文档文本内容
第五章 生活中的轴对称压轴题专练
内容导航
一、折叠问题
类型一、角的折叠
类型二、三角形的折叠
类型三、长方形的折叠
二、简单的轴对称图形
类型四、角平分线性质的应用
类型五、线段垂直平分线的应用
类型六、等腰三角形的性质
一、折叠问题
类型一、角的折叠
1．如图，把一个角沿过点O 的射线对折后得到的图形为
，现从点O 引一条射线
，使
，再沿
把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，
最大角是最小角的三倍，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．如图1，点
是直线
上一点，射线
从
开始以每秒
的速度绕点
顺时针转动，射线
从
开始以每秒
的速度绕点
逆时针转动，当
、
相遇时，停止运动；将
、
分别沿
、
翻折，得到
、
，设运动的时间为（单位：秒）
(1)如图2，当
、
重合时，
_______ ；
(2)当
时，
_______ ，当
时，
_______ ；
(3)如图3，射线
在直线
的上方，且
，在运动过程中，当射线
、
、
其中一条
射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出的值
3．如图1，已知两条直线
被直线
所截，分别交于点
、点
，
交
于点
，
，
且
．
(1)当
时，
______ ．
(2)证明：
平分
．
(3)如图2，点
是射线
上一动点（不与点
重合），
平分
交
于点
，过点
做
于点
．在点
的运动过程中，
、
、
之间有怎样的数量关系？请写出你
的猜想，并说明理由．
4．如图1，直线
，
的平分线交
于点
．
（1）求证：
；
（2）如图2，过点
作
于点
，交
于点
，探究
与
之间的数量关系，并证明
你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，
的平分线交
延长线于点
，
为
延长线上一点，
，将
沿直线
翻折，所得直线交
于
，交
于
，若
，求
的度数．
5．已知
，射线
、
在
的内部（OC 与OD 不重合），且
．将射线
沿直
线
翻折，得到射线
；将射线
沿直线
翻折，得到射线
（
与
不重合）．
(1)如图①，若
，则
______°，
______°；
(2)若
，请画出不同情形的示意图，并分别求出
和
的度数；
(3)设
，请直接写出
与
之间的数量关系及相应的
的取值范围．
类型二、三角形的折叠
6．如图，等腰
中，
，
于D，
的平分线分别交
，
于E，F 两
点，M 为
的中点，延长
交
于点N，连接
．则下列结论：①
，②
，③
，④
；其中正确的是（ ）
A．①②④
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
7．如图，
和
均为等腰直角三角形，且
，点A、D、E 在同一条直线上，
平分
，连接
．以下结论：①
；②
；③
；④
，
正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8．如图，在三角形
中，点D，E 是边
上两点，点F 在边AB 上，将三角形
沿
折叠得三角
形
，
交
于点H，将三角形
沿
折叠恰好得到三角形
，且
．下列四个结论：
①
；②
；③
；④若
，则
．
其中正确的结论是 （填写序号）．
9．在直角三角形ABC 中，
，点D，E 分别在
上，将
沿
翻折，得到
．
(1)如图①，若
，则
______ ；
(2)如图②，
的平分线交线段
于点G.若
，求证
．
(3)已知
，
的平分线交直线
于点G.当
的其中一条边与
平行时，直接写出
的度数（可用含
的式表示）．
10．如图，在
中，
，
，射线
，
的夹角为
，过点
作
于点
，直线
交
于点
，连接
．
(1)如图1，射线
，
都在
的内部．
①设
，则
（用含有
的式子表示）；
②作点
关于直线
的对称点
，则线段
与图1 中已有线段 的长度相等；
(2)如图2，射线
在
的内部，射线
在
的外部，其他条件不变，用等式表示线段
，
，
之间的数量关系，并证明．
11．阅读理解
如图1，
中，沿
的平分线
折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿
的平分线
折叠，
剪掉重叠部分；……；将余下部分沿
的平分线
折叠，点
与点
重合，无论折叠多少次，
只要最后一次恰好重合，我们就称
是
的好角．
情形一：如图2，沿等腰三角形
顶角
的平分线
折叠，点
与点
重合；
情形二：如图3，沿
的
的平分线
折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿
的平分线
