32.辅助角公式应用中的四类重要问题
一．基本原理
1.辅助角公式:形如
的式子可做如下变换:
)
,
(,
cos
sin
)
(
不同时为零
b
a
b
a
f
①
)
cos
sin
(
cos
sin
2
2
2
2
2
2
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
令
2
2
2
2
sin
,
cos
b
a
b
b
a
a
①式=
,其中
.
)
sin(
)
cos
sin
sin
(cos
2
2
2
2
b
a
b
a
a
b
tan
故
，其中
.
cos
sin
)
(
b
a
f
)
sin(
2
2
b
a
a
b
tan
2.基于上面讨论，我们可以得到辅助角公式的四种常见应用：
应用1.解决形如
函数的单调性，奇偶性，最
)
,
(,
cos
sin
)
(
不同时为零
b
a
b
a
f
值，周期性等
应用2.解决形如：
函数的单调性，奇偶性，最值，周期性
)
cos(
)
sin(
)
(
f
等
应用3.由于
，其中
.对于函数
cos
sin
)
(
b
a
f
)
sin(
2
2
b
a
a
b
tan
的某条对称轴：
，代入上式可得：
，由
)
(x
f
0x
x
0
0
2
2
x
k
k
x
于
，这就给出了对称轴和系数之间的一个定量关系.
a
b
x
x
k
0
0
tan
1
)
2
tan(
tan
应用4.实际问题中的应用
下面，针对上述四类应用给出具体的例子来说明其用法.
二．典例分析
例1．已知函数
.
2
( )
2 3 cos
2sin cos
3
f x
x
x
x
（1）当
时，求
的取值范围；
π
0, 2
x
( )
f x
（2）若锐角
，
满足
，
，求
.
8
(
)
2
6
5
f
12
cos(
)
13
sin
解析：（1）
,
2
( )
2 3 cos
2sin cos
3
f x
x
x
x
π
sin2
3cos2
2sin(2
)
3
x
x
x
因为
，则
，所以
，所以
.
[0,
]
2
x
π
π 4π
2
,
3
3
3
x
π
3
sin 2
,1
3
2
x
( )
[
3,2]
f x
（2）由第（1）问知
，所以
，
π
π
π
8
2sin 2
2
6
2
6
3
5
f
4
sin
5
=
因为
，所以
，因为
，
为锐角，所以
，因为
π
(0,
)
2
3
cos
5
0,π
，所以
，所以
12
cos(
)
13
5
sin(
)
13
sin
sin[(
)
]
sin(
)cos
cos(
)sin
.
5
3
12
4
63
13
5
13
5
65
例2．已知函数
的最大值为1，
s
π
π
6
6
sin
in
cos
f x
x
x
x
a
（1）求常数
的值；
a
（2）求函数
的单调递减区间；
f x
解析：（1）由题意：函数
，
s
π
π
6
6
sin
in
cos
f x
x
x
x
a
化简得：
π
π
π
π
( )
sin cos
cos sin
sin cos
cos sin
cos
6
6
6
6
f x
x
x
x
x
x
a
3sin
cos
x
x
a
，
的最大值为1，
，解得：
．
π
2sin(
)
6
x
a
π
sin(
)
6
x
( )
2 1
1
f x
a
1
a
（2）
由（1）可知
．根据三角函数的性质可得：
π
( )
2sin(
) 1
6
f x
x
．即
，
解得：
π
π
3π
[2 π
,2 π
](
Z)
6
2
2
x
k
k
k
π
π
3π
2 π
2 π
2
6
2
k
x
k
(
)
k Z
，
，
的单调递减区间为
.
