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第 02 讲 排列与组合 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必
须相邻，那么排法种数为（ ）
A．240 B．120 C．96 D．60
【答案】A
【知识点】相邻问题的排列问题
【分析】利用捆绑法求得正确答案.
【详解】将 捆绑在一起，然后进行全排列，
故共有 种排法.
故选：A
2．（23-24高二下·江苏镇江·期中）某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、
乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数
为（ ）
A．60 B．180 C．240 D．300
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算、排列数的计算
【分析】由不平均分组法或者直接由分步乘法计数原理即可求解.
【详解】方法一（不平均分组）：由题意这五天中有一人值了两天班，即四人的值班天数
为 ，
故所求为 ，
方法二：从五天中选两天分配给其中一人，再将剩下的三人、三天进行全排列，
故所求为 .
故选：C.
3．（23-24高二下·江苏淮安·期中）五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方
案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．120种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题
【分析】运用相邻元素“捆绑法”易得.
【详解】运用相邻元素“捆绑法”，将甲和乙看成一个元素与其他三个同学全排，有 种排法，
再对甲乙“松绑”，有 种排法，
由分步乘法计数原理可得，排队方案共有 种.
故选：C.
4．（23-24高二下·山东威海·期末）甲、乙两所学校从 个研学基地中各自选择 个进行研
学活动，则这两所学校选择的研学基地中恰好有 个相同的选法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【知识点】实际问题中的组合计数问题
【分析】根据组合的知识求得正确答案.
【详解】依题意，这两所学校选择的研学基地中恰好有 个相同的选法有 种.
故选：C
5．（23-24高二下·山东青岛·期中）6个人分5张无座足球票，每人至多分1张，而且票必
须分完，那么不同的分法种数是（ ）
A． B． C．5! D．
【答案】A
【知识点】组合数的计算
【分析】由组合的概念求解即可.
【详解】6个人分5张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，
所以从6个人中选5人即可，所以共有 种分法.
故选：A
6．（23-24高三下·河北·阶段练习）6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到
一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．65 B．1560 C．2640 D．4560
【答案】B
【知识点】分组分配问题
【分析】先将6名大学生分四组，再将四组对应到四个学校，计算可得最后方案种数.
【详解】分两种情况：
把6名大学生分为3，1，1，1四组，有 种分法，再将4组对应四个学校，
有 种情况，由分步乘法计数原理得，共有 种安排方法；
把6名大学生分为2，2，1，1四组，有 种分法，再将4组对应四个学校，有 种情况，由分步乘法计数原理得，共有 种安排方法；
综上，不同的分配方案共有 种.
故选：B.
7．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学
家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知
选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的
数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．240 B．270 C．300 D．330
【答案】B
【知识点】实际问题中的组合计数问题
【分析】由题意可知，选取的3人中至少有1名程序员和1名科学家，有两种情况:有1名
程序员和2名科学家；有2名程序员和1名科学家；根据排列组合求解即可.
【详解】选取的3人中有1名程序员和2名科学家的组合有 种；
选取的3人中有2名程序员和1名科学家的组合有 种；
由题意，不同的安排方法有 种.
故选： .
8．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福
泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、
长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这
12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸
县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列的意义理解
【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在
一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有
种排法；
再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共 种，
根据分步相乘计数原理，共有 种排法．
故选：C．
二、多选题
9．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）现有3名男生2名女生，在某风景点前站成一排拍合照，则（ ）
A．共有60种方法 B．男生不相邻，共有12种方法
C．女生相邻，共有48种方法 D．女生不站两边，共有36种方法
【答案】BCD
【知识点】不相邻排列问题、全排列问题、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的
排列问题
【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A；利用不相邻、相邻问题的排列判
断B，C；利用有位置条件的排列判断；．
【详解】有3名男生2名女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有 种不同的
排法，故A不正确；
男生不相邻，先安排女生有 种排法，再让男生插空有 种排法，共有
种方法，故B正确；
女生相邻，先安排女生有 种排法，再将女生作为一个整体与男生一起安排有 种排
法，共有 种排法，故C正确；
女生不站两边，先在中间三个位置安排女生有 种排法，剩余位置安排男生有 种排
法，共有 种排法，故D正确．
故选：BCD．
10．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在
杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志
愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（ ）
A．所有可能的方法有34种
B．若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种
C．若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种
【答案】BCD
【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理
【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数
计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.
