
1
2
2
AOC
AOB
由题意，得
，
，则
，
cos ,sin
A
cos
,sin
2
2
C
cos
,sin
OA
，所以
cos
,sin
2
2
OC
，故B 正确；
cos
cos
sin
sin
cos
cos
2
2
2
2
OA OC
由题意可得
，
，因
为
的中点，则
cos ,sin
A
cos
,sin
B
M
AB
，其中
，因
cos
cos
sin
sin
,
2
2
M
0
2
cos
cos
sin
sin
cos
cos
,
sin
cos
2
2
2
2
2
2
故
，故D 正确；
cos
cos
,sin
cos
2
2
2
2
M
由
，则
，
，
1
1
3
sin
sin
2
2
2
4
AOB
S
OA OB
AOB
A
3
sin
2
2
1
cos
2
2
设
，则
，将两式平方相加得
，即
,
M x y
2
cos
,2
sin
2
2
x
y
2
2
4
4
1
x
y
，即点
在园
上运动，故C 错误.故选：ABD
2
2
1
4
x
y
M
2
2
1
4
x
y
例4．已知函数
，则（ ）
sin3
sin 2
f x
x
x
A．
的一个周期为
B．
的图像关于
中心对称
f x
2π
f x
(π,0)
C．
的最大值为2 D．
在
上的所有零点之和为
f x
f x
(0,2π)
5π
解析：对于A，
，所以A 正确；
(
2π)=sin(3
6π)
sin(2
4π)
sin3
sin 2
( )
f x
x
x
x
x
f x
对于B，
，所以B 正确；
(2π
)
sin(6π
3 )
sin(4π
2 )
sin3
sin 2
( )
f
x
x
x
x
x
f x
对于C，若最大值为2，则
，
，
sin3
1
x
sin2
1
x
当
，
，此时
，
，
，故C 不正确；
π
3
2 π
2
x
k
Z
k
2 π
π
3
6
k
x
Z
k
sin 2
1
x
对于D，
，
5
1
5
1
5
1
sin3
sin2
sin
sin
2cos
sin
2
2
2
2
2
2
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
令
得
，所以
或
，又
，
0
f
x
5
1
cos
sin
0
2
2
x
x
1
sin
0
2 x
5
cos
0
2 x
0,2π
x
所以
或
或
或
或
，解得
或
或
或
5
π
2
2
x
5
3π
2
2
x
5
5π
2
2
x
5
7π
2
2
x
5
9π
2
2
x
π
5
x
3π
5
x
π
x
或
，即
所有零点之和为
，故D 正确.故选：ABD
7π
5
x
9π
5
x
f x
5π
★应用2.利用和差化积（积化和差）公式处理抽象函数
例5.（2022 新高考2 卷）
已知函数
的定义域为
，且
，则
)
(x
f
R
1
)1(
),
(
)
(
)
(
)
(
f
y
f
x
f
y
x
f
y
x
f
22
1
)
(
k
k
f
A.
B.
C.
D.
3
2
0
1
解析：方法1.由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数
，则
满足
x
x
f
3
cos
2
)
(
)
(x
f
题
意
.
于
是
，
周
期
为
6，
且
)
(x
f
，
进
一
步
2
)
6
(
,1
)
5
(
,1
)
4
(
,2
)
3
(
,1
)
2
(
,1
)1(
f
f
f
f
f
f
，故选A.