折叠，此时点
与点
重合．
探究发现
（1）
中，
，经过两次折叠，问
的好角（填写“是”或“不是”）；
（2）若经过三次折叠发现
是
的好角，请探究
与
（假设
）之间的等量关系 ；
根据以上内容猜想：若经过
次折叠
是
的好角，则
与
（假设
）之间的等量
关系为 ；
应用提升：
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为
，
，
，发现 是此三角形的好角；
（4）如果一个三角形的最小角是
，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角；
则此三角形另外两个角的度数 ．
类型三、长方形的折叠
12．如图1 所示为一条足够长的长方形纸带，其中PN∥QM，点A、B 分别在PN、QM 上，记∠ABM＝α
（0＜α＜90°）；如图2，将纸带第一次沿BR1折叠成图2，使BM 与BA 重合；如图3，将纸条展开后第二
次再折叠，使BM 与BR1重合，第三次沿AR2折叠成图4，第四次沿BR2折叠成图5，按此操作，最后一次
折叠后恰好完全盖住∠AR2B，整个过程共折叠了9 次，则α＝ °．
13．有一长方形纸带，E、F 分别是边
，
上一点，
度（
），将纸带沿
折叠
成图1，再沿
折叠成图2．
(1)如图1，当
度时，
度；
(2)如图2，若
，求α 的值；
(3)作
平分
交直线
与点P，请直接写出
与
的数量关系 ．
14．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．
（1）若图中
，则
；
（2）在图1 的基础上继续折叠，使得图1 中的
边与
边重合（如图2），若继续沿
边折叠，
边
恰好平分
，则此时
的度数为 度．
15．已知，直线
、
被直线所截（
、
、不交于同一点），若直线
、所成的四个角中有一个角
与直线
、所成的四个角中的一个角相等，则称直线是直线
、
的等角线．如图1，直线
、
被直
线所截，若
，则直线是直线
、
的等角线．
(1)如图2 中，
直线是直线
、
的等角线的是______；（填序号）
(2)如图3，点
、
分别为长方形
的边
、
的点，且点
不与点
、
重合，点
不与点
、
重合，将长方形
沿
折叠后，点
、
分别落在点
、
的位置，
的延长线交直线
于
点
．
①直线
中，直线 是直线
与直线
的等角线，并请说明理由；
②直线
与直线
交于点
，当直线
、
、
中，其中一条直线是另两条直线的等角线，请直
接写出
的度数．
16．综合与实践
问题情境：
数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边
，将纸片
沿折痕
折叠，点
，
分别为点
，
，线段
与
交于点
（说明：折叠后纸带的边
始终成立）
ED
BC
ED
BC
G
AB
EG
BC
AED
AD
BC
∥
EF
A
B
A
B
B F
DE
G
A E
B F
∥
操作探究：
(1)如图，若
，则
的度数为______°．
(2)如图
，改变折痕
的位置，其余条件不变，小彬发现图中
始终成立，请说明理由；
(3)改变折痕
的位置，使点
恰好落在线段
上，然后继续沿折痕
折叠纸带，点
，
分别在线
段
和
上．
①如图，点
的对应点与点
重合，点
的对应点为点
若
，直接写出
的度数．
②如图
，点
，
的对应点分别为点
，
，点
，
均在
上方，若
，
，
当
时，直接写出
与
之间的数量关系．
17．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”，即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α 和
∠β 互为“互优角”．（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角）
(1)若∠1 和∠2 互为“互优角”，当∠1＝90°时，则∠2＝ ；
(2)如图1，将一长方形纸片沿着EP 对折，（点P 在线段BC 上，点E 在线段AB 上），使点B 落在B′若
∠EPB′与∠CPB′互为“互优角”，则∠BPE 的度数为 ；
(3)再将纸片沿着PF 对折（点F 在线段CD 或AD 上），使点C 落在C′．
①如图2，若点E，C′，P 在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF 互为“互优角”，求∠EPF 的度数（对折时，
线段PB′落在∠EPF 内部）；
②若∠B′PC′与∠EPF 互为“互优角”，则∠BPE 与∠CPF 应满足什么样的数量关系（直接写出结果即
1
B F
AD
EFG
2
EF
1
2
EF
B
AD
MN
M
N
FC
B D
3
C
B
D
.