【详解】对于A，所有可能的方法有 种，故A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为
，
另外两名同学的安排方法有 种，此种情况共有 种，
第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有 ，另外一名志愿者的排法有3种，
此种情况共有 种，
第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，
则共有 种安排方法，B正确.
对于C，若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有 种安
排，C正确.
对于D，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有 种安排，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）若安排5名同学去校园 ， ， 三个劳动基地参加
劳动实践活动，每名同学都需要完成1项劳动任务，且只能去一个基地， 处需要安排2
名同学，则不同的安排方案共有 种．（用数字作答）
【答案】60
【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题
【分析】先从5名同学中选2名同学去 处，再将剩下的3名同学安排到 ， 两处，每
处至少一人，即可求解.
【详解】从5名同学中选2名同学去 处，有 种选法，
再将剩下的3名同学安排到 ， 两处，每处至少一人，有 种安排方法，
所以不同的安排方案共有 种.
故答案为：60.
12．（23-24高二下·重庆·期中）某班上午有5节课，现要将语文、数学、英语、地理安排
在上午，其中数学排两节课，其它科各一节，则不同的排法有 种（结果用数值表
示）
【答案】60
【知识点】其他排列模型
【分析】先排语文、英语、地理，余下两节课即数学课，计算即可.
【详解】由题意可知排法有 种.
故答案为：60
四、解答题
13．（23-24高二下·江苏·阶段练习）现有4名男生和3名女生.
(1)若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
(2)若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请
的方法种数；
(3)若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？
【答案】(1)1440(2)25(3)1200
【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题、不相邻排列问题
【分析】（1）采用插空法进行求解即可；
（2）采用去杂法进行求解即可；
（3）根据分类加法计数原理，结合排列和组合的定义进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知；运用插空法，可得共有排法数为 种.
（2）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有 种方法，
男生甲和女生乙同时参加的方法有
共有邀请方法数为 种.
（3）有两类不同情形：
①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个
工厂，一厂安排一人，其方法数为 种；
②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两
人，另两厂各一人，
其方法数为 种.
所以共有 种不同的安排方法.
14．（23-24高二下·安徽合肥·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十
七号载人飞船的长征二号 遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征
程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中
选择4人作为航天员参加该次任务.
(1)若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答）
(2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天
员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答）
【答案】(1)34；(2)1260.
【知识点】组合数的计算、分组分配问题、实际问题中的组合计数问题
【分析】（1）由题意，分成3种情况（有1、2、3名女性）讨论，求出对应的选法，进而
相加即可；
（2）由题意，结合分组分配问题即可求解.
【详解】（1）由题意，分成3种情况讨论：
只有1名女性，共有 种选法，
有2名女性，共有 种选法，有3名女性，共有 种选法，
所以共有 种选法，
即至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有34种选法；
（2）由题意，先选3名航天员，然后分为 的两组，然后分配到 实验室，
共有 种方法.
所以每个实验室至少一名航天员，共有1260种选派方式.
B能力提升
15．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白
球，
(1)从中任取4个球，红球，白球都至少有一个的取法有多少种？
(2)若取个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有
多少种？
(3)将6个不同的白球，全部给5个人，每人至少1个球，有多少种给法？
(4)将6个不同的白球，全部给4个人，每人至少1个球，有多少种给法？
(5)将4个不同的红球，6个不同的白球排一排，其中红球甲和红球乙中间有3个白球，且
红球丙不排两端.有多少种不同排法？
【答案】(1) (2)186(3)1800(4) (5)
【知识点】相邻问题的排列问题、分组分配问题、元素（位置）有限制的排列问题、实际
问题中的组合计数问题
【分析】（1）由间接法得到结果．
（2）设取到白球和红球的个数，根据两个未知数的和是5，列出方程，根据分数不少于
7，列出不等式，根据这是两个整数，列举出结果．
（3）（4）按分组分配求解；
（5）先将甲乙与其他3个白球捆绑，再排两端即可求解.