π
4π
2 π
2 π
3
3
k
x
k
(
)
k Z
( )
f x
π
4π
2 π,
2 π ,
3
3
k
k
k
Z
例3．设函数
，其中
，已知
．
π
π
sin
sin
6
2
f x
x
x
0
3
π
0
6
f
（1）求
；
（2）将函数
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再将得到
y
f x
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，求
的单调递减区间．
π
4
y
g x
g x
解析：（1）由
得：
π
π
sin
sin
6
2
f x
x
x
，
3
1
3
3
sin
cos
cos
sin
cos
2
2
2
2
f x
x
x
x
x
x
，
1
3
π
3
sin
cos
3sin
2
2
3
x
x
x
由
知
，则
，
，故
，
，又
π
0
6
f
π
π
sin
0
6
3
π
π
π
6
3
k
Z
k
6
2
k
Z
k
，所以
．
0
3
2
（2）由（1）知
，由题意得
π
3sin 2
3
f x
x
π
π
π
3sin
3sin
4
3
12
g x
x
x
．
由
，
，解得
，
，
π
π
3π
2 π
2 π
2
12
2
k
x
k
≤
≤
Z
k
7π
19π
2 π
2 π
12
12
k
x
k
≤
≤
Z
k
所以
的单调递减区间为
（
）．
g x
7π
19π
2 π,
2 π
12
12
k
k
Z
k
例4．已知函数
，设
，则
( )
3sin 4
4sin 4
3
6
f x
x
x
0
0
,
,
( )
x
x
f x
f x
R
R
等于（ ）
0
2
tan 4
3
x
A．
B．
C．
D．
4
3
3
4
3
4
4
3
解析：
，
( )
3sin 4
4sin 4
3sin(4
)
4sin(
4
)
3
6
3
2
3
f x
x
x
x
x
，
，
，
( )
3sin(4
)
4cos(4
)
3
3
f x
x
x
4
( )
5sin(4
)(tan
)
3
3
f x
x
max
5
( )
f x
，
，
0
0
,
,
( )
x
x
f x
f x
R
R
0
2
3
4
(
Z)
2
k
k
x
.故选：B.
0
2
1
3
tan 4
tan(
2
)
3
2
tan
4
x
k
例5．已知将函数
的图像向右平移
个单位长度（其中
），
2sin
3cos
f x
x
x
0
2π
得到函数
的图像，则
（ ）
3sin
2cos
g x
x
x
A．
B．
C．
D．
π
4
π
2
3π
4
3π
2
解析：
，其中
2
3
2
3
13
13sin
1
sin
cos
sin
cos
3
13
x
x
x
x
x
f
x
，
．
2 13
cos
13
3 13
sin
13
，其中
，
3
2
3
2
13
13sin
1
sin
cos
sin
cos
3
13
x
x
x
x
x
g
x
3 13
cos
13
，∵将函数
的图像向右平移
个单位长度得到函数
的图像，∴
2 13
sin
13
f x
g x
，∴
，
，
13sin
1
sin
3
x
x
2 π
k
x
x
Z
k
∴
，
，∴
，
2 π
k
Z
k
9
4
sin
sin
sin
cos
cos
sin
1
13
13
∵
，∴
．故选：B．
0
2π
2
例6．函数
的图象向右平移
个单位长度后，所得的函数为偶函
sin
cos
0
f x
a
x
x a
数，则
的最小值为（ ）
1
2sin 2
a
a
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：
，其中
，函数的图象向右平移
个
2
sin
cos
1sin
f x
a
x
x
a
x
1
tan
a
单位长度后，得到函数
为偶函数，则当
时，
，
2
1sin
y
a
x
0
x
π
π
2
k
，即
，则
，
，
Z
k
π
π
2
k
2
2
π
2 π
k
Z
k
，
2
2
2
2sin
cos
2tan
sin 2
sin 2
π
2 π
sin 2
sin
cos
1
tan
k
2
2
2
2
1
1
1
a
a
a
a
即
，因为
，所以
，
，
2
2
1
4
1
2sin 2
1
a
a
a
a
a
a
a<0
2
4
0
1
a
a
2
1
0
a
a
所以
，当
，即
时，等号成
2
2
2
2
4
1
4
1
2
4
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2
4
1
1
a
a
a
a
1
a
立，
所以