D
70 ,
80
BFE
CMN
FB M
4
C
D
C
D
C
D
AD
BFE
CMN
FB
MC
∥
可）．
18．如图1 所示，有一条足够长的纸条
，满足
，
，点E 是
边上的点．将
沿着折痕
折叠，使得射线
与射线
重合，折痕
交
于点F；将
沿着折痕
折
叠，使得射线
与射线
重合，折痕
交
于点G．
（1）求
的度数；
（2）若左右平移点E，那么
的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请
求出这个比值．
（3）如图2，若
，点P 是
边上的动点，连结
，将三角形
沿着折痕
折叠，得到
三角形
，折痕
交
于点P，在点P 的移动过程中，当
平行于三角形
的其中一边时，求
的度数．
19．（1）填空
①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，
，
为折痕，折叠后的
点落在
或
的延
长线上，那么
的度数是________；
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，
点与
点重合，
，
为折痕，折叠后的
点落
在
或
的延长线上，那么
的度数是_______．
（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，
，
为折痕，折叠后的
点落在
ABCD
//
AD BC
100
A
AD
ABE
BF
BA
BE
BF
AD
CBE
BG
BC
BE
BG
AD
FBG
:
FEB
EGB
40
ABE
BC
PE
BEP
PE
B EP
PE
BC
AB
B EP
BEP
EM
FM
C
1
B M
1
B M
EMF
B
M
EM
FM
C
1A M
1A M
EMF
EM
FM
C
或
的延长线上左侧，且
，求
的度数；
②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，
点与
点重合，
，
为折痕，折叠后的
点落
在
或
的延长线右侧，且
，求
的度数．
（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，
，
为折痕，设
，
，
，求
，
，
之间的数量关系．
类型四、角平分线性质的应用
20．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC，CD⊥BD 于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC 面积的
最大值为（ ）
A．2
B．2.5
C．4
D．5
21．如图，在
中，
和
的平分线
，
交于点
，
交
于点
，
交
于点
，连接
．过点
作
于点
，若
，
，
，
，现给出以下结论：①
；②
；③
；④当
时，
；⑤当
时，
；其中，正确结论的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
22．如图所示，直线
交
轴正半轴于点
，交
轴负半轴于点
，且
，
是
轴
负半轴上一点，连接
．
1
B M
1
B M
80
EMF
1
1
C MB
B
M
EM
FM
C
1A M
1A M
60
EMF
1
1
C MA
EB
FB
ABC
EBF
1
1
A BC
ABC
BAC
ABC
AE
BF
I
AE
BC
E
BF
AC
F
IC
I
ID
BC
D
ID
h
=
AB
c
AC
b
BC
a
ACI
BCI
90
BIC
BAC
ΔABC
s
h
a
b
c
60
ACB
AF
BE
AB
90
ACB
2
a
b
c
h
AB
x
( ,0)
A a
y
(0, )
B
b
OA
OB
( ,0)
C c
x
BC
(1)如图1，若
于点
，且
交
于点
，求证：
；
(2)如图2，在（1）的基础上，连接
，求证：
；
(3)若
，点
为
的中点，点
为
轴上一动点，连接
，过
作
交
轴于
点，
当
点在
轴上运动的过程中，
，
，
之间有何数量关系？为什么？
23． 如图1，在平面直角坐标系
中，点
点P 为x 轴正半轴上一点，直线
直线
，垂足为C，直线
与y 轴交于点E，设P 点的横坐标为m．
(1)求证：
；
(2)求E 点坐标 (用含m 的代数式表示)；
(3)如图2， 连接
，作点O 关于
的对称点D，连接
与
轴交于点F．
①求证：当
时，
平分
；
②试探索
三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论．
