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进阶4 解析几何中的定点问题
分值：34 分
1.(17 分)已知抛物线C：x2=-2py(p>0)经过点(2，-1).
(1)求抛物线C 的标准方程及其准线方程；(5 分)
(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于M，N 两点，直线y=-1 分别交直线
OM，ON 于A，B 两点.求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.(12 分)
2.(17 分)(2025·九江模拟)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的离心率为√5，点P(3，4)在C 上.
(1)求双曲线C 的方程；(5 分)
(2)直线l 与双曲线C 交于不同的两点A，B，若直线PA，PB 的斜率互为倒数，证明：直线l 过定点.(12 分)
答案精析
1.(1)解 将点(2，-1)代入抛物线方程得22=-2p×(-1)，可得p=2，
故抛物线C 的标准方程为x2=-4y，其准线方程为y=1.
(2)证明 由题意知直线l 的斜率存在，焦点坐标为(0，-1)，
设直线l 的方程为y=kx-1，与抛物线方程x2=-4y 联立可得x2+4kx-4=0，Δ=16k2+16>0，
故x1+x2=-4k，x1x2=-4，
设M(x1，- x1
2
4 )，N(x2，- x2
2
4 )，
则kOM=- x1
4 ，kON=- x2
4 ，
直线OM 的方程为y=- x1
4 x，与y=-1 联立可得A(
4
x1
，-1)，同理可得B(
4
x2
，-1)，
易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为(
2
x1
+ 2
x2
，-1)，
圆的半径为|
2
x1
- 2
x2|，
且2
x1
+ 2
x2
=2( x1+ x2)
x1 x2
=2k，
|
2
x1
- 2
x2|=2×√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2
| x1 x2|
=2√k
2+1，
则圆的方程为(x-2k)2+(y+1)2=4(k2+1)，
令x=0，整理可得y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1，
即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0，-3)，(0，1).
2.(1)解 由已知得e=c
a=√5，c2=a2+b2，所以b=2a，
又点P(3，4)在C 上，故9
a
2- 16
4 a
2=1，
解得a2=5，b2=20，
所以双曲线C 的方程为x
2
5 - y
2
20=1.
(2)证明 当直线l 的斜率不存在时，可设A(m，n)，B(m，-n)，
则{
m
2
5 - n
2
20 =1,
4 -n
3-m · 4 +n
3-m =1,
无解.
当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，与C 联立，
消去y 得(4-k2)x2-2kmx-m2-20=0，
由已知得k2≠4，且Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+20)=
16(m2-5k2+20)>0，
设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
则x1+x2= 2km
4 -k
2 ，
x1x2=-m
2+20
4 -k
2 ，
直线PA，PB 的斜率分别为k1=
y1- 4
x1-3 =
k x1+m- 4
x1-3
，
k2=k x2+m- 4
x2-3
，
由k1k2=1，
得(kx1+m-4)(kx2+m-4)=(x1-3)(x2-3)，
即(k2-1)x1x2+(km-4k+3)(x1+x2)+m2-8m+7=0，
所以-(k2-1)(m2+20)+2km(km-4k+3)+(4-k2)(m2-8m+7)=0，
化简得(m+3k-4)(5m-9k-12)=0，
又已知l 不过点P(3，4)，
故m+3k-4≠0，
所以5m-9k-12=0，即m=9
5k+12
5 ，
故直线l 的方程为y=k(x + 9
5)+12
5 ，
所以直线l 过定点(- 9
5 ，12
5 ).