的最小值为4.故选：B
1
2sin 2
a
a
例7.已知
，则下列说法正确的是___________
sin 2
cos2
f x
x
m
x
①．
的最大值为
f x
1
m
②．
的最小正周期为
f x
f x
π
③．若
在
处取得最大值，且
，则
的取值范围为
f x
0
x
x
0
π
π
,
12 4
x
m
0, 3
④．若
在
处取得量大值，则关于
的方程
在
无实数根
f x
0
x
x
x
tan 2x
m
0
0
π
,
6
x x
解析：
，其中
，所以函数
的最大
2
sin 2
cos2
1
sin(2
)
f x
x
m
x
m
x
tan
m
f x
值为
，故选项A 错误；因为函数
的最小正周期为
，
2
1
m
2
1
sin(2
)
f x
m
x
π
函数
的最小正周期为
，根据周期函数的性质知，
2
1
sin(2
)
f x
m
x
π
2
的最小正周期为
，故选项B 正确；由函数
在
f x
f x
π
2
1
sin(2
)
f x
m
x
0
x
x
处取得最大值，所以
，即
，所以
0
π
2
2 π
,
Z
2
x
k
k
0
π
2
2 π,
Z
2
x
k
k
，
0
0
0
π
π
1
tan
tan(2
2 π)
tan(2
)
2
2
tan 2
m
x
k
x
x
因为
，所以
，所以
，所以
，故选
0
π
π
,
12 4
x
0
π π
2
,
6 2
x
0
3
tan 2
,
3
x
3,0
m
项C 错误；
由
及
知，
，所以
，
0
π
tan(2
)
2
m
x
tan 2x
m
0
π
tan(2
)
tan 2
2
x
x
0
π
2
2
π,
Z
2
x
x
k
k
即
，若
，则
，
0
π
π ,
Z
4
2
k
x
x
k
0
0
π
,
6
x
x x
0
0
0
π
π
π ,
Z
4
2
6
k
x
x
x
k
所以
，即
，无解，
π
π
5π ,
Z
4
2
12
k
k
1
5 ,
Z
2
6
k
k
所以关于
的方程
在
无实数根，故选项D 正确.故选：BD
x
tan 2x
m
0
0
π
,
6
x x
例8.为迎接大运会的到来，学校决定在半径为
，圆心角为
的扇形空地
的
20 2m
4
OPQ
内部修建一平行四边形观赛场地
，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（
）
ABCD
A．
B．
2
200m
2
400 2
2 m
C．
D．
2
400
3
1 m
2
400
2
1 m
解析：如图所示：
．
连接
，设
，作
，
，垂足分别为
．根据平面几何
OC
COA
DF
OP
CE
OP
,
F E
知识可知，
，
，
．∴
，
AB
CD
EF
DF
OF
CE
DF
20 2 sin
CE
．故四边形
的面积
也为四边形
20 2 cos
20 2 sin
EF
OE
OF
ABCD
S
的面积，即有
DFEC
20 2 sin
20 2 cos
sin
400 sin 2
cos2
1
S
，其中
．所以当
即
时，
400 2 sin 2
400
4
0, 4
sin 2
1
4
8
．故选：D．
max
400
2
1
S
2
m
例9．如图，四边形
是一块边长为100cm 的正方形铁皮，其中扇形
的半径
ABCD
AMPN
为90cm，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，
是
弧上一点，
，
P
AMN
PAB
工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个边在
与
上的矩形铁皮，求矩形铁皮
面
BC
CD
PQCR
积的最大值和这时
的值．
解析：作
垂直
于点
，则
，
PH
AB
H
cos
90cos ,
sin
90sin
AH
AP
PH
AP
所以
，所以矩形铁皮
面积
100
90cos ,
100
90sin
PQ
RP
PQCR
，令
100
90sin
100
90cos
10000
9000 sin
cos
8100sin
cos
S
，则
，因为
，所以
π
sin
cos
2 sin
4
t
2
1
sin
cos
2
t
π
0, 2
，所以
，所以
π
π 3π
4
4
4
,
1,
2
t
，由二次函数性质可知，函数
的
2
2
10000
9000
4050
1
4050
9000
5950
S
t
t
t
t
S t
图象开口向上，对称轴为
，所以当
，即
时
.当
10
9
t
2
t
π
4
max
14050
9000 2
S
时，矩形铁皮面积最大，最大值为
π
4
14050
9000 2