24．如图1，在
中，
牛分
平分
与
交于点
．
图1 图2
AH
BC
H
AH
OB
P
△
≌△
AOP
BOC
OH
45
OHP
2
0
a
c
D
AB
M
y
MD
D
DN
DM
x
N
M
y
BDM
S△
ADN
S
ABC
S
xOy
4 0
0 4
A
B
，，
，，
AC
PB
AC
PBO
PAC
OC
PB
CD
OD
OD
、
，
PB
0
4
m
OC
ACF
AC
BC
OD
、
、
ABC
BD
,
ABC CE
,
ACB BD
CE
O
(1)如图1，若
．
①求
的度数；
②作
于点
，探究
之间的数量关系并说明理由；
(2)如图2，若
，则
的值为________________．
25．如图，已知点P 在
的平分线上，点
分别在射线
、
上，连接
，
(1)当
，
时，
与
的数量关系 ；
(2)当
，且
时，（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
(3)在（2）条件下，若
，则
．
26．【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56 页第10 题，如图的三角形纸片中，
，
，
．沿过点
的直线折叠这个三角形，使点
落在
边上的点
处，折痕为
．求
的周
长．
解：
是由
折叠而得到
，
的周长为：
【知识应用】在
中，
沿过点
的直线折叠这个三角形，使点
落在
边上的点
处，折
痕为
，过点
作
的平分线交
于点
连接
．
60
A
BOC
OF
AB
F
AE
AD
AF
、
、
4
90 ,
,
7
OD
A
OE
kOC OB
k
AOB
C
D
、
OA
OB
PC
PD
PC
OA
PD
OB
PC
PD
90
AOB
PC
PD
6
OC
OD
ODPC
S
四边形
8cm
AB
6cm
BC =
5cm
AC
B
C
AB
E
BD
AED
△
BDE
BDC
BDE
BDC
△
≌△
6cm
BC
BE
DC
DE
8cm
AB
8cm
6cm
2cm
AE
AB
BE
5cm
AC
ADE
V
7cm
AD
DE
AE
AC
AE
Rt
ABC
△
90
C
B
C
B
E
BD
E
BED
BD
P
AP
（1）如图1，若
，
，求
的面积；
（2）如图2，求证
平分
；
【拓展应用】如图3，在
中，
沿过点
的直线折叠这个三角形，使点
落在
边上的
点
处，折痕为
，过点
作
的平分线交
于点连接
，过点
作
．
（3）若
，
，
，直接写出
长；
（4）若
，求证
．
类型五、线段垂直平分线的应用
27．如图，在四边形
中，点E，F 分别在
，
边上，将
沿
折叠，使点
落在点
处，
连接
，
．有下面四个结论：
①
；②直线
是线段
的垂直平分线；③
；④
．
所有正确结论的序号为( )
A．①③
B．①②③
C．②③④
D．①②③④
28．在
和
中，
，
，
．
3cm
CD
16cm
AB
BC
ABC
AP
CAB
Rt
ABC
△
90
C
B
C
AB
E
BD
E
BED
BD
AP
P
PH
AB
10cm
AB
6cm
BC =
8cm
AC =
PH
2
2
2
AC
BC
AB
1
2
AH BH
AC BC
ABCD
AD
AB
A
EF
A
G
GE
GF
AF
GF
EF
AG
360
B
C
D
G
2
BFG
DEG
A
ABC
DEC
AC
BC
DC
EC
90
ACB
ECD
(1)如图，当点
、
、
在同一条直线上时，求证：
；
(2)如图
，当点
，
、
不在同一条直线上时，
与
交于点
，
交
于点
，求证：
；
(3)如图，在（
）的条件下，连接
并延长
交
于点
，
是一个固定的值吗？，若是，
求出
的度数；若不是，请说明理由，
29．如图1，点A、D 在y 轴正半轴上，点B、C 分别在x 轴上，
平分
与y 轴交于D 点，
．
(1)求证：
；
(2)在（1）中点C 的坐标为
，点E 为
上一点，且
，如图2，求
的长；
(3)在（1）中，过D 作
于
点，点H 为
上一动点，点G 为
上一动点，（如图3），当点
H 在
上移动、点G 在
上移动时，始终满足
，试判断
、
、
这三者
之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
30．如图，
为
的外角平分线上一点并且
在
的垂直平分线上，过
作
于
，
交
的延长线于
，则下列结论：
；
；
；
．其中正确的结论是（ ）
A．个
B．
个
C．个
D．
个
1
A
