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2.6 幂函数与一元二次函数
1
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2
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3
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考点一 幂函数的三要素
【例1-1】（2024 河南周口）已知函数
为幂函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【例1-2】（2024 福建龙岩·期末）若幂函数
的图象过点
，则
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2024 宁夏吴忠·阶段练习）下列函数中，与函数
的值域相同的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 浙江杭州）若函数
是幂函数，且满足
，则
的值为 .
2．（2024 山西吕梁）已知幂函数
的图象过点
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3（2024 湖北）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 湖北恩施·阶段练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数
的定义域和值域相同的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 幂函数的图像
4
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【例2-1】（2024·四川南充·二模）已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2024 海南省）幂函数
，
，
，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线
（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【例2-3】（2024 广东茂名）若幂函数
的图象经过第三象限，则
的值可以是（ ）
A．-2
B．2
C．
D．3
【一隅三反】
1．（2024 湖北）已知幂函数
的图象经过点
，则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
2．（2024 海南省直辖县级单位·开学考试）如图的曲线是幂函数
在第一象限内的图象.已知
分别取
四个值，与曲线
相应的
依次为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数
在
上的图象分别是下降，急速上
升，缓慢上升，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 幂函数的性质
【例3-1】（2024 湖南长沙·阶段练习）已知幂函数
是偶函数，且
在
上是减函数，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．3
【例3-2】（2024 广东深圳·期末）（多选）已知函数
为幂函数，则下列结论正确的为
6
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（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
为单调递增函数
D．
的值域为
【一隅三反】
1．（2024 山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间
上单调递减的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 浙江杭州·期中）（多选）已知幂函数
的图像关于y 轴对称，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
3．（2024 贵州）（多选）下列结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都通过点
B．互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称
C．函数
恒过定点
D．函数
在整个定义域内是单调递减的
4．（2023·吉林长春·模拟预测）（多选）已知幂函数
图像经过点
，则下列命题正确的有（ ）
A．函数
为增函数
B．函数
为偶函数
C．若
，则
D．若
，则
考点四 幂函数性质的应用
【例4-1】（2024 江苏苏州·阶段练习）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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【例4-2】（2024 江西新余）若幂函数
图象过点
，且
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·河北）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 宁夏吴忠）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖南常德）（多选）下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 一元二次函数的单调性
【例5-1】（2024 浙江）设函数
在区间
上是减函数，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【例5-3】（2024·全国·模拟预测）若函数
在
上单调，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·陕西宝鸡·二模）已知
，则函数
在
上是增函数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数
满足对任意的实数
，且
，
都有
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选）若函数
在
上单调，则实数
的值可以
为（ ）
A．
B．
C．
D．3
考点六 一元二次恒（能）成立
【例6-1】（2023·福建厦门·二模）不等式
（
）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
9
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【例6-2】（2024·甘肃）若关于
的不等式
在区间
内有解，则实数
的取值范围是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式
恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 河南）设a 为实数，若关于x 的不等式
在区间
上有实数解，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七 三个一元二次的关系
【例7】（2024 黑龙江大庆）（多选）已知关于x 的不等式
的解集为
或
，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．关于x 的不等式
的解集是
C．
D．关于x 的不等式
的解集为
或
【一隅三反】
1．（2024 江苏南京·期末）（多选）已知关于
的不等式
的解集是
，则（ ）
A．
10
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B．
C．
D．不等式
的解集是
或
2．（2023 山东威海）（多选）已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列选项中
正确的是（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
3．（2024 湖南长沙·期末）（多选）已知关于
的不等式
的解集为
，或
，则
（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集是
，或
考点八 解含参一元二次不等式
【例8-1】（2024 广东阳江）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-2】（2024 贵州毕节）若关于
的不等式
的解集中恰有2 个整数，则实数
的取值
范围为（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【例8-3】（2024 吉林白山）解关于x 的不等式：
(1)
（2）
（3）
<0
【一隅三反】
1．（2024 天津红桥）若关于x 的不等式
只有一个整数解，则实数a 的取值范围是 .