【详解】（1）从中任取4个球有 种，若全是白球，有 种，全是红球有
种，
故红球，白球都至少有一个的取法有 种
（2）设 个红球 个白球， ，
或 或 ．
符合题意的取法种数有 种．
（3）将6个不同的白球，全部给5个人，每人至少1个球，则按2,1, 1,1,1,1分组，再分配给每个人，共有 种
（4）将6个不同的白球，全部给4个人，每人至少1个球，则按2,2, 1,1或3,1,1,1分组，
再分配给每个人，共有 种
（5）先选3个白球放在甲乙中间，并捆绑成一个元素，有 种方法，
不考虑丙，则有 种排法，其中丙在两端的情况有 ，
故满足题意共有 种排法.
16．（23-24高二下·广东河源·期中）按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
(1)在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽取3件．
（i）共有多少种不同的抽法？
（ii）抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种？
（iii）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
(2)现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法，
求：
（i）甲、乙不能相邻；
（ii）甲、乙相邻且都不站在两端．
【答案】(1)（i） ；（ii） ；（iii）
(2)（i） （ii）
【知识点】相邻问题的排列问题、实际问题中的组合计数问题、不相邻排列问题
【分析】（1）典型的组合问题，第3问可采用“正难则反”的办法解决.
（2）典型排列问题，分别用 “元素不相邻插空法”和“元素相邻捆绑法”解决.
【详解】（1）（i）从这12种产品中任意抽出3件，共有 种不同的抽法，
（ii）抽出的3件中恰有1件次品是指2件正品，1件次品，则有 种不同的抽法，
（iii）抽出的3件中至少有1件次品的抽法数，是在12件产品中任意抽出3件的抽法数，
减去抽出的3件产品全是正品的抽法数，所以共有 种不同的抽法.
（2）（i）先将除甲、乙外三人全排列，有 种；再将甲、乙插入4个空当中的2个，有
种，由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为
种；
（ii）（将甲、乙两人“㧢绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有
种；
再将其余3人全排列有 种，故共有 种不同排法.
C综合素养（新定义解答题）17．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）设点 从格点 出发，沿格径以最短的路线运
动到点 ，即每次运动到另一格点时，横坐标或纵坐标增加1.设点 经过
的所有格点中两坐标乘积之和为 .
(1)当 时，点 沿格径以最短的路线运动到点 的方案有多少种？
(2)当 时，求 的最大值；
(3)当点 从格点 出发，沿格径以最短的路线运动到点 且 ，求
的最大值.（参考公式： ）
【答案】(1)
(2)21
(3)
【知识点】实际问题中的组合计数问题、求等差数列前n项和、反证法证明、图与形中的
归纳推理
【分析】（1）分析从点 到点 的过程，只需确定横格或确定纵格即可确定路
线，由此即可求出方案数；
（2）结合图形，考虑不同的路线方案，计算 的值，取其最大者即得；
（3）依题，要使 最大，应使 尽可能接近.先证明猜想：如果
使S最大，则对任何 ，有 成立，接
着分 和 两种情况列出 的表达式，利用参考公式与等差数列求和公式求和即
得.
【详解】（1）因从点 到点 的路线，至少经过三个横格与两个纵格，
只需确定了横格或纵格，方案即确定，故方案种数为 ；
（2）方案一：
，
；
方案二： ，
；
方案三： ，
；方案四： ，
.
所以， 的最大值为21.
（3）设P经过的点依次为 的坐标为 ，
则 ，要使S最大，应使 尽可能接近.
于是猜想：如果 使S最大，则对任何 ，有
.
以下证明这个猜想.
假设存在 ，使 ，不妨设 ,
观察路径，发现一定有一个点 ，满足这样的条件，
即路径中存在这样连续三点 ，使得 是横向格，
是纵向格，且 ，
于是，用 代替 得到的路径仍合乎要求，
又因为 ，所以，经过变换路径后，坐标之积变大了，
故 .
综上所述，对路径中的任何一个点 ，若 ，则从 出发的边是唯一
的，下一个点应是将 的坐标中较小的一个增加1；
而 时，则从 出发的边有两种选择，下一个点是将 的横坐标或纵坐
标加1.
于是，1.当 时，
2.当 时，其路径为： 或 或
.
此时，显然此式在 时也成立，故 的最大值为
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与计数有关的数列求和问题，属于难题.
解题的关键在于充分理解题意，进行合理分类求解，对于一些猜想，可考虑反证法思路证
明，此外要熟练掌握求和公式，如 的应用.