C
D
AE
BD
2
A
C
D
BD
AC
G
AE
CD
H
AF
BD
3
2
CF
CF
AD
M
AFM
AFM
CD
ACB
CAO
DBO
AC
BC
4,0
AC
DE
AD
BC
EC
DF
AC
F
FC
OC
FC
OC
GDH
GDO
FDH
FH
GH
OG
D
BAC
D
BC
D
DE
AC
E
DF
AB
BA
F
①
CDE
BDF
△
△
≌
②CE
AB
AE
③
BDC
BAC
④
DAF
ACD
1
2
3
4
31．如图，
中，
，
是边
的垂直平分线，交
于G，过点F 作
于点E，
平分
交
于F，连接
，
．下列结论：①
②
③
④
．其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
32．如图，直线
与直线
相交于点
，并且互相垂直，点
和点
分别是直线
和
上的两个动
点，且线段
长度不变，点
是
关于直线
的对称点，连接
，若
，则
的度数
是 ．
33．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为
，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型
中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角
中，
，
，过点C 作直线
，
于
D，
于E，求证：
；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角
中，
，
，过点C 作直线
，
于
ABC
AB
AC
＞
MN
BC
AB
FE
AB
AF
DAB
MN
BF
CF
FB
FC
FB
FC
AB
AC
＞
2
AB
AC
AE
BFC
BAC
MN
PQ
A
B
C
MN
PQ
BC
D
A
BC
AD
1
2
AD
BC
ACD
90
ABC
90
ACB
AC
BC
DE
AD
DE
BE
DE
ADC
CEB
△
≌△
ABC
90
ACB
AC
BC
CE
AD
CE
D，
于E，
，
，求
的长；
(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，
，点B 在第一、第三象限的角平分线l 上．点C 在y 轴上，
为等腰直角三角形；
①如图3，当
时，求点C 的坐标；
②直接写出其他符合条件的C 点的坐标．
34．八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，
可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件
和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
(1)如图1，在
中，若
，
．求
边上的中线
的取值范围；
(2)如图2，在
中，点D 是
的中点，点M 在
边上，点N 在
边上，若
．
求证：
；
(3)如图3，
和
均为等腰直角三角形，且
，连接
，
，点D 为
边的中点，连接
．请直接写出
与
的数量关系和位置关系．
35．在
中，
，
，射线
，
的夹角为
，过点
作
于点
，直线
交
于点
，连接
．
(1)如图1，射线
，
都在
内部．
①若
，
，则
；
②作点
关于直线
的对称点
，在图1 中找出与线段
相等的线段，并证明．
(2)如图2，射线
在
的内部，射线
在
的外部，其它条件不变，探究线段
之间的数量关系，并证明．
BE
CE
3.2cm
AD
2.3cm
DE
BE
5 2
A
，
ABC
90
CBA
ABC
10
AB
7
BC
AC
BD
ABC
AC
AB
BC
DM
DN
AM
CN
MN
ABM
BCN
△
90
ABM
CBN
AC
MN
AC
BD
BD
MN
ABC
AB
AC
BAC
AD
AE
1
2
B
BF
AD
F
BF
AE
G
CG
AD
AE
BAC
120
20
CAE
CBG
B
AD
H
GH
AD
BAC
AE
BAC
BF
BG
CG
，
，
36．已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标是
，点P 是第一象限内一动点．
(1)①如图1．若动点
满足
，求点P 的坐标．
②如图2，在第（1）问的条件下，且
，将
逆时针旋转至如图
所示位置，求
的值．
(2)如图3，若点A 与点
关于x 轴对称，且
，若动点P 满足
，
问：