2．（2024 高三·全国·专题练习）解关于实数
的不等式：
(1)
．（2）
．(3)
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考点九 一元二次根的相关问题
【例9-1】（2024 北京·期中）如果关于
的一元二次方程
有两个不同的正数实数根，那么
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例9-2】（2024 浙江·阶段练习）若关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实根
，
且
．则实数a 的取值范围为 ．
【一隅三反】
1．（2024 山西太原·阶段练习）（多选）已知关于
的方程
，则（ ）.
A．当
时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
2．（2024 江苏连云港·阶段练习）已知方程
的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数
的取值范围 .
3．（23-24 高三上·四川·阶段练习）若关于
的方程
在区间
上有两个不相等的实数解，
则
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．（2024 山东菏泽·阶段练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若关于x 的方程
的一根比1 大且另一根比1 小，则a 的取值范围是
B．若关于x 的不等式
在
上恒成立，则实数k 的取值范围是
C．若关于x 的不等式
的解集是
，则关于x 的不等式
的解集是
或
D．若
，则
的最小值为
一．单选题
1．（2024 江西抚州）若命题“
”为假命题，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京西城·一模）已知函数
，若
存在最小值，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 湖南长沙·开学考试）四个数
，
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 江苏南京·期末）已知幂函数
的图象过点
，则函数
的单调递增区间为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
5．（2024 广东深圳·阶段练习）已知函数
是定义域上的偶函数，在区间
上单调递增，且对任意
、
均有
成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 辽宁沈阳）已知关于x 的方程
有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2
B．
C．
D．1
7．（2024 湖北黄冈·期中）设集合
或
，集合
，若
中恰有
两个整数，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 四川成都·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用
到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔
（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数
，存在实数
，使得
，我们就
称该函数为“不动点”函数，实数
为该函数的不动点.已知函数
在区间
上恰有
两个不同的不动点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2024 辽宁抚顺）（多选）已知幂函数
的图像经过点
，则下列命题正确的有（ ）
A．函数
为增函数
B．函数
为偶函数
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C．若
，则
D．若
，则
10．（2024·山东潍坊）已知函数
（
且
）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析
式对应正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023 福建·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，且
，则
的最小值为1
B．若
，
，且
，则
的最小值为1
C．若关于
的不等式
的解集为
，则
D．关于
的不等式
的解集为
三．填空题
12．（2024 北京·期中）下列命题：
①定义在
上的奇函数
必满足
；
②
既不是奇函数又不是偶函数；
③偶函数的图象一定与
轴相交；
④函数
在
上是减函数.其中真命题有 ．
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（把你认为正确的命题的序号都填在横线上）.
13．（2024 福建）已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围为 ．
14．（2024 江苏苏州·阶段练习）若命题“
”为假命题，则实数m 的取值范围是
．
四．解答题
15．（2024 安徽芜湖·阶段练习）已知关于
的一元二次不等式
的解集为
．
(1)求
和
的值；
(2)求不等式
的解集．
16．（2024 高三·全国·专题练习）已知二次函数
（
，
为实数）
(1)若函数图象过点
，对
，
恒成立，求实数
的取值范围；
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(2)若函数图象过点
，对
，
恒成立，求实数
的取值范围；
17．（2024 陕西咸阳）已知函数
.
(1)当
时，求
的解集；
(2)是否存在实数
，使得不等式
对满足
的所有
恒成立？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
18．（2024 浙江台州）已知函数
，
，
(1)当
时，解不等式
；
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(2)若任意
，都有
成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围.
19．（2024·云南昆明·模拟预测）我们把
（其中
，
）称为一元n 次多
项式方程．代数基本定理：任何复系数一元
次多项式方程（即
，
，
，…，
为实数）在复数
集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元
次多项式方程在复数集内有且仅有n 个复数根
（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元
次多项式在复数集内一定可
以分解因式，转化为n 个一元一次多项式的积．即
，
其中k，
，
，
，
，……，
为方程
的根．进一
步可以推出：在实系数范围内（即
，
，
，…，
为实数），方程
的有实
数根，则多项式
必可分解因式．例如：观察可知，
是方程
的一个根，
则
一定是多项式
的一个因式，即
，由待定系数法可知，
．
(1)解方程：
；
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(2)设
，其中
，
，
，
，且
．
（i）分解因式：
；
（ii）记点
是
的图象与直线
在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时，
．
20
