63.最小角定理与最大角定理
一．基本原理
1.三余弦定理：
设
为面
上一点，过
的斜线
在面
上的射影为
，
为面上的一条直线，则
A
A
AO
AB
AC
2
1 cos
cos
cos
证明：如图，过点
作
，由于
，则
，从而
B
AC
BC
AC
BC
AC
OB
,
OBC
AC
面
.
OC
AC
于是，
，于是得证：
AB
AC
OA
AB
OA
AC
2
1
cos
,
cos
,
cos
.
cos
cos
cos
2
1
2.推论（最小角定理）：由于
.
1
1
2
cos
cos
1
cos
这说明：线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小
值，
又称最小角定理.（凌晨讲数学）
3.最大角定理
锐二面角在一个半平面内的动直线与另一个半平面所成的线面角小于等于此二面角的平面
角.
证明：如图，在平面
内任取一条直线
，作
，垂足为
，作
，垂足
AC
AO
O
l
AB
为
，易得直线
与
所成的角为
，二面角
所成的平面角为
B
AC
ACO
l
ABO
，则
，且
，所以
.
AB
AO
ABO
AC
AO
ACO
sin
,
sin
AB
AC
ABO
ACO
二．典例分析
例1.（佛山市2025 届高三一模） 已知直线
与平面
所成的角为
，若直线
，直
m
π
4
n
线
，设
与
的夹角为
，
与
的夹角为
，则（ ）
m
m
n
1
2
A．
，
B．
，
1
π
4
2
π
4
1
π
4
2
π
4
C．
，
D．
，
1
π
4
2
π
4
1
π
4
2
π
4
解析：显然选A
例2．已知三棱锥
的棱长均为
平面
为
中点，
.记和直线
P
ABC
1, BC
, E
PB
l
l
AE
所成角为
，则该三棱锥绕
旋转的过程中，
的最小值是___________.
BC
sin
解析：设
与平面
所成角为
，因为
，和直线
所成角为
，所以
AE
1
l
l
AE
；
1
sin
cos
取
的中点
，连接
，因为
分别为中点，所以
，
或其补角
CD
F
,
EF AF
,
E F
/ /
EF
BC
AEF
是
与
所成角；在
中，
，所以
且
AE
BC
AEF
△
3
1
,
2
2
AE
AF
EF
3
cos
6
AEF
为锐角.三棱锥绕
旋转的过程中，由线面角的性质可知，
，所以
AEF
BC
1
AEF
，即
的最小值为
.故答案为：
.
1
3
cos
cos
6
AEF
sin
3
6
3
6
例3（2017 年全国卷3 理16）
为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角
的直
b
a,
ABC
角边
所在直线与
都垂直，斜边
以直线
为旋转轴旋转，有下列结论：
AC
b
a,
AB
AC
①当直线
与
成
角时，
与
成
角；
AB
a
60
AB
b
30
②当直线
与
成
角时，
与
成
角；
AB
a
60
AB
b
60
③直线
与
所成角的最小值为
；
AB
a
45
④直线
与
所成角的最小值为
.
AB
a
60
其中正确的是_______（填写所有正确结论的编号）.（公众号：凌晨讲数学）
解析：如图所示，设
为直线
，
为直线
，过
分别作
的平行线
，
CD
a
CE
b
B
b
a,
BM
BN
，则直线
与直线
所成的角分别为
，
.注意到，当斜边
AB
b
a,
ABM
ABN
AB
以直线
为旋转轴旋转时，平面
始终与
所确定的平面是垂直的，设
AC
ABC
b
a,
，由题意可知
.
CBM
90
CBN
根据三余弦公式，有
，同理，
cos
2
2
cos
cos
cos
cos
CBM
CBA
ABM
有
，由此可以判断命题②③正
sin
2
2
cos
cos
cos
cos
CBN
CBA
ABN
确.
例4.（2018 浙江8）已知四棱锥
的底面是正方形，侧棱长均相等，
是线段
ABCD
S
E
上的点（不含端点）.设
与
所成的角为
，
与平面
所成的角为
AB
SE
BC
1
SE
ABCD
2
，二面角
的平面角为
，则
.
C
AB
S
3
（）
A.
B.
C.
D.