的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化．请求出其值．
37．如图，在△ABC 中，CA＝CB，过点A 作射线AP∥BC，点M、N 分别在边BC、AC 上（点M、N 不与
所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN 并延长交射线AP 于点D，连结MA 并延长交AD 的垂直平分
线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE 的大
小为______度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE 的大小为______度（用含β 的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM 平分∠BAC，若AM、BN 交于点F，DE＝
DF，DE＝1，则
△DEF 的面积为______．
(0 2)
,
,
P a b
2
3
9
3
0
a
b
PA
PB
APB
CPD
OD
OC
A
BM
PA
2
APA
OBA
PA
PA
PM
1
2
类型六、等腰三角形的性质
38．如图所示，已知
，
，
，
…，以此规律操作下去，若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
39．如图，
是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5 根等长的钢条，且满足
，设
，则x 的取值范围是 ．
40．如图1，在平面直角坐标系中，点
，
分别在y 轴和x 轴上，点C 为第二象限内一点，且
，
，a，b 满足
．
(1)求点A，B 的坐标；
(2)如图2，若点F 在x 轴的正半轴上，且满足
，
轴于点D，交
的延长
线于点E，求证：
；
(3)在（2）的条件下，请探究线段
，
，
之间的数量关系，并加以证明．
41．问题背景：如图，在
中，
．在
的延长线上取点E，C，作
，使
．
1
AB
AB
1
1
1
2
A B
B B
=
2
2
2
3
A B
B B
3
3
3
4
A B
B B
50
B
1
1
2
n
n
n
A
B B
n
50
2n
1
50
2n
1
50
2n
2
50
2n
ABC
BD
DE
EF
FG
GH
HI
ABC
x
0,
A
a
,0
B b
AB
AC
90
BAC
2
3
8
16
0
a
b
b
2
OAB
OAC
OAF
CD
y
AF
BF
OA
DE
OF
OD
DE
ABD
△
BA
BD
BD
AEC
△
EA
EC
(1)探究一：当
时．
①若
，求
的度数；
②若
，则
的度数用含α 的式子表示为______°，
的度数为_____°．
(2)探究二：若
，直接写出
的度数．
42．已知在
中，
，且
，作等腰
，使得
．
(1)如图1，若
与
互余，则
___________；（用含
的代数式表示）
(2)如图2，若
与
互补，过点C 作
于点H，求证：
；
(3)若
与
的面积相等，请直接写出
的度数．（用含
的式子表示）
43．以
的
、
为边作
和
，且
，
，
与
相交于M，
．
(1)如图1，求证：
；
(2)在图1 中，连接
，则
________，
________；（都用含
的代数式表示）
(3)如图2，若
，G、H 分别是
、
的中点，求
的度数．
44．已知在
中，
，
，分别过A、B 向过点C 的直线做垂线，垂足分别是D、
E．
90
BAE
45
B
DAC
B
CAE
CAD
BAE
n
DAC
ABC
AB
AC
BAC
ACD
AC
CD
ACD
BAC
DAB
ACD
BAC
CH
AD
1
2
CH
BC
ABC
ACD
ACD
ABC
AB
AC
ABD
△
ACE
△
AE
AB
AC
AD
CE
BD
EAB
CAD
AEC
ABD
≌
AM
EMB
AMC
50
EC
BD
AHG
∠
ABC
AC
BC
90
ACB
(1)如图1，若
，直接写出
、
、
之间的等量关系_______．
(2)如图2，若
，
的延长线交
于点F，
交
于G，若F 是
中点，求证：
(3)在（2）的条件下，若
，
，求
的面积．
45．在
和
中，
，
，
．
(1)如图1，将
，
延长，延长线相交于点O．
①求证：
；
②用含
的式子表示
的度数（直接写出结果）；
(2)如图2，当
时，连接
，
，N 是
的中点，连接
并延长与
交于点M，求证：
46．在
中，
，
，点D 为边