3
)
4
(
)3
(
)
2
(
)1(
)
(
22
1
f
f
f
f
k
f
k
方法2.因为
，令
可得，
，所
f x
y
f x
y
f x f
y
1,
0
x
y
2
1
1
0
f
f
f
以
，令
可得，
，即
，所以函数
为偶
0
2
f
0
x
2
f
y
f
y
f
y
f
y
f
y
f x
函数，令
得，
，即有
，
1
y
1
1
1
f x
f x
f x f
f x
2
1
f x
f x
f x
从而可知
，
，故
，即
2
1
f x
f x
1
4
f x
f x
2
4
f
x
f
x
，所以函数
的一个周期为．因为
，
6
f x
f x
f x
6
2
1
0
1 2
1
f
f
f
，
，
，
3
2
1
1 1
2
f
f
f
4
2
2
1
f
f
f
5
1
1
1
f
f
f
，所以一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
6
0
2
f
f
1
2
6
0
f
f
f
所以
．故选：A．
22
1
1
2
3
4
1 1
2 1
3
k
f k
f
f
f
f
例6．已知函数
对任意实数
，
都满足
，且
y
f x
x
y
2 f x f
y
f x
y
f x
y
，则（ ）
1
1
f
A．
是偶函数 B．
是奇函数
f x
f x
C．
D．
1
0
f x
f
x
2023
1
1
k
f k
解析：（方法1.函数模型）由①，构造
，易得结果选AC.
x
x
f
cos
)
(
（方法2.赋值分析）：在
中，
2 f x f
y
f x
y
f x
y
令
，可得
，即
，解得
，故B 错误；
1,
0
x
y
2
1
0
2
1
f
f
f
2
0
2
f
0
1
0
f
令
可得
,即
，故函数
是偶函数，即
0
x
2
0
f
f
y
f
y
f
y
f
y
f
y
f
y
是偶函数,故A 正确；
f x
令
，则
，故
，
1
2
x
y
2 1
2
1
0
0
2
f
f
f
1
0
2
f
令
，可得
,故
，故C 正确；
1
2
x
1
1
1
2
0
2
2
2
f
f
y
f
y
f
y
1
0
f x
f
x
因为
是偶函数，所以
，故
,即
，
f x
=
f x
f
x
1
0
f
x
f
x
1
0
f x
f
x
所以
,所以
，故函数
的周期为2，
1
2
0
f x
f
x
2
f x
f x
f x
因为
，
，所以
，
1
0
0
f
f
1
1
f
1
2
1
0
0
f
f
f
f
2023
1
1
f
f
.
所以
，故D 错误.故选：AC.
2023
1
1
2
2023
2023
1
1
k
f k
f
f
f
f
f
例7．已知定义域为
的函数
对任意实数
、
满足
R
f x
x
y
2
cos
f x
y
f x
y
f x
y
，且
，
．其中正确的是（ ）
0
0
f
π
1
2
f
A．
B．
为奇函数
π
1
4
2
f
f x
C．
为周期函数 D．
在
内单调递减
f x
f x
(0,π)
解析：（方法1.函数模型）由③，构造
，且
，
，易
)
cos(
)
(
t
x
A
x
f
0
0
f
π
1
2
f
得结果：
,故选：BC
x
x
x
f
A
t
t
A
t
A
sin
)
2
cos(
)
(
1
2
1
sin
0
cos
（方法2.赋值分析）：
对于A，令
，得
，因为
，
，
π
4
x
y
π
π
π
0
2
cos
2
4
4
f
f
f
0
0
f
π
1
2
f
所以
，所以
，所以A 错误，
π
1
2
4
f
π
2
4
2
f
对于B，令
，则
，因为
，所以
，
0
x
2
0 cos
f
y
f
y
f
y
0
0
f
0
f
y
f
y
所以
为奇函数，所以B 正确，
f x
对于C，令
，则
，所以
π
2
y
π
π
π
2
cos
0
2
2
2
f
x
f
x
f x
π
π
2
2
f
x
f
x
，所以
，所以
，所以
，
3π
π
2
2
f
x
f
x
3π
π
2
2
f
x
f
x
2π
f x
f x
所以
的周期为
，所以C 正确，
f x
2π
对于D，因为
，
，
，
的周期为
，
0
0
f
π
1
2
f
π
2
4
2
f
f x
2π
所以
，令
，则
，
3π
π
π
1
2
2
2
f
f
f
3π
4
x
y
3π
3π
3π
2
cos
2
4
0
4
f
f
f
所以
，得
，所以
，所以
在
上
3π
1
2
4
f
3π
2
4
2
f
3π
π
2
4
4
2
f
f
f x
(0,π)
不单调，所以D 错误，故选：BC
例8．已知函数
的定义域为
，且
，
f x
R
2
2
(
) (
)
( )
( ),
(1)
1,
(2)
0
f x
y f x
y
f
x
f
y
f
f
则下列说法中正确的是（ ）
A．
为偶函数 B．
C．
D．
( )
f x
(3)
1
f
( 1)
(5)
f
f
2023
1
( )
1
k
f k
解析：方法一：由于
