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空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练
考点目录
空间角的向量求法
空间距离的向量求法
考点一 空间角的向量求法
例3．（25-26 高二上·河北唐山·期末）如图，
和
所在的平面垂直，且
．
(1)当
时，求
的值；
(2)当
时，求点
到平面
的距离；
(3)求平面
和平面
夹角的余弦值．
例4．（25-26 高三上·贵州贵阳·期末）如图所示，在四棱锥
中，
平面
，底面
为等腰
梯形，且
，连接
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成锐角的余弦值．
变式1．（25-26 高二上·湖北十堰·期末）如图，正方体
的棱长为4，
，
分别是
，
中
点，点
在棱
上，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
变式2．（25-26 高三上·四川自贡·期末）如图，在四棱锥
中，AB，AD，AE 两两垂直，
，
，且
.
(1)证明：平面
平面ABCD.
(2)设
，三棱锥
的体积为
.
（ⅰ）求
的单调区间；
（ⅱ）当
取得最大值时，求直线BD 与平面CDE 所成角的正弦值.
变式3．（25-26 高三上·安徽阜阳·期末）在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，平面
平面
.
(1)若
，求四棱锥
的体积；
(2)若直线
与
所成的角为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
变式4．（25-26 高二上·湖南长沙·期末）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，
分别是
，
的中点.
(1)证明：直线
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
例1．（25-26 高三上·天津和平·期末）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底面
，
分别为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
例2．（25-26 高三上·天津河东·期末）如图，四棱锥
中，底面
为梯形，
，
，
底面
，
，
、
分别为
、
的中点．
(1)证明
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
考点二 空间距离的向量求法
例3．（25-26 高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体
中，
，点P 为
的中
点．
(1)求证：
平面
；
(2)求点D 到平面
的距离．
例4．（20-21 高二上·山东·月考）如图，在多面体
中，平面
平面
，底面
为直角梯
形，
，
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明
理由．
变式1．（25-26 高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱
中，D 是AC 中点，
⊥平面
，
平面
与棱
交于点E，
，
．
(1)求证：
；
(2)已知点C 与平面
的距离为
，求
的长度．
变式2．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
.
，
，
(1)试问为何值时，
平面
？并予以证明.
(2)若
，
（i）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（ii）在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说
明理由.
变式3．（25-26 高二上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，E 为棱
的中点.
(1)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)求点
到平面
的距离.
变式4．（25-26 高二上·吉林长春·期末）在四棱锥
中，
底面ABCD，
，
，
，M 是PD 中点.
(1)求证：
平面PAB；
(2)若
，
①求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值；
②在线段BD 上是否存在点Q，使得点D 到平面MAQ 的距离为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理
由.