3
2
1
1
2
3
2
3
1
1
3
2
解：如图4，作
垂直于平面
，垂足为
，取
的中点
，连接
.过
作
SO
ABCD
O
AB
F
SF
O
垂直于直线
，可知
，过
固定下的二面角与线面角关
ON
SF
SFO
SEO
3
2
,
SO
系，得
.易知，
也为
与平面
的线面角，即
与平面
的线面角，
2
3
3
BC
SAB
OF
SAB
根据最小角定理，
与直线
所成的线线角
，所以
，故选D.
OF
SE
3
1
1
3
2
三．习题演练
1．已知直线和平面
所成的角为
，则直线和平面
内任意直线所成的角的取值范围
l
π
6
l
为（ ）
A．
B．
π
0, 6
π π
,
6 3
C．
D．
π
0, 2
π π
,
6 2
解析：根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角，
故与
内直线所成角的最小值为
，当在
内的射影与平面
内的直线垂直时，与之
l
π
6
l
l
所成的角为
，故与
内直线所成角的范围为
.故选：D.
π
2
l
π π
6 2
，
2 已知三棱锥
, 平面
平面
,记二面角
的平面角
与
𝐷‒ 𝐴𝐵𝐶
𝐷𝐴𝐵⊥
𝐴𝐵𝐶
𝐷‒ 𝐴𝐶‒ 𝐵
𝛼,𝐷𝐴
底面
所成的角为
与平面
所成的角为 , 则
𝐴𝐵𝐶
𝛽,𝐴𝐵
𝐴𝐷𝐶
𝛾
A.
B.
C.
D.
𝛼⩾𝛽⩾𝛾
𝛽⩾𝛼⩾𝛾
𝛼⩾𝛾⩾𝛽
𝛾⩾𝛼⩾𝛽
解析：由最大角定理可知
. 因为
可看作
与
成的角 (线线角),
是
𝛽⩽𝛼
𝛽
𝐴𝐵
𝐴𝐷
𝛾
𝐴𝐵
与平面
所 成的角 (线面角), 所以由最小角定理得
, 故选
.
𝐴𝐷𝐶
𝛽⩾𝛾
𝐴
3.如图, 在棱长为 3 的正方体
中, 点
是平面
内一动点, 且
𝐴𝐵𝐶𝐷‒ 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1
𝑃
𝐴1𝐵𝐶1
满足
, 则直线
和直线
所成角的余弦值的取值范围为
|𝑃𝐷| + |𝑃𝐵1| = 2 +
13
𝐵1𝑃
𝐴𝐷1
A.
B.
C.
D.
[0,
1
2]
[0,
1
3]
[
1
2,
2
2 ]
[
1
2,
3
2 ]
解析 设
面
, 则
, (利用等积法或截
𝐵1𝐷∩
𝐴1𝐵𝐶1 = 𝐸
𝐷𝐸=
2
3𝐷𝐵1 = 2 3,𝐵1𝐸=
1
3𝐷𝐵1 =
3
面平几法 皆可轻松证明)
因为
, 所以点
在以
为焦点的椭球面上, 此椭球的焦距为
|𝑃𝐷| + |𝑃𝐵1| = 2 +
13
𝑃
𝐷,𝐵1
, 长 轴为
;
𝐷𝐵1 = 3 3
2 +
13
又点
是平面
内一动点, 易知平面
截粗球的图形为圆面, 故点
的轨迹
𝑃
𝐴1𝐵𝐶1
𝐴1𝐵𝐶1
𝑃
是以
为圆心的 圆, 即
为定值, 易求得
.
𝐸
𝐸𝑃
𝑃𝐸= 1
所以直线
和直线
所成角即为
和直线
所成角, 由最小角定理可知,
𝐵1𝑃
𝐴𝐷1
𝐵1𝑃
𝐵𝐶1
𝐵1
和底面
所成的线面角
即为
和直线
所成角的最小值，
𝑃
𝐴1𝐵𝐶1
𝜃
𝐵1𝑃
𝐵𝐶1
易知
, 且
和直线
所成角的最大值为 , 故直线
和直线
所成角
𝜃=
𝜋
3
𝐵1𝑃
𝐵𝐶1
𝜋
2
𝐵1𝑃
𝐴𝐷1
的余弦值的取值 范围为
.
[0,
1
2]