．
2
2
sin
sin
sin(
)sin(
)
A
B
A
B
A
B
由题意，可以令
，因为
为奇函数，故选项A 错误．
π
( )
sin 2
f x
x
π
( )
sin 2
f x
x
因为
，故选项B 正确．因为
，故选项C 正确．
(3)
1
f
( 1)
1
(5)
f
f
因为
，故
，故选项D 错误．
4,2023
4
505
3
T
2023
1
( )
(1)
(2)
(3)
0
k
f k
f
f
f
方法二：对于选项A，因为
的定义域为，令
，则
，
( )
f x
R
0
x
y
2
2
(0) (0)
(0)
(0)
f
f
f
f
故
，则
，令
，则
，
2(0)
0
f
(0)
0
f
0
x
2
2
( ) (
)
(0)
( )
f y f
y
f
f
y
又
不恒为0，故
，所以
为奇函数，故A 错误．
( )
f y
(
)
( )
f
y
f y
( )
f x
对于选项B，令
，则
．而
，所以
2,
1
x
y
2
2
(3) (1)
(2)
(1)
f
f
f
f
(1)
1,
(2)
0
f
f
，故选项B 正确．
(3)
1
f
对于选项C，由选项B 可知，
，令
，则
，所以
(3)
1
f
3,
2
x
y
2
2
(5) (1)
(3)
(2)
f
f
f
f
．又因为
为奇函数，所以
，故C 正确．
(5)
1
f
( )
f x
( 1)
(1)
1
f
f
对于选项D，由选项B 以及
，可得
，
2
(
2) (
2)
( )
f x
f x
f
x
(7)
1,
(9)
1,
(11)
1
f
f
f
所以
，同理可得
．因为
，故
(2
1)
( 1)k
f
k
(2 )
0
f
k
2023
4
505
3
，故D 错误．故选：BC
2023
1
( )
(1)
(2)
(3)
0
k
f k
f
f
f
★应用3.和差化积（积化和差）公式解决实际问题
例9．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上
转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为
，转盘直径为
120m
，设置有48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近
110m
的位置进舱，转一周大约需要
.
30min
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动
后距离地面的高度为
，求在转动一周的过
min
t
m
H
程中，
关于的函数解析式；
H
t
(2)求游客甲在开始转动
后距离地面的高度；
5min
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高
度差（单位：
）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
h
m
t
（参考公式与数据：
；
；
sin
sin
2sin
cos
2
2
cos
cos
2sin
sin
2
2
.）
π
sin
0.065
48
解析：（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点
，以轴心
为原点，与地面平行的直
P
O
线为
轴建立直角坐标系.设
时，游客甲位于点
，
x
0min
t
0, 55
P
以
为终边的角为
；根据摩天轮转一周大约需要
，可知座舱转动的角速度约为
OP
π
2
30min
，由题意可得
，
π rad / min
15
π
π
55sin
65
15
2
H
t
0
30
t
（2）当
时，
.所以，游客甲在开始转动
后距离地
5
t
π
π
55sin
5
65
37.5
15
2
H
5min
面的高度约为
.
37.5m
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点
，
表示，则
，经过
后甲
A
B
2π
π
48
24
AOB
min
t
距离地面的高度为
，点
相对于点
始终落后
，
1
π
π
55sin
65
15
2
H
t
B
A
π rad
24
此时乙距离地面的高度为
，则甲、乙距离地面的高度差
2
π
13π
55sin
65
15
24
H
t
1
2
π
π
π
13π
55 sin
sin
15
2
15
24
h
H
H
t
t
π
π
13π
π
55 sin
sin
15
2
24
15
t
t
利用
，可得
，
.
sin
sin
2sin
cos
2
2
π
π
π
110 sin
sin
48
15
48
h
t
0
30
t
当
（或
），即
（或22.8）时，的最大值为
.所以，
π
π
π
15
48
2
t
3π
2
7.8
t
h
π
110sin
7.2
48
甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为
.