的中点，动点P 以2 个单位的速度从点B 出发在射线
上运动，点Q 在边
上，设点P 运动时间为t 秒．
(1)用含t 的代数式表示线段
的长．
(2)当
，点P 在线段
上．若
和
全等，求t 的值；
45
ACE
AD
DE
BE
45
ACE
AD
CB
CE
AB
CB
CFA
GFB
3
DF
5
FG
FGB
ABC
DCE
△
CA
CB
CD
CE
CAB
CED
AD
EB
BE
AD
AOB
45
BD
AE
BD
NC
AE
CM
AE
ABC
17
AB
15
BC
CB
BA
AC
0
t
AP
AC
BC
BA
BPD
△
AQP
△
(3)当
，
为等腰三角形时，请直接写出
的度数．
47．已知，在
中，
，
．
(1)如图1，点D、点E 分别是线段
上两点，连接
、
，若
，且
，求
的
度数；
(2)如图2，点D、点E 分别是线段
上两点，连接
、
，过点B 作
交
延长线于F，连接
，若
，求证：
；
(3)如图3，M 为射线
上一点，N 为射线
上一点，且始终满足
，过点C 作
的垂线交
的延长线于点P，连接
，猜想：
之间的数量关系并证明你的结论．
48．（1）发现问题：如图1，在
和
中，
，连接
，延长
交
于点
．则
与
的数量关系：___________，
___________，
（2）类比探究：如图2，在
和
中，
，连接
，
延长
交于点
．请猜想
与
的数量关系及
的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，
和
均为等腰直角三角形，
，连接
，且
点
在一条直线上，过点
作
，垂足为点
．连接
的面积为1，
，求
的面积．
49．已知如图，
是
的角平分线，且
于点
．
56
CAB
AQP
△
APQ
ABC
AC
BC
90
ACB
AB
CD
CE
AD
BE
45
ECD
ECB
AB
CD
CE
BF
AB
CE
DF
45
ECD
AD
BF
DF
AC
CA
CM
AN
MB
AB
NP
NP
MB
CP
、
、
ABC
AEF
△
,
,
30
AB
AC AE
AF
BAC
EAF
,
BE CF
BE
CF
D
BE
CF
BDC
ABC
AEF
△
,
,
120
AB
AC AE
AF
BAC
EAF
,
BE CF
,
BE FC
D
BE
CF
BDC
ABC
AEF
△
90
BAC
EAF
,
BE CF
,
,
B E F
A
AM
BF
M
,
CE
BEC
△
3
BF
CF
ACE
△
AD
ABC
AD
BC
D
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，
，点
在
上，连接
并延长交
于点
，
交
的延长线于点
，
，连接
，
，
的面积是
的面积的
，求
的长．
50．如图1，在△ABC 中，延长AC 到D，使CD＝AB，E 是AD 上方一点，且∠A＝∠BCE＝∠D，连接
BE．
（1）若∠CBE＝72°，则∠A＝ ；
（2）如图2，若∠ACB＝90°，将DE 沿直线CD 翻折得到DE′，连接BE′交CE 于F，若BE′∥ED，求证：
F 是BE'的中点；
（3）在如图3，若∠ACB＝90°，AC＝BC，将DE 沿直线CD 翻折得到DE'，连接BE′交CE 于F，交CD 于
G，若AC＝a，AB＝b（b＞a＞0）求线段CG 的长度．
51．定义：如果1 条线段将一个三角形分割成2 个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等
腰线”．如果2 条线段将一个三角形分成3 个等腰三角形，我们把这2 条线段叫做这个三角形的“三等腰
线”．如图1，
是
的“双等腰线”，
是
的“三等腰线”．
AB
AC
30
ABC
E
AD
CE
AB
F
BG
CA
G
ABG
ACF
FG
2
AG
ABG
ACF
△
2
3
AC
BE
ABD
△
AD
BE
，
ABC
(1)请在下面三个图中，分别作出
的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
①
；②
；
(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 ．
(3)如图3，
中，
．画出
所有可能的“三等腰线”，使得对
取值范围
的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
ABC
90
C
70 ,
35
B
A
ABC
3
45
2
C
B
B
，
ABC
B