7.2m
★应用4.新定义问题与应用
例10．定义二元函数
，同时满足：①
；②
*
,
,
N
f m n
m n
1,1
1
f
；③
三个条件．
1,
,
2
f m
n
f m n
n
,
1
,
2
f m n
f m n
m
(1)求
的值；
3,1 ,
2,3
f
f
(2)求
的解析式；
,
f m n
(3)若
．比较
与0 的大小关
3
1
2
1
2
3
sin
sin
sin
sin
1,
,
,
0,2π
n
n
n
n
a x
a x
a x
a x
a
f
n
S
x
a
a
a
a
n
S
系，并说明理由．
附：参考公式
1
1
sin
cos
sin
sin
;cos
sin
sin
sin
2
2
1
1
cos cos
cos
cos
;sin sin
cos
cos
2
2
解析：（1）由条件②可得
；
2,1
1,1
2 1
3,
3,1
2,1
2 1
5
f
f
f
f
由条件③可得
．
2,2
2,1
2 2
7,
2,3
2,2
2 2
11
f
f
f
f
（2）由条件②）可得：
，
，
2,1
1,1
2
f
f
3,1
2,1
2
f
f
L
，
,1
1,1
2
f m
f m
将上述
个等式相加，得
；由条件③可得：
1
m
,1
1,1
2
1
2
1
f m
f
m
m
，
，
，
,2
,1
2
f m
f m
m
,3
,2
2
f m
f m
m
L
,
,
1
2
f m n
f m n
m
将上述
个等式相加，得
．
1
n
,
,1
2
1
2
1
f m n
f m
m n
mn
（3）由（2）
，所以
，则
1,
2
1
f
n
n
2
1
na
n
，
1
2
1
2
sin 2
1
sin
sin
sin
sin
sin3
1
3
2
1
n
n
n
n
x
a x
a x
a x
x
x
S
a
a
a
n
则
cos 2
2
cos2
cos2
cos4
2sin
1 cos2
3
2
1
n
n
x
nx
x
x
x
S
x
n
1
1
1
1
1
cos2
1
1
cos2
cos4
cos 2
2
3
3
5
2
3
2
1
2
1
nx
x
x
n
x
n
n
n
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
3
3
5
5
7
2
3
2
1
2
1
n
n
n
当且仅当
时，
，上式取得等号，即
时，均有
π
x
cos2
1
1,2,
,
kx
k
n
π
x
，
2sin
0
n
x
S
所以，当
时，
；当
时，
；当
时，
0
π
x
0
n
S
π
2π
x
0
nS
π
x
，所以
．
sinπ
sin3π
sin 2
1 π
0
n
0
n
S
例11．设
次多项式
，若其满足
n
1
2
1
2
1
0
0
n
n
n
n
n
n
P t
a t
a
t
a t
a t
a
a
，则称这些多项式
为切比雪夫多项式.例如：由
，可得切
cos
cos
nP
x
nx
nP t
cos
cos
比雪夫多项式
，由
，可得切比雪夫多项式
.
1P x
x
2
cos2
2cos
1
2
2
2
1
P
x
x
(1)若切比雪夫多项式
，求实数
，
，，
的值；
3
2
3P x
ax
bx
cx
d
a
b
c
d
(2)对于正整数
时，是否有
成立？
2
n
1
1
2
n
n
n
P
x
x P
x
P
x
(3)已知函数
在区间（-1，1）上有3 个不同的零点，分别记为
，
，
3
8
6
1
f x
x
x
1
x
2x
，证明：
.
3x
1
2
3
0
x
x
x
解析：（1）依题意，
3 cos
cos3
cos 2
cos2 cos
sin 2 sin
P
，
2
2
2cos
1 cos
2sin
cos
3
2
3
2cos
cos
2 1 cos
cos
4cos
3cos
因此
，即
，则
；
3
3
4
3
P x
x
x
3
2
3
4
3
ax
bx
cx
d
x
x
4,
0,
3
a
b
d
c
（2）
成立.只需考虑和差化积式
1
1
2
n
n
n
P
x
x P
x
P
x
，首先有如下两个式子：
cos
1
cos
1
2cos
cos
n
n
n
，
1 cos
cos
cos
cos
sin
sin
nP
n
n
n
，
1 cos
cos
cos
cos
sin
sin
nP
n
n
n
两式相加得，
，
1
1
cos
cos
2cos
cos
2
cos
cos
n
n
n
P
P
n
P
将
替换为
，所以对于正整数
时，
；
cos
x
2
n
1
1
2
n
n
n
P
x
x P
x
P
x
（3）函数
在区间
上有3 个不同的零点
，即方程
3
8
6
1
f x
x
x
1,1
1
2
3
,
,
x x
x
在区间
上有3 个不同的实根，令
，由（1）知
3
1
4
3
2
x
x
1,1
cos ,
0,π
x
，
1
cos3
2
而
，则
或
或
，于是
，
3
0,3π
π
3
3
5π
3
3
7π
3
3
1
2
3
π
5π
7π
cos
,
cos
,
cos
9
9
9
x
x
x
则
，
1
2
3
π
5π
7π
π
4π
2π
cos
cos
cos
cos
cos
cos
9
9
9
9
9
9
x
x
x
而
，所以
.
4π
2π
3π
π
3π
π
π
π
π
cos
cos
cos
cos
2cos
cos
cos
9
9
9
9
9
9
3
9
9
1
2
3
0
x
x
x
三．习题演练
1．已知函数
的定义域为，
不恒为0，且
，则
f x
R
f x
2
2
2
f x
f
y
x
y
x
y
f
f
（ ）
A．
可以等于零 B．
的解析式可以为：
0
f
f x
cos2
f x
x
C．曲线
为轴对称图形
D．若
，则
f(x ‒ 1)
1
1
f
20
1
( )
20
k
f k
2．定义在R 上的函数
满足
，则下列结论正
f x
,
1
1
2
2
x
y
x
y
f x
f
y
f
f
f
确的有（ ）
A．
B．
为奇函数
0
2
f
f x
C．6 是
的一个周期
D．
f x
2024
2
0
4052
2
k
k
f
3．已知函数
，则（）
sin2
2sin
f x
x
x
A．
B．当
时，
2
4
0
f
f
0
6
x
5
2
f x
C．当
时，
D．当
时，
3
4
x
2
3
x
f x
f
0
2
x
17
4
f x
f
x
4．已知定义域为
的函数
，满足如下条件：
R
( )
f x
①.对任意实数
都有
；
,x y
(
)
(
)
2 ( )cos
f x
y
f x
y
f x
y
②.
，
.
(0)
0
f
(
)
1
2
f
则
_________.
(
2 )
(2
)
(
)
4
f x
f
x
f
5．筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记
载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000 多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在
家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动
的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒
口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的
距离为
，筒车直径为
，设置有8 个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一
6m
8m
个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要
，如图，盛水筒A（视为质点）
24s
的初始位置
距水面的距离为
．
0P
4m
(1)盛水筒A 经过
后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h 关于
st
t 的函数
的解析式；
h
f t
(2)盛水筒B（视为质点）与盛水筒A 相邻，设盛水筒B 在盛水筒A 的顺时针方向相邻处，
求盛水筒B 与盛水筒A 的高度差的最大值（结果用含
的代数式表示），及此时对应的t．
π
（参考公式：
，
）
sin
sin
2cos
sin
2
2
cos
cos
2sin
sin
2
2
参考答案：
1.解析：令
，可得
，可得
，
0
x
y
0
0
0
0
0
0
2
2
2
f
f
f
f
2
0
0
f
f
解得
或
，
0
0
f
0
1
f
当
时，则可得
，
0
0
f
0
2
2
2
f x
f x
x
x
x
x
f
f
则
，与
不恒为0 矛盾，所以
，故A 错误；
0
f x
f x
0
1
f
令
，可得
，所以
为偶函数，
y
x
2
0
,
f x
f
x
f
f x
f
x
f x
f x
因为
是偶函数，所以
的解析式可以为：
，故B 正确；
cos2
f x
x
f x
cos2
f x
x
因为
为偶函数，所以
的图象关于直线
对称，
f x
f x
0
x
所以
关于直线
对称，所以曲线
为轴对称图形，故C 正确；
1
f x
1
x
1
f x
令
，则可得
，
2,
x
k
y
k
2
2
2
2
2
2
2
f k
f k
k
f
f
所以
，又
，
*
2
2
1 ,
N
f k
f k
f k
k
2
0
2
2
2
2
2
f
f
f
f
解得
，所以
是以
为首项，
为公差的等差数列，
2
1
f
f k
1
1
f
0
所以
，故D 正确.故选：BCD.
20
1
( )
20
k
f k
2.解析：该函数满足
且
，
2
2
x
y
x
y
f x
f
y
f
f
1
1
f
对于A，令
，可得
，解得
，故A 正确；
1
x
y
1
1
1
0
f
f
f
f
0
2
f
对于B，令
，
，所以
，所以
为偶函
y
x
0
f x
f
x
f
f x
f
x
f x
f x
数，故B 错误；
对于C，令
，
，
1
x
x
1
y
x
可得
，令
，可得
，
1
1
f x
f x
f x
1
x
x
2
1
f x
f x
f x
将两式相加得：
，所以
，
2
1
0
f x
f x
2
1
f x
f x
所以
，所以
，
3
f x
f x
6
3
( )
f x
f x
f x
因此，6 是
的一个周期，故C 正确；
f x
对于D，令
，
，
，所以
，
x
k
0
y
2
0
2
k
f k
f
f
2
2
2
k
f
f k
所以
，
2024
2024
2
0
0
2
0
1
2024
2 2025
2
k
k
k
f
f k
f
f
f
因为
，
，因为
，令
，
，所以
0
2
f
1
1
f
2
1
0
f x
f x
0
x
2
1
0
f
f
，令
，
，所以
，令
，
2
(1)
1
f
f
1
x
3
0
0
f
f
3
2
f
2
x
4
1
0
f
f
，所以
，令
，
，所以
，由于6 是
的一个周
4
1
f
3
x
5
2
0
f
f
5
1
f
f x
期，所以
0
1
2024
337
0
1
2
3
4
5
0
1
3
2
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
，所以
，
2024
2024
2
0
0
2
0
1
2024
2 2025
2
4050
4052
2
k
k
k
f
f k
f
f
f
故D 正确；故选：ACD
3.解析：对于A，
，
2
4
sin4
2sin2
sin8
2sin4
sin8
sin4
2sin2
sin8
sin
4
2sin2
f
f
由和差化积公式:
得：
sin
sin
2sin
cos
2
2
x
y
x
y
x
y
,
2
sin8
sin
4
2sin2
2sin2cos6
2sin2
2sin2 cos6 1
4sin2sin 3
其中
，故
所以
即
A 正
180
sin1
sin
sin57
π
sin2
0,sin3
0,
2
4sin2sin 3
0,
2
4
0,
f
f
确；
对于B，对
求导,
，
f x
2
2cos2
2cos
2 2cos
cos
1
2 2cos
1 cos
1
f
x
x
x
x
x
x
x
在
上，令
得
令
得
0,2π
f'(x) < 0
2π
4π
0,
,
,2π ,
3
3
x
f'(x) > 0
2π 4π
,
3
3
x
所以
在
和
单调递减,在
单调递增,
f x
2π
0, 3
4π ,2π
3
2π 4π
,
3
3
故
在区间
上的最大值为
,且
,故B 错
f x
0,2π
4π
3
3
3 3
5
2
3
2
2
2
2
f
4π
6
3
误；
对于C，当
时
单调递增,故
在
上单调递增,
2π 4π
,
3
3
x
f x
f x
3,4
而当
时,
，且
,故
正确；
3,4
x
10
2
3,
3,4
3
3
x
2
3
x
x
2
,C
3
x
f
f x
对于D，
17
17
17
sin2
2sin
sin
2
2sin
4
2
4
f x
f
x
x
x
x
x
17
17
sin2
sin
2
2 sin
sin
2
4
x
x
x
x
，由和差化积公式:
17
17
sin2
sin 2
2 sin
sin
2
4
x
x
x
x
得
sin
sin
2sin
cos
2
2
x
y
x
y
x
y
17
17
17
17
2cos
sin 2
4cos
sin
4
4
8
8
x
x
，因为
，所以
17
17
17
17
17
4cos
sin
cos
4cos
sin
4
8
8
8
8
x
x
x
0
2
x
，所以
，所以
17
17
1
,
π,0
8
8
8
x
17
sin
0
8
x
，而
,
17
cos
17
17
17
17
8
cos
cos
cos
cos
17
4
8
8
8
cos 4
x
x
17
17
1
,
π,0
8
8
8
x
17
cos
17
1
1
17
17
1
17
17
8
cos
cos
cos
cos
cos
2cos
cos
2cos
,
17
8
8
8
4
8
8
4
8
cos 4
x
由积化和差得
35
33
17
35
17
17
33
cos
cos
2cos
cos
cos
cos
cos
8
8
8
8
8
8
8
,其中
,
9
13
25
2sin
sin
2sin1sin
8
4
8
9
13
25
sin
0,sin
0,sin
0,sin1 0
8
4
8
上述不等式显然成立，故D 正确,故选：ACD
4.解析：（方法1.函数模型）由③，构造
，且
，
，
)
cos(
)
(
t
x
A
x
f
0
0
f
π
1
2
f
易得结果：
,于是：
x
x
x
f
A
t
t
A
t
A
sin
)
2
cos(
)
(
1
2
1
sin
0
cos
.
2
( +2 )+ (2
)
(
)=
4
2
f x
f
x
f
（方法2.赋值分析）：
取
，则得
,即函数
为奇函数；
0
x
0
f
y
f
y
f x
取
，则得
,所以函数
的周期为
；
2
y
0
2
2
f
x
f
x
f x
2
再取
得
所以
；
4
x
y
(
)+ (0)=2 (
)cos
2
4
4
f
f
f
，
2
(
)=
4
2
f
又由于函数
为奇函数，所以
．
f x
2
( +2 )+ (2
)
(
)=
4
2
f x
f
x
f
5.解析：（1）以简车转轮的中心O 为原点，与水面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标
系，
设
，
，由题意知，
，
，
sin(
)
h
M
t
N
0,24
t
2
8
M
6
M
N
∴
，
，即
，
4
M
2
N
4sin(
)
2
h
t
当
时，
，解得
，
0
t
4sin
2
4
h
1
sin
2
结合图像初始位置可知
，
π
6
又因为
，所以
，
2π
24
T
π
12
综上
．
π
π
4sin
2,
0,24
12
6
h
t
t
（2）经过
后A 距离水面的高度
，
st
π
π
4sin
2
12
6
h
t
由题意知
，所以经过
后B 距离水面的高度
，
2π
π
8
4
AOB
st
π
π
4sin
2
12
12
h
t
则盛水筒B 与盛水筒A 的高度差为
，
π
π
π
π
4 sin
sin
12
6
12
12
H
h
h
t
t
利用
，
sin
sin
2cos
sin
2
2
，
π
π
π
π
π
π
π
4 sin
sin
8sin
cos
12
6
12
12
8
12
24
H
t
t
t
当
，即
时，H 取最大值
，
π
π
π,
Z
12
24
t
k
k
1
12 ,
2
t
k k
Z
π
8sin
m
8
又因为
，所以当
或
时，H 取最大值，
[0,24]
t
11.5
t
23.5
t
综上，盛水筒B 与盛水筒A 的高度差的最大值约为
，此时
或
π
8sin
m
8
11.5
t
